第三章 线性系统的时域分析

t 0 t 0
0
t
式中A为一常量。若A=1则称为单位阶跃输入信号， 表示为1(t) ，其拉氏变换为1/s。
11
2．斜坡信号 斜坡输入信号表示由零 值开始随时间 作线性增加 的信号(电热水炉加热时的 温度变化信号对温度显示器 而言是一个斜坡输入信号)， 它的数学表达方式为： t 0 0,
1 t T
1 t T
a)
b)
)
（3-17）
T r(t)=t T y(t)
输入、输出间的误差为：
y(t) r(t)
e(t ) r (t ) y(t ) T (1 e
ts 3 ~ 4T
)
e ss lim e(t ) T 稳态误差为： t

0
T
2T
3T
4T
5T t
c(t ) 1 e
t T
可知：
y(t)
斜率=1/T
1
0.632 0.632
1/T
99.3%
5T t
当t=T时，xout(T)=0.632 当t=2T时，xout(T)=0.865 当t=3T时，xout(T)=0.95 当t=4T时，xout(T)=0.982
0
63.2%
T
86.5%
2T
或 0.05c ( )
tp
ts
t
4.最大超调量（简称超调量） M p
c(t)
暂态过程中输出响应的 最大值超过稳态值的百 分数。
Mp c( t p ) c( ) c( ) 100%
c( t p )
Mp
A 100 % B
0.02 c ( )
或 0.05c ( )
t
R( s)
E (s)
1 Ts
Y ( s)
R( s)
1 Ts 1
Y ( s)
a)
b)
1 1 T T2 Y ( s) 2 2 s Ts 1 s (Ts 1) s
R( s)
E (s)
1 Ts
Y ( s)
R( s)
1 Ts 1
Y ( s)
拉氏反变换得：
y(t ) t T (1 e
c( )
A
B
0
tp
ts
t
在上述几种性能指标中， t d , t p , t r , t s 表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标； 而 M p 反映瞬态过程的振荡程度，是稳定性 指标。其中 M p 和 t s 是两种最常用的性能 指标。
A
超调量Mp =
A ×100% B
0.02c ( )
或 0.05c ( )
一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统（如温度 计、RC电路）。
标准形式 传递函数
dc(t ) T c(t ) r (t ) dt C (s) 1 ( s ) R( s) Ts 1
1 TS 1
特征参数T ：一阶系统时间常数 ，表达了一阶系统本身与外界 作用无关的固有特性。 c(t)
第三章 线性系统的时域分析
• 3.1概要
• 3.2典型信号及拉氏变换
• 3.3一阶系统的时域分析 • 3.4二阶系统的时域分析 • 3.5高阶系统的时域分析 • 3.6线性系统的稳定性与稳定判据
• 3.7控制系统的稳态误差
•
3.1概要
系统的时域分析：在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随 时间变化的情况，即系统输出的时域响应， 以分析和研究系统的控制性能。
h(t ) 10[t T (1 et / T )]
输入、输出间的误差为：
t
e(t ) r(t ) h(t ) 10 T (1 e )
1 t T
ess 稳态误差为：
lim e(t ) 10T 2.56 C
0 t
由于系统存在惯性，输出信号滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态 误差产生的原因。 显然，减小时间常数不仅可以加快系统瞬态响应的速度，而且还能减 小系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差。
22
五．结 果 分 析 输入信号的关系为：
d d2 r脉冲 (t ) r阶跃 (t ) 2 r斜坡 (t ) dt dt
而时间响应间的关系为：
d d2 c脉冲 (t ) c阶跃 (t ) 2 c斜坡 (t ) dt dt
c( t ) 1 e

t T
c(t) t - T Te
1 T c( t ) e T
t
-
t T
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
一阶系统单位阶跃响应的特点 ※ 响应分为两部分 t 瞬态响应： e T
表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）
稳态响应：1 表示t→∞时，系统的输出状态
3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 x0 (t ) dx0 (t ) 2 2 2 x ( t ) n n 0 n xi (t ) 2 dt dt n —无阻尼自振频率。 —阻尼比，
传递函数及方框图
X -0 (s) n 2 X i (s) s 2 n s n 2
t ) 0, t 0 ( (t )dt 1 -
时间 t
1．阶跃信号 阶跃输入信号表示参考输入量的 一个瞬间突变过程，即瞬时跃变 （如开关闭合时，电阻R的输入电 流I是一个阶跃输入信号），它的数 学表达方式为：
r A
0, r (t ) A,
， A 1
系统的单位 阶跃响应为一 单调上升的指 数曲线。
t
0
63.2%
T
86.5%
2T
3T
98.2%
4T
由于输出y(∞)=1，因而t→∞, ess=0，无差跟踪阶 跃信号。 y(t ) t T 1 e1 0.632 这是一阶系统阶跃响应的一个重要特征量。 t=0时的斜率为T，表明系统输出响应的上升速度 18 为1/T。
峰值时间tp
上 升 时间tr
B
调节时间ts
3. 1.典型信号及拉氏变换
单位脉冲函数 单位阶跃函数
单位速度函数
脉冲信号（Pulse Function）
定义1.
脉冲信号是指在短暂时间间隔内发 生突变或跃变的信号，在实际中， 如果系统的脉动输入量值很大，而 持续时间与系统的时间常数相比非 常小时，可以用脉冲函数去近似表 示这种脉动输入。如脉冲电压信号、 δ（t） 冲击力、阵风等。
R( s ) L[ (t )] 1 1 1 C ( s) R( s) Ts 1 Ts 1 t 1 1 c(t ) L1[ ] e T Ts 1 T
1/T
0.368 1 T
T
t
三．单 位 斜 坡 响 应
r(t) t R(s)
1 s2 1 1 1 T T2 ×2 2 Y(s) Ts 1 s s s Ts 1
一阶系统有差跟踪斜坡输入信号。
y(t) 斜率=1/T 0.632

这时是匀速随动系统。
0
63.2%
86.5%
98.2%
4T
21
2T 3T 5T t
T
99.3%
95%
稳态时系统输入、输出信号的变 化率完全相等，即: r (t ) y (t ) 1
用温度计测量电热器中的水温，水温以10º C/min的速度线性变 化，温度计的指示值如何变化,误差有多大？（T=0.256min) 10 r(t) 10t R(s) 2 s 1 5 1 T T2 ) ×2 5 2 H(s) Ts 1 s s s Ts 1
c(t)
c( )
c(t)
c( )
瞬态过程
0
稳态过程
t
0
瞬态过程 稳态过程
t
2
衰减振荡
单调变化
二、系统时域响应的性能指标
暂态过程的性能指标 通常以单位阶跃响应来衡量系统控 制性能的优劣和定义暂态过程的时域性 能指标。
我们根据衰减振荡的阶跃响应曲线 来定义系统常用的暂态性能指标。
1. 上升时间 t r 输出响应第一次达到稳态 值c(∞)所需的时间。 或指由稳态值的10%上升 到稳态值的90%所需的时 间。
c(t)
c( )
c( ) 2
0
tr
t
2.峰值时间 t p 输出响应超过稳态值 达到第一个峰值所需 要的时间。 3.调整时间 t s 当输出量c(t)和稳态值 c(∞)之间的偏差达到允 许范围（一般取2%或5%） 并维持在此允许范围之 内所需的最小时间。
0
c(t)
c( t p )
c( )
0.02 c ( )
实例分析 • 例：设温度计能在1分钟内指示出响应值的98%，并且假设温 度计为一阶系统，分析温度计显示值的变化情况。 解：一阶系统传递函数:
温度计的输入温度可视为单位阶跃函数，温度计系统 的单位阶跃响应函数为温度计的显示值 由已知条件，输入温度值为1，时间t=1分钟时温度显示值为： xou(t)=1×98%，得 解得 T=0.256 min 由
跃
二 阶 响 应
系
统
的
单
位
阶
(1) 0 1时，即欠阻尼状态下
n 2 1 × d n X0(s) 2 2 s 2 n s n s s 2 n 1 s ( s n j d )( s n j d )
3T
98.2%
4T
95%
结论：T是一个由系统的结构确定的与响应速度相 关的常数。