平行线间的折线问题
(完整版)平行线及其判定与性质练习题
平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。
(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。
（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。
（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。
(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。
（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。
初中数学：单元整体分析《平行线》
平行线单元整体分析一、单元内容分析1.本单元学习的大概念是几何图形。
2.本单元研究了两条直线以及它们被第三条直线所截产生的同位角、内错角、同旁内角的识别，通过平行线的性质和判定，探索“三线”和“八角”之间的内在联系。
3.通过本单元的学习，依托对三线八角的数量与位置关系研究，揭示平行线的性质与判定本质，培养有条理的进行思考、符合逻辑地进行表达的能力，发展直观想象和逻辑推理能力，初步形成研究平面图形的一般思路。
二、课标分析1.内容要求（1）识别同位角、内错角、同旁内角.（2）理解平行线的概念.（3）掌握平行线基本事实I：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.（4）掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（5）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.（6）掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
*了解定理的证明（例74）.（7）探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.（8）能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.（9）能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.（新增）（10）了解平行于同一条直线的两条直线平行.2.学业要求：通过生活实例抽象出“三线八角”数学模型及平行线模型，探究“三线八角”之间的关系及平行线的基本性质及判定方法，灵活选择平行线的性质和判定，解决数学问题与实际问题，说出解决问题过程中的注意事项。
3.教学提示通过识别两条直线被第三条直线所得的同位角、内错角、同旁内角，帮助学生进一步去进行图形的抽象,通过平行线的性质和判定，体会“三线”与“八角”之间的内在联系，实现数学知识和思想的螺旋式上升。
三、教材分析本单元的内容是平面内两条直线平行的性质和判定。
教科书首先以章头图为实例使学生感受现实生活中广泛存在的平行线的形象。
衔接教材09 平行线分线段成比例定理(解析版)
衔接教材09 平行线分线段成比例定理知识点讲解在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有ABDE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.经典例题解析例1 如图， 123////l l l ，且2,3,4,ABBC DF 求,DE EF . 解 1232////,,3AB DE l l l BC EF 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DE AB AC BC ==. 证法（一）：//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴∽ABC ，.AD AE DE AB AC BC∴== 证法（二）： 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AE AB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴== .AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 例3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.解 假设能找到，如图，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .//,EG AC EF FC =，∴EGF CDF ≅，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：AB BD AC DC. 证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ， //,.BABD AD CE AE DCAD 平分,,BAC BAD DAC由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE,,E ACE AEAC 即 ABBD AC DC. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 实时训练一、单选题1．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ）A ．AD CE BC DF =B ．AD BC BE AF = C ．AB CD CD EF = D ．AD DF BC CE= 【答案】D【分析】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．【详解】解：∵l 1∵l 2∵l 3，∵ADDF=BCCE，即ADBC=DFCE，所以A选项错误，D选项正确；AD AF =BCBE，所以B选项错误；同理C选项也错误．故选D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．2．关于某一点成中心对称的两个图形，下列说法中，正确的个数有（）①这两个图形完全重合；②对称点的连线互相平行③对称点所连的线段相等；④对称点的连线相交于一点；⑤对称点所连的线段被同一点平分⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】【分析】根据对称中心图形的性质分别判断得出即可．【详解】①这两个图形能够完全重合，此选项错误；②对称点的连线应相交于一点，故此选项错误；③对称点所连的线段不一定相等，此选项错误；④对称点的连线相交于一点，此选项正确；⑤对称点所连的线段被同一点平分，此选项正确；⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等，此选项正确．故正确的有3个．故选：A．【点睛】此题主要考查了对称图形的性质，根据其定义得出是解题关键．二、填空题3．在ABCD中, ∥A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为_____.【答案】20cm或22cm；【分析】∵A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∵A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明∵ABE 是等腰三角形，分别求周长．【详解】解：设∵A的平分线交BC于E点，∵AD∵BC，∵∵BEA=∵DAE，又∵BAE=∵DAE，∵∵BEA=∵BAE∵AB=BE．而BC=3+4=7．①当BE=4时，AB=BE=4，∵ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22；②当BE=3时，AB=BE=3，∵ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20．所以∵ABCD的周长为22cm或20cm．故答案为22cm或20cm．【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三、解答题4．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.已知（如图）1l∥2l∥3l，求证：AB DE BC EF.【答案】见解析.【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证．【详解】证明：如图，过点E 作直线MN∵AC ，交1l 、3l 于点G 、H ，∵1l ∵2l ∵3l ，MN∵AC ，∵四边形ABEG 、BCHE 是平行四边形∵AB=GE,BC=EH,且DGH ,GHF GDF DFH ∠=∠∠=∠∵∵DGE∵∵FHE ， ∵DE GE AB EF HE BC== 即AB DE BC EF = 原题得证．【点睛】本题考察了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定．通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键．5．为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC 、CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50B ∠=︒，85C ∠=︒，35D ∠=︒，判断AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若35C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD 求出此时B 的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85C ∠=︒，35D ∠=︒，//AB DE ，请直接写出此时B 的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）35°或145°，画图、过程见解析；（3）50°或130°或60°或120°【分析】（1）过点C 作CF ∵AB ，根据∵B =50°，∵C =85°，∵D =35°，即可得CF ∵ED ，进而可以判断AB 平行于ED ； （2）根据题意作AB ∵CD ，即可∵B =∵C =35°；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∵B 的度数．【详解】解：（1）AB 平行于ED ，理由如下：如图2，过点C 作CF ∵AB ，∵∵BCF =∵B =50°，∵∵BCD =85°，∵∵FCD =85°-50°=35°，∵∵D =35°，∵∵FCD =∵D ，∵CF ∵ED ，∵CF ∵AB ，∵AB ∵ED ；（2）如图，即为所求作的图形．∵AB∵CD，∵∵ABC=∵C=35°，∵∵B的度数为：35°；∵A′B∵CD，∵∵ABC+∵C=180°，∵∵B的度数为：145°；∵∵B的度数为：35°或145°；（3）如图2，过点C作CF∵AB，∵AB∵DE，∵CF∵DE，∵∵FCD=∵D=35°，∵∵BCD=85°，∵∵BCF=85°-35°=50°，∵∵B=∵BCF=50°．答：∵B的度数为50°．如图5，过C作CF∵AB，则AB∵CF∵CD，∵∵FCD=∵D=35°，∵∵BCD=85°，∵∵BCF=85°-35°=50°，∵AB∵CF，∵∵B+∵BCF=180°，∵∵B=130°；如图6，∵∵C=85°，∵D=35°，∵∵CFD=180°-85°-35°=60°，∵AB∵DE，∵∵B=∵CFD=60°，如图7，同理得：∵B=35°+85°=120°，综上所述，∵B 的度数为50°或130°或60°或120°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 6．如图，已知点()A 4,0，()B 0,3，点C 是直线AB 上异于点B 的任一点，现以BC 为一边在AB 右侧作正方形BCDE ，射线OC 与直线DE 交于点P ，若点C 的横坐标为m ．()1求直线AB 的函数表达式．()2若点C 在第一象限，且点C 为OP 的中点，求m 的值．()3若点C 为OP 的三等分点(即点C 分OP 成1：2的两条线段)，请直接写出点C 的坐标．【答案】（1）3y x 34=-+；（2）48m 25=；（3）2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，作OG∵BC 于G ，OH∵OB 于H ．只要证明∵OCG∵∵CPD ，利用全等三角形的性质可得OG=CD ，由此构建方程即可解决问题；（3）在第一象限和第二象限分两种情形，分别构建方程求出m 即可解决问题；【详解】解：()1设直线AB 的解析式为()y kx b k 0=+≠，把()A 4,0，()B 0,3代入得到{4k b 0b 3+==，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为3y x 34=-+． ()2如图，作OG BC ⊥于G ，OH OB ⊥于H ．四边形BCDE 是正方形，BC//ED ∴，OCG CPD ∠∠∴=，CO CP =，OGC CDP 90∠∠==， OCG ∴∵CPD ，OG CD ∴=，AB 5∴=，OA OB 12OG AB 5⋅∴==， CH m =， 4cos BCH cos BAO 5∠∠==， 5BC m 4∴=， 5CD m 4∴=， 512m 45∴=， 48m 25∴=． ()3①当点C 中第一象限，OC 2PC =时， OCG ∵CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m4=，56m45∴=，24m25∴=，∵C（2425，5725）②当点C中第一象限，PC2OC=时，．OCG∵CPD，OG∴：CD1=：2，24CD5∴=，5BC m4=，524m45∴=，96m25∴=，∵C（9625，325）③当点C中第二象限，PC2OC=时，．OCG∵CPD，OG∴：CD1=：2，24CD5∴=，5BC m4=-，524m45∴-=，96m25∴=-，∵C（9625-，14725）.④当点C中第二象限，OC2PC=时，OCG∵CPD，OG∴：CD2=：1，55BC m4=-，56m45∴-=，24m25∴=-，∵C（2425-，9325）综上所述，满足条件的点C坐标为2457,2525⎛⎫⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫-⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．如图在∥ABC中，∥C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是边BC上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是1cm/s，设点P的运动时间为t，过P点作AC的平行线交AB与点N，连接AP，（1）请用含有t的代数式表示线段AN和线段PN的长，（2）当t为何值时，∥APN的面积等于∥ACP面积的三分之一？（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得∥APN的面积有最大值，若存在请求出t的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）PN=34t，AN =5﹣54t；（2）当t为43s时，∵APN的面积等于∵ACP面积的三分之一；（3）t=2时，∵PAN的面积最大，最大值为32．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再利用平行线分线段成比例定理，求出PN、BN即可解决问题；（2）由题意：12•PN•PC ＝13×12•PC•AC ，推出AC ＝3PN ，由此构建方程即可解决问题； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】（1）在Rt∵ABC 中，∵∵C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，（cm ），∵PN∵AC ，PB=t ， ∵PB BC =BN BA =PN AC， ∵4t =5BN =3PN ， ∵BN=54t ，PN=34t ， ∵AN=AB ﹣BN=5﹣54t ． （2）由题意：12•PN•PC=13×12•PC•AC ， ∵AC=3PN ， ∵3=334⨯t ， ∵t=43， ∵当t 为2s 时，∵APN 的面积等于∵ACP 面积的三分之一．（3）由题意：S ∵APN =12•PN•PC=12•34t （4﹣t ）=﹣38（t ﹣2）2+32， ∵﹣38＜0， ∵t=2时，∵PAN 的面积最大，最大值为32． 【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．8．西成高铁的开通，使得以前的“蜀道难”变的不再难了，从西安出发的列车，经过4小时左右即可到达成都．周末小华和小亮计划去成都游玩，准备一起去北客站乘车．为了赶时间，他们通过 “滴滴打车”叫了一辆快车前往北客站．如图，是小华和小亮一起去北客站乘坐快车的费用y （元）与行驶路程x （千米）之间的函数图象．请你根据以上信息，解答下列问题：（1）求线段AB 所在直线的函数关系式；（2）已知该滴滴打车在高峰时期低速行驶时，每分钟加收0.6元，小华和小亮到达北客站时，共付费43.2元，其中低速行驶8分钟，求小华他们的出发地离北客站有多少千米？【答案】（1） 2.2 3.2y x =+；（2）16千米【详解】解：（1）设线段AB 所在直线的函数关系式为y kx b =+，根据题意，将点()()4,12,9,23A B 代入得412923k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 2.23.2k b =⎧⎨=⎩， ∵线段AB 所在直线的函数关系式为 2.2 3.2y x =+；（2）根据题意得2.2 3.20.6843.2x ++⨯=，解得16x =，答：小华他们的出发地到北客站的路程有16千米．。
相交线和平行线35道核心题——韩春成老师
韩春成个人题库资料
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5.
【中】平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？
6.
【中】 （北京市八一中学 2013 年初一数学第二学期期中试卷） 如图，直线 AB 、 CD 被直线 AC 所截，且 AB ∥CD ，按要求画图并填空： ⑴ 分别画 BAC 和 DCA 的平分线，且两线相交于点 E ； ⑵ AEC _____ ； ⑶ 过点 E 分别画 EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，垂足分别为 F ， G ． ⑷ 请借助刻度尺比较点 E 到直线 AB 的距离和点 E 到直线 AC 的距离的大小．
b， c， d ，且 a b ， b c ， c d ，则 a 与 d 的位 15. 【易】在同一平面内的四条直线 a ， 置关系是（ ） a d A． B． a ∥ d C．相交但不垂直 D．不能确定
16. 【易】⑴ 如图 1，在直角三角形 ABC 中， C 90°， CD AB 于 D ，比较线段 AC 、 AB 、 CD 的大小． ⑵ 如图 2， A 点处是一座小屋， BC 是一条公路，一人在 O 处， ①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是 什么？
A D′ B C′ F C E D
26. 【中】 （北京五中分校 2013 年初一数学第二学期期中考试）如图， AB ∥ EF ∥CD ， ABC 46 ， CEF 154 ，则 BCE __________ ．
A 46° E 154° C D B
F
27. 【中】 （2012 年青羊区初一下期末）已知：如图， BD ∥ AF ∥CE ， ABD 72 ， ACE 40 ， AP 是 BAF 的平分线，求 PAC 的度数．
七年级下册数学相交线与平行线单元测试卷
《相交线与平行线》单元测试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
答案选项填涂在答题卡上）1．在同一平面内，如果两条直线不重合，则它们( )．(A)平行 (B)相交 (C)相交、垂直 (D)平行或相交2．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的4倍，则∠2的度数是( )．(A)144°(B)135°(C)126°(D)108°3．在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( )．图① 图② 图③ 图④(A)①、② (B)①、③ (C)②、③ (D)③、④4．如果两条平行线被第三条直线所截，则其中一组同位角的角平分线( )．(A)垂直(B)相交(C)平行(D)不能确定5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )．(A)110°(B)115°(C)120°(D)125°6．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1＝∠2；(2)∠3＝∠4；(3)∠2＋∠4＝90°；(4)∠4＋∠5＝180°其中正确的个数是( )．(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．下列说法中，正确的是( )．(A)不相交的两条直线是平行线．(B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(C)从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离．(D)在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直．8．∠1和∠2是两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角，如果l1∥l2，则必有( )．(A)∠1＝∠2(B)∠1＋∠2＝90°(C)o90221121=∠+∠(D)∠1是钝角，∠2是锐角9．如下图，AB∥DE，则∠BCD＝( )．(A)∠2－∠1(B)∠1＋∠2(C)180°＋∠1－∠2(D)180°＋∠2－2∠110．如图，在下列条件中：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°，能判定AB∥CD的有( )．(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡中）11．如图，AB与CD相交于O点，若∠AOC＝47°，则∠BOD的余角＝______.(第11题) (第12题) 12．如图，已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，∠1＝25°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝______°.13．如图直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，则∠2的度数是______．(第13题) (第15题)14．王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处，又从B处沿南偏西25°的方向到达C处，则王强两次行进路线的夹角为______度．15．如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠B＋∠D＝______．三、解答题（在答题卡上作答，写出必要的步骤。
平行线与相交线综合练习二.
平行线与相交线综合练习专题一平行线中基本图形的应用1．（2014•北仑区模拟）如图，已知两条线段AB∥CD，点E不在AB、CD所在的直线上．∠ABE=α，∠CDE=β，∠BED=γ．当E点在不同位置时，α、β、γ之间的数量关系也会有所不同．请你再画出两种不同的情况，并写出α、β、γ之间的数量关系．2．如图所示，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC，试判断AB与GF的位置关系，并说明理由．3．如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；（2）当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是，请写出你的猜想（不要求证明）；（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？证明你的结论；（4）若已知中的“AB∥CD”改为“AB、CD相交于O”，如图（4），则∠BAP、∠PCD、∠P、∠O之间有什么关系？证明你的结论．4．．（2005春•武昌区期末）如图1，已知AB∥CD，（1）请说明∠B+∠G+∠D=∠E+∠F；（2）若将图1变形成图2，上面的关系式是否仍成立，写出你的结论并说明理由．5．如图（1），已知AB∥CD．（1）请说明∠B+∠G+∠D=∠E+∠F；（2）若将图（1）变形成图（2），上面的关系式是否仍成立．写出你的结论并说明理由．6.（2013春•武昌区期末）已知直线AB∥CD，E为直线AB，CD外的一点，连接AE，EC．（1）E在直线AB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠EAB=∠ECD；（2）∠EAB和∠ECD的角平分线交于点F（如图2），求证：∠AEC=2∠AFC；（3）若E在直线AB，CD之间，在（2）条件下，且∠AFC比∠AEC的倍多20°，则∠AEC 的度数为．（不用写出解答过程）7．（2013秋•道外区期末）如图（1），直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FG 平分∠CFE，且∠GEF+∠GFE=90°（1）求证：AB∥CD；（2）过点G作直线m∥AB（如图（2））．点P为直线m上一点，当∠EPF=80°时，求∠AEP+∠CFP 的度数．8．21．（2013春•城东区校级月考）已知，如图，AB∥CD，∠ABE=3∠ABF，∠CDE=3∠CDF，试求∠E与∠F的比．9．（2009春•盐城校级期中）已知AB∥CD如图，∠A=40°，∠C=78°，BP是∠ABG的平分线，DP是∠CDG的平分线，求∠P的度数；（2）如果∠A=α，∠P=β，其它条件不变，求∠C的度数。
2023年中考数学专题《平行线四大模型》专项训练原卷
专题03 平行线四大模型（专项训练）1．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．80°D．110°3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．360°C．270°D．540°4．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为．5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为度．6．问题情境（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．小明给出下面正确的解法：直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．理由如下：过点E作EF∥AB（如图②所示），所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，所以∠FED+∠D＝180°，所以EF∥CD（依据2），因为EF∥AB，所以AB∥CD（依据3）．交流反思上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？“依据1”：，“依据2”：，“依据3”：，类比探究（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB ∥CD．拓展延伸（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．7．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（）A．20°B．25°C．30°D．45°8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，则∠β的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．809．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．80°10．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（）A．40°B．50°C．70°D．80°11．如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OA交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．75°C．70°D．60°12．如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（）度．A．20°B．35°C．55°D．60°13．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．414．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝度．15.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为．（用含n的式子表示）16．小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠P AC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接P A、PB（BD＜AC），直接写出∠P AC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．17．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．18．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140°B．150°C．130°D．160°19．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°20．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（）度A．360B．180C．250D．270。
平行线模型练习题(含解析)
平行线模型练习题1．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：如图，过点A作AD∥l1，∵l1∥l2，∴AD∥l2，∴∠FNA+∠NAD＝180°，∵AD∥l1，∴∠EMA+∠MAD＝180°，∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，即∠2＝130°，故选：C．2．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE ＝40°，那么∠BAF的大小为（）A．25°B．20°C．15°D．10°【答案】D【解答】解：由题意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．∵∠CDE＝40°，∴∠CED＝50°．∵DE∥AF，∴∠F AE＝∠CED＝50°．∴∠BAF＝∠CAB﹣F AE＝60°﹣50°＝10°．故选：D．3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（）A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ【答案】C【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，∴α+β﹣γ＝90°．故选：C．4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（）A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°【答案】B【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H．直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：B．5．如图，AB与HN交于点E，点在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④C．①②④D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故选：B．7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是30°．【答案】30°【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠A＝80°，由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案为：30°．8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN ＝∠A，求∠BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，故答案为：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠BDF的度数为60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，设∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值为2．9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC 的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【解答】解：（1）55°如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案为55°．（2）如图所示，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠F AE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠F AE+∠FCE），∴∠F AE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．10．问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．11．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为45°．【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABE+∠CBE＝90°．∴∠A+180°﹣∠C＝90°．∴∠C﹣∠A＝90°．（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．12．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是（直接写答案）．【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，又∠AGE+∠CHF＝180°，∴∠BGF+∠EHD＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：过点M作MK∥CD，则∠KMH＝∠CHM，又AB∥CD；∴AB∥MK；∴∠AGM＝∠GMK，∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GF是∠BGM的平分线，∴∠FGM＝∠BGM＝（180°−∠AGM）＝90°−α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠GMH＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，即：∠M＝∠N+∠FGN．。
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A
1
F
E
2
C
∠AEC= ∠
M
C
D
E
∠DCE= ∠A+∠AEC
A
B
C
D
E
F
∠A= ∠C+∠AEC
A E C
B F
D
∠A+∠AED- ∠D=180°
A
1
2B
C3 4
D
∠2+ ∠4=∠1+ ∠3
A
1
M
2B
C3
4D
5
E
N
∠2+ ∠4= ∠1+ ∠3+ ∠5
相信聪明的你一定完成的很好
Ｂ
Ａ
１３５° Ｃ
123°
Ａ
Ｆ
回顾前面辅助线的作法
F
F F
1.如图，已知AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则 ∠3等于（ B ） 过点E作EF∥AB
F 2.如图，已知AB∥CD，∠BAE=135°, ∠AED =80°，∠EDC的度数是（ D ）
过点E作EF∥AB
F
3.如图，AB∥CD，∠B=105°, ∠DCE =40°，则∠CEF的为（ B ）
F
∴ AB//EF
遇到在两条平行线间折线成角问题，
A
1
B
F
E
2
C
D
A
1
B
2
E3
F
4
D
C
A
B
AF
B
A
B
E
E
E
C
D C
DF
C
D
∠AEC+∠A+∠C=360°
已知，如右图 （1）若AB ∥ CD，则 ∠AEC= ∠A+ ∠C,试说明理由. （2）若∠AEC= ∠A+ ∠C, 那么AB ∥ CD吗？请写出你的推理过程。
若∠A BC=32°， ∠CDE=68°，
C
求∠FCD的度数。
E
B
F D
我是小帮手
某自然保护区给一些小动物搭建了小木屋，其侧面如图所示， 小亮看见了也想回家给自己的小狗做一个同样的小木屋，他用 量角器测出∠A=123°， ∠C=135°。由于小亮个子太矮，屋 顶的∠Ｂ测不到，哥哥看到后说，不用测量，我也能算出 ∠Ｂ，你知道哥哥是怎样算出∠Ｂ的吗？说出你的方案。
七年级下册第二章北师大版
渭城道南学校 李 侠
条件
结论
图形
符号
两直线平行
同位角相等（F）
A
内错角相等( Z )
C
同旁内角互补 ( u)
E ∵AB//CD
1 ∴ ∠1= ∠2
3 B ∠2= ∠3
24
∠3+∠4=180°
D
F
两条直线平 这两条直线互
行于同一条 相平行
A
直线
C
E
B
D ∵AB//CD EF//CD
过点C作EF∥AB F
4.如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O,FG与CD交于点M, 若∠1=43°,则∠2=___1_3_3_°____
过点F作EG∥AB G
如图8，已知AD与BC相交于点O，AB//CD， 如果∠B=20°，∠D=40°，求∠BOD的度数。
解：过点O作OE //AB
∵AB //CD, OE //AB (已知)
F
作法：过点E作EF∥AB
1.如图，已知AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则
∠3等于（
）
过点E作EF∥AB F
2.如图，已知AB∥CD，∠BAE=135°, ∠AED =80°，∠EDC的度数是（ ）
过点E作EF∥AB F
3.如图，AB∥CD，∠B=105°, ∠DCE =40°，则∠CEF的为（ ）
1 E2
F
∵ AB∥CD （已知）
∴ EF∥CD （平行于同一直线的两直线平行）
C
D
∴ ∠C+ ∠2=180 °
（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠A+ ∠1+∠2+ ∠C =360 °（等式的性质）
而∠1+∠2= ∠AEC
∴ ∠A+∠AEC+ ∠C=360°（等量代换）
1、平行线的定义 2、平行公理及其推论 3、平行线的判定和性质 4、出现转折角，巧设辅助线.
∴OE //CD（平行于同一直线的两
G
直线平行）
∴∠BOE= ∠B ∠EOD=∠D
（两直线平行行，内错角相等）
又∵ ∠B =20° ∠D =40°
∴ ∠BOD= ∠BOE+ ∠EOD=60°
∴ ∠2=180°-∠C=180°-110°=70°
∴ ∠AEC=∠1+∠2=80+70°=150°
如图所示，AB∥CD，探索∠A、∠AEC、 ∠C三角之间的关系。
解法一： ∠A+∠AEC+ ∠C=360° 理由：过点E作EF ∥ AB
A
B
∴ ∠A+ ∠1=180 ° （两直线平行，同旁内角互补）
例3：已知：如图，AB//CD，∠A=
A
B
100° ∠C=110°求∠AEC的度数 E 1
解：过E作EF//AB
2
则∠A+ ∠1= 180° (两直线平行，同旁内C角互补) D
∵ ∠A=100° ∴ ∠1=180°-∠A=180°-100°=80°
∵ EF//AB，AB//CD ∴ EF//AD (平行于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠C+ ∠2= 180° (两直线平行，同旁内角互补)
知识应用
1、如图，l1∥l2，∠1=120°， ∠2=100°，则∠3=__4__0__°。
l1
3 2
4
51
l2
第1题图
A
E
B
C
D
第2题图
2、如图，AE ∥ CD， ∠A=107°， ∠ABC=121°,则∠C的度数为__1_3_2_°__
3、如图， AB ∥ ED，BCD是折线，CF平分∠ BCD， A
过点C作EF∥AB
F
4.如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O,FG与CD交于点M, 若∠1=43°,则∠2=__________
过点F作EG∥AB
G
如图，已知AB ∥ CD, ∠1=∠2,那么∠E与 ∠F相等吗？试作出判断并说出你的理由。
D E
13
C
4
F
A
2
B
七年级下册第二章北师大版
渭城道南学校 李 侠