专训1 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
平行线的判定一、选择题（共2小题；共10分）1. 如图，若，则下列结论正确的是T1 T2 T3 T4 T5A. B. C. D.2. 如图，平分，且，由此可以得出的结论是A. B.C. 平分D. 平分二、填空题（共5小题；共25分）3. 如图，若，则当时，直线．4. 如图，若，则若使，则需．5. 如图，请在括号内填上正确的理由：因为（已知），所以（）．6. 如图所示，已知，，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判定，你添加的条件是．（填一个即可）T6 T7 T87. 如图，若，则；若，则．三、解答题（共1小题；共13分）8. 已知：，，．与平行吗?请说明理由．补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．解：．理由如下：，（），= （垂直的定义）．（），（），（）．四、选择题（共2小题；共10分）9. 如图，直线，被直线所截，对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到的是A. B. C. D.10. 如图，，且，则直线，的位置关系是T9 T10 T11A. 相交B. 平行C. 垂直D. 无法确定五、解答题（共1小题；共13分）11. 如图，，与平行吗?为什么?补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．解：．理由如下：（），（），（等量代换），（）．六、选择题（共2小题；共10分）12. 如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是T12 T13 T14A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行C. 同旁内角互补，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等13. 如图，下列说法错误的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则七、填空题（共1小题；共5分）14. 如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段，，，，，中，相互平行的线段有组．15. 如图所示，平分，．Ⅰ你能推出哪两条直线平行?写出推理过程；Ⅱ如果要推出另两条线段平行，那么上述两个条件之一应如何改变?16. 如图，，，与平行吗?为什么?17. 如图，平分，平分，，试判断与的位置关系，并说明理由．18. 如图所示，当与，满足条件时，可以判定．Ⅰ在横线处填上一个条件；Ⅱ试说明你填写的条件的正确性．与相交线、平行线相关的四类角的计算一、选择题（共1小题；共5分）1. 如图，直线与相交于点，．若，则T1 T2 T3 T4A. B. C. D.二、填空题（共3小题；共15分）2. 如图，直线，相交于点，平分．若，则度．3. 如图，已知于点，是过点的直线，且，则．4. 如图，于点，平分，，则的度数为．三、解答题（共2小题；共26分）5. 如图，两直线，相交于点，平分，．Ⅰ求的茺数；Ⅱ若，求的度数．6. 如图，已知，，．试说明：．四、选择题（共1小题；共5分）7. 如图，与互补，，则的度数是A. B. C. D.五、解答题（共1小题；共13分）8. 如图，，，，求的度数．应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法一、选择题（共1小题；共5分）1. 如图，，于点，若，则A. B. C. D.二、解答题（共5小题；共65分）3. （1）如图①，若，，．求的度数；Ⅱ 如图①，在的条件下，你能得出，，之间的数量关系吗?请说明理由；Ⅲ 如图②，，根据（2）中的猜想，直接写出的度数．4. 如图，，则，，有何关系?为什么?5. 如图，已知，，，求的度数．6. （1）在图①中，，则与有何关系?Ⅱ 在图②中，若，又能得到什么结论?。
初中数学辅助线专题
初中数学辅助线专题初中数学辅助线专题在初中数学中，辅助线是一个常用的解题技巧。
它可以帮助我们简化问题、寻找规律、搭建思维框架，提高解题效率。
下面将介绍几种常见的辅助线及其运用。
1. 垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段或角度垂直的辅助线。
通过画垂直辅助线，可以将问题中的图形分解为更简单的部分，从而更容易求解。
例如，在解决正方形内接圆问题时，可以通过画一条从正方形的一个顶点到内接圆心的垂直辅助线，将问题转化为求直角三角形的斜边长。
2. 平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段或角度平行的辅助线。
通过画平行辅助线，可以将问题中的图形分割为更容易处理的几何图形，为解题提供方便。
例如，在解决平行四边形面积问题时，可以通过画一条平行于底边的辅助线，将问题转化为求两个三角形的面积。
3. 对称辅助线：对称辅助线是指通过已知图形中心的辅助线。
通过画对称辅助线，可以将问题中的图形分割为相等的部分，并且可以利用对称性质解题。
例如，在解决正多边形内角和问题时，可以通过画一条从正多边形中心到顶点的辅助线，将问题转化为求正多边形的内角和与外角和。
4. 中位线：中位线是指连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
中位线具有许多特殊性质，例如三角形三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
通过画中位线，可以将问题中的三角形分割为更简单的几何图形，进而解决问题。
除了以上介绍的辅助线，还有许多其他类型的辅助线可以应用于解决不同类型的数学问题。
当我们遇到一个复杂的几何问题时，可以尝试使用辅助线来简化问题，找到解题的突破口。
通过熟练掌握辅助线的使用技巧，并灵活运用，我们可以更加高效地解决数学问题。
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。
平行线可以用于解决许多几何问题。
有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。
这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。
方法一：创建平行线之间的等距线段这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。
这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。
下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。
然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。
这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。
方法二：使用交叉线段这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。
这种方法通常用于证明几何性质。
例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。
然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。
方法三：利用平行线之间的相似三角形利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。
通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。
然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。
例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。
通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。
这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。
方法四：利用中位线和对角线这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。
这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。
例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。
通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。
初中数学做辅助线的方法总结
初中数学做辅助线的方法总结
在初中数学中，做辅助线是解题的重要方法之一。
以下总结了几
种常见的做辅助线的方法：
1. 对称性辅助线法：当一个图形或方程式具有对称性时，可以
画出一条对称轴或一些对称线，从而利用对称性来简化问题。
例如，
在求三角形的中线长度相等定理时，可以描绘出三角形的垂直平分线，并在中点处作垂线，得到两个相等的直角三角形。
2. 垂线辅助线法：当一个角、线段或线段的垂线很难直接操作时，可以画出一条垂线，将问题转化为一个直角三角形问题。
例如，
在求一条线段的垂线长度时，可以先画出一条垂线与该线段相交，并
组成一个直角三角形。
3. 平移辅助线法：当一个几何图形或方程式涉及到平移时，可
以通过向图形或方程式添加平移线或平移量来使问题变得简单。
例如，在证明平行四边形对角线平分的定理时，可以平移一个平行四边形，
使其成为一个重合的平行四边形，从而使问题变得简单。
4. 分割辅助线法：当一个图形或方程式很复杂时，可以通过将
其分解成几个简单的部分来解题。
例如，在求多边形面积时，可以将
多边形分割成几个三角形或梯形，并将它们的面积相加，从而得到多
边形的面积。
总之，做辅助线的方法不只有以上四种，还可以根据具体问题的
不同情况选用其他的方法。
需要注意的是，在使用辅助线时，要注意
画出清晰的图形，并理解各种辅助线的作用，才能有效地解决问题。
初中数学：几何巧画辅助线技巧
几何巧画辅助线的技巧基本图形的辅助线的画法1、三角形类问题添加辅助线方法（1）有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
（2）含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
（3）结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
（4）结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3、梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰；（2）梯形外平移一腰；（3）梯形内平移两腰；（4）延长两腰；（5）过梯形上底的两端点向下底作高；（6）平移对角线；（7）连接梯形一顶点及一腰的中点；（8）过一腰的中点作另一腰的平行线；（9）作中位线。
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
平行线中作辅助线的方法
A
B
解： ∠AEC =∠A+∠C 理由：过E点作EF∥AB
F E
∴∠A +∠AEF=180°
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠C +∠CEF=180°
∴∠A +∠AEF+∠C +∠CEF=360°
∵∠AEF+∠AEC+∠CEF=360°
∴ ∠AEC=∠A+∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
G
D
∴∠1=∠HEF=50°
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠2+∠FEG=180°
∴∠3=180°-∠FEG-∠HEF
∴FEG=70°
=60°
典例精讲
A
H
13
B
如图,AB∥CD,∠1=50°,
E
∠2=110°则∠3=___6_0_°_____. C 2
方法二：延长HF与CD交于点F.
G
FD
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD ∴∠C = ∠CEF
F E
∵ ∠AEC= ∠AEF－∠CEF
∴ ∠AEC= ∠A －∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
∠C的关系，并说明理由。
A
B
解： ∠AEC =∠C －∠A
理由：过E点作EF∥AB
∴∠A = ∠AEF
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
A F
M C
B N
E D
典例精讲
如图：AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求证： ∠BFE=∠FEC 。
A
B
初中几何中常用的辅助线方法的资料
初中几何是学生学习几何知识的基础阶段，掌握正确的辅助线技巧对于解决几何问题至关重要。
下面是一份关于初中几何中常用的辅助线方法的资料，希望能帮助到您。
一、基本概念辅助线：在解决几何问题时，为了更好地展现图形的性质或构建所需的条件，临时添加的线段称为辅助线。
辅助线不改变原图形的基本结构，但能帮助我们发现解题的关键线索。
二、常用辅助线方法1. 过顶点作垂线●应用场景：证明直角、等腰三角形的性质，求解高、距离等问题。
●示例：证明一个三角形是直角三角形时，可以尝试从一个顶点向对边作垂线，利用勾股定理。
2. 连接中点●应用场景：证明线段倍长、中位线性质、平行四边形和梯形的构造。
●示例：证明两条线段相等时，连接它们的中点，利用中位线定理。
3. 平行线构造●应用场景：形成相似三角形、构造平行四边形、证明角度关系。
●示例：为证明两个角相等，可以在其中一个角的一边上作一条平行于另一角所在直线的辅助线，从而构成一对内错角或同位角。
4. 过顶点作平行线●应用场景：构造全等三角形、证明角平分线性质。
●示例：证明两角相等时，可以从一个角的顶点出发作一条平行于另一个角一边的线，这样可以构造出一组等角的三角形。
5. 延长线段●应用场景：寻找共线点、证明交比不变、构造平行线。
●示例：当需要证明四点共线时，延长某些线段，利用交叉线段的比值相等来证明。
6. 作角平分线或垂直平分线●应用场景：证明等腰三角形、等边三角形性质，解决与圆相关的几何问题。
●示例：证明一个点在三角形某边的垂直平分线上，可以过该点作这条边的垂线，利用垂直平分线的性质。
三、技巧总结1.观察图形特征：首先分析图形的已知条件和所求目标，根据图形的特殊形状或已知条件选择合适的辅助线方法。
2.尝试多种方案：有时候，一种辅助线方法可能不足以解决问题，需要尝试几种不同的方法。
3.灵活运用定理：熟练掌握各种几何定理，并能灵活应用到辅助线的构造中。
4.练习与总结：多做练习，每次解题后总结辅助线的使用经验，逐步提高解题效率。
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专训1应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起．
加截线（连接两点或延长线段相交）
1．【中考·河北】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（）
A．120°B．130°
C．140°D．150°
（第1题）
过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
（第2题）
b．“”形图
3．（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数；
（2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明
理由；
（3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
（第3题）
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
（第4题）
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
（第5题）
e．“”形图
6．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
（2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
（第6题）
平行线间多折点角度问题探究
7．（1）在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？
（第7题）
答案
1．C
2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.
∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
(第2题)
3．解：(1)过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD ＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴∠BCD ＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.
(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF －∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.
点拨：已知图形中有平行线和折线时，常过折点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．
(第4题)
(第5题)
5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE ＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF ＝72°.
6．解：(1)过E点向左侧作EF∥AB，则∠B＋∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°－∠B＝50°，又∵AB∥CD，且EF∥AB，
∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C＝30°，
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过E点向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C，
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°，
即∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
(第7题)
7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠E n＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠F n－1＋∠D.。