等边三角形 直角三角形 讲义
13等边和直角三角形
学科教师辅导讲义学生姓名： 年 级：八年级 课时数：3 辅导科目：数学 辅导教师： 辅导内容：等边三角形和直角三角形 辅导日期： 教学目标：1、等边三角形的性质、判定和综合运用 2、直角三角形斜边中线定理3、等边三角形与直角三角形结合综合运用【同步知识讲解】知识点1：直角三角形 知识梳理：操作：取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：小结直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
应用格式：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90o，CD 是AB 边的中线， ∴CD ＝21AB 或CD ＝AD ＝BD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 的中线，且CD=4 cm ，则AB=_______．例2：如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，连接GF ，求证： GF ⊥DE ．知识二：等边三角形知识梳理：（1）等边三角形的性质：┌⑴└┌⑵└┐┌⑶└┐┌⑷FDEBC AQ CPAB等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，每条边上都有三线合一，有 条对称轴 补充：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形的3个判定方法：三条边都 的三角形是等边三角形 三个角都 的三角形是等边三角形有一个角是 的 三角形是等边三角形例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．例2：如图，在等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE=____．例3：如图，正方形ABCD ，△EAD 为等边三角形，则∠EBC ＝_______．例4：如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PAPB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=，且BQ BP =，连结CQ ．观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．【精题精练精讲】专题一：等边三角形1．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( )A．120°B．130°C．150°D．160°2．如图，等边△ABC的边长为1，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为( )A．2 B．4 C．3 D．2．53．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高是2，则DE+DF的值为( )A．2 B．4 C．3 D．2．55．如图，在等边三角形ABC中，中线AD，BE相交于点O，图中的等腰三角形有( ) A．3个B．4个C．5个D．6个6．点P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是( ) A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB= °，∠BAD= °．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．9．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是．10．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= ．11．若∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，OP1，OP2，则△OP1P2是三角形．12．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为．13．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，A D⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．14．如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．(1) 求证：DE=DF；(2) 当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．15．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC_上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P．(1) 求证：CE=BF；(2) 求∠BPC的度数．16．如图，等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．(1) 试判定△ODE的形状，并说明你的理由．(2) 线段BD，DE，EC三者有什么关系? 写出你的判断过程．17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．18．如图，O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°，∠BOC =α，D 是△ABC 外一点，且△ADC ≌△BOC ，连接OD ．(1) 求证：ACOD 是等边三角形；(2) 当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (3) 当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形?专题二：直角三角形1、如图，ABC ∆是等边三角形，BC AD ⊥，AB DE ⊥，若8=AB cm ，则BD 的长为 cm ，BE 的长为 cm2、线段AB=4cm ，M 是AB 垂直平分线上的一点，MA=4cm ，则∠MAB= 。
专题 特殊三角形-讲义
特殊三角形主讲教师：傲德我们一起回顾1、等腰三角形2、等边三角形3、直角三角形重难点易错点解析等腰三角形题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．等边三角形题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．直角三角形题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．金题精讲题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：BD=2CD．题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．思维拓展题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．学习提醒重点：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理特殊三角形讲义参考答案重难点易错点解析题一：证明略点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边题二：证明略点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半题三：证明略点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理金题精讲题一：证明略题三：证明略思维拓展题一：证明略。
人教版八年级数学上册 等边三角形 讲义
等边三角形知识点一、等边三角形的性质和判定知识概念：1、至少有两边相等的三角形，叫做等腰三角形2、三边相等的三角形，叫做等边三角形思考：下列两个说法是正确的还是错误的？（1）等边三角形是等腰三角形（）（2）等腰三角形是等边三角形（）所以，等边三角形_______等腰三角形，但等腰三角形_______等边三角形等边三角形的性质：1、三边相等2、三个内角都是60°3、三线合一等边三角形的判定：1、三边相等2、三个内角都是60°3、两边相等，一个角60°知识点二、含30°的直角三角形定理：30°所对直角边为斜边的一半例1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE 的长.1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）A、等腰直角三角形B、一般的等腰三角形C、等边三角形D、等腰钝角三角形2、如图，是屋架设计图的一部分。
点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°，则BC= cm 、DE= cm3、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm4、如图，∠AOB= 30°，P是角平分线上的点，PM⊥OB于M，PN//OB交OA于N，PM=1cm，则PN=________.5、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为6、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是__________7、等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.8、如图在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长9、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D。
小学四年级奥数讲义专题一 三角形
小学四年级奥数讲义专题一三角形小学四年级奥数讲义专题一：三角形
1. 三角形的定义
三角形是由三条线段组成的图形，它的特点是有三个顶点和三条边。
2. 三角形的分类
2.1 依据边长分类
- 等边三角形：三条边的长度都相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2.2 依据角度分类
- 直角三角形：其中一个角度为90度。
- 钝角三角形：其中一个角度大于90度。
- 锐角三角形：三个角度都小于90度。
3. 三角形的性质
- 三角形的三个内角之和始终为180度。
- 三角形的两边之和大于第三边。
- 等边三角形的三个角度均为60度。
- 等腰直角三角形的两个锐角度均为45度。
4. 三角形的计算公式
4.1 周长
三角形周长是三条边的长度之和，可以使用以下公式计算：周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
4.2 面积
三角形的面积可以使用以下公式计算：
面积 = 底边长度 * 高 / 2
5. 三角形的练题
1. 判断下列图形中是否为三角形：
- (图形1描述)
- (图形2描述)
- (图形3描述)
2. 求下列三角形的周长和面积：
- (三角形1描述)
- (三角形2描述)
- (三角形3描述)
通过学习本讲义，希望同学们能够掌握三角形的定义、分类、性质和计算方法，进一步提高数学运算能力。
初二_三角形复习讲义(包括基本概念、全等、勾股定理)
A C B第 8 题D三角形专题复习（一）三角形基本概念：1．三角形的分类三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形、钝角三角形统称为斜角形。
2．一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：名称 基本性质 角平分线 ①三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；②角平分线上任一点到角的两边距离相等。
中线 三角形的三条中线相交于一点。
高 三角形的三条高相交于一点。
边的垂直平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；外心到三角形三个顶点的距离相等。
中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
3. 几种特殊三角形的特殊性质（1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
（2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60°；②等边三角形外心、内心合一。
（3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 三角形的面积 （1）一般三角形：S △ =21a h （ h 是a 边上的高 )5.多边形的内角和为 ( n – 2 )·180°（ n 为边数 ）； 多边形的外角和为360°.例题剖析一、填空题1、在△ABC 中，∠A=3∠B=32∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C= ；若∠A+∠B=∠C ，则△ABC 是 __三角形2、如图 在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于点D ，则图中有 _____ 个直角三角形， 它们是_________________；∠A 是 ___ 和 ___ 公共角；互余的角有 3 几对，它们是3、如图，已知在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点O ，（1）若∠ABC=500，∠ACB=650，则∠BOC= .； （2）若∠ABC+∠ACB=1300，则∠BOC= （3）若∠A=900，则∠BOC= ； （4）若∠BOC=1000，则∠A= ；AB CO课堂练习（基础题）1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．170° D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形 4．六边形的内角和等于_______度．5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______6、（综合题）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，•DF 平分∠ADC ．BE 与DF 有怎样的位置关系？为什么？7、（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．8、（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（二）全等三角形1、判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须 有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2、证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS3、有关角平分线的知识：①、把已知角平分成相等的两个角的射线叫这个角的角平分线。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形一、引言本文将详细介绍等边三角形和含30度直角的直角三角形的定义、性质、应用及重难点精析。
等边三角形和直角三角形是初中数学中重要的基本图形，掌握它们的性质和判定对于解决数学问题具有重要意义。
二、等边三角形定义及性质1.等边三角形定义：三边长度相等的三角形称为等边三角形。
2.等边三角形性质：a. 三边长度相等，即任意两边之和等于第三边。
b. 三内角相等，即每个角均为60度。
c. 高等于一边长的一半。
三、含30度直角的直角三角形定义及性质1.含30度直角的直角三角形定义：有一个角为90度，另一个角为30度的三角形称为含30度直角的直角三角形。
2.含30度直角的直角三角形性质：a. 30度角对的直角边等于斜边的一半。
b. 勾股定理成立，即勾股定理中的三个边满足a^2 + b^2 = c^2.其中c为斜边。
c. 面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中a和b分别为直角三角形的两直角边长。
四、等边三角形与含30度直角的直角三角形的联系与区别1.联系：等边三角形和含30度直角的直角三角形都是基本图形，具有一些共同的性质，例如三内角相等(等边三角形)或一个角为90度(直角三角形)等。
2.区别：等边三角形的三边长度相等，而含30度直角的直角三角形的斜边长度是直角边长度的两倍。
此外，等边三角形的三个内角均为60度，而含30度直角的直角三角形的两个锐角分别为30度和60度。
五、重难点精析1.等边三角形的证明：等边三角形的三边长度相等，因此可以使用三边长度相等的定理进行证明。
可以让学生们掌握等腰三角形性质并理解等边三角形的定义和判定方法。
2.含30度直角的直角三角形的证明：含30度直角的直角三角形可以使用勾股定理进行证明。
应该重点讲解勾股定理的推导过程及应用方法，以便学生们可以更好地掌握含30度直角的直角三角形的判定方法。
3.面积计算：无论是等边三角形还是含30度直角的直角三角形，面积计算都非常重要。
等边三角形直角三角形讲义
等边三角形直角三角形讲义关键信息项1、协议目的：明确等边三角形和直角三角形的相关知识和教学要点。
2、适用范围：适用于数学教学、学术研究等领域。
3、协议有效期：自签订之日起X年内有效。
4、知识要点涵盖：等边三角形和直角三角形的定义、性质、判定方法等。
5、教学方法与资源：包括讲解示例、练习题目、多媒体资料等。
6、考核与评估方式：如考试、作业、课堂表现等。
7、版权与使用权限：明确讲义的版权归属和使用限制。
8、协议变更与终止条件：规定在何种情况下可以变更或终止协议。
11 等边三角形的定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
111 等边三角形的性质1、等边三角形的三个内角相等，均为 60°。
2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
3、等边三角形的中线、高线和角平分线三线合一。
112 等边三角形的判定方法1、三条边都相等的三角形是等边三角形。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
12 直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为 90°的三角形。
121 直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
4、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
122 直角三角形的判定方法1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。
2、若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
13 等边三角形与直角三角形的关系1、等边三角形不可能是直角三角形，因为等边三角形的三个角均为 60°。
2、直角三角形中，如果一个锐角为 60°，另一个锐角为 30°，则三条边的长度关系满足特定比例。
14 教学方法141 理论讲解通过课堂讲解，让学生理解等边三角形和直角三角形的定义、性质和判定方法。
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等边三角形
【导入】如图，在△ABC 中，
AB=AC
，AD ⊥BC 于点D ，DE ∥AB 交AC 于点E ，△ADE 是等腰三角形吗？为什么？
1. 的三角形叫做等边三角形。
2.等边三角形的三个角是什么关系？试证明。
如图：△ABC 是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C
总结：
等边三角形的三条边 。
等边三角形的三个角 ，每个角等于 。
练习： 1.如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则∠BAD 的度数为 。
2.如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB=10cm ，则线段DC 的长为 cm ．
3.如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 度．
4.如图，△ABC 是等边三角形，BC ⊥CD ，且AC=CD ，则∠BAD 的度数为（ ）
三．例题.如图，已知△ABC 与△ADE 都是正三角形． 问：（1）EB 与DC 相等吗？为什么？
（2）∠BDC 与图中哪个角相等？为什么？
A
C
已知：如图等边三角形ABC 中，D 是AC 中点，过C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE ，求证：BD=AE ．
四．如图:△ABC 是等边三角形,作线段AD ⊥BC 垂足为D 。
则有：1. △ABD 是 三角形，∠BAD= °。
2.BD 与CD 有怎样的数量关系？与BC 呢？
3.BD 与AB 有怎样的数量关系？
总结：在 三角形中，30°角所对的 边是 边的 。
练习：
1.在Rt △ABC 中， ∠A :∠B: ∠C =1:2:3 ,若AB=10cm ，则BC 的长 。
2.如图所示，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=3， 则∠1的度数为 ，AB= ．
3.如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 中点，DE ⊥AC 于E ，若CE=1， 则AB= 。
4.如图，已知：等边三角形ABC ，点D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FE ⊥BC ，垂足为E ，若三角形ABC 的边长为4． 求：（1）线段AF 的长度；（2）线段BE 的长度．
A C
5.如图，已知在△ABC中，120
，，的垂直平分线EF交AC于点E，交BC
=∠=︒
AB AC BAC AC
于点F，试说明2
=．
BF CF
6.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2= 。
7.如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数
是。
8.如图，等边三角形ABC的边长为2，BC边上的高交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则AE的长是．
直角三角形
一、知识要点
1、直角三角形的判定定理: .
2、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中, 上的中线等于的一半.
3、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么
.
4、直角三角形性质定理(三):在直角三角形中,如果一条直角边等于斜
边的一半,那么 .
(定理一、二通常用于证明线段之间的倍分关系;定理三通常用于求三角形中
角的度数)
5、斜边、直角边定理:
(1)定理内容: .
(2)定理作用: .
6、角平分线的判定定理
(1)定理内容: .
(2)用符号语言表示:如图,∵ ,
∴ .
二、知识运用典型例题
例1：已知:△ABC中,∠ACB=90°,CD是高, ∠A=30°.求证:BD=1
4
AB.
A
D
O
P
B
例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=1
2
AC. 则∠A=_____.
例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC
上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.
例4：如图3，AD 求证：（1） （2）
例5：已知如图，为B 、C.试说明EB=FC.
A
D
C
B
例6：（2007，南充）如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还
是角平分线？请说明你判断的理由．
巩固练习
1、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.
2a B.3a C.4
a
D.以上结果都不对 2、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:5
3、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .
4、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .
5、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .
6、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .
7、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.
A
B
C
D F
E
A B
D E
8、如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD,求证:AD=BC.
9、如图所示，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF＝CE。
求证：△ABC是等腰三角形。
作业
1.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E是AC的中点，DE=2cm，∠BCD=20°，那么AC= cm，∠A= °
2.到直角三角形三个顶点的距离相等的点在
3.若直角三角形的斜边上高与斜边上的中线长分别为2cm，3cm，则这个直角三角形的面积为cm2
4.如图，在锐角△ABC中，已知BN、CM均为高，P为BC中点，联结MN、MP、NP，若
∠MPN=60°，则△PMN的形状为
A
C
B
D
第1题图第4题图第5题图
第6题图第7题图第8题图
二、选择题
5.如图所示，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°，则∠D的度数为（）
A、35°
B、65°
C、55°
D、45°
6.如图所示，Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，E是AC中点，下列结论一定正确的是（）
A.∠4=∠5 B、∠1=∠2 C、∠3=∠4 D、∠B=∠2
7.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC中点，联结DE，则△CDE的周长为（）
A、20
B、12
C、14
D、13
8.如图，已知点D为AB的中点，EA⊥AB，CB⊥AB，AE=AB=2BC，那么下列结论中，不正确的是（）
A、DE=AC
B、∠E+∠C=90°
C、∠CAB=30°
D、∠EAF=∠ADE
三．解答题
9.已知：如图，AD、BE相交于点C，AB=AC，EC=ED，M、F、G分别是AE、BC、CD的中点。
求证：（1）AE=2MF；（2）MF=MG
10.已知：如图，在△ABC 中，∠B=
2
1
∠A ，CD ⊥BC ，CE 是边BD 上的中线。
求证：AC=2
1
BD
11.已知，如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 是边AB 的中点，DE ∥AC ，且DE=AC ，联结AE ，
求证：AE=2
1AB
12.如图，△ABC中，∠ABC=90°，E为AC的中点，在图中作点D，使得AD∥BE，且∠ADC=90°，在AD上取点F，使FD=BE，分别联结EF、ED、BD。
试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系，并说明理由。