平行线有关模型汇总

直线平行的条件和性质

1. 猪蹄模型

已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。

2. 铅笔模型

如图,已知: CD AB ∥,求证: ∠+B ∠D +∠=BED 360°. (至少用三种方法)

3. 其他

4. 角平分线

如图1，在ABC ?中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=?，则BEC ∠= ;若A n ∠=?，求BEC ∠用含n 的代数式表示)

如图3，在ABC ?中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=?，求BOC ∠.

如图5，在ABC ?中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=?，求BEC ∠.

5. “8”字形 如图b 所示的“

”字型，其也存在着一个等式：1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；

6. “A ”字型

如图a 所示的“”字型，我们可称其为“A 字型”或“塔形”，其存在一个等式：

1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；

7. 燕尾形

如图c所示，其也存在着如下等式：D A B C

∠=∠+∠+∠，请证明

一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．

二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论

1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；

2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；

3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．

三．易错点：

1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；

2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．

题型一：猪蹄模型

例1. 如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（）

A． 15° B． 25° C． 35° D． 55°

题型二：铅笔模型

∠+∠+∠+∠=（）

例2. 如图，AB∥CD，A E F C

A ． 180°

B ． 360°

C ． 540°

D ． 720°

题型三：铅笔、猪蹄模型综合压轴

例3. 某学习小组发现一个结论：已知直线a ∥b ，若直线c ∥a ，则c ∥b ．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：

已知直线AB ∥CD ，点E 在AB 、CD 之间，点P 、Q 分别在直线AB 、CD 上，连接PE 、EQ ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ 与∠APE +∠CQE 之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF 平分∠BPE ，QF 平分∠EQD ，当∠PEQ ＝140°时，求出∠PFQ 的度数； （3）如图3，若点E 在CD 的下方，PF 平分∠BPE ，QH 平分∠EQD ，QH 的反向延长线交PF 于点F ．当∠PEQ ＝70°时，请求出∠PFQ 的度数．

题型三：其他

例4. （周练）如图，已知AB ∥CD ，则∠A 、∠C 、∠P 的关系为.

F

E D

C

B

A

练习1. 如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为．

题型四：翻折

例5. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于______

例6. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝140°，则∠B＋∠C＝°．

题型五：角平分线

例7. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．

（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．

（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．

（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．

例8. 如图13, 1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线，2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若A α∠=，则2018A ∠

为 .

1. 如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数为（ ）

A ．180°

B ．360°

C ．540°

D ．720°

2. 如图，将ABC ?纸片沿DE 折叠，使点A 落在点'A 处，且'A B 平分ABC ∠，'A C 平分

ACB ∠，若'110BA C ∠=?，则12∠+∠的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°

3. 如图，将矩形纸带ABCD ，沿EF 折叠后，C 、D 两点分别落在C ′、D ′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED ′的度数是（ ）

A ． 65°

B ． 55°

C ． 50°

D ． 25°

4. 如图，已知30B ∠=?，55BCD ∠=?，45CDE ∠=?，20E ∠=?，求证：AB ∥CD ．

A

F

B

C E

D

3.

5. 如图，已知AB ∥DE ，BF ，EF 分别平分∠ABC 与∠CED ，若140BCE ∠=?，求BFE ∠的度数．

1. 如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A 十∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 为_______度．

2. 如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝150°，则∠θ的度数是_______．

3. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是

A ．40°

B ．60°

C ．70°

D ．80° 4. 如图，把矩形

沿

对折后使两部分重合，若

，则

=（ ）

A ．110°

B ．115°

C ．120°

D ．130°

A B

C

D E

1.如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=____度．

2. 如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=70o，则∠BFD=________．

3. 将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1=55o，那么∠2等于( )

A．55o B．60o C．65o D．70o

4. 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：

（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP ＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

5. 在△ABC中，∠A＝40°

（1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P＝，∠A与∠P 之间的数量关系是．为什么有这样的关系？请证明它；

（2）如图2，若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠P＝，∠A与∠P 之间的数量关系是；

（3）如图3，若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P，则∠P＝，∠A与∠P 之间的数量关系是．

6. 【探究发现】

如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A 之间的数量关系，并证明你的猜想．

【迁移拓展】

如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，

试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．

【应用创新】

已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝．