第十讲 因式分解及其应用

第十讲 因式分解及其应用考点·方法·破译1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如2x px q ++的多项式，当p ＝a ＋b ，q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式；5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.经典·考题·赏析【例１】⑴若229x kxy y ++是完全平方式，则k ＝______________ ⑵若225x xy ky -+是完全平方式，则k ＝______________ 【解法指导】形如222a ab b ±+的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.解：⑴22229(3)x kxy y x kxy y ++=++是完全平方式，∴6kxy xy =± ∴6k =±；⑵22225522yx xy ky x x ky -+=-⋅⋅+是完全平方式，∴225()2ky y = ∴254k =【变式题组】01．若22199m kmn n -+是一个完全平方式，则k ＝________ 02．若22610340x y x y +-++=，求x 、y 的值.03．若2222410a a b ab b +-++=，求a 、b 的值.04．（四川省初二联赛试题）已知a 、b 、c 满足22|24||222a b a c a c -++++=+，求a b c -+的值.【例2】⑴（北京）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()()x x y x y +-B ．22(2)x x xy y -+C ．2()x x y +D ．2()x x y -⑵（杭州）在实数范围内分解因式44x -＝____________⑶（安徽）因式分解2221a b b ---＝_______________【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形解：⑴3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=-⑵42224(2)(2)(2)(x x x x x x -=+-=+⑶22222221(21)(1)(1)(1)a b b a b b a b a b a b ---=-++=-+=++-- 【变式题组】⑴3223223612x y x y x y -+ ⑵2222(1)2a x ax +-⑶222045a bx bxy - ⑷2249()16()a b b a --+⑸222(5)8(5)16a a -+-+【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可能有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数多个 【解法指导】由2()()()x a b x ab x a x b +++=++可知，在整数范围内分解因式25x x p -+，p 为(5)n n -的积为整数，∴p 有无数多个，因而选D 【变式题组】⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 ⑵在1~100间，若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n 有__个 【例4】分解因式：⑴221112x x -+ ⑵22244x y z yz --+⑶22(52)(53)12x x x x ++++- ⑷226136x xy y x y +-++-【解法指导】解：⑴ ∴221112(23)(4)x x x x -+=--⑵222244x y z y --+ 222(44)x y yz z =--+ 22(2)x y z =--(2)(2)x y z x y z =+--+⑶设2525x x ++=，则原式可变为2 13 42(1)1212(3)(4)t t t t t t +-=+-=-+∴原式＝22(523)(524)x x x x ++-+++22(51)(56)x x x x =+-++ 2(51)(2)(3)x x x x =+-++⑷226136x xy y x y +-++-22(6)(13)6x xy y x y =+-++- (2)(3)(13)6x y x y x y =-+++- (23)(32)x y x y =-++- 【变式题组】 1．分解因式： ⑴2224912x y z yz --- ⑵224443x x y y --+-⑶236ab a b --+ ⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++⑸261910y y -+【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程64970xy x y +--=的整数解；⑵（希望杯）设x 、y 为正整数，且224960x y y ++-=，求xy 的值【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解；⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x 、y 为正整数的特点，结合不等式求解.解：⑴6497x y x y +--=，(64)(96)1xy x y +-+=，2(32)3(32)1x y y +-+=，∴(23)(32)1x y -+=，∵x 、y 都是整数 ∴{{(23)1(23)1(32)1(32)1x x y y -=-=-+=+=-或 ∴{21113x x y y =⎧⎪=⎨=-=-⎪⎩（舍去）或，∴方程的整数解为{11x y ==-， ⑵224960x y y ++-=，2244100y y x ++=-，22(2)100y x +=-，∵21000x -≥∴2100x ≤∵x 为正整数，∴x ＝1，2，…，10 ，又∵2(2)y +是平方数，∴x ＝6或8当x ＝6时2(2)y +＝64，y ＝6，当x ＝8时2(2)y +＝36，y ＝4，∴xy ＝36或32 【变式题组】01.设x 、y 是正整数，并且222132y x =-，则代数式222x xy y x y+-+的值是___________02.（第二届宗沪杯）已知a 、b 为整数，则满足a ＋b＋ab ＝2008的有序数组（a ，b ）共有__________ 03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数 的平方差的形式，则不同的表示方法有（ ） A ．16种 B ．14种 C ．12种 D ．10种 04．方程332232x y x y xy -+-=的正整数解的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不少于3个 05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如 果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数. 【例6】已知k 、a 都是正整数，2004k ＋a 、2004（k ＋1）＋a 都是完全平方数⑴请问这样的有序正整数（k 、a ）共有多少组？ ⑵试指出a 的最小值，并说明理由.解：⑴22004k a m +=① 22004(1)k a n ++=②，这里m 、n 都是正整数，则222004n m -=故()()2004223167n m n m +-==⨯⨯⨯ 注意到，m n +、n m -奇偶性相同，则{{100233426n m n m n m n m +=+=-=-=或，解得{{500164502170m m n n ====或， 当n ＝502，m ＝500时，由①得2004k ＋a ＝250000，所以2004(124)1504a k =-+③ 由于k 、a 都是正整数，故k 可以取值1，2，3，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k 、a ）共124组当n ＝170，m ＝164时，由①得2004k ＋a ＝26896所以2004(13)844a k =-+④由于k 、a 都是正整数，故k 可以取值1，2，3，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k 、a ）共13组从而，满足要求的正整数组（k 、a ）共有124＋13＝137（组）⑵满足式③的最小正整数a 的值为1504，满足式④的最小正整数a 的值为844，所以，所求的a 的最小值为844 【变式题组】 01．（北京竞赛）已知a 是正整数，且22004a a +是一个 正整数的平方，求a 的最大值.02．设x 、y都是整数，y y 的最大值(2)x y -3(3)x y + －2演练巩固 反馈提高1．如果分解因式281(9)(3)(3)n x x x x -=++-，那么n 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．802．若多项式22(3)(3)x pxy qy x y x y ++=-+，则p 、q 的值依次为（ ） A ．12-，9- B ．6，9- C ．9-，9- D ．0，9-03．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．291(91)(91)x x x -=+- B ．4221(1)(1)a a a -=+-C ．2281(9)(9)a b a b a b --=--+D ．32()()()a ab a a b a b -+=-+-4．多项式()()()()x y z x y z y z x z x y +--+-+---的公因式是（ ） A ．x y z +- B ．x y z -+ C ．y z x +- D ．不存在5．22()4()4m n m m n m +-++分解因式的结果是（ ）A ．2()m n +B ．2(2)m n +C ．2()m n -D ．2(2)m n -6．若218x ax ++能分解成两个因式的积，则整数a 的取值可能有（ ）A ．4个B ．6个C ．8个D ．无数个 7．已知224250a b a b ++-+=，则a ba b+-的值为（ ）A ．3B ．13C ．3-D ．13-8．分解因式：2(2)(4)4x x x +++-＝__________________ 9．分解因式：22423a b a b -+++＝__________________10．分解因式：33222x y x y xy -+＝___________________ 11．已知5a b +=，4ab =-，那么22223a b a b ab ++的值等于____________12．分解因式：2242x y x y -++＝_______________13．分解因式：2()6()9a b b a ---+＝_________________ 14．分解因式：222(41)16a a +-＝___________________ 15．已知20m n +=，则332()4m mn m n n +++的值为______ 16．求证：791381279--能被45整除 17．已知9621－可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数培优升级 奥赛检测01．（四川省初二数学联赛试题）使得381n +为完全平方 数的正整数n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 02．（四川省初二数学联赛试题）设m 、n 是自然数，并 且219980n n m --=，则m ＋n 的最小值是（ ）A ．100B ．102C ．200D ．不能确定 03．（四川省初二数学联赛试题）满足方程 32326527991x x x y y y ++=+++的正整数对（x ，y ）有（ ） A ．0对 B ．1对 C ．3对 D ．无数对 04．（全国初中数学竞赛试题）方程323652x x x y y ++=-+ 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．无穷多 05．（四川省初二数学试题）已知42(1)M p p q =+，其中p 、 q 为质数，且满足29q p -=，则M ＝（）A ．2009B ．2005C ．2003D ．2000 06．（仙桃竞赛试题）不定方程2()7x y xy +=+的所有整数解为_________________07．已知多项式2223286x xy y x y +--+-可以分解为(2)(2)x y m x y n ++-+的形式，那么3211m n +-的值是______08．对于一个正整数n ，如果能找到a 、b ，使得n ＝a ＋b ＋ab ，则称n 为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1× 1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数 ___个 9．已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求2222()()a b xy ab x y +++的值 10．若a 为自然数，则4239a a -+是质数还是合数？请你说明理由12．正数a 、b 、c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值。