因式分解的应用
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数学中的一个重要概念，它在解方程、简化表达式、求极限等方面都有着重要的应用。
在因式分解法中，有四种常见的方法，分别是公因式提取法、分组分解法、换元法和特殊因式分解法。
下面我们将逐一介绍这四种方法的原理和应用。
首先，公因式提取法是因式分解中最基本的方法之一。
当一个多项式中的各项有一个公共因子时，可以利用公因式提取法进行因式分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以提取公因式2x，得到2x(1+2y)。
这种方法在简化表达式时非常常见，也是其他因式分解方法的基础。
其次，分组分解法是一种常用的因式分解方法。
当一个多项式中含有四项或更多项时，可以尝试将其分成两组，然后分别提取公因式。
例如，对于多项式x^2+2xy+3x+6y，我们可以将其分成x^2+2xy和3x+6y两组，然后分别提取公因式x(x+2y)和3(x+2y)，最终得到(x+2y)(x+3)。
这种方法在解方程和简化复杂多项式时非常实用。
第三种方法是换元法，也称为代换法。
在一些特殊的多项式中，可以通过适当的换元来进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2x+1，我们可以令t=x+1，然后将多项式转化为t^2，最终得到(t+1)^2。
这种方法在一些特殊的多项式中非常有效，可以大大简化因式分解的过程。
最后，特殊因式分解法是一些特殊形式的多项式的因式分解方法。
例如，完全平方公式、差几何公式、和差立方公式等都属于特殊因式分解法的范畴。
这些特殊形式的多项式在因式分解时有着固定的公式和规律，掌握这些特殊因式分解法可以大大提高因式分解的效率。
总的来说，因式分解法的四种方法各有其特点，可以根据具体的多项式形式来选择合适的方法进行因式分解。
在学习和应用因式分解法时，需要多加练习，熟练掌握各种方法的原理和技巧，以便能够灵活运用于解决各种代数问题。
希望本文对因式分解法的四种方法有所帮助，谢谢阅读！。
第三讲 因式分解的应用(含答案)-
第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2002年全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．(第13届“希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学历训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(2003年四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 28．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（2000年武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。
因式分解运用公式法(完全平方公式)
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
初中数学因式分解的12种方法
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
因式分解的实际生活例题
因式分解的实际生活例题
以下是几个实际生活中可以应用因式分解的例子：
1. 房屋装修：假设你想在房子中安装地板和墙纸。
如果你知道要覆盖的地面和墙壁的面积，你可以使用因式分解来确定所需材料的数量。
例如，如果地板和墙壁的尺寸分别为(2x^2 + 5x + 3) 平方米和(3x + 2) 平方米，你可以因式分解后计算总面积为(2x+ 1)(x+ 3) 平方米。
2. 高速公路堵车问题：假设你开车在高速公路上行驶，交通拥挤导致车流缓慢。
假设你以速度2(x - 3) km/h行驶，而前方的拥堵导致你只能以速度3(x + 2) km/h行驶。
你可以使用因式分解来计算你的平均速度。
因为平均速度=总路程/总时间。
通过因式分解可以将总时间表示为表达式(2x - 6)(3x+ 6)，总路程为(2x - 6)(3x + 6) km。
然后，你可以通过总路程除以总时间来计算平均速度。
3. 金融投资：假设你在银行存款了一笔钱，并以每年4%的利率获得复利。
如果你打算将此存款投资10年，你可以使用因式分解来计算你在每一年的投资总额。
通过因式分解，你可以将投资总额表示为初始存款乘以(1 + 0.04)^10.
这些是在日常生活中可以应用因式分解的一些例子。
因式分解可以帮助我们根据给定的数学模型和问题，将复杂的表达式分解为更简单的形式，从而更容易进行计算和理解。
八年级上册数学第十四章因式分解
八年级上册数学第十四章：因式分解1. 基础概念因式分解是指一个多项式被分解成几个简单的因式相乘的形式。
在代数中，因式分解是一个基本的运算技能，它在解算术问题和简化数学表达式中起到至关重要的作用。
八年级上册数学的第十四章中，因式分解是一个重要的内容。
2. 因式分解的意义因式分解可以帮助我们简化复杂的表达式，使得问题变得更加直观和易于理解。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式分解成简单的因式相乘的形式，从而更好地理解其结构和特性。
因式分解也为我们解方程、求函数的性质等提供了有力的工具。
3. 因式分解的方法在八年级上册数学的第十四章中，主要介绍了以下几种因式分解的方法：a. 提公因式法：根据多项式的各项的公因式提出一个因式，然后用提出的公因式除原来的多项式。
b. 分组、差的平方和完全平方公式法：通过分组、差的平方和完全平方公式，将多项式分解成更简单的形式。
c. 换元法：通过变量代换的方法，将原多项式转化成更易于分解的形式。
4. 因式分解的应用因式分解在实际问题中有着广泛的应用。
在八年级上册数学的第十四章中，通过大量的例题和练习题，让学生们掌握因式分解的基本方法和技巧，并培养他们运用因式分解解决实际问题的能力。
在解方程、求函数的零点、化简复杂的表达式等方面，因式分解都能发挥重要作用。
5. 拓展与延伸除了基本的因式分解方法外，八年级上册数学第十四章还会进一步引入一元二次方程的因式分解等内容，从而帮助学生更好地理解因式分解的原理和方法，为学习高中数学打下坚实的基础。
通过八年级上册数学的第十四章因式分解的学习，不仅可以让学生掌握因式分解的基本原理和方法，更可以为其将来学习高中数学和应用数学打下坚实的基础。
因式分解作为八年级数学的重要内容，对于学生的数学素养和综合运算能力有着重要的意义。
6. 因式分解的综合运用在八年级上册数学第十四章中，因式分解不仅仅是简单的将多项式分解成简单因式的乘积，还涉及到更多的综合运用。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解的7种方法和4种思路
因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中一个基本且重要的概念，它是将一个多项式或者表达式，通过分解成若干个因子的乘积的形式来表示。
因式分解涉及到多种方法和思路，并且在不同的数学问题中有着不同的应用。
下面将介绍七种常见的因式分解方法和四种思路。
一、七种因式分解方法：1.公因式提取法：该方法适用于多个项有公因子的情况。
例如：2xy + 4x + 6y 可以提取 x，得到 x(2y+4) + 6y，再可以继续提取2，得到2(x(y+2)+3y)2.完全平方差公式：如果一个多项式可以表示成两个平方数之差的形式，那么就可以使用完全平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.公式法：公式法是运用数学中的一些特殊公式进行因式分解的方法。
例如：a^2 ±2ab+b^2 = (a±b)^2a^3 ± b^3 = (a±b)(a^2∓ab+b^2)4.分组法：分组法适用于多项式中存在一些特殊的关系。
例如：ab + ac + bd + cd，我们可以通过分组成 (ab+ac) + (bd+cd)，然后再提取公因式，变成a(b+c) + d(b+c)，最后变成 (a+d)(b+c)。
5.提取平方根法：如果一个多项式的各项是可以开平方的，那么就可以使用提取平方根的方法进行因式分解。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^26.分解差的平方：如果一个多项式是两个平方之差的形式，那么可以使用分解差的平方的方法。
例如：a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)7.组合法：组合法是将一个多项式中的项进行组合，寻找其中的特殊关系，然后进行因式分解。
例如：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，可以将其分组为(a^3 + b^3) + 3ab(a + b)，再使用公式法进行因式分解。
二、四种因式分解思路：1.提取公因子的思路：当一个多项式中的几个项具有公因子时，可以使用公因子提取法将公因子提取出来，从而进行因式分解。
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因式分解的应用
一、知识体系
1. 因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础．现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面都有广泛的应用；同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。
其应用主要体现在以下几个方面：
①．整体代换，代数式变形求值问题；
②．简化复杂的数值计算，利用因式分解找可以相消，凑整的部分；
③．证明数论相关问题，通过因式分解进行倍数、约数的分析；
④．解决几何问题，特别是三角形三边关系的恒等变形与证明．
2. 有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应该熟悉这些结果，记住一些常用公式，有助于我们快速解题：
①1(1)(1)ab a b a b +++=++，1(1)(1)ab a b a b --+=--；
②4224(22)(22)x x x x x +=-+++，42241(221)(221)x x x x x +=-+++；
③2222
2()()a b c ab bc ca a b c +++++=++；
④3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---.
二、例题讲解
例1.计算： （1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）32
322017220172015201720172018-⨯-+-
1.1 设322320162015(20162017)2015(20142013)2014a -⨯+=⨯--，3223
20172016(20172018)2016(20152014)2015b -⨯+=⨯--，则a ，b 的大小关系为（ ）
A. a b >
B. a b =
C. a b <
D. 无法确定
1.2 设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结
果是( )
A ．5814
B ．5841
C ．8415
D ．845l
1.3 化简3333333333(21)(31)(41)(991)(1001)(21)(31)(41)(991)(1001)
---⋅⋅⋅--+++⋅⋅⋅++的值最接近于（ ） A ．
12 B ．13 C ．23 D.58
1.4 计算：4444444444(764)(1564)(2364)(3164)(3964)(364)(1164)(1964)(2764)(3564)++++++++++
例2. 已知323122
N n n n =+
+，求证： （1）对于任何自然数n ，N 都是整数；（2）对于任何自然数n ，N 都是3的倍数．
2.1 已知2471-可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )
A ．41，48
B ．45，47
C ．43，48
D ．4l ，47
2.2 对于一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是_________
2.3 对于一个自然数，如果能找到非零自然数m 和n ，使得P m n mn =++，则称P 为一个 “好数”， 如3=1+1+1⨯1，则3 是一个“好数”.那么在1、2、…、46这46个自然数中，“好数”一共有_______个．
2.4 （1）已知a 是正整数，且3221215a a a +-+表示质数，则这个质数是_________．
（2）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，则n 的值是____________．
（3）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明 .
例3. 求方程64970xy x y +--=的整数解.
3.1
整数a ，b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=__________．
3.2
设正整数,m n 满足896m n mn +=+，则m 的最大值为 _________.
3.3
设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使()(15)25()()x a x x b x c +--=++,则a 可取的值为_______．
3.4
关于,x y 的方程11112011
x y xy ++=的正整数解(,)x y ，共有 _______ 组．
例4. 求方程2224x xy y --=的正整数解．
4.1 求方程22
2522006x xy y ++=的所有正整数解．
4.2 已知,,a b c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于_________．
4.3 求方程22278x xy y x y +--+=的正整数解．
例5. 已知一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，且它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与 宽分别是多少？
5.1 正整数a ，b ，c 是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（ ）
A.1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
5.2 长方形的周长为16，它的两边,x y 是正整数，且满足
22220x y x xy y --+-+=，求它的面积.
5.3 一个长方体的棱长为整数，且其体积、表面积、棱长的和为2001，求该长方体的三边长．
【巩固训练】
1. 已知实数,a b 满足条件222241a b a b ab ++=-，则（ ）
A ．11a b =⎧⎨
=⎩ B ．11a b =⎧⎨=⎩
或11a b =-⎧⎨=-⎩ C ．11a b =-⎧⎨=⎩ 或11a b =⎧⎨=-⎩ D ．11
a b =⎧⎨=-⎩
2. 数,a b 满足关系式1a b ab +-=，已知a 不是整数，则（ ） A ．b 也不是整数 B ．b 一定是正整数
C ．b 是负整数
D ．b 是偶数
3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ___ ．
4．已知三个质数m 、n 、p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++=_________.
5. 自然数,x y 满足
987x y
+=，则x y +=_______．
6．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+c+a=3，则（a+1）(b+1)(c+1)=____________.
7. 求方程2008x y xy ++=的正整数解．
8. 一个正整数，若加上100 是一个完全平方数；若加上168 ，则是另一个完全平方数，求这个正整数.
9．已知,,a b c 都是正整数，且满足293031366a b c ++=，则a b c ++的值为 ___________ ．
10．方程221000x y x y +=-的正整数解为___________
11. 计算：
（1）)
41
9)(417)(415)(413)(41
1()
41
10)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++
（2）4242424242
4242424242(221)(441)(661)(881)(10101)
(331)(551)(771)(991)(11111)++++++++++++++++++++。