解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

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X*千里之行 始于足下
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，/ O
4. （2017枣庄中考）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三 角板的一直角边重合，含 30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45°角的三角板
的
一个顶点在纸条的另一边上，则/
1的度数是 ________ .
5.如图，AB // CD ，分别探讨下面四个图形中/ 从所得
到的关系中任选一个加以说明. 【方法8】
♦类型一 含一个拐点的平行线问题
1.如图, AB // EF , CD 丄 EF 于点 D.若/ ABC = 40 ° 则/ BCD 的度数为
（ A . 140
B . 130 °
C . 120 °
D . 110
第2题图
2.如图, 已知 AB // DE , / ABC = 70 ° / CDE =
140 ° 则/ BCD 的度数为（
A . 20
B . 30 °
C . 40
D . 70
第4题图
图②
图®
1
3.如图， + /
2+/ 3 =
APC 与/ PAB , / PCD 的关系，请你
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之行始于足下
♦类型二 含两个或多个拐点的平行线问题
6.如图，AB // CD ，用含/ 1,/ 2,/ 3的式子表示/ 4,则/ 4的值为( A ./ 1 + / 2 — / 3 B ./ 1 + / 3—/ 2 C . 180。

+/ 3—/ 1 — / 2 D . / 2+/3 — /
⑶如图③，/
2+/ 3 +/ 4 =
1 + /
2 + /3+/ 4+••• + / n =
第7题图
7.如图，直线 11// 12，/ a=/ 3, / 1 =
40 °
则/ 2 =
&如图，AB //CD ，试解决下列问题:
⑴如图①，/ 2= (2)如图②，/
2+/ 3 = 1 — 180
⑷如图④，试探究/
3
千里之行 始于足下
9. (1)如图①，AB // CD ，则/ 2+/4与/ 1 + / 3+/ 5有何关系？请说明理由;
(2)如图②，AB // CD ，试问/ 2 +/ 4+/ 6与/ 1 + / 3+/ 5+/ 7还有类似的数量关系 吗？
若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论.
D
图②
C D
图③
C D
图®
参考答案与解析
图②
4
^千里之行
始于足下
1.B 解析：过点C 向右作CG // AB ,由题意可得 AB // EF // CG , A / B = / BCG ，/GCD =90° 则/ BCD = 40° + 90°= 130°故选 B.
2. B 解析：如图，过点 C 作CF // DE , / CDE + / DCF = 180° A / DCF = 180° -/ -/ DCF = 70° - 40°= 30°.故选 B. 贝U AB // DE // CF , A / BCF = / ABC = 70 CDE = 180° - 140° = 40° A/ BCD = / BCF
3.
360
4. 15 ° 解析：如图，过 A 点作 AB // a,A/ 1 = / 2. v a // b,A AB / b,A/ 3 =/ 4 =30°.v/ 2+/ 3 = 45° A/
5. 解:女 0图①，过点 P 作 PF // AB ，贝y AB // PF // CD. A / PAB =/ APF , / PCD = / FPC , A. / APC = / APF + / FPC
= / D
C 图③
「图④D
如图②，
=180° A/ 过点 P 作 PF // AB ,贝 y AB // PF // CD. A / PAB +/ APF = 180° APC + / PAB +/ PCD = 360°
/ PCD + / FPC
过点 -o
如图③， + / PCD = 180° P 作 PF // AB,贝 U PF // AB// CD.A / FPA +/ PAB = 180° •••/ PAB = / APC+/ PCD ;
/ FPA +/ APC
如图④，过点 / PCD , A / PAB+/ APC = / PCD.
P 作 PF // AB 」PF // AB // CD. A / FPA=/ PAB, / FPA +/ APC =
解析：如图，过点 E 作 EG // AB ,过点F 作FH // CD.v AB // CD ,
A. AB // CD // EG// FH , A / 1 = / AEG , A / GEF = / 2-/ 1. v EG // FH , A / EFH = 180° 1, A. / CFH =/ 3-/ EFH =/ 3 — (180 ° — A. / 4 =/ CFH =/ 3 +/ 2-/ 1 — 180°.故选 -/ GEF = 180° - (/ 2-/ 1) = 180°—/ 2+/ / 2 +/ 1) =/ 3+/ 2-/ 1- 180°. •/ FH // CD , D.
FAB +/ PCD ;
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千里之行 始于足下
AE 交 12 于点 B.V l 1 / l 2, •/ 3 =/ 1 = 40 °. •// a=/ 3,
2 = 180° — / 3= 180° — 40°= 140°
(2)如图②，过点E 作直线 =180° / FEC +/ 3 = 180° •/ 1 + / 2+/ 3= 360°
(3)过点 E , F 作 EG , FH 平行于 AB.v AB / CD , •• AB // EG // FH // CD ，
•/
=180° , / GEF + / EFH = 180° / HFC +/ 4= 180° ••/ 1 + / 2 + / 3 + / 4= 540° ⑷根据上述规律，显然作(n — 2)条辅助线，运用(n — 1)次两条直线平行，同旁内角互补, 即可得到n 个角的和是(n — 1)-180°
9.解：⑴/ 2+/ 4=/ 1 + / 3 +/5.理由如下：如图，分别过点 E , G , M 作EF // AB , GH // AB , MN // AB. ••• AB // CD , • AB // CD // EF // GH // MN ，•/ 1 =/ BEF , / FEG = / EGH , / HGM =/ GMN , / CMN =/ 5，•/ 2+/ 4=/ BEF + / FEG + / GMN +/ CMN =/ 1 + / EGH +/ MGH +/ 5=/ 1 + / 3+/ 5.
7. ••• AB 140解析：如图，延长
CD..../ 2+/ 3 = 180° •••/ (1)180 ° (2)360 ° (3)540 解析：(1)如图①，••• AB //CD , 图①
⑷(n — 1) 180
•••/ 1+/ 2= 180°
fl
A
B
G
二 H
~D 图③
A B E ------ F N ______
C 图④
EF 平行于 AB.TAB // CD , A AB // 1 + / AEF
1 + / AEG
A
(2)/ 2 +/ 4+/ 6=/ 1 + / 3+/ 5+/ 7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝右的所有角的度数之和相等.
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^千里之行始于足下。