上海卢湾区2009年第一学期九年级数学期中考试试卷

卢湾区2009学年第一学期九年级期中考试数学试卷（时间100分钟，满分150分）2009.11(本试卷所有答案请书写在答题卷规定位置上)一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把ad bc =写成比例式（其中,,,a b c d 均不为0），下列选项中错误．．的是……………………………………………………………………（ ） A ．a cb d =； B ．b d ac =； C ．c a bd =； D ．a bc d=．2．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的…………………………………………（ ） A ．2倍； B ．4倍； C ．8倍； D ．16倍．3．下列命题中正确的是……………………………………………… （ ） A ．所有的菱形都相似； B ．所有的矩形都相似； C ．所有的等腰三角形都相似； D ．所有的等边三角形都相似．4．在Rt△ABC 中，∠B =90º，若AC =a ，∠A =θ，则AB 的长为…………（ ） A ．sin a θ ； B ．cos a θ ； C ．tan a θ ； D ．cot a θ ．5．点C 在线段AB 上，如果AB =3AC ， AB a = ，那么BC等于…………（ ）A ．13a ；B ．23a ；C ．13a - ；D ．23a - ．6．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为5cm ，若这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可能是下列各组中的…（ ） A ．2 cm ，3 cm ；B ．4 cm ，6 cm ；C ．6 cm ，7 cm ；D ．7 cm ，9 cm ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若35a c b d ==（其中0b d +≠），则a c b d+=+__________． 8．若线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA = cm ． 9．如图，点G 为△ABC 重心，若AG =1，则AD 的长度为_________． 10．求值:cot 30ºsin 60-º=_________． 11．在Rt△ABC 中，∠C =90º，若1tan 3A =，则cot A 的值为_________． 12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若13AD BD =，DE ＝2，则BC 的长为_______．13．如图，1l ∥2l ∥3l ，AB =2，AC =5，DF =7.5，则DE =_________．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 是边CD 、BC 边的中点，若AD a = ，AB b =，则EF = ___________．（结果用a 、b 表示）15．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 交于点O ，若AD ∶BC = 5∶4，BO =1，DO =2.5，则AD =___________．(第13题图)B(第9题图)B(第12题图)A(第14题图)16．如图，在△ABC 的边BC 上，若DAC B ∠=∠，且BD =5，AC = 6，则CD 的长为___________．17．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，若2AD =，4BD =，4AC =，且△ADE 与ABC 相似，则AE 的长为___________．18．在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD 相似的图形''''A B C D （其中AB 的对应边''A B 已在图中给出）．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．已知两个不平行的向量, a b ，求作向量： 32()()2a b a b --- ．20．如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上， 且DE ∥BC ，AF AD ADAB=．求证：EF ∥DC ．ab(第19题图)AC(第18题图)B DB ’A ’(第16题图)CC(第15题图)21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC = 3，1tan 2B ． (1) 求BC 的长； (2) 求cos A 的值．22．如图，竖立在点B 处的标杆AB 长2.1米，某测量工作人员站在D 点处，此时人眼睛C 与标杆顶端A 、树顶端E 在同一直线上(点D 、B 、F 也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米，且BD = 1米，BF = 5米，求所测量树的高度．CAB(第21题图)B(第20题图)BC A 树标杆人FED(第22题图)四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．如图，BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，BE 与CF 相交于点D ． (1) 求证：△ABE ∽△ACF ； (2) 求证：△ABC ∽△AEF ；(3) 若4ABC AEFSS = ，求cos BAC ∠的值．24．如图所示，在△ABC 中，已知6BC =，BC 边上中线5AD =。

点P 为线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），过P 点作EF ∥BC ，分别交边AB 、AC 于点E 、F ，过点E 、F 分别作EG ∥AD ，FH ∥AD ，交BC 边于点G 、H ．（1）求证：P 是线段EF 的中点；（2）当四边形EGHF 为菱形时，求EF 的长； （3） 如果5sin 6ADC ∠=，设AP 长为x ，四边形EGHF 面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．BC(第23题图)B C(第24题图)五、（本题满分14分）25．已知△ABC 的面积为1， D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，CD 、BE 交于F 点，过点F 作FM ∥AB ，FN ∥AC ，交BC 边于M 、N ．(1) 如图25-1，当D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点时，求△FMN 的面积；(2）如图25-2，当12AD DB =，3AEEC =时，求△FMN 的面积； (3）当ADa DB=，AE b EC =时，用含有,a b 的代数式表示△FMN 的面积．（直接写出答案）(图25-1)B CBC(图25-2)卢湾区2009学年第一学期九年级数学期中考试参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ； 2． B ； 3． D ； 4．B ； 5． D ． 6．B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．35； 81； 9．32； 10； 11．3； 12．8；13．3； 14．1122b a -； 15．154； 16．4； 17．43或3； 18．图略．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．解：化简得12a b -．………………………（4分）∴向量AB是所求作向量．………………………（6分）20．证明：DE ∥BC ，∴ADAEAB AC=．………………………………（4分）∵AF AD AD AB =，∴AF AEAD AC =．…………………………………（4分） ∴EF ∥DC ．…………………………………………………………（2分）21．解：（1）在Rt △ABC 中，∵tan ACB BC=，………………………（2分）∴tan ACBC B=．………………………………………………………（2分）又∵AC =3，1tan 2B =∴6BC =．………………………………（1分）（2）在Rt △ABC中，AB 2分）∴cos AC A AB ==3分）BAO22．解：过C 点作CH ⊥EF ，交AB 与G 交EF 于H ．………………（2分） 由题意得AB ⊥DF ，EF ⊥DF ，∴AB ∥EF ．…………………………（2分） ∴AG CG EHCH=．……………………………………………………………（2分）易得CG = DB = 1(米)，CH = DF = 6(米)，0.5AG AB CD =-=(米)∴3EH =．………………………………………………………………（3分） ∴树高为4.6米．…………………………………………………………（1分） 四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．证明：(1) ∵ BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠AEB =∠AFC =90º．……（2分） 又∵∠A 是公共角，∴△ABE ∽△ACF ．………………………………（2分） (2) ∵△ABC ∽△AEF ，∴AE AB AF AC =， 即AE AFAB AC=．……………（2分） 又∵∠A 是公共角，∴△ABE ∽△ACF ．………………………………（2分） （3）∵△ABE ∽△ACF ，∴2()ABC AEF S AB S AE= ．…………………………（1分） ∵4ABC AEF S S = ，∴2ABAE=．………………………………………………（2分） ∵∠AEB =90º，∴cos 12BAC AE AB ∠==．………………………………（1分） 24．解：∵EF ∥BC ，∴EP AP BD AD =；FP APCD AD=．……………………（2分） ∴EP FP BD CD=．……………………………………………………………（1分） 又∵BD =CD ，∴EP =FP ，即P 是EF 中点．…………………………（1分） （2）∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ．…………………………………（1分）∴EF APBC AD=，……………………………………………………………（1分） 设EF a =，则5AP a =-．∴565a a -=，解得3011a =．……………（2分）（3）∵EF ∥BC ，EG ∥FH ，∴四边形EGHF 是平行四边形．作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，则5sin (5)6PQ PD ADC x =∠=- ．………（1分） 由（2）得EF AP BC AD =，65EF x =，65xEF =．…………………………（1分）∴25y EF PQ x x ==-+ (05)x <<．………………………………（2分） 五、（本题满分14分）25．解(1) ∵FM ∥AB ，∴FMN B ∠=∠．……………………………（1分） 同理FNM C ∠=∠，∴△FMN ∽△ABC ．………………………………（1分） ∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴点F 是△ABC 的重心．∴23FM DB =．………………………………（1分） ∴21()9FMN ABC S FM S AB == ．∴19FMN S = ．………………………………（1分）（2）法一：过点D 作DH ∥BE ，交AC 于点H ．……………………（1分）∴12AH AD HE BD ==．…………………………（1分） ∵3AE EC =，∴13CE CH =．……………………（1分） ∵DH ∥BE ，∴13CF CE CD CH ==．∵FM ∥AB ，∴13FM CF DB CD ==．……………（1分）∴29FM AB =．………………………………（2分）由（1）得△FMN ∽△ABC ，∴24()81FMN ABC S FM S AB == ．∴481FMN S = ．（1分）法二：∵FM ∥AB ，FM CMDB BC =．① ∵FN ∥AC ， FN BNEC BC=．② ①+②得1FM FN MNDB EC BC+=+．…………………………………………（2分）BC由（1）得△FMN ∽△ABC ，设MN FM FNk BC AB AC===， 则32FM FM AB k DB AB BD == ，同理可得4FN k EC =，………………………（2分） ∴2413k k k +=+．解得29k =．………………………………………（2分） ∴24()81FMN ABC S FM S AB == ∴481FMN S = ．………………………………（1分） （3）21(1)FMN S a b =++ …………………………………………………（3分）。