利用因式分解解决问题
因式分解教案5篇
式分解教案5篇因式分解教案篇一教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力。
2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法。
3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想。
教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式。
教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解。
什么叫因式分解？知识详解知识点1因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
例如:(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验。
怎样把一个多项式分解因式？知识点2提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式。
ma+mb+mc二m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如:x2-x=x(x-l),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)。
探究交流下列变形是否是因式分解？为什么？(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1用提公因式法将下列各式因式分解。
(1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a);分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a 化成-(a-b)，然后再提取公因式。
原题目：多项式因式分解的应用题
原题目：多项式因式分解的应用题多项式因式分解是代数学中的一个重要概念，它在各种数学问题的求解中有广泛的应用。
本文将介绍多项式因式分解的应用题，并探讨如何解决这些问题。
一、应用题目1：购买书籍小明花了一笔钱购买了一些书籍。
已知每本书的价格是x （元），小明总共购买了n本书，花了m（元）。
问每本书的价格是多少？解题思路：设每本书的价格为a（元），根据题意可得多项式方程na = m，目标是求解a的值。
利用多项式因式分解的方法，将方程na = m化简为一次方程，即可得到答案。
具体步骤如下：1. 将方程na = m进行因式分解，得到a = m/n。
2. 根据所给的具体数值，代入公式计算出每本书的价格。
二、应用题目2：种植花卉小红有一块花园，她要在这个花园里种植鲜花。
已知花园的面积是x（平方米），假设鲜花的种植密度为a（平方米/株），花园里共有n株鲜花。
问花园的面积和鲜花的种植密度分别是多少？解题思路：设花园的面积为A（平方米），鲜花的种植密度为D（平方米/株），根据题意可得多项式方程A = nD，目标是求解A和D的值。
利用多项式因式分解的方法，将方程A = nD化简为一次方程组，即可得到答案。
具体步骤如下：1. 将方程A = nD进行因式分解，得到D = A/n。
2. 根据所给的具体数值，代入公式计算出花园的面积和鲜花的种植密度。
三、应用题目3：分配任务某公司有x个员工，需要完成n项任务。
已知每个员工每天能完成m项任务，问需要多少天才能完成所有任务？解题思路：设完成所有任务所需的天数为d，根据题意可得多项式方程xd = n，目标是求解d的值。
利用多项式因式分解的方法，将方程xd = n化简为一次方程，即可得到答案。
具体步骤如下：1. 将方程xd = n进行因式分解，得到d = n/x。
2. 根据所给的具体数值，代入公式计算出完成所有任务所需的天数。
通过上述应用题的解答过程，我们可以看到多项式因式分解在实际问题求解中的重要性和应用价值。
因式分解脱式习题及答案
因式分解脱式习题及答案因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以将一个多项式分解为两个或多个较简单的因式的乘积。
在解决因式分解问题时，我们需要运用一些特定的技巧和方法。
下面，我们将通过一些脱式习题来探讨因式分解的应用。
1. 脱式习题一：将多项式 $x^2 + 5x + 6$ 进行因式分解。
解答：首先，我们需要找到两个数，它们的和为5，乘积为6。
通过观察，我们可以得到2和3满足这个条件。
因此，我们可以将多项式分解为 $(x + 2)(x + 3)$。
2. 脱式习题二：将多项式 $2x^2 - 7x - 3$ 进行因式分解。
解答：这个习题稍微复杂一些。
我们需要找到两个数，它们的和为-7，乘积为-6。
通过观察，我们可以得到-9和2满足这个条件。
因此，我们可以将多项式分解为$(2x + 1)(x - 3)$。
3. 脱式习题三：将多项式 $4x^3 - 12x^2 + 9x$ 进行因式分解。
解答：在这个习题中，我们需要注意多项式中的公因式。
首先，我们可以提取出公因式x，得到 $x(4x^2 - 12x + 9)$。
接下来，我们需要找到两个数，它们的和为-12，乘积为36。
通过观察，我们可以得到-6和-6满足这个条件。
因此，我们可以将多项式分解为 $x(2x - 3)(2x - 3)$。
4. 脱式习题四：将多项式 $9x^4 - 16y^4$ 进行因式分解。
解答：在这个习题中，我们需要运用平方差公式。
根据平方差公式，我们可以将多项式分解为 $(3x^2 - 4y^2)(3x^2 + 4y^2)$。
通过以上的习题，我们可以看到因式分解的过程并不是一成不变的，需要根据具体的多项式形式来灵活运用不同的方法。
掌握因式分解的技巧和方法，能够帮助我们更好地理解和解决数学问题。
总结起来，因式分解是数学中的一种重要的运算方法，通过将多项式分解为较简单的因式的乘积，可以更好地理解和解决数学问题。
在解决因式分解问题时，我们需要灵活运用不同的技巧和方法，根据多项式的具体形式来选择合适的分解方法。
利用“因式分解”解实际问题
利用“因式分解”解实际问题和其它知识一样，因式分解在我们的实际生活中也有着广泛地运用，为了让同学们能够有足够的认识，现举例说明.例1 如图1，在一块边长为a cm 的正方形纸板的四个角上各剪去一各边长为b (b ＜2a )cm 的小正方形.试求当a ＝13.2，b ＝3.4时剩余部分的面积. 分析 剩余部分的面积即为图中阴影部分的面积，等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，考虑小数平方运算不方便，可以采取先因式分解，然后求解.解 a 2－4b 2＝(a +2b )(a －2b )＝(13.2+2×3.4)(13.2－2×3.4)＝20×6.4＝128（cm 2）.答：剩余部分的面积为128cm 2.例2 某商场销售三种不同的运动装，售价均为298元，为迎接五一长假，增加销售量，现对三种运动装实行降价让利销售活动，已知甲种运动装让利20%，乙种运动装让利15%，丙种运动装让利25%，三种运动装商场共让利多少元？分析 要求三种运动装商场共让利的金额，只要求出甲、乙、丙三种运动装让利的和即可，考虑都含有百分号，运算不方便，故可以将百分号和相同的因数提出，利用因式分解来简化计算.解 由题意，得298×20%+298×15%+298×25%＝298％×(20+15+25)＝298%×60＝178.8（元）.答：三种运动装商场共让利178.8元.例3 某公园计划砌一个如图2①所示的喷水池，后有人建议改为如图2②的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够.请你比较两种方案，哪一种需用的材料多？分析 要比较两种方案哪种材料多少，只要通过计算即可比较，在运算过程中可以利用因式分解求解.解 设大圆的直径为d ，则周长为πd ；设三个小圆的直径分别为d 1，d 2，d 3，则三个小① ② 图2图1圆的周长之和为πd 1+πd 2+πd 3＝π(d 1+d 2+d 3).因为d ＝d 1+d 2+d 3，所以πd ＝πd 1+πd 2+πd 3.即两种方案所用的材料一样多.下面两道题目供同学们自己练习：1，一块边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少？2，如图3，把R 1，R 2，R 3三个电阻串联起来，线路AB 上的电流为I ，电压为U ，则U ＝IR 1 +IR 2 +IR 3，当R 1＝19.7，R 2＝32.4，R 3＝35.9，I ＝2.5时，求U 的值.3，如图4所示，在半径为R 的圆形钢板上，切割掉半径为r 的四个小圆，求剩余部分的面积.（R ＝7.8cm ，r ＝1.1cm ，π≈3.14，结果保留2位小数）参考答案：1，(a +2)2－a 2＝(a +2＋a )(a +2－a )＝4a +4（平方米）.2，U ＝IR 1 +IR 2 +IR 3＝I (R 1 +R 2 +R 3)＝2.5×(19.7+32.4+35.9)＝2.5×88＝220.3，剩余部分的面积为：S ＝πR 2－4πr 2＝π(R 2－4r 2)＝π(R +2r )(R －2r )＝π(7.8+2×1.1)(7.8－2×1.1)＝π×10×5.6＝56π≈56×3.14＝175.84（cm 2）.1 2 3 图3图4。
因式分解教案模板(10篇)
因式分解教案模板（10篇）因式分解教案 1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1)._2-4y2=(_+2y)(_-2y)因式分解(2).2_(_-3y)=2_2-6_y整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4)._2+4_+4=(_+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、规律总结(教师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点：(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6_2+6_y+3_=-3_(2_-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。
现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。
动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。
下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。
因式分解初中数学配方法
因式分解初中数学配方法【引言】在初中数学学习中，因式分解是一项重要的技能，它可以帮助我们解决许多实际问题。
而配方法作为因式分解的一种常用策略，更是同学们需要掌握的关键知识点。
本文将详细介绍配方法的概念、应用步骤以及其在解决实际问题中的优势，帮助同学们更好地理解和运用配方法。
【配方法的定义和基本原理】配方法，又称添项法，是一种在因式分解中引入新项的方法。
其基本原理是通过构造一个等式，使得待分解的式子可以表示为两个或多个因式的乘积。
具体操作步骤如下：1.观察待分解的式子，找到可以分解的项；2.构造一个新项，使其与待分解式子中的某一项相加或相减后，可以得到一个完全平方公式；3.将新项加到待分解式子中，并化简；4.重复步骤1-3，直至无法再进行分解。
【配方法的应用步骤和实例解析】下面我们通过一个实例来详细解析配方法的应用步骤：待分解式子：x + 2x - 31.观察待分解式子，我们可以发现可以分解的项为x和1；2.构造新项：新项应为-1，使其与x相加得到完全平方公式；3.将新项加到待分解式子中：x + 2x - 1 - 2；4.化简：我们可以将x + 2x - 1看作是一个完全平方公式，即（x + 1）- 2；5.继续分解：（x + 1）- 2 = （x + 1 + 1）（x + 1 - 1）= （x + 2）（x）；所以，待分解式子x + 2x - 3可以分解为（x + 2）（x）。
【配方法在解决实际问题中的优势和作用】配方法在解决实际问题中的优势在于，它能够将复杂的式子简化为更容易处理的形状，从而使得解决问题变得更加直观。
通过运用配方法，我们可以快速地找到问题的解，提高解题效率。
【总结】配方法作为初中数学中因式分解的重要方法，不仅可以帮助同学们更好地理解和掌握因式分解的技巧，还能提高解题速度。
初二数学因式分解技巧
初二数学因式分解技巧因式分解技巧方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。
一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法。
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a+b)(a-b)2)。
(a±b)^2= a^2±2ab+b^2———a^2±2ab+b^2=(a±b)^23) (a+b)(a-ab+b) =a^2+b^2———a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)4)。
(a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^26) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)例如，已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：a+b+c=ab+bc+ca⇒2a+2b+2c=2ab+2bc+2caa-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0a=b=c因此，三角形ABC为等边三角形。
三、分组分解法。
一）分组后能直接提公因式例如，分解因式：am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
一元二次方程的因式分解法
一元二次方程的因式分解法一元二次方程是高中数学中的重要概念之一，它的因式分解法是解一元二次方程的常用方法之一。
本文将以一元二次方程的因式分解法为标题，详细介绍这个方法的定义、原理、步骤以及应用。
一、定义一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知实数且a≠0，x是未知数。
二、原理一元二次方程的因式分解法基于两个数的乘积等于0的性质，即若ab = 0，则a=0或b=0。
因此，我们可以将一元二次方程转化为两个一次方程，从而求得方程的解。
三、步骤使用因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：1. 将方程移项，使得方程等式右边为0；2. 利用因式分解的方法，将方程进行因式分解；3. 令每个因式等于0，并解得方程的根；4. 将解代入原方程，验证是否满足。
四、应用因式分解法广泛应用于解决一元二次方程的实际问题，例如：1. 求解抛物线的顶点坐标：对于一元二次方程y = ax^2 + bx + c，通过将其转化为因式分解形式y = a(x - h)^2 + k，可以得到抛物线的顶点坐标(h,k)；2. 求解物体自由落体运动问题：通过将物体自由落体运动的高度与时间之间的关系转化为一元二次方程，利用因式分解法求解，可以得到物体的运动时间和最大高度等重要参数；3. 求解工程问题中的最大值和最小值：例如，在设计一个具有固定周长的矩形花坛时，可以将矩形的面积表示为一元二次方程，并通过因式分解法求解得到最大面积。
总结：一元二次方程的因式分解法是解决该类型方程的一种有效方法。
通过将方程转化为因式分解形式，并根据因式等于0的性质进行求解，可以得到方程的解。
此外，因式分解法还可以应用于解决实际问题，如求解抛物线的顶点坐标、物体自由落体运动问题以及工程问题中的最大值和最小值等。
因此，掌握一元二次方程的因式分解法对于学习和应用数学都具有重要意义。
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利用因式分解解决问题
因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式。
在解决问题时，如能灵活巧妙地利用因式分解，往往能起到化繁为简，方便快捷的效果。
例1.某商场销售三种不同的的运动鞋。
十?一假期，为增加销售量，现在对三种运动鞋实行降价让利活动。
已知甲种运动鞋每双售价a元，让利10%；乙种运动鞋每双售价2a 元，让利15%；丙种运动鞋每双售价3a元，让利30%。
如果各销售一双，则三种运动鞋共让利多少元？
【分析】要求三种运动鞋商场共让利多少，只要求出甲、乙、丙三种运动鞋让利的和即可。
考虑到都含有百分号，运算不方便，所以，可以将相同的因数提取，利用因式分解来简化计算。
解：W=a×10%+2a×15%+3×35%
=a（10%+30%+90%）
=a×130%= a（元）
答：三种运动鞋商场共让利a元.
例2.某公园计划砌一个圆形如图（1）的喷水池，后来有人建议改成如图（2）的形状且外圆直径不变，只是担心
原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种用的材料多？
【分析】比较两种方案，哪一种用的材料多？也就是比较哪个周长更长。
假设第一个方案的大圆直径是d，那么方案一的两个大圆的总周长是2dπ，设三个小圆的直径分别为a、b、c，则a+b+c=d，再利用提公因式法因式分解，很简单就解决了问题。
解：C1=2dπC2=（aπ+bπ+cπ）+dπ=（a+b+c）π+dπ= 2dπ
所以C1= C2
答：两种方案需要的材料一样多.
归纳：某些问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单。
例3：老李师傅在制作零件时，要在半径为Rcm的圆形钢板上钻四个相同的半径为rcm的圆孔，老李师傅测量出R=7.8cm，r=1.1cm时，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积。
（结果保留π）
【分析】剩余部分的面积，即为大圆的面积减4个小圆的面积。
因为数字为小数，计算起来不方便。
先因式分解，后计算，就简单多了。
解：根据题意，S=πR?-4πr?
当R=7.8，r=1.1时
S=π（R?-4 r?）=π（R+2r）（R-2r）=π（7.8+2×1.1）（7.8-2×1.1）
=π10×5.6=56π（cm2）
答：剩余部分的面积为56πcm2.
例4.小明制作了一个房子模型，如图所示，要把其中的这一面墙涂上颜色（小正方形窗户除外），那么涂色的面积是多少？
【分析】涂色的面积应该是三角形的面积加正方形的面积再减去小正方形的面积.可利用平方差公式对部分式子进行因式分解，从而简化计算。
解：S涂色=
=
= 答：涂色的面积是143.
归纳：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式。
例5.如左图，开发商要在原来小区（正方形）的基础上进行征地扩建，且使扩建后的小区平面仍旧是正方形。
如果土地的成本价1500元/m2，开发商在整个小区的土地成本投资应是多少万元？
【分析】根据题意可知，土地的总面积=原居民区面积+
新建住房区面积，可发现整个式子是一个完全平方式，可利用因式分解简化计算过程。
解：S=642+36×64×2+362=（64+36）2=1002=10000
所以土地的投资成本为：10000×1500=1500（万元）
答：土地成本投资应是1500万元.
例6.某公园有一块长为51.2m的
正方形绿地，为了便于游人通行，决定修
两条互相垂直的小路，如下图小路宽1.2m，
问剩余绿地的面积是多少？
【分析】用整块绿地的面积减去小路的面积，就是剩余绿地的面积。
因为数字含有小数，计算较繁。
如用完全平方公式因式分解，就简单多了。
解：S=51.22-（2×1.2×51.2-1.22）=51.22-2×1.2×51.2+1.22
=（51.2-1.2）2=502=2500
答：剩余绿地的面积为2500m2.。