水平集图像处理入门
生物医学图像处理中的有界变差函数空间与水平集理论研究
Control Theory and Control Engineering in the
学校代号 分类号
10532 TP391.4
学 号 B04094006 密级
博士学位论文
生物医学图像处理中的有界变差函 数空间与水平集方法研究
学位申请人姓名 培养单位 导师姓名及职称 学科专业 研究方向 论文提交日期
刘国才 电气与信息工程学院 王耀南教授 模式识别与智能系统 图像识别与机器视觉 2007 年 05 月 20 日
关键词： 生物医学图像处理；特殊有界变差函数空间理论；水平集方法； Mumford-Shah泛函模型；最小分割问题；青光眼诊断；视乳头图像分割与度量； 卫星雷达干涉图相位解缠
III
生物医学图像处理中的有界变差函数空间与水平集方法研究
Abstract
To solve the key problems of the segmentation and measurement of optic nerve head medical images , which are of poor quality, very low contrast, obscure due to blood vessels, and distinct inter-differences of individuals, for the computer aided diagnostics of glaucoma, Diabetic Retinopathy, and Age-related Macular Degeneration diseases, several novel models and methods are proposed based on level set methods and Mumford–Shah functional defined in the class of Special functions of Bounded Variation(SBV), which are the hierarchical Mumford–Shah functional model(HMSM or HMSMv) for the simultaneous segmentation, denoise and reconstruction of the given scalar or vector-valued image, the narrow band level set based statistical shape distribution model (NLDM) for the representation of the prior knowledge of “legal” variation in the shape of a class of object, the statistical shape prior-based hierarchical Mumford–Shah model by incorporating prior knowledge(SHMSMv) for the recognition of the object in an image which is similar to the training shapes. Several experimental results for the segmentation and measurement of the color medical images of the optic nerve head, the segmentation and reconstruction of a pathology image of the human brain and a color Doppler ultrasound image of the heart, and the phase unwrapping of a SAR interferogram are supplied, demonstrating the effectiveness of our proposed solutions and indicating their potential.
水平集函数
水平集函数
水平集函数，指的是将多个位置或距离相同的点的集合作为一个
单一的函数的形式进行表示。
它们可以使用一组点的一组坐标来表示，最常用的形式为一般式。
简化来说，水平集函数就是一种函数，它允
许多个输入值映射到同一输出值。
水平集函数被广泛应用于数学中，也可以用于皮克斯动画，特效
和游戏设计。
它们在统计学中也非常重要，它们能够帮助我们得出，
多个不同数值是否有一定的相关性。
即使在改变位置后，它们仍会有
相似的趋势。
在微积分中，它们也非常有用，以表示速度的变化以及
最值的求解。
水平集函数应用在许多不同的场景中，让我们更好地理解数量关系。
它们允许我们把原始数据变换成易于解释的函数，以便能够快速
地确定变化趋势。
在现代，水平集函数发挥着越来越重要的作用，它们在物理学，
量子力学等等领域都被普遍使用。
它们可以被用于定义应用中的运动，也可以用于定义路径图。
',
水平集函数的重要性正在越来越受到人们的重视，它们给了我们
一个更容易理解的数量关系，而且能更精准地描述过程的转变趋势。
它们甚至可以减少某些重要问题的计算量，提高系统性能，使功能更
加灵活。
总之，水平集函数在当今社会已经成为不可或缺的重要组成
部分，是前进的基础和方向之一，未来将会给我们带来很多帮助。
数字图像处理技术解析
数字图像处理技术解析第一章：数字图像处理基础知识数字图像处理是一门研究如何处理和操作数字图像的学科。
数字图像是离散的表示了光的强度和颜色分布的连续图像。
数字图像处理技术可以应用于许多领域，如医学影像、机器视觉、遥感图像等。
1.1 数字图像表示与存储数字图像可以使用像素（pixel）来表示，每个像素包含一定数量的位元（bit），用于表示图像的灰度值或颜色信息。
常见的像素表示方法有灰度图像和彩色图像。
在计算机中，数字图像可以以不同的方式进行存储，如位图存储、压缩存储等。
1.2 数字图像处理的基本操作数字图像处理的基本操作包括图像增强、图像恢复、图像压缩和图像分割等。
图像增强可以改善图像的质量，使其更适于人眼观察或用于其他应用。
图像恢复是指通过去除图像中的噪声、模糊等不良因素，使图像恢复到原始清晰状态。
图像压缩可以减少图像的存储空间和传输带宽。
图像分割是将图像分成几个具有独立特征的区域，用于目标检测、目标跟踪等应用。
第二章：数字图像增强技术数字图像增强技术可以提高图像的质量和信息内容，使其更适合进行后续处理或人眼观察。
常用的图像增强方法包括灰度变换、直方图均衡化和空域滤波等。
2.1 灰度变换灰度变换是通过对图像的灰度值进行变换，来改变图像的对比度和亮度。
常见的灰度变换方法包括线性变换、非线性变换和直方图匹配等。
线性变换通过对灰度值进行线性和平移变换，可改变图像的对比度和亮度。
非线性变换使用非线性函数对灰度值进行变换，如对数变换、反转变换等。
直方图匹配是将图像的直方图变换为期望直方图，以达到对比度和亮度的调整。
2.2 直方图均衡化直方图均衡化是一种常用的图像增强方法，可以通过对图像的直方图进行变换，使得图像的灰度分布更加均匀。
直方图均衡化可以增加图像的对比度，使得图像细节更加清晰。
该方法适用于灰度图像和彩色图像。
2.3 空域滤波空域滤波是一种基于像素的图像处理方法，通过对图像的局部像素进行加权平均或非线性操作，来改变图像的特征。
基于变分水平集理论的水下图像分割方法
基于变分水平集理论的水下图像分割方法席志红; 赵春梅【期刊名称】《《应用科技》》【年(卷),期】2019(046)002【总页数】6页(P53-58)【关键词】水下图像分割; 活动轮廓模型; 李纯明模型; C-V模型; 变分法; 水平集理论; 灰度图像; 水下图像【作者】席志红; 赵春梅【作者单位】哈尔滨工程大学信息与通信工程学院黑龙江哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】TP31随着工业的发展，工业废水的数量逐渐增加，对核废液等废水的处理至关重要。
而水下图像分割技术作为水下机器视觉的关键技术之一，发挥着至关重要的作用。
由于水下环境中水介质的波动对光线散折射及吸收效应，水中图像存在对比度低、信噪比低以及图像特征变形失真的问题[1]，使得我们获取的水下图像不清晰，造成了水下目标的特征提取与识别不准确。
图像分割是水下目标特征提取和识别的关键技术，水下目标分割的准确性严重影响着特征提取和识别的结果。
1 水下图像分割图像分割就是要把有用的目标区域从图像背景中提取出来，去除冗余信息，降低后续处理过程中的计算量，是对图像进行特征提取和目标识别过程中至关重要的步骤[2−3]。
图像分割算法有很多种，虽然各类分割算法在原理上有重叠，但大致可分为3类[4]：阈值分割、边缘检测和基于区域的方法（包括区域生长法和分列合并法）。
阈值分割算法是一种简单且有效的分割方法，如大津（Otsu）法、自适应阈值分割算法和直方图双峰法等典型的算法；边界检测分割算法一般适用于目标前景和背景相差较大的情况，其主要包括索贝尔算子、Canny算子、拉普拉斯算子、Prewitt算子和Robert算子等[5]；基于区域的分割方法一般适用于背景比较复杂的情况，包括松弛迭代算法[6]、区域生长法和区域分裂法等。
近些年，已有一些学者提出关于水下图像分割的方法。
Chen Hsin-Hung等[7]采用双阈值Otsu法和Canny边缘检测算子并提取其边缘特征，然后使用霍夫（Hough）变换去检测目标边缘，但该算法的一个缺点就是很难实现准确的分割。
稀疏水平集区域方法
稀疏水平集区域方法我折腾了好久这个稀疏水平集区域方法，总算找到点门道。
最开始的时候，我对这个稀疏水平集区域方法是完全摸不着头脑的。
我就像在黑暗里乱闯的人一样，到处找资料，看到相关的就拼命读，这个过程就有点像在大海里捞针。
我看了好多学术论文，但是那些公式呀，概念呀，复杂得很。
我记得我第一次尝试用这个方法来处理一个简单的几何图形分类问题。
我就按照论文里大概的步骤去做，但是完全失败了。
为啥呢？我后来才发现，我连最基本的水平集函数初始化都没搞好。
就好比盖房子，连地基都没打平，这个房子肯定盖不好嘛。
那时候我就想，不行，得重新来。
我就从水平集函数的概念开始仔细琢磨。
这就类似于重新去学习造房子的原理，知道每一块砖该怎么放。
我把水平集函数想象成一条有魔力的曲线，它可以根据不同区域的特征变形，就像那种可以自动调整形状的软水管。
我花了好多时间在这个函数上。
后来在尝试设置稀疏性约束条件的时候，我又走了弯路。
我一开始把约束条件弄得特别复杂，结果根本得不到可行的结果。
就好比你想要让马跑得更快，但是你给它挂的东西太重了，它跑不动啊。
后来我简化了这个约束条件，效果才慢慢好起来。
在实际操作这个方法的时候，数据的预处理特别重要。
比如说你的数据如果有很多噪声，那这个稀疏水平集区域方法就可能被干扰。
我有次用这个方法处理一些实际采集的图像数据，就因为没把图像先处理干净，把那些模糊不清的部分去掉，结果最后出来的区域划分乱七八糟的。
很多看似很小的问题都会导致大麻烦。
还有一点就是参数调整，这是个很头疼的事。
有时候你觉得参数稍微改一点点应该没什么问题，其实不然。
就像在煮菜的时候放盐，看起来就加了一小点点，但是可能就会让整道菜变得很咸或者很淡。
所以每调整一个参数都要小心翼翼地做测试。
我觉得要是有人想用这个稀疏水平集区域方法，一定要先把基础知识学扎实了。
不要像我一开始那样，急着去实现，结果有很多基础的地方都没搞清楚。
而且对于每一个步骤都要做一些简单的测试，确保没有问题再往下走。
水平集方法
问题：如何实现追踪 以检测到的运动区域边缘轮廓线为初始曲线，该 曲线包含了运动物体，在梯度力的作用下，曲线 朝目标边缘演化。实现追踪
32
33 (a) Initial curve (b) motion detection result and (c) tracking result
实现检测与追踪的总的能量泛函
10
u u t
水平集方法在曲线演化中 的一些应用
11
如可取
1 1 I
2
12
偏微分方程应用于图像处理的基本思想 1.构造合理的能量泛函 2.用变分法极小化能量泛函得到该泛函的 梯度下降流 3.将梯度下降流转化为相应的偏微分方程
13
例：测地活动轮廓模型
能量泛函： R (C ) 1 g ( I (C (q)) ) C '(q) dq L
水平集方法 在运动目标检测与跟踪中的一些应用
重庆大学行业信息化工程中心 张世征 2011年3月25日
1
主要内容： 一、 水平集方法简介 二、 水平集在运动目标检测与跟 踪中的应用
2
水平集
3
水平集方法（Level set method）
通过把二维平面曲线嵌入到三维曲 面将平面闭曲线的演化问题转化为 三维曲面的演化.
17
本文选取的嵌入函数
18
19
运动目标检测部分（detection）
基本思想： 1.建立判断某一点位于运动目标在两帧图 像中的运动区域边缘的概率函数 2.建立基于该概率函数的能量泛函，极小 化能量泛函使得轮廓线向运动区域边缘 演化并最终到达边缘
20
图像序列 I ( s; t ) 帧间差分图像 D(s; t ) I (s; t ) I (s; t 1) 将差分图像看作动态（mobile）点与静态（static）点 的集合。动态点：在当前帧或前一帧属于运动目标。 静态点：在当前帧和前一帧均属于背景。 假定动态点与静态点均服从相似的概率分布。 本文 中假定服从Laplacian law.
Level Set方法在图像处理中的应用
Level Set方法在图像处理中的应用杨思燕【摘要】针对水平集方法在图像处理中的应用问题,文中对水平集原理进行了阐述,并图示了其具体过程.重点研究了水平集方法在图像分割、图像去噪、图像恢复、图像配准、3D动画中的应用.实验结果表明,与传统的图像处理方法相比,水平集方法在处理形状较复杂、拓扑变化较为明显的图像均具有良好的优越性.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2015(028)007【总页数】4页(P153-156)【关键词】图像处理;水平集;算法【作者】杨思燕【作者单位】陕西广播电视大学计算机与信息管理系,陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】TP391.41水平集(Level Set)方法是一种基于偏微分方程的曲线演化方法，该方法由Sethian 和Osher于1988年提出［1］，近年得到广泛的推广与应用。
简单地讲，Level Set方法是将一些低维的计算上升到更高一维，将N维的描述看作是N+1维的。
Level Set方法的基本思想是将平面闭合曲线隐含地表达为二维曲面函数的水平集，即具有相同函数值的点集，通过Level Set函数曲面的进化隐含地求解曲线的运动。
尽管这种转化使得问题在形式上变得复杂，但在问题的求解上带来便利，其最大的优点在于曲线的拓扑变化能够得到自然地处理，且可获得唯一满足熵条件的弱解。
Level Set最初始的应用领域就是隐含曲线的运动，现在Level Set已广泛应用于图像恢复、图像增强、图像分割、物体跟踪、形状检测与识别、曲面重建、最小曲面、最优化以及流体力学中等。
已有的研究成果成功地将Level Set方法应用于图像分割、图像去噪、图像恢复、图像配准、图像的边缘检测等方面。
Level Set方法应用于图像处理时，虽然针对不同的图像处理，应用的算法有所不同，但它们的基本思想都用到了偏微分方程的曲线演化方法。
引入Level Set方法后，因为上升到更高一维计算，在高维中，拓扑变化便不再是难题，并且在高维中计算更精确、鲁棒。
一种新的水平集图像分割方法
ｌ 引 言
图像 分 割 是 计算 机 视 觉 与 高 层 次 图 像 处 理 的 基础 和 经 典
难 题 自 １ ８ ９ ７年 Ｋ ｓ 等 人 Ｉ 出 主动 轮 廓 模 型 以来 ， 别是 在 ａｓ ｌ ＿ 提 特 Ｏｈｒ Ｓｔａ ｓｅ 和 ｅ ｉ ｈ ｎ提 出 的水 平集 方 法 （ ｖｌｓ ｔｍ ｔｏ ） 钿 何 １ ｅ ｅ ｅ ｄ 几 ｅ ｈ
条 件 下 ． 文模 型 具 有 比 传统 Ｃ 该 Ｖ模 型 和 Ｇ Ｃ模 型 更 高的 演化 效率 和 分 割 质 量 。 Ａ 关 键词 ： 图像 分割 ： 水平 集方 法 ； 地 线 主 动轮 廓 模 型 测 文 章编 号 ：０ ２ ８ ３ （ ｏ ７ １ 一 ｏ ６ ｏ 文献 标 识 码 ： 中 图 分类 号 ： Ｐ ｌ ． １０ — ３ １ ２ ｏ ） ９ ｏ １ 一 ３ Ａ Ｔ９１３ ７
维普资讯
１ ６
２ ０ ，３ １ ） ０ ７ ４ （ ９
Ｃ ｍ ｕｅ ｎ ｉ ｅｉ ｎ ｐ ｌ ａｉ ｓ计 算 机 工 程 与应 用 ｏ ｐ ｔ Ｅ ｇｎ ｒ ｇ ａ ｄ Ａ ｐ ｉ ｔ ｎ ｒ ｅ ｎ ｃ ｏ
一
种新 的水平集图像分 割方法
Ｖ ｓ （ ｄ １ ｎ ｏ ｅｉ ｔ ｅ Ｃ ｎｏ ｒ（ ＡＣ）ｍｏ ｅＩ ｒｅ ｏ ｏ ｅｃ ｍｅ ｌ ｔｔ ｎ ｏ ｏｈ ｍｏ ｅｓｔｅ ｅ ｏｕｉｎ ｆｎ ｔ ｎ ｅ ｅ ＣＶ ｍｏ ｅ ）ａ ｄ Ｇｅ ｄ ｓｃ Ａｃｉ ｏ ｔｕ Ｇ ｖ ｓ ｄ ． ｏｄ ｒｔ ｖ ｒｏ ｉ ａｉ ｆｂ ｔ ｄ ｌ ． ｖ ｌｔ ｕ ｃｉ ｎ ｍｉ ｏ ｈ ｏ ｏ
ｏｐ ｒ ｔｏ ． ｅ ａ ｉ ｎｓ
Ｋｅ ｒ ｓ ｉ ｇ ｅ ｍｅ ｔｔ ｎ； ｖ ｌ ｓ ｔ ｍｅｈ ｄ； ｏ ｅ ｉ ｔ ｅ Ｃｏ ｔ ｕ ｓ ｍｏ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｍａ ｅ ｓ ｇ ｎ ａｉ ｌ ｅ ｅ ｔ ｏ Ｇｅ ｄ ｓｃ Ａｃｉ ｎｏ ｒ ｄ ｏ ｅ ｖ
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水平集图像处理入门 (A TUTORIAL OF LEVEL SET FOR IMAGE PROCESSING)
冯向军(FENG XIANGJUN)
05/29/2006
[内容提要]:本文简明扼要地阐明了水平集技术的基本概念、基本思想、基本方法和基本技术。
通过展示水平集去噪的机理和实效，使读者不难对水平集技术实用于图像处理有个真切的体会。
本文可供图像处理专业的大学生、研究生参考。
附录给出了水平集技术的关键细节：曲率和梯度计算的一个MATLAB程序。
Abstract ---In this report, the basic concepts, basic thought, basic methodology and basic technology of level set technology for image processing were briefly introduced. Undergraduate students and graduate students related with image processing may take this report as a reference.
一、水平集的定义 [1]
与实数c对应的可微函数的水平集是实点集
{(x1, x2, ...,xn) | f(x1, x2,...,xn) = c}
称可微函数f为水平集函数。
[举例]
函数对应于常数c的水平集是
以(0，0，0)为球心，sqrt(c) 为半径的球面。
当 n=2, 称水平集为水平曲线(LEVEL CURVE)。
当 n=3, 称水平集为水平曲面(LEVEL SURFACE)。
二、水平集图像处理的核心思想
水平集图像处理的核心思想是把n维描述视为高一维(n+1)维的水平集,或者说是把n维描述视为有n维变量的水平集函数f的水平集.这样一来就把求解n维描述的演
化过程转化为求解关于有n维变量的水平集函数f的演化所导致的水平集的演化过程。
其要害是通过这种转化，引入了变中的相对不变：水平集函数f的水平c不变。
我们把这种变中的相对不变叫做泛对称。
引入了泛对称，就引入了规律，而引入了规律就能推演出水平集在此规律下依各种具体条件而演化的具体演化方程。
也即是说，引进了泛对称这一规律，我们就有了从一般到特殊的演绎过程的出发点和依据。
这种思想方法的实质是以关系来决定对象。
三、水平集图像处理的奠基性工作
水平集图像处理的奠基性工作包含在下列论文之中
Osher & Sethian ('Fronts propogating with curvature-dependent
speed:Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations', Journal of Computational Physics 79, 12-49, 1988)
以下是开创人之一STANLEY OSHER的样子 [4]
四、水平集图像处理的基本方程
考虑零水平集x(t)所对应的水平集函数，则有
(4-1)
对方程(4-1)两边求关于时间的偏导数,有
(4-2)
假设F为外法向方向的速度，那么
这其中
因此，我们便得到基本方程式
(4-3)
除此基本方程式以外，还有其它一些方程式，它们都能从方程(4-1)推导出来。
基本方程式式(4-3)是水平集函数及相应的水平集在法向力F的推动下的演化方程。
国内外有很多人介绍水平集图像处理的思想时一般都太偏向技术层面，没有看到这思想的实质：以极为普遍的关系:泛对称来决定对象。
通过上述简单推导，读者诸君不难看出这水平集图像处理的精神实质。
五、一般性算法
水平集图像处理的这种思想方法直接形成了一种一般性算法
(1)设定水平集函数的初态；
(2)确定动力F的形式；
(3)按基本方程推演水平集函数的各状态；
(4)对于每一水平集函数的状态求解零水平集。
尽管具体技术细节千变万化，水平集图像处理的算法万变不离其宗，都是围绕上述一般性算法而展开的。
六、水平集技术去噪的机理[2]
所谓水平集技术，就是利用水平集的概念和将求解n维描述的演化转化为求解由于具有n个实变量的水平集函数的演化而导致的水平集的演化这么一种思想方法
来达到某种实用目的的技术。
水平集技术可用于图像去噪。
其机理如下
图6.1 简单曲线
图6.2 不太简单的曲线
图6.3 不简单的曲线
图6.1-6.3给出了曲线的三种类型：简单曲线、不太简单的曲线，不简单的曲线。
我们所感兴趣的是简单曲线。
通俗地说，所谓简单曲线即是无交叉点的曲线。
简单曲线在曲率力的驱动下演化具有一种非常特殊的数学性质。
所谓曲率力就是绝对值与曲线的曲率成比例，而符号与曲率的符号相反的力
F= -bK (6-1)
这其中 K为曲率，而b为比例系数。
三维曲面的曲率可分为平均曲率和高斯曲率。
位于p点的曲面之法截面其曲率叫做法曲率。
法曲率的最大值k1和最小值k2叫做主曲率。
高斯曲率Kg是两种主曲率的乘积，而平均曲率Km是两种主曲率的算术平均值。
高斯曲率 Kg = (k1)(k2) (6-2)
平均曲率Km = (k1+k2)/2 (6-3)
二维由隐函数 g(x,y) = 0 所决定的曲率则可表达为[5]
曲率有正有负，于是在法向曲率力的推动下，曲线的运动方向之间有所不同：
有些部分朝外扩展，而有些部分则朝内运动。
这种情形如下图所示。
图中蓝色箭头处的曲率为负，而绿色箭头处的曲率为正。
简单曲线在曲率力的驱动下演化所具有的一种非常特殊的数学性质是：
一切简单曲线，无论被扭曲得多么严重，只要还是一种简单曲线，那么在曲率力的推动下最终将退化成一个圆，然后消逝。
这是微分几何中的一个著名定理。
正是因为有这种奇特的数学性质，才使得水平集技术用于去噪有了坚实的科学基础。
大家可以看看下面的关于这一数学性质的演示录像。
[2]
/~sethian/Movies/Moviecurvcollapse.mpeg
七、我对水平集去噪机理的MATLAB仿真
我对水平集去噪机理用MATLAB进行了一系列仿真。
7.1 假设水平集函数为
对于y > 0;
对于y <= 0.
我对该水平集函数在平均曲率驱动下的零水平集的演化进行了仿真，其结果如下图所示。
从图中可见，在曲率力的驱动下，半圆逐渐变形、变小，最终归于消逝。
从图中可见，在平均曲率力的驱动下，作为零水平曲面的三维哑铃逐渐形变、变
小，最终归于消逝。
从图中可见，由图中可见，在高斯曲率力的驱动下，作为零水平曲面的三维哑铃也
逐渐形变、变小，最终归于消逝。
但是其变化过程似乎要慢一些。
八、用水平集技术去噪的一个实例
将图像本身的灰度信息作为水平集函数。
让此水平集函数在曲率力作用下运动，即可实现去噪。
下图是我用MATLAB仿真的结果。
这个结果还可以进一步改进。
九、结语
本文是一个关于用于图像处理的水平集技术的入门讲座。
文中注重水平集技术的来龙去脉、基本概念、基本思想、基本方法和基本技术。
参考文献
[1] /LevelSet.html
[2] /~sethian/Movies/Moviecurvcollapse.html
[3]/level_set_methods/index.html#download
[4]/~sjo/
[5]/Curvature.html。