平行线中的几种解题模型
构建平行线模型解题
线平行”量出 １ ／ 的度数 ，若 １ Ｌ３ 则线段 ＭＰ与线段 Ｐ 和 ＿３ ＋ ＝ Ｎ必须在 同一条直线上 ． 由 １ｆ， ８ 同样可以确定 Ａ ／ Ｄ ＢＣ ． ／
图 ２
接通． 四、 平行线的有关知识在潜艇中的应用 例 ４ 潜水艇 中用 于观察水上情况 的潜望
二、 平行线的有关知识在游戏、 比赛中的应用 例 ２ 中华人 民共 和 国 ６ ０周 年 的国庆 阅
一
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图６
图４
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解 析 ：如图 ４ 要 使隧道在 山 中准 确接通 ， ， 于向北方 向的射线 ＭＭ１ 向南方向的射线 Ｎ １ 与 Ｎ 互 相平行 ，它们 被 ＭＮ所截 ， 以 ２ 所 ＝ １ ： ３． （ ７ 。两直线平行 ， ６ 内错角相等 ）所以乙地按 南 ， 偏 西 ３ ．。 向施工 ， 能使隧道 在 山中准确 ７ 的走 ６ 才
么？
鱼 嚣
图
图５
解析 ： 将两舰艇 的航线看作两条直线 ． 由于
解析 ： 这里的 １ ＿ ， ＝ ４ 实际上就 ＝／２ ／３ ．
这两条直线与正东方 向所夹 的锐角相等 ， 以根 是物理 学中的光线经反射时入射角 等于反射角 所 据“ 同位角相等 。 两直线平行 ” 可判断出两条航线 的原理 ，同学们在八年级的物理课 中将会学到． 平行所 以舰艇 Ａ和舰艇 Ｂ继续沿着这两条航线 根据题意把实物图转化为几何图 。如图 ６ 因为 ． 航行 ， 不会有相撞 的危险．
三、 平行线的有关知识在工程中的应用
平行线四种常见模型解题技巧(学生版)
平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。
重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。
平行线拐点问题六种模型题型
平行线常见四种易错题型分析七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析:过拐点作已知直线的平行线。
本篇内容，我们接着介绍平行线中常见的六种易错题型，早掌握避免遇到时出错。
平行线间拐点问题基本模型有三种: 第一种铅笔模型；第二种M型；第三种猪手模型。
我们还介绍了平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。
一、性质定理与判定定理的区分要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。
（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。
【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．二、三线八角理解不透彻很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。
要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。
【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。
三、对平行线的概念理解不透彻例题3：判断题：同一平面内不相交的两条线，叫做平行线．【分析】这句话，乍看没有问题，但是细看的话，与定义有出入。
平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
大招平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型模型介绍模型一：猪蹄与锯齿模型【模型结论】如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【模型辨析】①注意：拐角为左右依次排列②若出现不是依次排列的，应进行拆分模型二：铅笔模型【模型结论】如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝180°；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。
【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．【模型辨析】①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.例题精讲考点一：猪蹄模型【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°变式训练【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝．【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝．考点二：锯齿模型【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝．变式训练【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．如图②，若∠E n＝b°，则∠BEC的度数是．考点三：铅笔头模型【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1所示，∠1+∠2＝．（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝．（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．变式训练【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（）实战演练A．55°B．60°C．65°D．70°【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB 段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE 段，则∠B +∠C +∠D +∠E 的度数是．【变式3-3】．如图，两直线AB 与CD 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．1．如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝140°，∠E ＝120°，则∠C 的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°2．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（）A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α3．如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γB．β+γ﹣αC．180°﹣α﹣γ+βD．180°+α+γ+β4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是．6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为．8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝度．9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是．10．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝．11．（1）如图1，AM∥CN，求证：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．13．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°（1）求证：AD∥CE；（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系．。
平行线中的拐点模型(利用数学建模思想提高初中生数学思维能力的研究)
∠BQD=___3_5__°
BQD 1 BPD
你发现∠BPD与∠BQD有什么数量关系？___________2_____
A
B
QP
C
D
（2）如图，已知AB∥CD，∠ABP=30°，∠CDP=40°, 若已知BQ平分∠ABP,DQ平分∠CDP，BR分∠ABQ,DR平分∠CDQ, 则∠BRD=_____°，你发现∠BPD、∠BQD、∠BRD有什么关系？
A R
C
B
Q
P
D
二个基本图形
三种技能
平
形
线
燕尾型
技能1：
折
从复杂图形中辨认出模型
线
凹角=凸角的和
技能2：
拐
图形虽变，模型的核心方法不变
点
技能3：
模 型
铅笔型
结合角平分线，多次运用模型
三个角的和=360°
一题多变、 多题归一。
如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于___3_5__°2l11 Nhomakorabeal2
从复杂图形中辨认出模型。
灵活应用
.2 思考：若图中的拐点增加，角之间会有什么关系呢？
如图，已知AB∥CD，猜想∠B、∠E、∠F、∠G、∠D五个角有什么数 量关系。
灵活应用 3、如图,已知AB∥CD,且∠B=35°，∠D=60°， 则∠BPD=___2_5_°
②∠3=__6_0_°（ 两直线平行，内错角相等）
③∠4=__1_2_0°（ 两直线平行，同旁内角互补）
E
(2)如果 MN ∥ CD，AB∥ CD
2
A
B
34
1
那么MN_∥___AB
C
D
(平行于同一直线的两直线平行 ) M
平面几何五种模型
② AO : OC S1 S2 : S4 S3
【上下比】
=
=
=
【上上比】
=
=
=
由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如
面积交叉相乘的乘积相等
=
= S1 S3 S2 S4
梯形蝴蝶定理（ 梯蝴蝶 ）
① S1 : S3 a2 : b2 →上：下 = a2 : b2
② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab →上：下：左：右 = a2 : b2 : ab : ab
+
+
=1
2
③ S 的对应份数为 a b →a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有↑
4 相似三角形 形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变，他们都相似。 1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且 =它们的相似比 2 相似三角形的面积比 =相似比的平方
3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长 =它所对应的底边长的一半 就是三角形任 2 边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！ 出题几率：多产生于 2 条平行线造成的相似三角形
等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是
单独的线段比 ~
记忆上用 夹角 2 边
最好记，这里等于
E
D
A 对顶角
D E
A
B
C
B
C
D 互补角 A
E
D
A
E
B
CB
C
鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连
平行线几何模型(铅笔头模型)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.25 平行线几何模型（铅笔头模型）（知识讲解） 几何模型1：铅笔头模型图二0//==360MA NC A B ⇒∠+∠∠条件：ABC 000////P ////PQ ,180,180360MA NC BMA NC A C C A C ∴∠∠=∠∠=∴∠+∠+∠=证明：过点B 作BP//MA.则，ABP+BP+，ABC几何模型2：多个铅笔头模型12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B-⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件：证明思路参考几何模型1【典型例题】类型一、平行线几何模型➽➼铅笔头模型➻➸求解✬✬证明1．阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知//,AB CD 点,E F 分别在,AB CD 上，,160EP FP ⊥∠=︒．求2∠的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现13,24∠=∠∠=∠，由已知,EP FP ⊥可以求出2∠的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得234,∠=∠=∠也能求出2∠的度数．”小华：∵如图4，也能求出2∠的度数．”(1) 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； (2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出2∠的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3) 如图，//AB CD ，点,E F 分别在AB CD ，上，FP 平分,,EFD PEF PDF ∠∠=∠若,EPD a ∠=请探究CFE ∠与PEF ∠的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【答案】（1）过点Р作//PQ AC ；（2）30；（3）2180CFE PEF a ∠-∠=-．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作//PQ AC ，根据平行线的性质可得∵1=∵3，∵2=∵4，由EP∵FP 可得∵3+∵4=90°，即可得出∵1+∵2=90°，进而可得答案；（3）设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质可得180,BEP EPQ CFE FEB x ∠+∠=︒∠=∠=，PDF DPQ ∠=∠，进而根据角的和差关系即可得答案．解：（1）由图中虚线可知PQ//AC ，∵小明同学辅助线的做法为过点Р作//PQ AC ，故答案为：过点Р作//PQ AC（2）如图2，过点Р作//PQ AC ，∵AB//CD ，∵PQ//AB//CD ，∵∵1=∵3，∵2=∵4，∵EP∵FP ，∵∵EPF=∵3+∵4=90°，∵∵1+∵2=90°，∵∵1=60°，∵∵2=30°，故答案为：30（3）如图，设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，180,BEP EPQ CFE FEB x ∴∠+∠=︒∠=∠=//,AB CD//,PQ CD ∴PDF DPQ ∴∠=∠DPQ EHF PDF y ∴∠=∠=∠=∵CFE FEB x FEP BEP ∠=∠==∠+∠()180x y a y ∴=+-+2180x y α∴-=-，即2180CFE PEF a ∠-∠=-．【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．举一反三：【变式】问题情境：如图1，AB ∵CD ，∵P AB ＝130°，∵PCD ＝120°，求∵APC 度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∵AB，通过平行线性质，可分别求出∵APE、∵CPE 的度数，从而可求出∵APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∵APC 的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∵APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∵APC 的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∵BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∵ADP＝∵α，∵BCP＝∵β．∵CPD、∵α、∵β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∵CPD、∵α、∵β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由见分析；（2）∵CPD ＝∵β﹣∵α，理由见分析【分析】小明的思路是：过P作PE∵AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∵APC ＝110°．（1）过P作PE∵AD交CD于E，推出AD∵PE∵BC，根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：∵点P在BA的延长线上，∵点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案．解：小明的思路：如图2，过P作PE∵AB，∵AB∵CD，∵PE∵AB∵CD，∵∵APE＝180°﹣∵A＝50°，∵CPE＝180°﹣∵C＝60°，∵∵APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由如下：如图5，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE+∵CPE＝∵α+∵β；（2）当P在BA延长线时，∵CPD＝∵β﹣∵α；理由：如图6，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵CPE﹣∵DPE＝∵β﹣∵α；当P在BO之间时，∵CPD＝∵α﹣∵β．理由：如图7，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE﹣∵CPE＝∵α﹣∵β．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．类型二、平行线几何模型➽➼多铅笔头模型➻➸求解✬✬证明2．（1）如图1，AM∵CN，求证：∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°；∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．【答案】（1）∵详见分析；∵详见分析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见分析【分析】（1）∵过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG，依据平行线的性质，即可得到∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°，即可得到结论；∵过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，依据平行线的性质，即可得到∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．解：（1）∵证明：如图1，过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG∵∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°∵∵ABG+∵BAM+∵CBG+∵BCN＝360°∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°∵如图，过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，∵AM∵CN，∵EP∵FQ，∵∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，∵结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．举一反三：【变式】如图，已知AB∵CD．（1）如图1所示，∵1+∵2＝；（2）如图2所示，∵1+∵2+∵3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∵1+∵2+∵3+∵4＝；（4）如图4所示，试探究∵1+∵2+∵3+∵4+∵+∵n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．解：（1）如图1，∵AB∵CD，∵∵1+∵2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∵CD，∵AB∵EF，CD∵EF，∵∵1+∵AEF=180°，∵FEC+∵3=180°，∵∵1+∵2+∵3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∵1+∵2+∵3+∵4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∵1+∵2+∵3+∵4+…+∵n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．。
平行线之猪脚模型(M模型)-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
平行线之猪脚模型解题策略猪脚模型基本类型：A BC DE类型一：由角推线已知：∠B +∠D =∠E ，求证：AB ∥CD证法一：过点一作MN ∥AB 证法二：延长BE 交CD 与点F ，证法三：连接BD .A BC D E MN AB C D EF A B C DE 121231234（证法一图）（证法二图）（证法三图）类型二：由线推角已知：AB ∥CD ，求证:∠B +∠D =∠E .证法一：过点E 作MN ∥AB证法二：延长BE 交CD 与点F ，证法三：连接BD .经典例题【例1】(2022春•桐城市期末)【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题解决】(1)如图1，AB ∥CD ，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE 、CE ．若∠A =42°，∠C =28°．则∠AEC = 70° ．【问题探究】(2)如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A=36°，∠C=54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．【问题拓展】(3)如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD=56°，∠GDE=20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．【分析】(1)延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC=28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC=∠A+∠C，进行计算即可解答；(2)利用猪蹄模型可得：∠AEC=∠A+∠C=90°，再利用对顶角相等可得∠BED=90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；(3)利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED=∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长CE交AB于点F，∵AB∥CD，∴∠AFC=∠C=28°，∵∠AEC是△AEF的一个外角，∴∠AEC=∠A+∠AFC=∠A+∠C=70°，故答案为：70°；(2)利用(1)的结论可得：∠AEC=∠A+∠C=36°+54°=90°，∴∠AEC=∠BED=90°，∵EF平分∠BED，∠BED=45°，∴∠BEF=12∴∠BEF的度数为45°；(3)∵BC∥DF，∴∠CDF=180°-∠BCD=124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CDG=1∠CDF=62°，2∵AB∥CD，∴∠BAG=∠CDG=62°，∵AE平分∠BAD，∠BAD=31°，∴∠BAE=12∵∠GDE=20°，∴∠EDH=180°-∠CDG-∠GDE=98°，利用(1)的结论可得：∠AED=∠BAE+∠EDH=31°+98°=129°，∴∠AED的度数为129°．【例2】(2022春•南京期中)已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点(不在直线AB、CD、EF上)，OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．(1)如图①，若∠AEO=45°，∠CFO=75°，则∠HOG= 15° ，(2)如图②，若∠AEO=150°，∠HOG=20°，则∠CFO= 110° ；(3)直接写出点O在不同位置时∠AEO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．【分析】(1)由AB∥CD，OH∥AB可得AB∥OH∥CD，利用平行线的性质可得∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，由∠EOF=∠EOH+∠FOH，等量代换可得∠AEO+∠CFO=∠EOF，根据已知条件和角平分线的定义求出∠EOG=60°，即可得到∠HOG的度数；(2)同(1)类似，利用平行线的性质和角平分线的定义计算可以得出∠CFO的度数；(3)由(1)和(2)的计算方法可以得出结论．【解答】解：(1)∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH，即∠AEO+∠CFO=∠EOF，∵∠AEO=45°，∠CFO=75°，∴∠EOF=120°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG=60°，∴∠HOG=∠EOG-∠EOH=15°，故答案为：15°；(2)∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO+∠EOH=180°，∠CFO+∠FOH=180°，∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH=360°，即∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，∵AB∥OH，∴∠AEO+∠EOH=180°，∵∠AEO=150°，∴∠EOH=30°，∵∠HOG=20°，∴∠EOG=∠EOH+∠HOG=30°+20°=50°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOF=2∠EOG=100°，∵∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，∠AEO=150°，∴∠CFO=360°-150°-100°=110°，故答案为：110°；(3)①若点O在直线AB与CD之间，则有|∠AEO-∠CFO|=2∠HOG；②若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO=2∠HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有360°-∠AEO-∠CFO=2∠HOG．【例3】(2022春•上城区校级期中)如图，一副三角板，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=30°．(1)若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．(2)将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，求所有满足条件的t的值．(3)将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH= t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，请直接写出满足条件的t的值．【分析】(1)由题意得，∠EBF=90°，∠E=45°，∠ABC=60°，利用平行线的性质可得∠CDE=∠E=45°，即可求得答案；(2)①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况：当DE在MN上方时或当DE在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；②当BC∥DF时，延长BC交MN于点T，分两种情况：当DF在MN上方时或当DF在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；(3)当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°，列式求解即可；(2)当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN=180°-2t°，②DF在MN下方时，∠FDN=180°-2t°，列式求解即可．【解答】解：(1)如图，由题意得，∠EBF=90°，∠E=45°，∠ABC=60°，∵EF∥CD，∴∠CDE=∠E=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠CDE=60°-45°=15°，∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=90°-15°=75°；(2)如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDM=∠HAC，即2t°=30°，∴t=15；当DE在MN下方时，∠F′DP=2t°-180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠F′DP=∠HAC，即2t°-180°=30°，∴t=105；②当BC∥DF时，当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T，根据题意得：∠FDN=180°-2t°，∵DF∥BC，∴∠FDN=∠BTN，∵GH∥MN，∴∠BTN=∠ABC=60°，∴∠FDN=60°，即180°-2t°=60°，∴t=60；当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，∵DF∥BC，∴∠FDN=∠BTM，∵GH∥MN，∴∠BTN=∠ABC=60°，∴∠BTM=180°-∠BTN=120°，∴∠NDF=120°，即2t°-180°=120°，∴t=150，综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150；(3)由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°，∴t=30，当DE′在MN下方时，∠F′DP=2t°-180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠F′DP=∠HAC，即2t°-180°=t°+30°，∴t=210(不符合题意，舍去)，②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，根据题意得：∠FDN=180°-2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴CI⊥DF，∴∠FDN+∠MIC=90°，即180°-2t°+t°+30°=90°，∴t=120，∴2t=240°>180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；当DF在MN下方时，如图，根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，∵DF∥BC，∴∠MIC=∠NDF，∴∠NDF=∠AQI=t+30°-90°=t-60°，即2t°-180°=t°-60°，∴t=120，综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．【例4】(2021春•梅江区期末)如图(1)，AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接EA、EC；如图(2)，AB∥CD．点M、N分别在AB、CD上，连接MN．(1)在图(1)中，若∠A=30°，∠C=50°，则∠AEC= 80° ；若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC= 65° ．(2)图(1)的条件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并说明你的结论．(3)如图(2)，点E是四边形ACDB内(不含边界和MN)任意一点，请说明∠EMB、∠END、∠MEN的关系．【分析】(1)过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等可得∠AEG=∠A，∠CEG=∠C，由∠AEC=∠AEG+∠CEG，可得∠AEC=∠A+∠C，代入计算即可得出答案；(2)过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质可得，∠AEG=∠EAB，∠CEG=∠ECD．由∠AEC=∠AEG+∠CEG，即可得出答案；(3)根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可得，∠EMB+∠MEF=180°，∠NEF+∠END=180°，由∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END=360°，根据∠MEN=∠MEF+∠NEF，即可得出答案．【解答】解：(1)过点E作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG=∠A，∠CEG=∠C，∴∠AEC=∠AEG+∠CEG，∴∠AEC=∠A+∠C，若∠A=30°，∠C=50°，则∠AEC=30°+50°=80°，若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC=25°+40°=65°；故答案为：80°，65°；(2)∠AEC=∠EAB+∠ECD．理由如下：过点E作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG=∠EAB，∠CEG=∠ECD．∵∠AEC=∠AEG+∠CEG，∴∠AEC=∠EAB+∠ECD；(3)∠ENB+∠NEN+∠END=360°．理由如下：根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，∴∠EMB+∠MEF=180°，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠NEF+∠END=180°，∴∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END=360°，∵∠MEN=∠MEF+∠NEF，∴∠ENB+∠NEN+∠END=360°．培优训练一、选择题1.(2022•黔东南州)一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为()A.28°B.56°C.36°D.62°【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：如下图所示，过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则∠2=∠3．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4=∠1=28°，∵∠3+∠4=90°，∴∠3=90°-∠4=62°．∴∠2=∠3=62°．故选：D．2.(2022•临清市二模)如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE=()A.180°-∠2+∠1B.180°-∠1-∠2C.∠2=2∠1D.∠1+∠2【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCA【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°．∴∠BCE=∠3+∠4=∠1+180°-∠2．故选：A．3.(2021春•硚口区月考)如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG=2∠EFM；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG-∠EFM=180°．其中正确的结论是()A.①②③B.②④C.①②④D.①④【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB=x，∠HGC=y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．【解答】解：∵∠FMA=∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB=x，∠HGC=y，则∠FEN=2x，∠FGH=2y∴∠EHG=∠EHQ+∠GHQ=∠AEH+∠HGC=∠NEB+∠HGC=x+y，∠EFM=∠BEF-∠FME=∠BEF-∠AMG=∠BEF-(180°-∠FGC)=x+2x-(180°-y-y) =3x+3y-180°，∴2∠EFM=6x+6y-360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y-180°=4x+4y-180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG-∠EFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．4.(2018春•南昌期中)如图，AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则∠3的度数是()A.30°B.45°C.50°D.60°【分析】作辅助线，过点O做OP∥AB∥CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．【解答】解：过点O做OP∥AB∥CD，∴∠A=∠AOP=30°，∠D=∠POC，∵∠2=90°，即∠AOC=90°，∴∠POC=60°，∴∠3=60°．故选：D．5.(2018春•沂源县期末)如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F=()A.2：1B.3：1C.3：2D.4：3【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23(∠ABE+∠CDE)=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故选：C．6.(2022春•诸暨市期末)从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB=∠COA=72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE=27°．则∠AOD的度数是 45°或99° ．【分析】分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD=∠COA-∠COD；如果∠AOD是钝角，∠AOD=∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数．【解答】解：∵DE∥CF，∴∠COD=∠ODE．(两直线平行，内错角相等)∵∠ODE=22°，∴∠COD=22°．在图1的情况下，∠AOD=∠COA-∠COD=72°-27°=45°．在图2的情况下，∠AOD=∠COA+∠COD=72°+27°=99°．∴∠AOD的度数为45°或99°．故答案为：45°或99°．7.(2022春•潜山市月考)如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．(1)若∠M=90°，则∠AEM+∠CFM= 270° ；(2)若∠M=n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 1n° ．(用含n的2式子表示)【分析】(1)过点M 作MP ∥AB ，则AB ∥CD ∥MP ，根据两直线平行，内错角相等可得答案；(2)过点N 作NQ ∥AB ，则AB ∥CD ∥NQ ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：(1)过点M 作MP ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥MP ，∴∠1=∠MEB ，∠2=∠MFD ，∵∠M =∠1+∠2=90°，∴∠MEB +∠MFD =90°，∵∠AEM +∠MEB +∠CFM +∠MFD =180°+180°=360°，∴∠AEM +∠CFM =360°-90°=270°．故答案为：270°；(2)过点N 作NQ ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥NQ ，∴∠3=∠NEB ，∠4=∠NFD ，∴∠NEB +∠NFD =∠3+∠4=∠ENF ，∵∠BEM 与∠DFM 的角平分找交于点N ，∵∠NEB =12∠MEB ，∠DFN =12∠MFD ，∴∠3+∠4=∠BEN +∠DFN =12(∠MEB +∠MFD )，由(1)得，∠MEB +∠MFD =∠EMF ，∴∠ENF =12∠EMF =12n °．故答案为：12n °．8.(2019•大丰区一模)如图，已知：AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=113°，则∠3= 63 度．【分析】如图，作EF ∥AB ．证明基本结论；∠AEC =∠1+∠3即可解决问题．【解答】解：如图，作EF ∥AB ．∵AB ∥CD ，AB ∥EF ，∴EF ∥CD ，∴∠1=∠AEF，∠3=∠CEF，∴∠AEC=∠1+∠3，∴113°=50°+∠3，∴∠3=63°．故答案为63；9.(2019秋•福田区校级期末)如图，AB∥CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD= 125° ．【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)=125°，∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故答案为125°10.(2022春•交城县期中)如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC=57°，∠AFC=63°，则∠BAF的度数为 46° ．【分析】延长AE 交CD 于点H ，延长AF 交CD 于点G ，设∠BAE =x ，∠FCG =y ，根据角平分线的定义可得∠BAF =2x ，∠ECG =2y ，然后利用平行线的性质可得∠AGC =2x ，∠AHC =x ，，再利用三角形的外角性质可得∠AEC =x +2y ，∠AFC =2x +y ，最后列出关于x ，y 的方程组，进行计算即可解答．【解答】解：延长AE 交CD 于点H ，延长AF 交CD 于点G ，设∠BAE =x ，∠FCG =y ，∵AE 和CF 分别平分∠BAF 和∠DCE ，∴∠BAF =2∠BAE =2x ，∠ECG =2∠FCG =2y ，∵AB ∥CD ，∴∠BAF =∠AGC =2x ，∠BAH =∠AHC =x ，∵∠AEC 是△EHC 的一个外角，∴∠AEC =∠AHC +∠ECG =x +2y ，∵∠AFC 是△GCF 的一个外角，∴∠AFC =∠AGC +∠FCG =2x +y ，∵∠AEC =57°，∠AFC =63°，∴x +2y =57o2x +y =63o ，解得：x =23o y =17o ，∴∠BAF =46°，故答案为：46°．11.(2022春•濠江区期末)已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于点G 、H ，点M 在直线AB 、CD 之间，连接MG ，MH ．(1)如图1，求证：∠M =∠AGM +∠MHC ；(2)如图2，若HM 平分∠GHC ，在HM 上取点Q ，使得∠HGQ =∠AGM ，求证：∠M +∠GQH =180°；(3)如图3，若GH 平分∠MGB ，N 在为HD 上一点，连接GN ，且∠GNH =∠M ，∠HGN =2∠MHC ，求∠MHG 的度数．【分析】(1)过点M作MN∥AB，利用平行线的猪脚模型，即可解答；(2)根据角平分线的定义可得∠MHG=∠CHM，再利用(1)的结论可得∠GMH=∠AGM+∠MHC，从而可得∠GMH=∠HGQ+∠MHG，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；(3)设∠AGM=2α，∠CHM=β，从而可得∠HGN=2β，再利用(1)的结论可得∠GMH=2α+β，从而可得∠GNH=2α+β，然后利用角平分线的定义可得∠MGH=90°-α，再利用三角形的外角可得∠CHG= 3β+2α，最后利用平行线的性质可得∠AGH+∠CHG=180°，从而可得α+β=30°，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】(1)证明：过点M作MN∥AB，∴∠AGM=∠GMN，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠NMH=∠CHM，∵∠GMH=∠GMN+∠NMH，∴∠GMH=∠AGM+∠MHC；(2)证明：∵HM平分∠GHC，∴∠MHG=∠CHM，由(1)得：∠GMH=∠AGM+∠MHC，∵∠HGQ=∠AGM，∴∠GMH=∠HGQ+∠MHG，∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG=180°，∴∠GMH+∠GQH=180°；(3)解：设∠AGM=2α，∠CHM=β，由(1)可得：∠GMH=∠AGM+∠MHC，∴∠GMH=2α+β，∵∠GNH=∠M，∴∠GNH=2α+β，∵∠HGN=2∠MHC，∴∠HGN=2β，∵GH平分∠MGB，∴∠MGH=12∠BGM=12(180°-∠AGM)=90°-α，∵∠CHG是△GHN的一个外角，∴∠CHG=∠HGN+∠GNH=2β+2α+β=3β+2α，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG=180°，∴∠AGM+∠MGH+∠CHG=180°，∴2α+90°-α+3β+2α=180°，∴α+β=30°，∴∠MHG=∠CHG-∠CHM=3β+2α-β=2β+2α=60°，∴∠MHG的度数为60°．12.(2022春•沂源县期末)在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°．操作发现：(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数．(2)某同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，如图2，发现∠2-∠1=120°，说明理由．【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠3，根据平行线的性质解答；(2)过点B作BD∥a，根据平行线的性质得到∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠1，结合图形计算，证明结论．【解答】解：(1)∵∠BCA=90°，∴∠3=90°-∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°．(2)理由如下：过点B作BD∥a，则∠ABD=180°-∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC=∠1，∵∠ABC=60°∴180°-∠2+∠1=60°，∴∠2-∠1=120°．13.(2022春•无棣县期末)如图1，已知∠BAE=∠AEC-∠ECD，点E在直线AB，CD之间．(1)求证：AB∥CD；(2)若AH平分∠BAE，FG∥CE．①如图2，若∠AEC=84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．【分析】(1)过E作EN∥AB，可得∠BAE=∠AEN，∠BAE=∠AEC-∠ECD，证得∠ECD=∠CEN，故EF∥CD∥AB；(2)①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．【解答】解：(1)如图1，过点E作直线EN∥AB，∴∠BAE=∠AEN，∵∠BAE=∠AEC-∠ECD，∴∠BAE+∠ECD=∠AEC，∵∠AEN+∠CEN=∠AEC，∴∠ECD=∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；(2)∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴∠ECD=∠GFD=2x，又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=84°，∴∠BAH=∠EAH=42°-x，如图2，过点H作HM∥AB，∴∠BAH=∠AHM，∵HM∥AB，∴HM∥CD，∴∠DFH=∠MHF，∴∠AHF=∠BAH+∠DFH=42°-x+x=42°；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，如图3，过点H作HK∥AB，∴∠BAH=∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH=180°，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+(x+y)，∴∠AHF=90°+1∠AEC．214.(2022春•墨玉县期末)问题情景：(1)如图①，已知AB∥DE．试∠B、∠E、∠BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E=∠BCE．请你帮他完善证明过程：如图②，过点C作CF∥AB∴ ∠B = ∠1 ( 两直线平行，内错角相等 )∵AB∥DE，AB∥CF∴ DE ∥ CF ．∴∠E= ∠2 ( 两直线平行，内错角相等 )∴∠B+∠E=∠1+∠2即∠B+∠E=∠BCE．(2)在图①中．若BC⊥CE，且∠B=52°，请你计算∠E的度数等于 38° ．(3)问题迁移：如图③．AD∥BC．当点P在射线AM上运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β请你猜想∠α、∠β与∠CPD之间有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等即可求解；(2)由(1)可知∠B+∠E=90°，即可求解；(3)由三角形外角性质可得∠CPD+∠CDP=∠OCP，从而可得∠CPD+∠α+∠ADO=∠β+∠BCO，由AD∥BC可得∠ADO=∠BCO，即可得出∠CPD+∠α=∠β．【解答】解：(1)过点C作CF∥AB，∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等)，∵AB∥DE，AB∥CF，∴DE∥CF，∴∠E=∠2(两直线平行，内错角相等)，∴∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠BCE，故答案为：∠B=∠1；两直线平行，内错角相等；DE；CF；∠2；两直线平行，内错角相等；(2)由(1)可知∠B+∠E=∠BCE，∵∠BCE=90°，∠B=52°，∴∠E=∠BCE-∠B=38°，故答案为：38°；(3)∠CPD+∠α=∠β，理由如下：∵∠CPD+∠CDP=∠OCP，∴∠CPD+∠α+∠ADO=∠β+∠BCO，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠BCO，∴∠CPD+∠α=∠β．15.(2022春•抚远市期末)如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E在线段BC的延长线上，AE平分∠BAD，连接DE，∠ADC=2∠CDE，∠AED=60°．(1)求证∠ABC=∠ADC；(2)求∠CDE的度数．【分析】(1)根据平行线的性质即可得到答案．(2)根据∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x，∠ADE=3x，∠ADC=2x，根据平行线的性质得出方程90°-x+60°+3x=180°，求出x即可．【解答】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCE，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCE，∴∠ABC=∠ADC．(2)解：设∠CDE=x，则∠ADC=2x，∵AB∥CD，∴∠BAD=180°-2x，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=12∠BAD=90°-x，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠EAD=90°-x，∴∠BED+∠ADE=180°，∴90°-x+60°+3x=180°，∴x=15°，∴∠CDE=15°．16.(2022春•来宾期末)如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC=30°，∠ACB=90°．(1)若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC= 90 °；(2)若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的值；(3)如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求∠GEN∠BDF的值．【分析】(1)延长BC交MN于点D，根据平行线的性质可得∠PBC=∠ADC，再利用三角形的外角可得∠ACB=∠ADC+∠MAC，然后利用等量代换即可解答；(2)根据已知可得∠AEN=∠A=30°，再利用对顶角相等可得∠CEM=30°，然后利用(1)的结论可得：∠PDC=60°，最后利用对顶角相等即可解答；(3)利用角平分线的定义设∠CEM=∠CEG=x，从而利用平角定义可得∠GEN=180°-2x，再利用(1)的结论可得：∠PDC=90°-x，然后利用对顶角相等可得∠BDF=90°-x，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC=∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB=∠ADC+∠MAC，∴∠ACB=∠PBC+∠MAC=90°，故答案为：90；(2)∵∠AEN=∠A，∠BAC=30°，∴∠AEN=∠A=30°，∴∠CEM=∠AEN=30°，∠ACB=∠PDC+∠MEC，∴∠PDC=∠ACB-∠MEC=60°，∴∠BDF=∠PDC=60°，∴∠BDF的度数为60°；(3)∵CE平分∠MEG，∴∠CEM=∠CEG，设∠CEM=∠CEG=x，∴∠GEN=180°-∠CEM-∠CEG=180°-2x，利用(1)的结论可得：∠ACB =∠PDC +∠MEC ，∴∠PDC =∠ACB -∠MEC =90°-x ，∴∠BDF =∠PDC =90°-x ，∴∠GEN ∠BDF =180O -2x 90o -x=2，∴∠GEN ∠BDF的值为2．17.(2022春•咸安区期末)(1)如图1，已知AB ∥CD ，∠AEP =40°，∠PFD =110°，求∠EPF 的度数．(2)如图2，AB ∥CD ，点P 在AB 的上方，问∠PEA ，∠PFC ，∠EPF 之间有何数量关系？并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，已知∠EPF =60°，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G ，求∠G 的度数．【分析】(1)延长EP 交CD 于点G ，利用平行线的性质可得∠PGF =40°，再利用平角定义可得∠PFG =70°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；(2)设AB 与PF 交于点M ，先利用三角形的外角可得∠PMA =∠PEA +∠EPF ，再利用平行线的性质可得∠PMA =∠PFC ，然后利用等量代换可得∠PFC =∠PEA +∠EPF ，即可解答；(3)利用(2)的结论可得∠EPF =∠PFC -∠PEA =60°，再利用角平分线的性质可得∠GEA =12∠AEP ，∠GFC =12∠PFC ，然后利用(2)的结论可得∠G =∠GFC -∠GEA =12(∠PFC -∠AEP )，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长EP 交CD 于点G ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG =∠PGF =40°，∵∠PFD =110°，∴∠PFG =180°-∠PFD =70°，∵∠EPF 是△PFG 的一个外角，∴∠EPF =∠PGF +∠PFG =110°，∴∠EPF 的度数为110°；(2)∠PFC =∠PEA +∠EPF ，理由：如图：设AB 与PF 交于点M ，∵∠PMA 是△PME 的一个外角，∴∠PMA =∠PEA +∠EPF ，∵AB ∥CD ，∴∠PMA =∠PFC ，∴∠PFC =∠PEA +∠EPF ；(3)由(2)可得：∠PFC =∠PEA +∠EPF ，∴∠EPF =∠PFC -∠PEA =60°，∵EG 平分∠AEP ，FG 平分∠PFC ，∴∠GEA =12∠AEP ，∠GFC =12∠PFC ，由(2)得：∠GFC =∠G +∠GEA ，∴∠G =∠GFC -∠GEA=12∠PFC -12∠AEP =12(∠PFC -∠AEP )=12×60°=30°，∴∠G 的度数为30°．18.(2022春•上虞区期末)如图1，已知点E ，F 分别是直线AB ，CD 上的点，点M 在AB 与CD 之间，且AB ∥CD ．(1)若∠EMF =80°，则∠AEM +∠CFM = 80° ．(2)如图2，在图1的基础上，作射线EN ，FN 交于点N ，使∠AEN =13∠AEM ，∠CFN =13∠CFM ，设∠EMF =α，猜想∠ENF 的度数(用α表示)，并说明理由．(3)如图3，在图1的基础上，分别作射线EP ，FP 交于点P ，作射线EQ ，FQ 交于点Q ，若∠AEP =1m ∠AEM ，∠CFP =1m ∠CFM ，∠BEQ =1n ∠BEM ，∠DFQ =1n∠DFM ，请直接写出∠P 与∠Q 间的数量关系．【分析】(1)过点M 作MP ∥AB ，利用平行线的性质，把∠AEM +∠CFM 转化为∠EMF ，从而求得度数．(2)过点M 作MP ∥AB ，过点N 作NQ ∥AB ，利用平行线的性质，把∠EMF 转化为∠AEM +∠CFM ，把∠ENF 转化为∠AEN +∠CFN ，得出∠ENF =13∠EMF ，从而用α表示出∠ENF 的度数．(3)利用(2)的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出∠BEM +∠DFM +∠M =360°，进而找到∠P 与∠Q 间的数量关系．【解答】解：(1)过点M 作MG ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥MG ，∴∠AEM =∠EMG ，∠GMF =∠CFM ，∴∠AEM +∠CFM =∠EMG +∠GMF =∠EMF =80°．故答案为：80°．(2)∠ENF =13α．理由如下：过点M 作MG ∥AB ，由(1)知，∠EMF =∠AEM +∠CFM ，过点N 作NH ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥NH ，∴∠AEN =∠ENH ，∠HNF =∠CFN ，∴∠ENF =∠ENH +∠HNF =∠AEN +∠CFN ，∵∠AEN =13∠AEM ，∠CFN =13∠CFM ，∴∠ENF =13∠AEM +13∠CFM =13(∠AEM +∠CFM )=13∠EMF ，∵∠EMF =α，∴∠ENF=13α．(3)n∠Q+m∠P=360°．理由如下：由(2)的结论可知，∠P=1m∠M，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M=360°，∵∠BEQ=1n ∠BEM，∠DFQ=1n∠DFM，∴∠Q=1n ∠BEM+1n∠DFM，=1n(∠BEM+∠DFM)=1n(360°-∠M)，∴∠M=360°-n∠Q，∵∠M=m∠P，∴360°-n∠Q=m∠P，即n∠Q+m∠P=360°．19.(2022春•西岗区期末)如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE．(1)直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为 ∠BPE+∠DQE=90° ；(2)如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；(3)如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为 2∠PNQ-∠MQE=90° ．【分析】(1)延长PE交CD于点F，根据垂直定义可得∠PEQ=90°，根据平行线的性质可得∠BPE=∠PFC，然后再利用三角形的外角可得∠DQE+∠PFC=90°，即可解答；(2)过点G作GF∥CD，从而可得∠HQC=∠HGF，再利用平行线的性质可得∠PGF=180°-∠APG，利用(1)的结论可得∠APE+∠CQE=270°，然后利用角平分线的定义可得∠APG+∠CQH=135°，最后根据∠HGP=∠PGF-∠HGF=180°-∠APG-∠HQC，进行计算即可解答；(3)根据角平分线的定义可得∠BPE=2∠BPN，∠MQN=∠DQN，再利用猪脚模型可得∠BPE+∠DQE=90°，∠BPN+∠DQN=∠PNQ，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长PE交CD于点F，∵PE ⊥QE ，∴∠PEQ =90°，∵AB ∥CD ，∴∠BPE =∠PFC ，∵∠PEQ 是△QEF 的一个外角，∴∠PEQ =∠DQE +∠PFC =90°，∴∠BPE +∠DQE =90°，故答案为：∠BPE +∠DQE =90°，(2)过点G 作GF ∥CD ，∴∠HQC =∠HGF ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥FG ，∴∠PGF =180°-∠APG ，由(1)得：∠BPE +∠DQE =90°，∴∠APE +∠CQE =360°-(∠BPE +∠DQE )=270°，∵PG 平分∠APE ，QH 平分∠CQE ，∴∠APG =12∠APE ，∠CQH =12∠CQE ，∴∠APG +∠CQH =12(∠APE +∠CQE )=135°，∵∠HGP =∠PGF -∠HGF=180°-∠APG -∠HQC=45°，∴∠HGP 的度数为45°；(3)2∠PNQ -∠MQE =90°，理由：∵PN 平分∠BPE ，QN 平分∠MQD ，∴∠BPE =2∠BPN ，∠MQN =∠DQN ，由(1)可得：∠BPE +∠DQE =90°，∴2∠BPN +∠DQN +∠EQN =90°，由(1)可得：∠BPN +∠DQN =∠PNQ ，∴∠PNQ +∠BPN +∠MQN -∠MQE =90°，∴∠PNQ +∠BPN +∠DQN -∠MQE =90°，∴∠PNQ+∠PNQ-∠MQE=90°，∴2∠PNQ-∠MQE=90°，故答案为：2∠PNQ-∠MQE=90°．20.(2022春•宜春期末)问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上)，连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．(1)端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC-(∠A+∠C)= 0 度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+(∠A+∠C)= 360 度；(2)端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A-∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC-(∠A-∠C)= 180 度．【分析】(1)过点P作PE∥AB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；(2)过点P作PE∥CD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：(1)如图：过点P作PE∥AB，∴∠A=∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C=∠EPC，∵∠APC=∠APE+∠EPC，∴∠APC=∠A+∠C，∴∠APC-(∠A+∠C)=0度，故答案为：0；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC=180°，∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC=360°，∴∠APC+∠A+∠C=360°，∴∠APC+(∠A+∠C)=360度，故答案为：360；(2)∠APC+∠A-∠C=180°，证明：过点P作PE∥CD，∴∠C=∠EPC，∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∴∠A+∠APC-∠EPC=180°，∴∠A+∠APC-∠C=180°，∴∠APC+∠A-∠C=180°；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A=∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC=180°，∴∠C+∠APC-∠APE=180°，∴∠C+∠APC-∠A=180°，∴∠APC-(∠A-∠C)=180°，故答案为：180．。