八年级数学培优——因式分解及其应用
人教版八年级数学培优和竞赛二合一-用提公因式法把多项式进行因式分解
人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(13689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组，求代数式的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。
解：把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。
4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n，和都是10的倍数。
一定是10的倍数5、中考点拨：例1。
八年级因式分解培优
(a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2(a - b)2 = a2 - 2ab + b22、整式乘法的分类:单项式义单项式单项式义多项式多项式义多项式3、因式分解概念：将某个多项式分解成几个因式的积的形式就叫做〜例：a2—b2= (a + b)(a—b)a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b )2a 2一2ab + b2 = (a一b)24、因式分解与整式乘法之间的关系：彼此互为逆向运算5、因式分解的常用方法介绍①提公因式法②公式法③十字相乘法第一种：提公因式法典型例题因式分解：2a(b +c ) -3 (b+c ) 总结：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的 第一项系数是负的一般要提出“－"号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式 后得到的另一个因式必须按降幂排列。
练习巩固1、把下列各式因式分解(1) 2(x - y )2-(x - y )3 (2) m(a - b)-n(b - a)第二种：公式法典型例题1：用平方差公式进行因式分解⑴ m 2 - 9n 2 ⑵ 4m 2 - 25n 2(3) m 4 - n 4 (4) -1 +16m 4总结:能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式。
注意多项式 有公因式时，首先考虑提取公因式,有时还需提出一个数字系数.练习巩固6(x -2) + x (2 -x )(3) 3(y - x)2 + 2(x - y) (4) m(a -b)2 + n(b - a)2(5) mn(a -b) - m(b - a)2 (6) 2x(x + y)2 + (x + y)3典型例题2：用完全平方公式进行因式分解(1) (p - q)2 - 2(p - q) +1 ( 2 )(m + n)2一2(m2一n2) + (m-n)2总结:整体代换思想：a、b比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母。
8年级(下)培优课程【4】因式分解
【4】因式分解考点一：应用因式分解恒等变形求值例1.若多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为．例2.已知二次三项式x2+ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为．变式1：若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．变式2：若x2+2（m﹣3）x+16＝（x+n）2，则m＝．考点二：待定系数法、赋值法在因式分解中的运用例1.若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．变式1：已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n 的值．变式2：因为（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，这说明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同时也说明多项式x2+x﹣2有一个因式为x﹣1，另外当x＝1时，多项式x2+x﹣2的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）已知x﹣2能整除x2+kx﹣16，求k的值；（2）已知（x+2）（x﹣1）能整除2x4﹣4x3+ax2+7x+b，试求a、b的值．考点三：根据完全平方公式求值(配方法)例1.已知x2﹣2（m﹣3）x+25是完全平方式，则m＝；若关于x、y的多项式9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则常数k的值为．变式：若多项式x2+（m﹣1）x+25是一个完全平方式，那么m＝．考点四：根据完全平方公式求值(知二求二)例1.已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．变式：（1）已知a﹣b＝6，a2+b2＝10，求ab，（a+b）2的值；（2）x+＝3，求x2+．（3）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2与ab的值；（4）若a+b＝﹣3，ab＝2，求a2+b2与（a﹣b）2的值．考点五：运用配方法求最值例1.阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）求代数式x2+4x+2020最小值．（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．（4）仿照上述方法求代数式﹣x2﹣14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．考点五：几何图形面积中运用因式分解例1.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．变式：我们知道，对于一个图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请解答下列问题：（1）写出图2所表示的数学等式：；（2）已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝40，利用（1）中所得结论．求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片、若干个长为b宽为a 的长方形纸片，选用这些纸片拼出一个图形，使得它的面积是2a2+7ab+3b2．画出该图形，并利用该图形把多项式2a2+7ab+3b2分解因式．DM AP课堂练习1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．m2﹣2m﹣1 D．2．x2﹣5x+k中，有一个因式为（x﹣2），则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣63．不等式组：的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＜4 D．m=44．如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜06．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定7．如图10，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA,点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B． C． D．8．若x2+mx﹣n能分解成（x﹣1）（x+4），则m= ，n= ．9．若x同时满足不等式2x+3＞0与x﹣2＜0，则x的取值范围是．10．已知：x2﹣y2=8，x ﹣y=4，则x+y= ．11．已知21012a b-=，20232024ab=，则2224a b ab-的值为．12. 已知12-=m , 则2023202220212m m m +-的值是 ．13．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为52°，则底角B 的大小为 ．14．如图，已知一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）的图象与x 轴相交于点A （3，0）．若正比例函数y mx =（m为常数，且0m ≠）的图象与一次函数的图象相交于点P ，且点P 的横坐标为1，则关于x 的不等式()0k m x b -+>的解集为 ，关于x 的不等式组0,0mx kx b <⎧⎨-<⎩的解集为 ．15．若关于x 的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m 的取值范围是 ．16．已知关于x 的不等式组只有4个整数解，则a 的取值范围是 ．17．解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．253(2)(1)123x x x x 523(1)(2)131522x x x x18. 分解因式.（1）4x 2（y ﹣2）+9（2﹣y ） （2）4﹣m 2+2mn ﹣n 2(3) 321025x x x -+； （4）()()224292m n m n ---．19．我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．物资种类 A B C每辆汽车运载量（吨）12 10 8每吨所需运费（元/吨）240 320 20020．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，已知AC=10，OA=8．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P 与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°（2）如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．22．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC ＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB ＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．。
初二数学攻略因式分解的技巧与实例
初二数学攻略因式分解的技巧与实例初二数学攻略：因式分解的技巧与实例在初二数学的学习中，因式分解是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。
但只要掌握了正确的技巧和方法，因式分解其实并不难。
接下来，就让我们一起深入探讨因式分解的技巧，并通过实例来加深理解。
一、什么是因式分解因式分解，简单来说，就是把一个多项式化成几个整式的积的形式。
例如，将多项式 x² 9 分解为（x ＋ 3)（x 3) ，这就是因式分解。
二、因式分解的常用方法1、提公因式法这是因式分解的首要方法。
如果多项式的各项有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解。
例如，对于多项式 6x ＋ 9 ，公因式是 3 ，可以分解为 3(2x ＋ 3) 。
2、公式法常用的公式有平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b) ；完全平方公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。
比如，对于 4x² 25 ，可以利用平方差公式分解为（2x ＋ 5)（2x5) 。
对于 x²＋ 6x ＋ 9 ，可以利用完全平方公式分解为（x ＋ 3)²。
3、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c ，如果能找到两个数 p、q ，使得 p＋ q ＝ b ， pq ＝ ac ，那么就可以将原式分解为（x ＋ p)（x ＋ q) 。
例如，对于 x²＋ 5x ＋ 6 ，因为 2 ＋ 3 ＝ 5 ， 2×3 ＝ 6 ，所以可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3) 。
4、分组分解法当多项式的项数较多时，可以将多项式适当分组，然后再用提公因式法或公式法进行分解。
比如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn ，可以先分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn) ，然后分别提取公因式得到 a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n) ，最后再提取公因式（m ＋ n) ，得到（m ＋ n)（a ＋ b) 。
初二数学知识点专题讲解与练习3---因式分解的方法(培优版)
．分解因式： ＝ ． 3
a2 − b2 + 4a + 2b + 3 ____________________________
．多项式 与多项式 的公因式是 ． 4
ax3 − 8a
x2 − 4x + 4
____________________
5．在 1~100 之间若存在整数n ，使 x2 + x − n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的 n 有_______ 个．
ห้องสมุดไป่ตู้
10．已知二次三项式21x2 + ax −10 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．
A．a 一定是奇数 C．a 可为奇数也可为偶数 11．分解因式：
B．a 一定是偶数 D．a 一定是负数
（ ） ； 1 (2x2 − 3x +1)2 − 22x2 + 33x −1
（ ） ； 2 (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) − 90
【例 4】把多项式 x2 − y2 − 2x − 4y − 3因式分解后，正确的结果是（ ）．
． ． A (x + y + 3)(x − y −1) B (x + y −1)(x − y + 3)
． ． C (x + y − 3)(x − y +1) D (x + y +1)(x − y − 3) （“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例 5】分解因式：
（ ） ； 1 x5 + x +1 （扬州市竞赛题）
培优 因式分解及其应用
因式分解及其应用一、知识要点1.因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解2.因式分解的方法关于因式分解的具体方法，可以理解为多项式乘法的逆变形1°常用的因式分解的方法（1）提取公因式法：()ab ac a b c +=+（2）公式法：常用的公式：平方差公式：22()()a b a b a b -=-+完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++完全立方公式：3223333()a a b ab b a b ±+±=±立方和（差）公式：3322()()a b a b a ab b ±=±+（3）分组分解法：()()()()ac ad bc bd a c d b c d a b c d +++=+++=++（4）十字相乘法：2()()()a b c a bc a b a c +++=++2°一些技巧性较强的因式分解的方法（1）双十字相乘法 （2）待定系数法 （3）换元法 （4）拆项、添项法（含配方法）（5）求根法3.因式分解的应用（1）运用因式分解进行多项式除法 （2）运用因式分解解简单的方程4. 下面介绍一种判断多项式可能出现的因式或者判断多项式所对应方程根的方法.用)(c f 表示多项式01222211)(a x a x a x a x a x a x f n n n n n n +++⋯⋯+++=----在m x =时的值，若0)(=m f ，那么m x -是)(x f 的因式.为什么呢？为了便于理解，这里以c bx ax x f ++=2)(为例，具体说明：)()(0)()(m f x f x f x f -=-= =)()(22c bm am c bx ax ++-++=)()()(22c c bm bx am ax -+-+-=)())((m x b m x m x a -+-+=))((b am ax m x ++-. 所以，m x -是)(x f 的因式.反过来，如果m x -是)(x f 的因式，那么0)(=m f . 设有理数qp m =是多项式)(x f 的有理根，则其有理根的分子p 一定是常数项0a 的因数，分母q 一定是首项系数n a 的因数.特别地，当n a =1时，多项式)(x f 若存在有理根，其有理根一定常数项的因数. 如，多项式)(x f =30193--x x 若存在有理根a ，则a 必为30的因数.理由如下：因为a 是多项式)(x f =30193--x x 的有理根，所以，030193=--a a ，于是，可以得到：30193=-a a ，又因为)19(3a a a -，所以a 30，即a 必是30的约数.二、典型例题例1.分解因式：2322233612a x y ax y ax y +-22(2)()(32)()a ad c d ab a c d -+--+例2.分解因式：a x ax x --+23)()()(222b a c a c b c b a -+-+-例3.分解因式（1）256x x +- （2）26x x -- （3）221315x x ++（4）22715x x -- （5）x x x 231123+-例4.分解因式 （1）(1)(2)(3)(4)24x x x x ++++-（2）22(32)(712)120x x x x ++++-例5.分解因式 （1）2222224()x y x y z -+-（2）2222224(31)(4)(56)x x x x x x ++-+--++例6.分解因式：（1）326116x x x +++ （2）3234x x -+（3）22423a b a b -+++ （4）22(1)(1)4m n mn --+例7.分解因式：（1）2231092x xy y x y --++-（2）22534x y x y -+++（3）22xy y x y ++--（4）22267372x xy y xz yz z ---+-例8.分解因式： （1）32464x x x -+-（2）376x x -+例9.关于,x y 的二次三项式22754324x xy my x y ++-+-可以分解成两个一次因式的乘积，求m 的值例10.已知a 是自然数，问9324+-a a 是质数还是合数？给出你的证明.例11. k 取什么数时，k x x x x ++++)3)(2)(1(是一个完全平方式？例12.如图，长方体的每一个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两个数之和相等.若将数8所在面的对面所写的数记为a ，数4所在面的对面所写的数记为b ，数25所在面的对面所写的数记为c .（1） 求ca bc ab c b a ---++222的值；（2） 若a 、b 、c 均为质数，试确定a 、b 、c 的值.例13.已知220,20ab a ab b ≠+-=，求22a b a b-+的值例14.已知：,,a b c 为三角形三边，且满足：222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状例15求方程10xy x y --+=的整数解三、能力测试1．若x 2－mx ＋n ＝(x －4)(x ＋3) 则m,n 的值为（ ）(A) m ＝－1, n ＝－12 (B)m ＝－1,n ＝12 (C) m ＝1,n ＝－12 (D) m ＝1,n ＝12.2．关于的二次三项式x 2－4x ＋c 能分解成两个整系数的一次的积式，那么c 可取下面四个值中的（ ）(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －53.．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，474. 已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则x y y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 5. 设(x ＋y)(x ＋2＋y)－15＝0,则x ＋y 的值是（ ）(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)56．设a<b<c<d ，如果x=(a ＋b)(c ＋d)，y=(a+c)(b+d)，z ＝(a+d)(b+c)，那么x 、y 、z 的大小关系为( )A ．x<y<zB ． y<z<xC ．z <x<yD ．不能确定7．若x+y=－1，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等于( )A ．0B ．－1C ．1D ． 38.已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负9．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )A ．5814B ．5841C ．8415D ．845l10.已知2x 2－3xy ＋y 2＝0（x,y 均不为零），则 x y ＋ y x的值为 。
因式分解的应用与实例
因式分解的应用与实例概述因式分解是数学中一个重要的概念和技巧，广泛应用于代数运算、方程求解以及数论等领域。
通过将一个复杂的表达式或方程分解为更简单的因子，我们能够更好地理解其结构和特性，从而更高效地解决问题。
应用场景1. 方程求解：在代数中，我们经常遇到各种形式的方程，如一次方程、二次方程等。
通过因式分解，我们可以将复杂的方程转化为一系列简单的因子，并从中找到解的方法。
2. 多项式运算：在代数中，多项式的加减乘除运算是常见的操作。
因式分解可以帮助我们简化多项式的表达式，并更方便地进行运算。
3. 数论问题：因式分解在数论中也有重要的应用。
通过将一个数进行因式分解，我们可以更好地理解其素数因子的分布规律，进而研究数论问题。
4. 几何问题：在几何学中，因式分解可以帮助我们分析和理解几何图形的性质和结构。
例如，可以通过因式分解得到一个三角形的面积公式，从而更方便地计算其面积。
实例说明1. 方程求解实例：- 将一次方程2x + 3 = 7进行因式分解，得到2(x + 3/2) = 7，从而得到x = 7/2 - 3/2 = 2/2 = 1的解。
- 将二次方程x^2 - 5x + 6 = 0进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3的解。
2. 多项式运算实例：- 将多项式2x^2 + 3x + 1进行因式分解，得到(2x + 1)(x + 1)的形式，从而可以更方便地进行多项式的运算。
3. 数论问题实例：- 将数15进行因式分解，得到3 × 5的形式，从而可以了解15的素数因子分布。
4. 几何问题实例：- 将三角形的面积公式S = 1/2 * base * height进行因式分解，得到S = base/2 * height的形式，从而更方便地计算三角形的面积。
因式分解作为数学中重要的概念和技巧，在代数运算、方程求解以及数论等领域都有广泛的应用。
通过因式分解，我们可以简化问题的表达和计算，更深入地理解数学问题的本质。
八年级数学培优专题 专题05 和差化积
专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---． 例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ . （全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A. －1 B ．－1或－7 C ．1 D.1或7 （江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题）(2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法． 用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b+． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a恰等于另一个自然数b的立方，则称自然数a为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题）4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则xy y x+的值是( )．A ．2，122B ．2C ．122D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )．A. －1 B ．0 C ．2 D ．1 7．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A. M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝N D ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A. 388944B.388945C.388954D.388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3.已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式32-，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：4x xy__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a，b，c是一个三角形的三边，则444222222++---的a b c a b b c c a222值( )．A.恒正B．恒负C．可正可负D．非负(太原市竞赛试题)6．若x是自然数，设432=++++，则( )．2221y x x x xA. y一定是完全平方数B．存在有限个x，使y是完全平方数C. y一定不是完全平方数D．存在无限多个x，使y是完全平方数7．方程22--=的正整数解有( )组．x xy x23298A.3 B．2 C．1 D．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24-+=的整数解有( )组．xy x yA.2 B．4 C．6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k，a，b为正整数．k被22,a b整除所得的商分别为m，16m.+(1)若a，b互质，证明22-与22,a b互质；a b(2)当a，b互质时．求k的值；( 3)若a，b的最大公约数为5，求k的值．（江苏省竞赛试题）。
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第13讲 因式分解及其应用
考点·方法·破译
1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；
2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；
3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；
4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项法、配方法和待定系数法等方法、另外形如2x px q ++的多项式，当p ＝a ＋b ，q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式；
5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.
经典·考题·赏析
【例１】
⑴若229x kxy y ++是完全平方式，则k ＝______________
⑵若225x xy ky -+是完全平方式，则k ＝______________
【变式题组】
01．若22199
m kmn n -+是一个完全平方式，则k ＝________
02．若22610340x y x y +-++=，求x 、y 的值.
03．若2222410a a b ab b +-++=，求a 、b 的值.
04．已知a 、b 、c 满足22|24||2|22a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值.
【例2】⑴把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ．()()x x y x y +-
B ．22(2)x x xy y -+
C ．2()x x y +
D ．2()x x y -
⑵在实数范围内分解因式44x -＝____________
⑶因式分解2221a b b ---＝_______________
【变式题组】
⑴3223223612x y x y x y -+ ⑵2222(1)2a x ax +-
⑶222045a bx bxy -
⑷2249()16()a b b a --+
⑸222(5)8(5)16a a -+-+
【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可能有（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．无数多个
【变式题组】
⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
⑵在1~100间，若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n 有__个
【例4】分解因式：⑴221112x x -+
⑵22244x y z yz --+
⑶22(52)(53)12x x x x ++++-
⑷226136x xy y x y +-++-
【变式题组】
01．分解因式：
⑴2224912x y z yz ---
⑵224443x x y y --+-
⑶236ab a b --+
⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++
⑸261910y y -+
【例5】⑴求方程64970xy x y +--=的整数解；
⑵设x 、y 为正整数，且224960x y y ++-=，求xy 的值
【变式题组】
01.设x 、y 是正整数，并且222132y x =-，则代数式222x xy y x y +-+的值是___________
02.已知a 、b 为整数，则满足a ＋b ＋ab ＝2008的有序数组（a ，b ）共有__________
03．将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（）A．16种B．14种C．12种D．10种
04．方程332232
-+-=的正整数解的个数为（）
x y x y xy
A．0个B．1个C．2个D．不少于3个
05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.
【例6】已知k、a都是正整数，2004k＋a、2004（k＋1）＋a都是完全平方数
⑴请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？
⑵试指出a的最小值，并说明理由.
【变式题组】
01．已知a是正整数，且22004
+是一个正整数的平方，求a的最大值.
a a
02．设x、y都是整数，
y y的最大值
演练巩固 反馈提高
01．如果分解因式281(9)(3)(3)n x x x x -=++-，那么n 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 02．若多项式22(3)(3)x pxy qy x y x y ++=-+，则p 、q 的值依次为（
） A ．12-，9- B ．6，9- C ．9-，9- D ．0，9-
03．下列各式分解因式正确的是（ ）
A ．291(91)(91)x x x -=+-
B ．4221(1)(1)a a a -=+-
C ．2281(9)(9)a b a b a b --=--+
D ．32()()()a ab a a b a b -+=-+-
04．多项式()()()()x y z x y z y z x z x y +--+-+---的公因式是（ ）
A ．x y z +-
B ．x y z -+
C ．y z x +-
D ．不存在
05．22()4()4m n m m n m +-++分解因式的结果是（ ）
A ．2()m n +
B ．2(2)m n +
C ．2()m n -
D ．2(2)m n -
06．若218x ax ++能分解成两个因式的积，则整数a 的取值可能有（
） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．无数个
07．已知224250a b a b ++-+=，则
a b a b +-的值为（ ） A ．3 B ．1
3 C ．3-
D ．1
3- 08．分解因式：2(2)(4)4x x x +++-＝__________________
09．分解因式：22423a b a b -+++＝__________________
10．分解因式：33222x y x y xy -+＝___________________
11．已知5a b +=，4ab =-，那么22223a b a b ab ++的值等于____________
12．分解因式：2242x y x y -++＝_______________
13．分解因式：2()6()9a b b a ---+＝_________________
14．分解因式：222(41)16a a +-＝___________________
15．已知20m n +=，则332()4m mn m n n +++的值为_____________
16．求证：791381279--能被45整除
17．已知9621－可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数
培优升级 奥赛检测
01．使得381n +为完全平方数的正整数n 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
02．设m 、n 是自然数，并且219980n n m --=，则m ＋n 的最小值是（ ）
A ．100
B ．102
C ．200
D ．不能确定
03．满足方程32326527991x x x y y y ++=+++的正整数对（x ，y ）有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．3对
D ．无数对
04．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．无穷多
05．已知42(1)M p p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=，则M ＝（）
A ．2009
B ．2005
C ．2003
D ．2000
06．不定方程2()7x y xy +=+的所有整数解为_________________
07．已知多项式22
23286x xy y x y +--+-可以分解为(2)(2)x y m x y n ++-+的形式，那么3211m n +-的值是______
08．对于一个正整数n ，如果能找到a 、b ，使得n ＝a ＋b ＋ab ，则称n 为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个
09．一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数，如2648=，64就是一个完全平方数；若22222992299229932993a =+⨯+，求证a 是一个完全平方数
10．已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求2222()()a b xy ab x y +++的值
11．若a 为自然数，则4239a a -+是质数还是合数？请你说明理由
12．正数a 、b 、c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值
13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是（mn ＋9m ＋11n ＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.。