平行线中的模型-初中数学常见的模型方法专题
初中七年级数学复习专题，平行线的四大模型
初中七年级数学复习专题，平行线的四大模型
平行线的四大模型，专题复习，原理都是围绕平行线的性质展开。
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补
平行线的四大模型
模型一铅笔模型
模型二猪蹄模型
模型三臭脚模型
模型四骨折模型
掌握辅助线的构造方法也是必须的。
．。
初中数学 中考复习 第01讲—平行线的五大拐点模型
模型一：铅笔头模型基础（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB //总结：①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //模型一：铅笔头模型进阶如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】模型二：锯齿模型基础（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型二：锯齿模型进阶【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠解答：①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想【例3】如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ） A.149B.5.149C.150D.5.150解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A. 30)()(3241=+-+θθθθB.40)()(3142=+-+θθθθC.70)()(4321=+-+θθθθ D.180)()(4321=+++θθθθ解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型三：臭脚模型基础如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠臭脚模型基础（汇总）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型三：臭脚模型进阶如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是解答：①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证 40=∠GHM ②方法二：锯齿BFGHMND 得证40=∠GHM 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型四：蛇型基础如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型五：蜗牛模型基础如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线。
平行线四种常见模型解题技巧(解析版)--2024年新八年级数学
平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。
重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。
六大全等模型初中数学模型
的 射 线 AM 上 移 动 ， 且 PQ ＝ AB ， 当 AP＝_5__cm__或__1_0__cm__时，能使△ABC和
△QPA全等.
图2
3.如图3，已知AD＝BE，BC＝EF，AC＝DF. 求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AD＝BE，
∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
AB＝DE，
在△ABC 与△DEF 中，BC＝EF，
答图2
∴S△BEF＝S正方形OBAC－S△ECF－(S△ACE＋S△OCF)＝16－6－6＝4.
∴△BEF的面积为4.
∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.
AB＝DE，
在△ABC 和△DEF 中， ∠A＝∠D，
AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS).∴∠B＝∠E.
图3
模型 一线三等角模型（基础模型）
图 示
①
结论：若AC⊥BC，AD⊥CD，BE⊥CE， 且AC＝BC，则△ADC≌△CEB
结论：①若∠ACB＝∠ADC＝∠CEB，
图答5图1
∠PEB＝∠PFA，
在△BEP 和△AFP 中，PE＝PF， ∠EPB＝∠FPA，
∴△BEP≌△AFP(ASA). ∴BE＝AF. ∴OA＋OB＝OF＋AF＋OE－BE＝OF＋OE. ∵P(1，1)，∴OE＝OF＝1.∴OA＋OB＝2.
答图1
6．(选做)如图6，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴 于点C，过点C作∠ECF分别交线段AB，OB于E，F两点，已知点A(4，4).
∴∠ABC＋∠ABE＝180°.∴点E，B，C共线．
图6
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN＋∠BAM＝45°.
∴∠BAE＋∠BAM＝45°，即∠MAE＝45°.
初中数学复习几何模型专题讲解29--- 平行线中和角平分线有关的图形
初中数学复习几何模型专题讲解专题29 平行线中和角平分线有关的图形一、单选题1．在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解．【详解】解析：依据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠B =∠DAE=∠CAE=∠C故选C．【点睛】此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．2．如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠F AD＝45°，则∠ACE＝（）A．45°B．67.5°C．112.5°D．135°【答案】C【分析】先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．【详解】解：∵∠F AD＝45°，∴∠BAD＝180°-45°＝135°．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝12BAD∠＝67.5°．∵AD∥BE，∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．故选：C．【点睛】本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．3．如图，已知BM平分∠ABC，且BM//AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．70°【答案】B【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．【详解】解：∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝12∠ABC＝35°．∵BM∥AD，∴∠A＝∠MBA＝35°．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．二、解答题4．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE 的平分线相交于点K．（1）求∠EKF的度数；（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．【答案】（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，证明见解析；（3）∠K4＝5.625°．【分析】（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，从而得出结论；（2）根据角平分线的定义可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，结合（1）的结论可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，从而求出∠K1，即可得出结论；（3）根据（2）中的规律即可得出结论．【详解】（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，∵AB∥CD，∴AB∥KG∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，∴∠BEK+∠DFK＝90°，则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，理由为：∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，则∠K＝2∠K1；（3）如图（3），根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝12∠K1＝22.5°，∠K3＝12∠K2＝11.25°，∠K4＝12∠K3＝5.625°．【点睛】此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．5．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠ABN的度数是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是．【答案】（1）①116,︒②CBN；（2）58︒；（3）不变，:2:1APB ADB∠∠=，理由见解析；（4）29.︒【分析】（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；（2）由角平分线的定义可以证明∠CBD＝12∠ABN，即可求出结果；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；（4）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．【详解】解：（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为：116°；②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，故答案为：CBN；（2）∵AM//BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD ＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC ＝∠DBN ，由（1）∠ABN ＝116°，∴∠CBD ＝58°，∴∠ABC+∠DBN ＝58°，∴∠ABC ＝29°，故答案为：29°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．6．如图1，在平面直角坐标系中，(,0),(,2)A a C b ，且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB x ⊥轴于B ．（1）求ABC ∆的面积．（2）若过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，求AED ∠的度数．（3）在y 轴上存在点P 使得ABC ∆和ACP ∆的面积相等，请直接写出P 点坐标．【答案】（1）4；（2）45︒；（2）(0,3)P 或(0,1)-．【分析】（1）根据非负数的性质易得2a =-，2b =，然后根据三角形面积公式计算； （2）过E 作//EF AC ，根据平行线性质得////BD AC EF ，且1312CAB ∠=∠=∠，1422ODB ∠=∠=∠，所以112()2AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠；然后把90CAB ODB ∠+∠=︒ 代入计算即可；（3）分类讨论：设(0,)P t ，当P 在y 轴正半轴上时，过P 作//MN x 轴，//AN y 轴，//BM y 轴，利用4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形可得到关于t 的方程，再解方程求出t ； 当P 在y 轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t ．【详解】解：（1）2(2)20a b ++-=，20a ∴+=，20b -=，2a ∴=-，2b =，CB AB ⊥(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(2,2)C ，ABC ∆∴的面积12442=⨯⨯=； （2）解：//CB y 轴，//BD AC ，5CAB ∴∠=∠，又∵590ODB ∠+∠=︒，∴90CAB ODB ∠+∠=︒，过E 作//EF AC ，如图①，//BD AC ， ////BD AC EF ∴， 31∴∠=∠，42∠=∠ AE ∵，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，即：132CAB ∠=∠，142ODB ∠=∠， 112()452AED CAB ODB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒；（3）(0,1)P -或(0,3)． 解：①当P 在y 轴正半轴上时，如图②，设(0,)P t ， 过P 作//MN x 轴，//AN y 轴，//BM y 轴，4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴4(2)(2)42t t t t -+---=，解得3t =， ②当P 在y 轴负半轴上时，如图③4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形 ∴4(2)(2)42t t t t -+-+--=，解得1t =-，综上所述：(0,3)P 或(0,1)-．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．构造矩形求三角形面积是解题关键．7．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．彤彤是这样做的：过点E 作EF //AB ，则有∠BEF ＝∠B ．∵AB //CD ，∴EF//CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．【答案】（1）65°；（2）11 18022αβ︒-+【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF=∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．即∠BED=∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=12∠ABC=30°，∠EDC=12∠ADC=35°，∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．答：∠BED的度数为65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA=180°．∴∠BEF=180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∴∠EBA =12∠ABC =12α，∠EDC =12∠ADC =12β， ∴∠BED =180°﹣∠EBA +∠EDC =180°﹣12α +12β． 答：∠BED 的度数为180°﹣12α +12β． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．8．如图，已知//AM BN ，60A ∠=︒，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC ，BD 分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）求CBD ∠的度数（2）当点P 运动时，:APB ADB ∠∠的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P 运动到某处时，ACB ABD =∠∠，求此时ABC ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）不变，∠APB ：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=12∠ABN 即可； （2）不变．可以证明∠APB=∠PBN ，∠ADB=∠DBN=12∠PBN ． （3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN 即可解决问题；【详解】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN=180°-∠A=120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12（∠ABP+∠PBN）=12∠ABN=60°，（2）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB=∠DBN=12∠PBN=12∠APB，∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，∴∠ABC=14∠ABN=30°，【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDE=160°，求∠C的度数【答案】140°【分析】先根据邻补角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠ADB及∠ABC的度数，由平行线的性质可得出∠C的度数．【详解】解：∵∠CDE=160°，∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．10．如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求证：∠1=∠E．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，∴∠ADC=∠EGC=90∘（），∴AD∥EG（），∴∠2=______，( )∠3=______(两直线平行，同位角相等) ．又∵AD平分∠BAC（），∴∠2=∠3（），∴∠1=∠E（）【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠E；已知；角平分线的定义；等量代换【分析】根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可．【详解】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴AD//EG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=1，(两直线平行，内错角相等)∠3=∠E(两直线平行，同位角相等) ．又∵AD平分∠BAC（已知），∴∠2=∠3（角平分线的定义），∴∠1=∠E（等量代换）．【点睛】本题主要考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质及判定是解题的关键．AB CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，11．已知直线//CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB =36°，求∠MCD的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明：2∠MCD+∠GAB=90°．【答案】（1）63°；（2）见解析【分析】（1）依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；（2）结合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．【详解】（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，∴∠CAH=90°-36°=54°，∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAH=180°，∴∠ACD=126°，∵CM是∠ACD的平分线，∴∠ACH=∠DCM=63°；（2）∵∠ACH=∠DCM，∴∠ACD=2∠MCD，由（1）得ACD+∠CAH=180°，∵AG⊥AC，∴∠CAG=90°，∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，∴2∠MCD+∠GAB=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．12．阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．请阅读下面的推理过程：如图①，过点A作DE//BC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三个内角的和为180°．阅读反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．方法运用：如图②，已知AB//DE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF//AB）深化拓展：如图③，已知AB//CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．【答案】方法运用：360°；深度拓展：65°【分析】方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．【详解】方法运用：解：过点C作CF∥AB∴∠B=∠BCF∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360°深化拓展：过点E作EF∥AB∴∠BEF=∠ABE又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=12∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=12∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．13．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B 重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；结论应用（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．【答案】（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3【分析】（1）利用三角板的度数，求出∠DBC的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN的度数，由此得到∠1的度数；（2）过B点作BG∥直线m，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代换得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性质得到∠LAB＝90°-∠2，由此证明结论；（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．【详解】（1）∵直线n∥直线l，∴∠DBC＝∠BDN，又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，∴∠BDN＝15°，∴∠1＝90°﹣15°＝75°．（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，∵BG∥m，l∥m，∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），∵BG∥m，∴∠3＝DBG，又∵BG∥l，∴∠LAB＝∠ABG，∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，又∵∠2和∠LAB互为余角，∴∠LAB ＝90°﹣∠2，∴∠3+90°﹣∠2＝75°，∴∠2﹣∠3＝15°．（3）结论：∠2＝3∠3．理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，又∵CN 平分∠BCA ，∴∠BCN ＝∠CAN ＝22.5°，又∵直线n ∥直线l ，∴∠2＝22.5°，∴∠3＝7.5°，∴∠2＝3∠3．【点睛】考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键． 14．如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，100EOF ∠=︒．（1）求BEO DFO ∠+∠的值；（2）如图2，直线MN 交BEO ∠、CFO ∠的角平分线分别于点M 、N ，求EMN FNM∠-∠的值；（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG n OEG ∠=∠，FK 在DFO ∠内，DFK n OFK ∠=∠．直线MN 交FK 、EG 分别于点M 、N ，若50FMN ENM ∠-∠=︒，则n 的值是__________．【答案】（1）260° ；（2）40°；（3）53【分析】（1）如下图，过点O 作OG AB ，可得出AB OG CD ，然后利用平行的性质进行角度转换可得出答案；（2）如图，过点M 作MK AB ，过点N 作NH CD ∥，然后设BEM OEM x ∠=∠=，CFN OFN y ∠=∠=，利用方程思想进行角度推导，可得出答案；（3）如下图，过点O 作AB 的平行线OQ ，同样利用方程思想进行推导转化，可得出n 的值．【详解】（1）证明：过点O 作OG AB∵AB CD ∥∴AB OG CD∴180BEO EOG ∠+∠=︒，180DFO FOG ∠+∠=︒∴360BEO EOG DFO FOG ︒∠+∠+∠+∠=即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒∵100EOF ∠=︒∴260BEO DFO ︒∠+∠=（2）解：过点M 作MK AB ，过点N 作NH CD ∥，∵EM 平分BEO ∠，FN 平分CFO ∠设BEM OEM x ∠=∠=，CFN OFN y ∠=∠=∵260BEO DFO ︒∠+∠=∴21802260BEO DFO x y ︒︒∠+∠=+-=∴40x y -=︒∵MK AB ，NH CD ∥，AB CD ∥ ∴AB MK NH CD∴EMK BEM x ∠=∠=，HNF CFN y ∠=∠=，KMN HNM ∠=∠∴()EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠∠=∠+∠-∠+∠-x KMN HNM y =+∠-∠-40x y ︒=-=（3）如下图，过点O 作AB 的平行线OQ设∠NEO=x ，则∠AEN=nx设∠OFM=y，则∠MFD=ny∵AB∥CD，AB∥OQ∴AB∥OQ∥CD∴∠EOQ=∠AEO=(n+1)x，∠QOF=180°－(n+1)y∵∠EOF=100°∴∠EOQ+∠QOF=100°，化简得：(n+1)(y－x)=80°在△NPE中，∠ENP=180°－x－∠NPE在四边形POFM中，∠PMF=360°－y－100°－∠OPM∵∠PMF－∠ENP=50°∴∠PMF－∠ENP=50=360°－y－100°－∠OPM－(180°－x－∠NPE) ∵∠NPE=∠OPM∴∠PMF－∠ENP化简后得：150°+(y－x)=180°∴y－x=30°∵(n+1)(y－x)=80°∴解得：n=53．【点睛】本题考查平行线的综合应用，解题关键是构造平行线，然后利用方程思想进行角度转化求解．15．如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．（1）猜想DOP是三角形；（2）补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB∴＝∵DN∥EM∴＝∴＝∴＝【答案】等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，见解析【分析】（1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察此三角形即可大体猜想出三角形的类型；（2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠DOP＝∠DPO，即可判断三角形的形状．【详解】解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；（2）补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB，∴∠DOP ＝∠BOP ，∵DN ∥EM ，∴∠DPO ＝∠BOP ，∴∠DOP ＝∠DPO ，∴OD ＝PD ．故答案为：等腰，∠DOP ，∠BOP ，∠DPO ，∠BOP ，∠DOP ，∠DPO ，OD ，PD ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找到相等的角．16．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示． 例：如图1中的三角形可记作“ABC ”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．（1）如图1，ABC ∠的角平分线交AC 于D ，//DE BC 交AB 于E ，①请在图1中依题意补全图形；②判断EBD △是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．（2）如图2，AF 是GAC ∠的角平分线，//BC AF ．判断ABC 是不是等角三角形，并说明理由．（3）如图3，BM ，CM 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．【答案】（1）①见解析；②△EBD 是等角三角形；（2）△ABC 是等角三角形，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据角平分线定义可得∠ABD ＝∠DBC ，根据平行线的性质可得∠EDB ＝∠DBC ，进而可得∠EBD ＝∠EDB ，从而可得△EBD 是等角三角形；（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；（3）过点M 作GH ∥BC ，交AB 于点G ，交AC 于点H ，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．【详解】解：（1）①补全图形如图4所示．②△EBD是等角三角形．理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形．理由如下：如图5，∵AF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵AF是∠GAC的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等角三角形．（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．下面说明△GBM是等角三角形．理由：∵GH∥BC，∴∠1＝∠2，∵BM是∠ABC角平分线，∴∠GBM＝∠2，∴∠1＝∠GBM，所以△GBM是等角三角形．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．17．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ．（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = °；（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE 1C 的度数；（3）猜想：若∠BEC ＝α度，则∠BE n C = °．【答案】（1）75；（2）70°；（3）2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先过E 作EF ∥AB ，根据AB ∥CD ，得出AB ∥EF ∥CD ，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1，运用（1）中的结论，得出∠BE 1C=∠ABE 1+∠DCE 1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC ； （3）根据∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2，得出∠BE 2C=14∠BEC ；根据∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，得出∠BE 3C=18∠BEC ；…据此得到规律∠E n =12n ∠BEC ，最后求得∠BE n C 的度数．【详解】解：（1）如图①，过E 作EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；故答案为：75；（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC；∵∠BEC=140°，∴∠BE1C=70°；（3）如图2，∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE 2C=∠ABE 2+∠DCE 2=12∠ABE 1+12∠DCE 1=12∠CE 1B=14∠BEC ； ∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，∴∠BE 3C=∠ABE 3+∠DCE 3=12∠ABE 2+12∠DCE 2=12∠CE 2B=18∠BEC ； …以此类推，∠E n =12n ∠BEC ， ∴当∠BEC=α度时，∠BE n C 等于2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭°． 故答案为：2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．18．完成下面的证明．如图：BAP ∠与APD ∠互补，BAE CPF ∠=∠，求证：E F ∠=∠．对于本题小明是这样证明的，请你将他的证明过程补充完整．证明：BAP ∠与APD ∠互补，（已知）//AB CD ∴．( )BAP ∴∠= ．(两直线平行，内错角相等)BAE CPF ∠=∠，（已知）BAP BAE APC CPF ∴∠-∠=∠-∠，（等量代换）即EAP ∠= ．∴ ．(内错角相等，两直线平行)E F ∴∠=∠．( )19．如图，//AB CD ，点C 在点D 的右侧，ABC ∠，ADC ∠的平分线交于点E （不与B ，D 点重合），70ADC ∠=︒．设BED n ∠=︒．（1）若点B 在点A 的左侧，求ABC ∠的度数（用含n 的代数式表示）（2）将（1）中的线段BC 沿DC 方向平移，当点B 移动到点A 右侧时，请画出图形并判断ABC ∠的度数是否改变．若改变，请求出ABC ∠的度数（用含n 的代数式表示）；若不变，请说明理由．【答案】同旁内角互补，两直线平行；APC ∠；APF ∠；//AE FP ；两直线平行，内错角相等．【分析】已知∠BAP 与∠APD 互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB ∥CD ，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．【详解】证明：BAP ∠与APD ∠互补，（已知）//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行）．BAP ∴∠=APC ∠（两直线平行，内错角相等）， BAE CPF ∠=∠，（已知）BAP BAE APC CPF ∴∠-∠=∠-∠，即EAP ∠=APF ∠，//AE FP ∴（内错角相等，两直线平行），E F ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；APC ∠；APF ∠；//AE FP ；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质和等式的性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．20．如图，AC ∥DE ，BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D ，∠A 的度数．【答案】95,60D A ∠=︒∠=︒【分析】根据BD 平分∠ABC ，∠ABC=70°得出1352ABF DBC ABC ∠=∠=∠=︒,再根据//,50AC CE E ∠=︒得出50∠=°ACB ,从而计算,D A ∠∠．【详解】∵根据BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70° ∴1352ABF DBC ABC ∠=∠=∠=︒ 又∵//,50AC CE E ∠=︒∴50∠=°ACB∴180705060A ∠=︒-︒-︒=︒180355095BFC ∠=︒-︒-︒=︒∴95D BFC ∠=∠=︒综上所述：95,60D A ∠=︒∠=︒【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键． 21．直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CM 是ACD ∠的平分线，CM 交AB 于点N ．（1）如图①，过点A 作AC 的垂线交CM 于点M ，若55MCD ∠=，求MAN ∠的度数； （2）如图②，点G 是CD 上的一点，连接MA 、MG ，180MGD EAB ∠+∠=，MC 平分AMG ∠．①AMG ∠和EAB ∠满足怎么样的数量关系时EC AM ⊥？②若36AMG ∠=，求ACD ∠的度数．【答案】（1）20°；（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，EC AM ⊥；②108°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=110°，然后根据垂直的定义求出∠MAE=90°，即可求出结论；（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，根据平行线的性质可推出∠AMG ＋∠ACD=180°，然后根据角平分线的定义可得出∠ACM ＋∠AMC=90°，利用三角形的内角和即可求出∠MAC=90°，从而得出EC AM ⊥；②设∠ACD=x ，根据角平分线的定义可得∠GCM=12ACD ∠=12x ，∠GMC=12∠AMG =18°，根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=x ，从而得出∠MGD=180°－x ，然后根据三角形外角的性质列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵CM 是ACD ∠的平分线，55∠=︒MCD∴∠ACD=2∠MCD=110°∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD=110°∵MA ⊥AC∴∠MAE=90°∴∠MAN=∠EAB －∠MAE=20°（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，EC AM ⊥ ∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD∴∠AMG ＋∠ACD=180°∵CM 是ACD ∠的平分线，MC 平分AMG ∠∴∠ACM=12ACD ∠，∠AMC=12∠AMG ∴∠ACM ＋∠AMC=12ACD ∠＋12∠AMG =()12∠∠+ACD AMG =90° ∴∠MAC=180°－（∠ACM ＋∠AMC ）=90° ∴EC AM ⊥；②设∠ACD=x∵CM 是ACD ∠的平分线，MC 平分AMG ∠，36∠=︒AMG∴∠GCM=12ACD ∠=12x ，∠GMC=12∠AMG =18° ∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD=x∵180MGD EAB ∠+∠=∴∠MGD=180°－x∵∠MGD=∠GCM ＋∠GMC即180－x=12x ＋18 解得：x=108即∠ACD=108°【点睛】此题考查的是平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键．22．已知AB//CD，点E是平行线之间一点．（测量发现）连结EA，EC，分别做∠EAB与ECD的角平分线交于点F，通过测量我们发现∠AEC=2∠AFC．（探索新知）如图，若∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，试探索∠AFC与∠AEC之间的关系，请说明理由．（合理猜想）若∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，请猜想∠AFC与∠AEC之间的关系，不必说明理由．【答案】∠AFC=34∠AEC，理由见解析；∠AFC=1nn∠AEC【分析】探索新知：过点F作FH//AB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD即可证明；合理猜想：过点F作FH//AB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，即可证明.【详解】探索新知：过点F作FH//AB，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，∵∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，∴∠FAB+∠FCD=34∠AEC，∴∠AFC=34∠AEC；合理猜想：过点F作FH//AB，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，∵∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，∴∠FAB+∠FCD=1nn-∠AEC，∴∠AFC=1nn-∠AEC．【点睛】本题是对平行线性质的考查，熟练掌握平行线的性质定理是解决本题的关键．23．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC 的度数；（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC ＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含n的代数式表示）．【答案】（1）35︒（2）50︒（3）12152n ︒-︒ 【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点E 作//EF AB ，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；（3）过点E 作//EF AB ，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．【详解】解：（1）∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒； （2）过点E 作//EF AB ，如图：∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒；BE 平分ABC ∠，30ABC ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒，1152ABE ABC ∠=∠=︒ ∵//AB CD ，//EF AB∴////AB EF CD∴35FED CDE ∠=∠=︒，15FEB ABE ∠=∠=︒∴50BED FED FEB ∠=∠+∠=︒；（3）过点E 作//EF AB ，如图：∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒；BE 平分ABC ∠，ABC n ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒，1122ABE ABC n ∠=∠=︒ ∵//AB CD ，//EF AB∴////AB EF CD∴35FED CDE ∠=∠=︒，11801802FEB ABE n ∠=︒-∠=︒-︒ ∴113518021522BED FED FEB n n ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒-︒． 故答案是：（1）35︒（2）50︒（3）12152n ︒-︒ 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质，难度中等．24．如图①，BE 、DF 分别平分四边形ABCD 的外角MBC ∠和NDC ∠，设BAD ∠=α，BCD β∠=．（1）若110αβ+=︒，则MBC NDC ∠+∠= ︒；（2）若BE 与DF 相交于点G ，且25BGD ∠=︒，求α、β所满足的等量关系式，并说明理由；（3）如图②，若αβ=，试判断BE 、DF 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）110；（2）50βα-=︒，理由见解析；（3）BE DF ∥，理由见解析【分析】（1）根据四边形的内角和与邻补角的性质即可求解；（2）连接BD ，先得到1()2CBG CDG αβ∠+∠=+，再根据三角形的内角和得到角度的关系即可求解；（3）由（1）有，∠MBC ＋∠NDC ＝αβ+，BE 、DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，则∠CBE ＋∠CDH ＝12（αβ+），∠CBE ＋β−∠DHB ＝12（αβ+），根据α＝β，则有∠CBE ＋β−∠DHB ＝12（β＋β）＝β，得到∠CBE ＝∠DHB ，故可得到BE ∥DF ．【详解】解：（1）∵∠ABC ＋∠ADC ＝360°−（αβ+）＝250°，∴∠MBC ＋∠NDC ＝180°−∠ABC ＋180°−∠ADC ＝360°-（∠ABC ＋∠ADC ）=αβ+＝110°．故答案为：110；（2）50βα-=︒．理由如下：如解图①，连接BD ，由（1）知，MBC NDC αβ∠+∠=+， BE 、DF 分别平分四边形ABCD 的外角MBC ∠和NDC ∠， ∴12CBG MBC ∠=∠，12CDG NDC ∠= ()1111()2222CBG CDG MBC NDC MBC NDC αβ∴∠+∠=∠+=∠+=+． 在△BCD 中，∠BDC ＋∠CBD ＝180°−∠BCD ＝180°−β， 在△BDG 中，∠GBD ＋∠GDB ＋∠BGD ＝180°，∴∠CBG ＋∠CBD ＋∠CDG ＋∠BDC ＋∠BGD ＝180°，∴（∠CBG ＋∠CDG ）＋（∠BDC ＋∠CBD ）＋∠BGD ＝180°， ∴12（αβ+）＋180°−β＋25°＝180°， 整理得50βα-=︒；（3）BE DF ∥．理由如下，如解图②所示，延长BC 交DF 于点H ，由（1）、（2）可知，MBC NDC αβ∠+∠=+，1()2CBE CDH αβ∠+∠=+．BCD CDH DHC ∠=∠+∠，CDH BCD DHC DHC β∴∠=∠-∠=-∠，1()2CBE DHC βαβ∴∠+-∠=+． αβ=，1()2CBE DHB ββββ∴∠+-∠=+=， CBE DHB ∴∠=∠，BE DF ∴∥．【点睛】此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式倒角为解题关键．25．已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD=∠C ；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E.F 在DM 上，连接BE.BF.CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB+∠NCF=180°，∠ABF=2∠ABE ，求∠EBC 的度数.【答案】(1)90°；(2)详见解析;(3)105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.。
初中数学平行线拐点问题(1)
二 例题讲解
如图，已知直线m∥n，∠1＝105°，∠2＝140°，求∠3的大小．
二 例题讲解
如图，已知直线m∥n，∠1＝105°，∠2＝140°，求∠3的大小．
解：如答图所示，作直线l∥m，则l∥n，
∴∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°， ∵∠1＝105°，∠2＝140°，∴∠4＝75°，∠5＝40°， ∵∠3为∠4＋∠5的邻补角， ∴∠3＝180°－75°－40°＝65°.
数量关系会发生变化吗？
E
A
B
A
B
C
D
C
图3
D
（3）犀牛角型
∠BED=∠B－∠D
图4 E
（4）锄头型 ∠BED=∠B－∠D
五 类题演练
1.如图，若AD∥BE，且∠ACB＝90°，∠CBE＝30°， 则∠CAD＝________．
2．如图9，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与 ∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．
3.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，
P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的不动点．其
中PA与l1相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l2相交为
∠3．
（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）
上运动，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系
是否变化？
（2）若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系
一 模型归纳
（2）燕尾型（猪手图） 如图2，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么
∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？
A
B
E
C
图2
D
一
模型归纳 A
平行线四大模型
初中数学微专题：平行线四大模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∥P+∥AEP+∥PFC=360°；“猪蹄”模型点P在EF左侧，在AB、CD内部结论1：若AB∥CD，则∥P=∥AEP+∥CFP；“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部结论1：若AB∥CD，则∥P=∥AEP-∥CFP或∥P=∥CFP-∥AEP；点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∥P=∥CFP-∥AEP或∥P=∥AEP-∥CFP；一、平行线四大模型结论证明（1）已知AE // CF，求证∥P +∥AEP +∥PFC = 360°.（2）已知∥P=∥AEP+∥CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∥P=∥AEP-∥CFP.（4）已知∥P= ∥CFP-∥AEP，求证AE //CF .二、例题讲解（2019春•彭泽县期中）如图，已知：∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F与∠G的大小关系如何？请说明理由【答案】解：∠F＝∠G，理由是：∵∠ABE+∠DEB＝180°，∴AC∥ED，∴∠CBE＝∠DEB，∵∠1＝∠2，∴∠CBE﹣∠1＝∠DEB﹣∠2，即∠FBE＝∠GEB，∴BF∥EG，∴∠F＝∠G．【例10】（2019春•普宁市期中）已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．（1）探究：如图（1）∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是；如图（2）∠P AB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是．（2）在图2中试探究∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展探究：当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系．【答案】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠APE+∠P AB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∵∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，∴∠APC＝360°﹣145°﹣135°＝80°，如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠APE＝∠P AB，∠CPE＝∠PCD，∵∠APC＝∠APE+∠CPE，∴∠APC＝∠P AB+∠PCD＝105°；故答案为：80°；105°．（2）∠APC＝∠P AB+∠PCD．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴∠APE＝∠P AB，∠CPE＝∠PCD，∵∠APC＝∠APE+∠CPE，∴∠APC＝∠P AB+∠PCD；（3）如图3．∠APC＝∠PCD﹣∠P AB，如图4．∠APC＝∠P AB﹣∠PCD．（2019春•桂平市期末）（1）如图①，∠CEF＝90°，点B在射线EF上，AB∥CD，若∠ABE＝130°，求∠C的度数；（2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点B在射线EF上，AB∥CD．猜想∠ABE 与∠C的数量关系，并说明理由．【答案】解：（1）如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABE＝50°，∵∠CEF＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，∵AB∥CD，EK∥AB，∴∠C＝∠2＝40°；（2）∠ABE﹣∠C＝60°，理由：如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABE，∵AB∥CD，EK∥AB，∴EK∥CD，∴∠C＝∠2，∵∠CEF＝∠1+∠2＝120°，即180°﹣∠ABE+∠C＝120°，∴∠ABE﹣∠C＝180°﹣120°＝60°．（2019春•费县期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．三、练习巩固：1.如图，AB // CD // EF ， EH ∥CD 于H ，则∥BAC +∥ACE +∥CEH 等于( ) A . 180° B . 270° C . 360° D . 450°2．若AB ∥CD ，∥CDF =32∥CDE ，∥ABF =32∥ABE ，则∥E ：∥F =( ) A ．2:1 B ．3:1 C ．4:3 D ．3:23.如图，己知AE ∥BD ，∥1=130°，∥2=30°，则∥C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∥C =115°，∥A = 25°，则∥E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∥l =l l 0°，∥2=120°，则∥α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∥D =116°，∥DCB =93°，则∥B = .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∥1=50°，∥2 =60°，则∥3的度数为.8.如图，AB∥CD，EP∥FP，已知∥1=30°，∥2=20°．则∥F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∥BEF=70°，求∥B+∥F+∥C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∥A、∥C、∥AEC之间有什么关系？请说明理由；(2)如图2，∥AEF、∥EFC、∥FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∥A、∥E、∥F、∥G、∥H、∥O、∥C之间的关是.。
平行线四大模型(归纳总结)
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 外部
“骨折”模型
结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论 2：若∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP，则 AB∥CD.
【发散思维】
图 1： 180
图 2： 180
图 3： 180
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型（“鸡翅”模型）
点 P 在 EF 右侧，在 AB、 CD 外部
“臭脚”模型
结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论 2：若∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP，则 AB∥CD.
模型四“骨折”模型（“鹰嘴”模型）
图 4： 180
图 5： 180 图 6： 180
【探索发现】
思考 1：
1 +2 ++ n 与 1+2 ++ n1 的关系?
思考 2：
1+2 ++ n =
.
平行线四大模型 模、 CD 内部 结论 1：若 AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论 2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则 AB∥CD.
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M 模型）
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 内部 结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论 2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则 AB∥CD.
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5.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°
【答案】B
【解析】
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC= ∠AEC．
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】证明：连接AC，
设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，
即∠C=∠B+∠F．
（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，
如图，
作MN∥AB，
由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7，
∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．作出相关辅助线是解此题的关键.
【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G
∵AB//CD
∴∠ABF=∠G
∵
∴∠DCE=∠G
∴BG//CE
∴ ；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），
【详解】解：①如图：过点E作 ，
， ,
，
，
；
②如图，过E点作 ，过F点作
过G点作 ，
，
，
，
，
即 ;
③如图：
，
根据以上规律可得：
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题意将复杂的图形转化为基本图形是解题的关键．
变式1
4.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
（3）方法同（2）
【详解】（1）过点E作EF∥AB
∵∠B=25°
∴∠BEF=∠B=25°
∵∠BED=80°
∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55°
∵∠D=55°
∴∠D=∠DEF
∴EF∥CD
∴AB∥CD
（2）过点C作CD∥AB，则CD∥EF，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B，
∵CD∥EF，
∴∠DCF=∠F，
变式3
13.如图所示， .求证：
【答案】详见解析
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
1、笔尖型
解法1
解法2
解法3
解法4
解法5
解法6
例题5
15.如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数．
变式1
11.如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF= ∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋ ∠C＝∠C＋ ∠A，
∴∠E＝ （∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．
模型二 笔尖型（牙齿型）
A.α+β＝180°B.α+β＝90°C.β＝3αD.α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】
【详解】分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到 作差即可.
详解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴
∴
故选D．
点睛：考查平行公理已经平行线的性质，注意辅助线的作法，作出辅助线是解题的关键.
变式4
14.如图所示，已知 ， 平分 ， 平分 ，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
变式4
7.如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ）
A. 30°B. 150°C. 120°D. 100°
【答案】D
【解析】
【详解】过C作CQ∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CQ，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
平行线中的模型
模型一M型
1、M型基础
例题1
1.如图，若 ，则 ，你能说明为什么吗？
【答案】见解析
【解析】
【分析】过 作 ，利用两直线平行，内错角相等来证明．
【详解】解：过 作 ，
则 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，关键是过 点作 的平行线，利用平行线的性质来证明．
例题2
2.在图中， ， 与 又有何关系？
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[80°-（4x+4y）]
=4x+4y
=4（x+y）
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x+3y））]
=3x+3y
=3（x+y），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．
2、锯齿型
【点拨】锯齿模型 证明思路
锯齿模型
过每个折点作这组平行线的平行线
形成若干相等的内错角
锯齿模型的变换解题思路
例题4
10.（1）如图1，已知 ， ，求证：
（2）如图2，已知 ， ， ，求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合
【详解】
过点A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l1∥l2，
∴∠1+∠4=180 ,∠2+∠5=180 ，
∵∠1=105 ,∠2=140 ，
∴∠4=75 ,∠5=40 ，
∵∠4+∠5+∠3=180 ，
∴∠3=65 .
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
A.90°B.105°C.120°D.135°
【答案】B
【解析】
【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案.
【详解】作直线OE平行于直角三角板的斜边．
可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，
故∠1的度数是：60°+45°＝105°．
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质.
2、牙齿型
解法
点拨：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
② 【 个拐点】
例题6
16.如图，两直线 、 平行，则 （ ）．
A. B. C. D.