因式分解的应用
第三讲 因式分解的应用(含答案)-
第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2002年全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．(第13届“希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学历训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(2003年四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 28．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（2000年武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。
因式分解定理的应用
因式分解定理的两个应用刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731)因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。
推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。
通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。
反之亦然。
利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。
例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k =分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b +例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ）A 。
21x -B 。
21x +C 。
1x +D 。
1x -（第12届初二第二试）解：设32()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =⎧⎨=⎩ 解得21p q =⎧⎨=-⎩，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。
例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。
（1）求4a c +的值。
（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定a ，b ，c 的大小。
（第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32x ax bx c +++，所以(1)0(4)0f f =⎧⎨-=⎩，即10641640a b c a b c +++=⎧⎨-+-+=⎩，整理得116464a b c a b c ++=-⎧⎨-+=⎩解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=，（2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。
阶段核心应用 因式分解的八种常见应用
解：规律为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2. 理由如下：
n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2 ＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1 ＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1 ＝[n(n＋1)＋1]2.
BS版 八年级上
阶段强化专题训练
专训1 探究光的反射定律
阶段强化专题训练
入射角 50° 40° 20°
反射角 50° 40° 20°
阶段强化专题训练
(2)海若按如图甲所示方式开始实验，纸板上显示出了两 条光线，她想把这两条光线的传播路径保留在纸板上 以便探究，请你为她设计一个简便的方法：_沿__光__路__用__ _铅__笔__相__隔__一__定__距__离__在__纸__板__上__各___ _点__两__点__，__再__过__两__点__用__直__尺__、__铅___ _笔__将__光__的__路__径__画__在__纸__板__上___。
8．若a，b，c为三角形的三边长，求证：(a2＋b2－c2)2－ 4a2b2的值一定为负． 证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2 ＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab) ＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2] ＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
4．先阅读下列材料，然后解题： 因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x －2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除．所以x－2 是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0. (1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋ 5x ＋ 6 能 被x_＋__2_或__x_＋__3_ 整 除 ． 所 以 _x_＋__2_或__x_＋__3是 x2 ＋5x＋6的一个因式，且当x＝_－__2_或__－__3_时，x2＋ 5x＋6＝0.
初中数学因式分解的12种方法
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
初中数学 因式分解有什么作用
初中数学因式分解有什么作用因式分解在数学中有着广泛的应用和重要的作用。
以下是因式分解的一些主要作用：1. 简化计算：因式分解可以帮助我们简化复杂的计算。
通过将一个数或者一个多项式因式分解为若干个较简单的乘积，我们可以简化计算的过程。
这在进行数值计算、求解方程和进行代数运算时非常有用。
2. 解方程：因式分解可以帮助我们解决各种类型的方程。
通过将方程中的多项式进行因式分解，我们可以将复杂的方程转化为简单的线性方程或者二次方程，从而更容易地求解方程的根。
3. 理解多项式的性质：因式分解可以帮助我们理解多项式的性质和结构。
通过将多项式进行因式分解，我们可以看到多项式的因子之间的关系，了解多项式的根和零点，进而研究多项式的图像、极值点、拐点等特性。
4. 寻找最大公因数和最小公倍数：因式分解可以帮助我们寻找数之间的最大公因数和最小公倍数。
通过将数进行因式分解，我们可以找到它们的公因子和公倍数，从而确定最大公因数和最小公倍数。
5. 理解数的性质：因式分解可以帮助我们理解数的性质。
通过将一个数因式分解为质数的乘积，我们可以了解数的因数结构，从而推导出数的性质，如奇偶性、可约分性、完全平方数等。
6. 探索数论问题：因式分解在数论中有着重要的应用。
通过因式分解，我们可以研究素数、完全数、亲和数等数论问题，探索数的性质和规律。
总结起来，因式分解在数学中具有广泛的应用和重要的作用。
它可以帮助我们简化计算、解决方程、理解多项式的性质、寻找公因数和公倍数、探索数论问题等。
因此，掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和问题解决都是非常重要的。
希望这个解答对您有所帮助。
如果您还有任何问题，请随时提问。
因式分解的实际生活例题
因式分解的实际生活例题
以下是几个实际生活中可以应用因式分解的例子：
1. 房屋装修：假设你想在房子中安装地板和墙纸。
如果你知道要覆盖的地面和墙壁的面积，你可以使用因式分解来确定所需材料的数量。
例如，如果地板和墙壁的尺寸分别为(2x^2 + 5x + 3) 平方米和(3x + 2) 平方米，你可以因式分解后计算总面积为(2x+ 1)(x+ 3) 平方米。
2. 高速公路堵车问题：假设你开车在高速公路上行驶，交通拥挤导致车流缓慢。
假设你以速度2(x - 3) km/h行驶，而前方的拥堵导致你只能以速度3(x + 2) km/h行驶。
你可以使用因式分解来计算你的平均速度。
因为平均速度=总路程/总时间。
通过因式分解可以将总时间表示为表达式(2x - 6)(3x+ 6)，总路程为(2x - 6)(3x + 6) km。
然后，你可以通过总路程除以总时间来计算平均速度。
3. 金融投资：假设你在银行存款了一笔钱，并以每年4%的利率获得复利。
如果你打算将此存款投资10年，你可以使用因式分解来计算你在每一年的投资总额。
通过因式分解，你可以将投资总额表示为初始存款乘以(1 + 0.04)^10.
这些是在日常生活中可以应用因式分解的一些例子。
因式分解可以帮助我们根据给定的数学模型和问题，将复杂的表达式分解为更简单的形式，从而更容易进行计算和理解。
因式分解的应用因式分解在分式运算123
寒假作业1因式分解的应用因式分解在分式运算、解方程、解不等式、代数式的恒等变形等方面有广泛的应用，此外在中学数学中还有其他重要的应用．请看例子． 1．判断整除性例1 2n-1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n，∴ 这两个连续奇数的平方差能被8整除．例3 x3+y3+z3-3xyz能被(x+y+z)整除．证明原式即 (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)，∴x3+y3+z3-3xyz 能被(x+y+z)整除．例5 设4x-y为3的倍数，求证：4x2+7xy-2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy-2y2=(4x-y)(x+2y)，又x+2y=4x-y-3x+3y =(4x-y)-3(x-y)．∵ 3/(4x-y)，3/3(x-y)，∴ 3/(x+2y)，于是 9/(4x2+7xy-2y2)．2．判定几何图形的形状例6 在△ABC中，三边a、b、c满足a3+b3+c3-3abc=0，试判定三角形的形状？解∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0，而a+b+c≠0，∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，即 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，∴ a=b=c，即△ABC为等边三角形．例8 如果xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1975，试求自然数x、y、z．解方程两边加1，得(x+1)(y+1)(z+1)=23·13·19，①(x，y，z)为(7，12，18)，②(7，18，12)，③(12，7，18)，④(12，18，7)，⑤(18，7，12)，⑥(18，12，7)共6组解．例9 求x2-y2=1979的整数解．解∵ 1979是质数，而 (x+y)(x-y)=1979．几类特殊多项式的因式分解例1 分解因式：(1)(x2+3x+2)(x2-9x+20)-72；(2)(a+1)(a+2)(a+3)(a+6)+a2．分析第(1)题中的(x2+3x+2)(x2-9x+20)可分解为：(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)，其中(x+1)(x-4)=x2-3x-4，而(x+2)(x-5)=x2-3x-10．注意到此时出现了相同的项x2-3x，所以用整体代换就能分解它们．第(2)题的方法类似．解(1)原式=(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)-72 =(x2-3x-4)(x2-3x-10)-72 =(x2-3x)2-14(x2-3x)-32 =[(x2-3x)-16][(x2-3x)+2] =(x2-3x-16)(x-1)(x-2)； (2)原式=(a2+6+7a)(a2+6+5a)+a2=(a2+6)2+12a(a2+6)+36a2=(a2+6+6a)2．例2 分解因式：x2+2xy-8y2-4x-10y+3．分析此题容易想到用分组分解法，但比较困难．考虑到x2+2xy-8y2=(x+4y)(x-2y)，且 -4x-10y=-3(x+4y)-(x-2y)，可用十字相乘法来分解．此题结果为原式=(x+4y-1)(x-2y-3)．因式分解中变换一、指数变换例1 因式分解x n+1-3x n+2x n-1．解x n+1-3x n+2x n-1=x2·x n-1-3x·x n-1+2x n-1(指数变换) =x n-1(x+1)(x-2)．二、符号变换例2 因式分解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)．解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)(符号变换) =(a-b)(x-y+x+y) =2x(a-b)．三、换元变换例3 因式分解(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6．解设x2+5x-2=y，则(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6=(y+5)y-6(换元) =y2+5y-6 =(y+6)(y-1)(x2+5x+4)(x2+5x-3)=(x+1)(x+4)(x2+5x-3)．四、整体变换例4 因式分解(x+y)2-4(x+y-1)．解(x+y)2-4(x+y-1) =(x+y)2-4(x+y)+4(将x+y看作一整体)=(x+y-2)2．五、拆项变换例5 因式分解x2-11x+24．解 x2-11x+24=x2-3x-8x+24(将-11x拆为-3x-8x)=x(x-3)-8(x-3)=(x-3)(x-8)六、添项变换例6因式分解 4x4+1．解 4x4+1=(4x4+4x2+1)-4x2 (添4x2项)=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)分组变换例8因式分解 x4-x3+x-1 解 x4-x3+x-1 =(x4-x3)+(x-1) (分解) =x3(x-1)+(x-1) =(x-1)(x+1)(x2-x+1) ．九、数域变换例9因式分解 4a4-1．解 4a4-1 =(2a2+1)(2a2-1) (有理数范围)十、综合变换例10因式分解a6-b6解 a6-b6=(a2)3-(b2)3 (指数变换) =(a2-b2)(a4+a2b2+b4) (公式变换) =(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2) (添项变换) =(a2-b2)[(a4+2a2b2+b4)-(ab)2] (分组变换)=(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) (公式变换)因式分解复习说明：1、首项是负数时，一般提负因式，同时将括号内各项变号．2、有些多项式若能看成某一字母的二次三项式，一般可用十字相乘法分解．3、对于四项式来说，一般采用“二二”分组或“一三”分组，分组后能提公因式或能运用公式，否则分组就是盲目的．4、分组的原则是分组后可再提公因式或分组后可用公式再分解，分组后能用十字相乘法再分解的也可以。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
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因式分解的应用
1. 什么是因式分解
因式分解是指将一个多项式拆分成多个乘法的形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式看作是多个因式相乘的结果，这些因式可以是整数、变量或者其他多项式。
2. 因式分解的重要性
因式分解在数学中具有重要的应用价值，它可以帮助我们简化复杂的多项式、解决方程以及分析函数的性质。
以下是因式分解的几个重要应用：
2.1 简化多项式
通过因式分解，我们可以将一个复杂的多项式简化为多个简单的乘积形式。
这样不仅可以方便计算，还可以使问题更加直观和容易理解。
2.2 解方程
在解方程的过程中，因式分解可以帮助我们将一个复杂的方程
转化为多个简单的因式相乘的形式。
这样可以更容易找到方程的解，减少计算的复杂性。
2.3 分析函数性质
对于给定的函数，我们可以通过因式分解来分析其性质。
通过
找到函数的因式分解式，我们可以确定函数的零点、极值点以及函
数的图像变化趋势等重要特征，从而更好地理解和应用这个函数。
3. 因式分解的实际应用举例
3.1 商业应用
在商业领域中，因式分解可以应用于利润分析、成本分析以及
市场需求预测等方面。
通过将复杂的商业问题转化为因式分解的形式，我们可以更容易地理解和解决这些问题。
3.2 自然科学
在自然科学中，因式分解也有广泛的应用。
例如，通过将复杂的物理方程因式分解，我们可以更好地理解和研究物理规律；通过将复杂的化学反应方程因式分解，我们可以更好地分析和预测化学反应的过程。
3.3 统计学
在统计学中，因式分解可以帮助我们分析数据、发现规律以及预测趋势。
通过将复杂的统计模型因式分解，我们可以更好地理解和应用这些模型，从而提高数据分析的准确性和效果。
4. 总结
因式分解是数学中一种重要的思维工具，它在数学、商业、科学以及统计学等领域都有着广泛的应用。
通过理解因式分解的概念和方法，我们可以更好地解决问题、分析函数性质以及预测趋势。
因此，掌握因式分解的应用是很有价值的，对于提升数学水平和解决实际问题都有重要意义。