勾股定理专题复习--折叠问题
利用勾股定理解决折叠问题课件
勾股定理的应用场景
勾股定理在解决与直角三角形相关的几何问题中有着广泛 的应用。例如，在计算直角三角形的面积、求解直角三角 形中的未知边长、判断三角形的形状等方面都可以利用勾 股定理。
在实际生活中，勾股定理也常用于解决各种实际问题，如 建筑、航海、航空等领域。通过利用勾股定理，我们可以 更好地理解物体之间的空间关系和运动规律，为实际问题 的解决提供重要的理论支持。
3
总结词
掌握勾股定理的基本应用
题目1
一个直角三角形，直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
题目2
一个直角三角形，斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条 直角边的长度。
进阶练习题
总结词
理解勾股定理在复杂问题中的应用
题目1
一个矩形纸片，长为6，宽为8，折叠后形成的直角三角形的斜边长为10，求折叠后直角三角形的 两直角边的长度。
一个等腰梯形纸片，上底边长为6， 下底边长为10，高为8，折叠后形 成的直角三角形的斜边长为17，求 折总结与回顾
本节课的重点回顾
01 02
勾股定理的基本概念和应用 折叠问题的特点和解题思路
03
利用勾股定理解决折叠问题的步骤和方法
本节课的难点解析
如何识别和判断折叠问题的类型 如何将实际问题转化为数学模型 如何根据勾股定理计算折叠后的长度和角度
勾股定理是几何学中一个非常重要的定理，它在解决各种几何问题中有着广泛的 应用。
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中一种是利用相似三角形的 性质来证明。通过构造两个相似三角形，我们可以得到直角 三角形的三边关系，从而证明勾股定理。
另一种常见的证明方法是利用代数方法，通过将勾股定理的 表达式进行变形和推导，最终得出结论。
人教版数学八年级下册：17 小结——勾股定理专题训练折叠问题 课件(共15张PPT)
勾股定理
18
作业
补充题
自学展示
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
B
A
10 6
C
A
8
C
30°
45°
3
2
自学展示
平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
x 0.25
∴ AB=13.
B
如图，将一根25cm长的细木棍放入长，宽
高分别为8cm、6cm、和 10 3 cm的长方体
无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长
度是多少？
E 25
5
10 3
20
C6
10
B
D
8
A
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
A
A
A
12-x 8
12
13
x E x
D1 5
B D C D5 C D5 C
折叠问题的解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角 三角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
x 4 0.25 x 3.75 (尺)
答：湖水深3.75尺.
可用勾股定理建立方程.
0.5 2
x
x+0.5
合作学习
微专题6 方法技巧 巧用勾股定理解决折叠问题课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
长为CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12(cm).
7.(2024·汉中期末)在数学实验课上,李静同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如
图的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为
AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上.
(2)如图(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,
①求证:EF=EG.
②求HF的长.
【解析】(2)①∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG;
DE.
36°
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为____;
操作二:如图2,李静拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与
点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长.
【解析】(2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.
由翻折的性质可知:∠BAD=∠CBA=2x,
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在Rt△EFH中,FH= − = − =6.
本课结束
类型一 三角形的折叠问题
1.(2024·天津模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=9,将△ABC折叠,使点C与
AB的中点D重合,折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段BN的长为
八年级数学勾股定理的应用——折叠问题(专题)(含答案)
勾股定理的应用——折叠问题（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=5，折叠纸片使AD边与线段BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：由题意得，BD=13；由折叠知D=AD=5，G=AG，∠DA′G=∠A=90°．∴B=8．设AG=x，则，BG=12-x．在Rt△BG中，∠BA′G=90°，由勾股定理得，，即，解得，．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=( )A.4cmB.3cmC.5cmD.6cm答案：C解题思路：如图，AF=AD=BC=10，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=6，所以FC=4，设EF=DE=x，则CE=8-x，在Rt△ECF中，∠C=90°，由勾股定理得，，解得，x=5．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则AE的长为____，△ABE的周长为____．( )A.，7B.，7C.，D.，答案：A解题思路：解：由题意知，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5由勾股定理得，BC=4由折叠知，AE=EC设AE=EC=x，则BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则AE=，BE=∴△ABE的周长为3+x+(4-x) =3+4=7综上，AE的长为，△ABE的周长为7故选A试题难度：三颗星知识点：略4.如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为( )A.6B.12C.10D.20答案：A解题思路：解：由题意知，将长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF，∴AF=CF，∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=8∴设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，∠B=90°，AB=4，BF=x，AF=8-x，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，42+x2=(8-x)2，解得，x=3，即BF=3，∴△ABF的面积为故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，长方形纸片ABCD中，AD=4，CD=3，折叠纸片使AB边与线段AC重合，折痕为AE，记与点B重合的点为F，则△CEF的面积与纸片ABCD的面积的比为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=AF=3，AD=BC=4，在Rt△ABC中，∠B=90°由勾股定理得，∴∴AC=5由折叠知，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，设BE=x，则EF=BE=x在Rt△EFC中，∠CFE=90°，CF=AC-AF=2，EC=4-x，根据勾股定理得，∴解得，x=1.5∴∵∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则CN=_____cm，AM=_____cm．( )A.6，2B.8，3C.10，2D.12，3答案：A解题思路：∵点E是BC边的中点，∴EC BC=8，设CN=x，则EN=DN=16-x，在Rt△ECN中，∠C=90°，由勾股定理得，EC2+CN2=EN2解得，x=6如图，连接DM，EM，则DM=EM，设AM=y，则BM=16-y，在Rt△ADM中，∠A=90°，由勾股定理得，在Rt△BEM中，∠B=90°，由勾股定理得，，∵DM=ME，∴解得，y=2故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E处，折痕为MN．若CE的长为8cm，则AM=_____cm，BN=_____cm．( )A.，1B.，C.，D.，1答案：C解题思路：如图，设AM=x，在Rt△MED中，∠D=90°，由勾股定理，得解得，x=，即AM=，MD=，连接AN，NE，则AN=NE，设BN=y，则CN=12-y，在Rt△ABN中，∠B=90°，由勾股定理，在Rt△CEN中，∠C=90°，由勾股定理，，∵AN=NE，∴解得，故选C．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在处，交BC于点E，已知AB=2cm，BC=4cm，则EC的长为( )A.2cmB.cmC.5cmD.cm答案：D解题思路：如图，由折叠知，∠DAC=∠EAC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC设EC=x，则AE=EC=x∵BC=4，∴BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=2，BE=4-x，AE=x，由勾股定理得，解得，即EC的长为cm故选D．试题难度：三颗星知识点：略9.把长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．若BC=5cm，CD=3cm，则DE=( )cm．A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，由折叠知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠DFE=∠DEF，∴DE=DF设DF=x，则BF=DF=x∵BC=5，∴CF=5-x在Rt△CDF中，∠C=90°，CD=3，CF=5-x，DF=x，由勾股定理得，解得，∴DE=DF=故选B．试题难度：三颗星知识点：略10.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是CD边上一点，连接BE，把∠C沿BE折叠，使点C落在点F处．当△DEF为直角三角形时，DE的长为( )A.1B.1或C. D.3或答案：B解题思路：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，分两种情况讨论：①当∠FED=90°时，如图所示，则∠CEF=90°，由折叠的性质得：CE=FE=BC=3，∴DE=CD-CE=1；②当∠DFE=90°时，如图所示，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=4，AD=3，∴BD=5，由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，EF=EC，∴∠DFE=∠BFE=90°，即点B，F，D三点共线，点F在BD上，∴DF=BD-BF=5-3=2，设DE=x，则EF=CE=4-x在Rt△DEF中，∠EFD=90°，DE=x，EF=4-x，DF=2，由勾股定理得，解得，综上所述，DE的长为1或；故选B．试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。
勾股定理的应用解有关折叠问题
这节课，你学习到了什么？
解决折叠问题的方法： 1. 找到等量关系，相等线段（折叠，垂直平分线，边
角关系，三角形全等……）， 2.运用勾股定理列方程（方程思想） 3.解方程并求出所求量 作业： 1.完成学案 2.补充练习 3.思考题（选做）
动手操作
• 2.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在BC上 一点F处，折痕的两端点分别在AD，CD上(含端 点)，且AB＝6，BC＝10.设CF＝x，
• ①x的取值范围是______________；
• ②当CF取最小值时，折痕与线段CD的交点E与F的
距离为_____________
A
D
B
CБайду номын сангаас
解：由折叠可知
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=8,BC=6
⑴如图1将△ABC折叠，使得A、C重合，折痕MN，
求AM；
(2)如图2将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折 痕为MN，求BN；
(3)如图3将△ABC折叠，使直角边AB折叠使它落在斜 边AC上，折痕为AD，求BD。
图2
图3
用勾股定理列方程是解题的关键
• 思考1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点， 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.
• (1)求证：△ABG≌△AFG；
• (2)求BG的长。
思考2：如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠
(1) 使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，
连接CE.
①求证：AE=AF=EC=CF； ②设AE=a，ED=b，DC=c，请写出一个a，b， c三者之间的数量关系式。 (2)如图2，当C的对应点C′在线段AD里运动时，C′E、
8.C专题 勾股定理与折叠问题
专题 勾股定理与折叠问题【方法归纳】扣住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决.一、折叠直角三角形1.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 为AB 上一点，沿CD 折叠△ABC ，点A 恰好落在边BC 上的A ′处，AB ＝4，AC ＝3，求BD 的长.A BCD A'【解答】由题意得AD ＝A ′D 、AC ＝A ′C ，设AD ＝x ，则BD ＝4－x ,在Rt △A ′BD 中，22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.BD ＝52.二、折叠长方形2.如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，F 为CD 上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点D 恰好落在BC 上的点E 处，求CF 的长.【解答】BE ＝3.设CF ＝x ，DF ＝EF ＝4－x ,CE ＝2, 22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.3. 如图，长方形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，使点C 与点C′重合.(1)求DE 的长; (2)求折痕EF 的长.【解答】(1)由题意得DE ＝EB ，设DE ＝EB ＝x ,则AE ＝8－x .在Rt △AEB 中， x 2＝42＋(8－x )2,x ＝5.(2)作EM ⊥BC 于M ，证∠DEF ＝∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ＝5，MF ＝2.∴EF ＝EM 2＋MF 2＝2 5.4. 如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，沿BD 折叠使点A 到A ′处，DA ′交BC 于点F .(1)求证：FB ＝FD ；(2) 求证：CA ′∥BD ；(3) 求△DBF 的面积.【解答】(1)∠DBF ＝∠ADB ＝∠DBF ，∴FB ＝FD .(2)A ′D ＝AD ＝BC ，FA ′＝FC ，∠DBF ＝∠BDF ＝∠FCA ′＝∠FA ′C ，(3)设FB ＝FD ＝x ,x 2＝(8－x )2＋62,x ＝254,∴S △BFD ＝12×254×6＝754.三、折叠正方形5.如图，长方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，G 为BC 的中点，连接AG 、CF .(1)求证：AG ∥CF ；(2)求DE CE 的值.【解答】(1)连接BF ，∴BG ＝FG ＝CG .∴CF ⊥BF .∵BG ＝FG ，AB ＝AF ，∴AG 垂直平分BF .∴AG ∥CF .(2)设DE ＝EF ＝x ，BG ＝FG ＝y ,则CE ＝2y －x ，CG ＝y ,在△CEG 中，（x ＋y ）2＝（2y －x ）2＋y 2,3x＝2y ,∴DE CE ＝12。
专题勾股定理与折叠问题
专题：勾股定理在折叠问题中应用.知识要点（1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等（2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.二典例解析（一）三角形的折叠1.如图，Rt/ABC中，/ C=90，AC=6 AB=10 D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上，求CD的长D2.如图，Rt/ABC中，/ C=90，D为AB上一点，将/ ABC沿DE折叠，使点B与点A重合,①若AC=4 BC=8求CE的长②若AC=24 BC=32求折痕DE的长（二）矩形的折叠1.如图，折叠矩形纸片ABCD先折出折痕（对角线）BD再折叠，使AD落在对角线BD上,得折痕DG 若AB = 2，BC = 1，求AG2.如图，折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm 求EC的长.变式：如图.在直角坐标系中，矩形ABC0的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3），将矩形沿对角线AC 翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为0 A3.如图，矩形纸片ABCD AB=4cm BC=8cm现将A C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF①求DF的长；②求重叠部分△ AEF的面积;③求折痕EF的长.E（三）正方形的折叠1•将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN ①求线段CN的长;②求AM③求折痕MN的长变式：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC。
微专题四 勾股定理与折叠问题
△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则BN的长是(
A.4
B.3
C.6
D.5
)
3.(2022济宁)如图所示,在三角形纸片ABC中
,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边
A
BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,
则AE的长是(
A.
B.
)
C.
D.
四边形折叠与勾股定理
4.(2024莱州期中)如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4 cm,
AD=2 cm,BC=CD,E是AB上的一点.如果沿CE折叠,使B,D两点重合,
那
△AED的面积为
cm
2
.
么
5.如图所示,在长方形ABCD中,AB=4,BC=5,F为CD上一点,将长方形
2
2
2
在 Rt△EFC 中,CF +CE#43;2 =(4-x) ,解得 x= ,
所以 CF= ,所以△CFE 的面积 S= CE·CF= ×2× = .
6.如图所示,在长方形ABCD中,P为边AD上一点,沿直线BP将△ABP翻
折至△EBP(点A的对应点为点E),PE与CD相交于点O,且OE=OD,BE与
微专题四 勾股定理与折叠问题
三角形折叠与勾股定理
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B
恰好落在边AC上的点B′处,AE为折痕,则EC长为(
(完整版)勾股定理中的折叠问题
C E勾股定理中的折叠问题例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。
BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 2对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？第11题图AE BCDF2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求重合部分△EBD 的面积例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。
AECDB ADBCE F例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，求CD对应练习：1、如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积.2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG .ACD BEG A BC'EDCB A 总结：一、 三角形中的折叠基本图形二、矩形FEDCBA EA(B)图1ACBDC ´ABCD E FA ′B ′。
勾股定理与折叠问题实例解析
勾股定理与折叠问题实例解析1.如图，在△ABC 中，∠B=90°,AB=3,BC=4, 将△ABD 沿 AD 折叠，使点B 落在边AC 上的点E 处，则CD 的长是 解：根据题意得：将△ABD 沿AD 折叠，使点B 落在边AC 上的点E 处∴BD=DE,AB=AE,∠B=∠DEA=DEC=90°设DE=BD=x, ∵AB=3,BC=4,∠B=90°∴AC=5CE=AC-AE=AC-AB=5-3=2在Rt △CDE 中，由勾股定理得：DE ²+CE ²=CD ²即x ²+2²=(4-x)²,解得:x=32∴CD=BC-BD=BC-DE=4-32 =522.如图，长方形纸片ABCD 中，已知BC=8,折叠纸片使AB 边与 对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE,且EF=3,求AB 的长.解：由折叠可知，△ABE ≌△AFE,∴AB=AF,BE=EF=3,∴CE=BC-BE=8-3=5.在Rt △CEF 中，由勾股定理得，CF= √CE 2−EF 2=4设AB=AF=a,则AC=AF+CF=a+4.在Rt △ABC 中，∵AB ²+BC ²=AC ²,∴a ²+8²=(a+4)²解得a=6,∴AB 的长是6。
3.如图，在矩形ABCD 中 ，AB=8,BC=4, 将矩形沿AC 折叠， 点B 落在点B 处，则重叠部分△AFC 的面积为解：由旋转的性质及长方形可得：∠D=∠B ′=90°,AD=CB ′,在△AFD 和△CFB ′中，{∠D =∠B ′=90°∠AFD =∠B′FC AD=CB ′ △AFD ≌△CF B ′∴DF=B ′F设 DF=x,则AF=8-x,在Rt △AFD 中，(8-x)²=x ²+4²解 得 ：x=3,∴AF=AB-FB ′=8-3=5,∴S △AFC=12×AF ×B ′C=12×5×4=104. 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上.(1)试说明△ABE≌△C′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF的面积；解：(1)∵四边形ABCD 是长方形，∴AB=CD,∠A=∠D=90°∴BC′=AB,∠A=∠C′=90°∵把长方形纸片ABCD沿EF折叠∴BC′=CD,∠D=∠C′,∠DEF=∠BEF∵AD//BC∴∠DEF=∠EFB∴∠BEF=∠BFE∴BE=BF在Rt△ABE与Rt△C′BF中{AB=B C′BE=BF∴△ABE≌△C′BF5. 如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上.(1)试说明△ABE ≌△C ′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF 的面积；( 2 ) 设AE=x,根据翻折不变性，BE=DE=AD-AE=8-x在Rt △ABE 中，x ²+4²=(8-x)²解得：x =3, 即AE=3,则 D E = 5∵BE=BF=5,∴CF=3, 则S △BEF=S 长方形ABCD-S △ABE-S 梯形CDEF=4×8-12×3×4-12×(5+3)×4=106.如图，在长方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE,将△ABE 沿AE 折叠得到△AFE, 连接CF.若AB=4,BC=6,则CF 的长为 解：连接BF, 交AE 于点G, 如下图,由折叠的性质可得，AE 垂直平分BF即AE ⊥BF,BG=FG,∵AB=4,BC=6,E 为BC 的中点，∴BE=CE=BC=3,∴在Rt △ABE 中 ，AE=√AB 2+BE 2+=√42+32 =5∵AE 垂直平分BF,∴S △ABE=12 AB ×BE=12 AE ×BG 即12×4×3=12×5×BG 解得BG=2.4∴BF=2BG∵AE 垂直平分BF∴BE=FE∴BE=CE=FE∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF,∠BFC=∠EFB+∠EFC=12180°= 90°∴在Rt △BFC 中，CF=√BC 2−BF 2=√62−4.82=3.67.如图，在长方形ABCD中，AD=13,AB=24,点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为解：分两种情况：①如图1,当点F在长方形内部时，∵点F在AB的垂直平分线MN上，∴AN =12;∵AF=AD=13,由勾股定理得FN=5,∴FM=8,设DE为y,则EM=12-y,FE=y,在△EMF 中，由勾股定理得：y2 =(12-y)2+82∴y=263。