三角形四心的向量特征及应用
三角形四心的向量性质及应用 学生版
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五．欧拉线： △ABC 的外心 O ，重心 G ，垂心 H 三点共线(欧拉线)，且 OG 1 GH ． 2
测试题
一．选择题
1． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC) ， 0, ，
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )
A．外心
B．内心
8．在 △ABC 中，动点
P
2
满足： CA
2
CB
2 AB
CP
，则
P
点轨迹一定通过△ABC
的(
)
Ａ．外心 Ｂ．内心 C．重心 D．垂心
9．已知 ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ，满足 PA PB PC 0 ，若实数 满足： AB AC AP ，
则 的值为(
A．2
)
B． 3 2
，若
2
AB
AB
AC
AB CB
BC CA ，则 ABC 为(
)
A．等腰三角形 二．填空题
C．重心
D．垂心
2．(03 全国理 4) O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0, ，
AB AC
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的(
)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， R ， AB cosB AC cosC
变式：已知 D，E，F 分别为 △ABC 的边 BC，AC，AB 的中点．则 AD BE CF 0 ．
二、三角形的外心的向量表示及应用
2
2
向量与三角形的四心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321yy y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图 OC OB OA ++2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔ 同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴b ACc AB+平分BAC ∠,(λ=∴AO b c +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bc ++=（b ACc AB+) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA aB CDB CD（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心中点. 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的2=+ ∴λ2+=+=AD AP λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +⋅+B CDC+=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．34 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
三角形“四心”优美的向量统一形式
三角形“四心”优美的向量统一形式三角形是几何学中的重要概念，其形状可以通过边长和角度来描述。
而在研究三角形的过程中，人们发现了一些特殊点，被称为“四心”。
这四个心分别是外心、内心、垂心和重心。
本文将从向量的角度探讨这四个心，并给出它们的统一形式。
1. 外心外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，使得三个顶点都在同一条圆周上的点。
可以用向量表示外心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
向量的加法满足三角形的形状，即A→+A→+A→=A→。
则外心A→可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/32. 内心内心是指三角形内切圆的圆心，即与三条边都相切的圆的圆心。
同样可以用向量表示内心。
设三角形的边向量分别为A→、A→、A→，则内心I→可以表示为：A→=(A→AA+A→AA+A→AA)/(A→A+A→A+A→A)其中，A→A、A→A、A→A分别为边向量A→、A→、A→的单位向量。
3. 垂心垂心是指三角形的三条高线交于一点的点。
同样可以用向量表示垂心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
则垂心H→可以表示为：A→=A→+A→+A→4. 重心重心是指三角形的三条中线交于一点的点。
同样可以用向量表示重心。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对应的向量分别为A→、A→、A→。
则重心G→可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/3综上所述，四个心的向量统一形式可以表示为：A→=(A→+A→+A→)/3A→=(A→AA+A→AA+A→AA)/(A→A+A→A+A→A)A→=A→+A→+A→A→=(A→+A→+A→)/3这样的向量统一形式在研究三角形时具有很大的应用价值。
通过向量的使用，我们可以更加方便地计算并理解三角形“四心”的几何性质。
这种统一形式为解决三角形相关问题提供了一种新的思路和方法。
结论本文从向量的角度，对三角形的“四心”进行了探讨，并给出了它们的统一向量表示形式。
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
中学数学研究
41
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 陈水松
一、三角形四心的表述与性质
(一) 重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角
形的重心. 重心将中线长度分成 2: 1 的两部分. 1. −O→A + −O−→B + −O−→C = −→0 ⇔O 是 △ABC 的重心.
AC BC −→ + −−→
.
|AC| |BC|
|−B−B+−−→ →CCb| −B)−→C, 所
= 以
4.
−−→ PO
=
−→ aP A
−−→ + bP B + a+b+c
−−→ cP C
⇔
O
为
△ABC
的内心,
P 为平面上任意点.
(二) 垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂
证明
因为
O
为
△ABC
证 法 1 设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
−→ −−→ −−→ OA+OB+OC
=
−→0
⇔
x=
x1 + x2 + x3
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x) = 0 (y1 − y) + (y2 − y) + (y3 − y) = 0
=
−→0 ,
所以
−→ AO
=
2−O−→D,
所以
A、O、D
三点共线,
(2021年整理)三角形四心与向量
三角形四心与向量编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形四心与向量）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为三角形四心与向量的全部内容。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心。
2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故C tan B tan A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==（或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(OC |BC ||BA |(OB AC|AB |(OA =⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁.如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
三角形四心的向量性质
三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GCGB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a 3cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GCCF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴图3图2BCHA图60=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+，1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
向量中三角形四心的结论和推导
向量中三角形四心的结论和推导一、引言在平面几何中，一个三角形有四个特殊的点，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这些点被称为三角形的四心。
在向量中，我们也可以推导出三角形的四心的坐标。
二、定义1. 向量向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 三角形三角形是由三条线段连接而成的图形。
它有三个顶点和三条边。
3. 重心重心是连接三角形每个顶点与对边中点所得线段交于一点的点。
4. 外心外接圆是通过三角形每个顶点并且垂直于对边所得圆。
外接圆圆心就是外心。
5. 内心内切圆是切于三角形每一条边并且内部没有其他点在其内部所得圆。
内切圆圆心就是内心。
6. 垂心垂足分别位于每条高线上，高线即从某个顶点垂直于对边所得线段。
7. 四边形四边形是由四条线段连接而成的图形。
它有四个顶点和四条边。
8. 向量的运算向量的加法：向量相加就是将它们的坐标对应位相加。
向量的减法：向量相减就是将它们的坐标对应位相减。
向量的数量积：两个向量之间的数量积等于这两个向量模长之积与这两个向量夹角余弦值之积。
三、结论1. 重心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则重心G坐标为：G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)2. 外心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则外心O坐标为：OA = OB = OC = R其中R为外接圆半径，有以下公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中a、b、c分别为三角形ABC三条边长度，A、B、C分别为对应角度。
O = ((x1^2+y1^2)(y2-y3)+(x2^2+y2^2)(y3-y1)+(x3^2+y3^2)(y1-y2))/(2(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))), ((x1^2+y1^2)(x3-x2)+(x2^2+y2^2)(x1-x3)+(x3^2+y3^2)(x2-x1))/(2(y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)))其中，(x,y)为向量的坐标。
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本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期三角形“四心”的向量特征及应用浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353）翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考.1 三角形重心的向量特征定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(31−+−=−. 故0=++GC GB GA .由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB .即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=31, 故.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为=++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论.推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠⋅⋅λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知,点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S .由于)''sin ''21(:)sin 21(:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠⋅⋅∠⋅⋅=ΔΔ ||||1'21'λλ⋅=⋅=PB PB PA PA ,即||||21''λλ⋅=ΔΔPB A APB S S ,同理||||32''λλ⋅=ΔΔPC B BPC S S ,||||13''λλ⋅=ΔΔPA C CPA S S ,故||||:||||::32''21''λλλλ⋅⋅=ΔΔΔΔΔPC B PB A CPA BPC APB S S S S S ||||:13''λλ⋅ΔPA C S ||:||:||213λλλ=. 说明 该推论多次出现在高中数学联赛试题中,如2006年高中数学联赛吉林省预赛第11题和陕西省预赛第5题,2008年高中数学联赛江苏省预赛第8题.例1（2006年全国高中数学联赛陕西省预赛）设点P 为ABC Δ内一点，且5152+=. 则ABP Δ的面积与ABC Δ的面积之比等于____________.解 由于5152+=,则)(51)(52−+−=−,即 22=++,根据推论1得, 2:2:1::=ΔΔΔCPA BPC APB S S S ,故. 5:1:=ΔΔABC ABP S S 2 三角形垂心的向量特征引理 已知H 为ABC Δ的垂心,则存在实数λ,使得)cos cos (B c C b ⋅+⋅=λ.其中为中所对的边.c b ,ABC ΔC B ∠,∠证明 如图3设==,,则−=.设(x +)⊥,则0cos )1()1()()(2222=⋅−++−=⋅−++−=−⋅+A bc x xb c x x x . 则Cb Bc C ab B ac c b a b c a a c b b a c b c A bc b A bc c x cos cos cos 2cos 2)(21)(21cos cos 2222222222222222⋅⋅=⋅⋅=−+−+=−+−−+−=⋅−⋅−=, 则)cos cos (C b B c ⋅⋅+⊥，即B c C b ⊥⋅+⋅)cos cos (. 故与B c C b cos cos ⋅+⋅共线,则存在实数λ,使得)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ.例2 已知O 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足AB C ，，P cos cos AB AC OP OA B AC C λ⎛⎞⎜=++⎜⎟⎝⎠u AB ⎟uu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点的轨迹一定通过△的 P ABC _________.(填重心,垂心,内心,外心)解 由cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎞⎜⎟=++⎜⎟⎝⎠uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,则cos ||cos ||(C AC B AB ⋅+⋅=λ,由于B c C b cos cos ⋅+⋅C AC B AB cos ||cos ||⋅⋅共线,根据上述引理,得⊥,动点的轨迹一定通过的垂心.P ABC △定理2 已知H 为非直角的垂心,记ABC ΔCHA BHC AHB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ则tan tan tan =++C B A ,且|tan |:|tan |::A C S S S CHA BHC AHB =ΔΔΔ|tan :|B . 证明 根据引理,)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ……………………①. 同理]cos )cos cos [(]cos cos [A c A c C a C a A c ⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅=μμ. 则A c A c C a cos )cos cos 1(⋅+⋅−⋅−=+=μμμ…………………②. 根据平面向量基本定理,在同一组基底,下同一个向量表示唯一,则⎩⎨⎧⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅−=⋅⋅A c B c A c C a C b cos cos cos cos 1cos μλμμλ , 解得bA C a CB c B A A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos λ. bA C a CB c B A bC A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos cos 则 bA C a CB c B A c B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+cos cos cos cos cos cos cos cos . 又HA HC AC HAHB AB −=−=，,代入上式化简得 cos cos cos cos cos cos =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A c C A b C B a ,再由正弦定理即得cos cos sin cos cos sin cos cos sin =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A C C A B C B A . 即tan tan tan =++C B A .根据推论1得,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ::|tan |:|tan |:|tan |B A C =.说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)H 为非直角ABC Δ的垂心的充要条件为tan tan tan =++C B A .(2) C AC B AB cos ||cos ||⋅+⋅共线.例3 (2006年武汉高三模拟试题)设H 为ABC Δ的垂心,6,5===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值.n m +解 由题易得34tan tan ,724tan ===C B A ,根据定理2得 03434724=++HC HB HA ,另一方面n m +=,即 0)()()1(=−+−+−HC n HB m n HA m ,从而nm n m 34)(34)1(724−=−=−,解得 327,3214==n m ,故3221=+n m . 3 三角形内心的向量特征定理3 已知I 为ABC Δ的内心,记CIA BIC AIB ΔΔΔ,,的面积为,,,CIA BIC AIB S S S ΔΔΔ则=++c b a ,且b a c S S S CIA BIC AIB ::::=ΔΔΔ.证明 如图4，与bAC c AB +共线,则存在实数λ,使得 )(AC c AB b AI +=λ,同理存在实数μ,使得AC c AB c a BC c BA a BI μμμμ+−−=+=)()(. 则c c a μμμ+−−=+=)1(.根据平面向量基本定理得,得⎩⎨⎧=−−=c c c a b μλμμλ1c b a ++=1λ. 则cb ac c b a b +++++=.又−=−=,代入此式得 0=++IC c IB b IA a .根据推论1, 即得b a c S S S CIA BIC AIB ::::=ΔΔΔ.说明 我们还可以得到更进一步的结果: I 为ABC Δ的内心的充要条件为=++c b a . 例4 设I 为的内心,ABC Δ6,4,3===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值. n m , 解 由题设条件和定理3得,0346=++IC IB IA .另一方面由BC n AB m AI +=得)()()1(=−+−+−n m n m ,从而有3461n m n m −=−=−,解得133,137==n m . 4 三角形外心的向量特征 定理4 已知为O ABC Δ的外心,记COA BOC AOB ΔΔΔ,,的面积为,,,COA BOC AOB S S S ΔΔΔ则2sin 2sin 2sin =++C B A 且|2sin |:|2sin |::A C S S S COA BOC AOB =ΔΔ|2sin :|B .证明 如图5设分别是中边上的中点，根据引理，得F E ,ABC ΔAC BC ,)cos cos (),cos cos (BA C a BC A c FO AB C b AC B c EO ⋅+⋅=⋅+⋅=μλ, 则)cos cos (2121C b B c ⋅+⋅++=+=λ B c C b )cos 21()cos 21(⋅++⋅+=λλ. 另一方面 )cos cos (21BA C a BC A c AC FO AF AO ⋅+⋅+=+=μ AC A c AB A c C a )cos 21()cos cos (⋅++⋅−⋅−=μμμ. 根据平面向量基本定理得⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+⋅−⋅−=⋅+A c B c Ac C a C b cos 21cos 21cos cos cos 21μλμμλ. 解得bA C a CB c B A A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=cos cos cos cos cos cos cos 21λ,代入①式得 则+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=b A C a C Bc B A a C B c B A )cos cos cos cos cos (cos 2cos cos cos cos AC b A C a C B c B A b A C a C B )cos cos cos cos cos (cos 2cos cos cos cos ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅. 又OA OC AC OA OB AB −=−=,代入化简得)cos cos sin cos cos (sin )cos cos sin cos cos (sin )cos cos sin cos cos (sin =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅OC C A B C B A B A C C B A B A C C A B 即2sin 2sin 2sin =++C B A .又根据推论1得|2sin |:|2sin |:|2sin |::B A C S S S COA BOC AOB =ΔΔ.说明 我们还可以得到更进一步的结果:为O ABC Δ的外心的充要条件为 2sin 2sin 2sin =++C B A .例5 设为的外心,O ABC Δ6,5===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值. n m , 解 根据定理4得02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A ,鉴于ABC Δ为非直角三角形,此式子 等于)tan (tan )tan (tan )tan (tan .易得=+++++B A C A C B34tan tan ,724tan ===C B A ,则0252514=++OC OB OA ,另一方面AB m AO =, n +,则)()()1(=−+−+−n m n m ,从而2525141n m n m −=−=−,解得6425,3225==n m . 由此我们得到了三角形“四心”的向量特征，根据这些结果我们就可以比较方便地去探究 三角形“四心”之间的相互关系，便得到下面两个推论.推论2 已知分别是非直角△ABC 的外心和垂心,则H O ,OC OB OA OH ++=.证明 由于H 为ABC Δ的垂心,则根据定理2,得0tan tan tan =++HC C HB B HA A ,则)(tan )(tan )(tan =−+−+−C B A ,即OB CB A B OAC B A A OH tan tan tan tan tan tan tan tan +++++= CB AC tan tan tan tan +++. 又由于C B A B CB A A )1tan tan tan tan ()1tan tan tan tan (−+++−++C B A C )1tan tan tan tan (−+++C A C B CB A )tan (tan )tan [(tan tan tan tan 1+++++= ])tan (tan OC B A ++OA A CB AC B A 2(sin cos cos cos 21tan tan tan 1⋅⋅⋅++= )2sin 2sin OC C OB B ++.又O 为的外心,由定理4,得ABC Δ2sin 2sin 2sin =++C B A . 故CB AC C B A B C B A A tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan ++++++++= OC OB OA ++=.说明 结合图6,该推论也可以比较简便地利用几何关系证明.该推论是2005年全国卷I 第15题. 推论3 已知O 、G 、H 分别是非直角△ABC 的外心、重心、垂心,则OH OG 31=. 证明 由推论1 得OC OB OA OH ++=,另一方面,由定理1,G 为△ABC 的重心得=++,则 )()()(=−+−+−,即)(31OC OB OA OG ++=.故OH OG 31=. 说明 该推论事实上就是著名的“欧拉定理”的向量形式：非直角三角形的重心在其垂心和外心的连线上(该线段称为欧拉线)，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的2倍.参考文献:[1] 卢琼.平面向量基本定理的面积表示及其应用.数学通讯,2007(1).。