向量代数与空间解析几何教案.doc
空间解析几何与向量代数
第八章 空间解析几何与向量代数一、教学要求1、了解空间直角坐标系、掌握点的表示方法。
2、了解向量的概念；掌握单位向量、向量的方向佘弦和向量的坐标表示法。
3、掌握向量的运算（加法运算、数乘运算、数量积、向量积）；掌握两个向量垂直、平行的充要条件；了解向量夹角的求法。
4、掌握平面的点法式方程、平面的一般方程；掌握直线的点向式方程、一般式方程；会根据所给条件求平面、直线方程。
5、了解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解母线平行于坐标轴的柱面方程、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。
6、了解空间曲线的参数方程的一般方程。
二、内容提要1．三阶行列式的计算公式333222111c b a c b a c b a =332213322133221b a b ac c a c a b c b c ba +- =312231123213132321cb ac b a c b a c b a c b a c b a ---++。
2．直角坐标系（1）坐标轴、坐标面上点的特征；（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式 3．向量的概念：（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB 。
（2）向量的坐标表示：点),,(z y x P ,则向量k z j y i x z y x OP++==},,{。
其中i 、j 、k为三个坐标轴正向上的单位向量。
若),,(111z y x A 、),,(222z y x B ，则AB ={12x x -，12y y -，12z z -}。
（3）向量a的长度叫向量的模，记为||a ：设a ={}z y x a a a ,,，则||a=222z y x a a a ++。
当向量的模为1时，这个向量叫单位向量；与向量a 同方向的单位向量为0a =||a a。
（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。
设a={}z y x a a a ,,，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++==++==++==222222222||cos ||cos ||cos z y x zz zy x y y z y x xx a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα 且1cos cos cos 222=++γβα，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量{}γβαcos ,cos ,cos 是与a同方向的单位向量。
空间解析几何与向量代数教案
空间解析几何与向量代数教案第一章：空间直角坐标系1.1 坐标轴与坐标平面学习空间直角坐标系的定义与构成理解坐标轴与坐标平面的概念掌握坐标轴与坐标平面的表示方法1.2 坐标点与坐标表示学习坐标点的表示方法掌握坐标点的坐标表示规则理解坐标点在坐标平面上的位置关系第二章：向量代数2.1 向量的定义与表示学习向量的定义与性质掌握向量的表示方法理解向量的几何表示与坐标表示之间的关系2.2 向量的运算学习向量的加法、减法与数乘运算掌握向量加法、减法与数乘运算的规则与性质理解向量运算与几何意义之间的关系第三章：空间解析几何3.1 点、直线与平面方程学习点的坐标表示与几何性质掌握直线的点斜式、截距式与一般式方程理解直线方程的解析表示与几何意义3.2 空间解析几何的基本公式学习空间解析几何的基本公式掌握空间解析几何公式的推导与运用方法理解空间解析几何公式在解决实际问题中的应用第四章：向量空间与线性变换4.1 向量空间的基本概念学习向量空间、子空间与线性相关的概念掌握向量空间的基底与维数的计算方法理解向量空间的基本性质与运算规则4.2 线性变换与矩阵学习线性变换的定义与性质掌握线性变换的矩阵表示方法理解线性变换与矩阵之间的关系与应用第五章：空间解析几何的应用5.1 空间解析几何在几何图形分析中的应用学习利用空间解析几何分析几何图形的位置关系掌握利用空间解析几何解决几何图形问题的方法理解空间解析几何在几何图形分析中的重要性5.2 空间解析几何在坐标变换中的应用学习坐标变换的基本概念与方法掌握利用空间解析几何进行坐标变换的规则与技巧理解坐标变换在实际问题中的应用与意义第六章：空间距离与角度6.1 空间两点间的距离学习空间两点间的距离公式掌握空间两点间距离的计算方法理解空间距离公式的几何意义6.2 空间角度的计算学习空间角度的定义与表示方法掌握空间角度的计算规则理解空间角度计算在几何中的应用第七章：向量的投影与叉积7.1 向量的投影学习向量在坐标轴上的投影方法掌握向量投影的计算规则理解向量投影的几何意义7.2 向量的叉积学习向量的叉积定义与计算方法掌握向量叉积的几何意义与运算规则理解向量叉积在空间几何中的应用第八章：空间曲线与曲面8.1 空间曲线的基本概念学习空间曲线的定义与表示方法掌握空间曲线的参数方程与普通方程理解空间曲线的几何性质与特征8.2 空间曲面的基本概念学习空间曲面的定义与表示方法掌握空间曲面的参数方程与普通方程理解空间曲面的几何性质与特征第九章：空间几何体的表面积与体积9.1 空间几何体的表面积学习空间几何体表面积的计算方法掌握空间几何体表面积的计算规则理解空间几何体表面积计算的几何意义9.2 空间几何体的体积学习空间几何体体积的计算方法掌握空间几何体体积的计算规则理解空间几何体体积计算的几何意义第十章：空间解析几何在实际问题中的应用10.1 空间解析几何在工程中的应用学习空间解析几何在工程领域中的应用案例掌握利用空间解析几何解决工程问题的方法理解空间解析几何在工程中的重要性10.2 空间解析几何在科学计算中的应用学习空间解析几何在科学计算领域中的应用案例掌握利用空间解析几何进行科学计算的方法理解空间解析几何在科学计算中的作用与意义重点和难点解析六、空间距离与角度：空间两点间的距离和角度计算是空间解析几何的基础，学生需要理解并掌握这些概念和计算方法。
向量代数与空间解析几何
第七章 向量代数与空间解析几何（1，2）陈建英 上饶职业技术学院第一节 向量及其线性运算（1、2）教学目的：理解空间直角坐标系的概念;点的坐标；掌握空间两点的距离公式. 教学重点：空间中的点与三个有序实数的一 一对应关系 教学难点：点的坐标是空间点在坐标轴上的投影 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程一、引入新课立体几何中长方体的对角线计算公理及其常用的公理。
二、新授课第一节向量及其线性运算 一﹚空间直角坐标系1．空间直角坐标系Oxyz 的概念，如（图7-1）（1）坐标轴：横轴X 轴、纵轴Y 轴和竖轴Z 轴三条。
右手法则（遵守右手法则时各种坐标系的画法） 点O 称为坐是原点（2）坐标面：xOy 面、yOz 面和zOx 面。
（图7-1）2．空间内点的坐标，如（图7-2） （1）M 在坐标轴上的投影； （2）点M 的坐标M (,,)x y z ；例1 作出点P （2，-3，4）在坐标轴上的投影。
例2求点M （-1，3，-2）在各坐标轴上的投影及在各坐标面上的垂足的坐标。
（图7-2） 3．八个卦限，如（图7-3）第一卦限0,0,0;x y z >>> 第二卦限0,0,0;x y z <>> 第三卦限0,0,0;x y z <<> 第四卦限0,0,0;x y z ><>第五卦限0,0,0;x y z >>< （图7-3）第六卦限0,0,0;x y z <>< 第七卦限0,0,0;x y z <<< 第八卦限0,0,0;x y z ><<例3 在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点 O （0，0，0）； A （0，-1，0）； B （5，0，-2）； C （-2，3，4）4．空间两点间的距离公式，如（图7-4）该长方体的各棱长分别为 212121,,x x y y z z ---。
向量代数与空间解析几何
（1）结合律： (a) (a) ()a ； （2）分配律： ( )a a a ，(a b) a b ． 这里 a ，b 为向量， ， 为实数．
向量的加法运算以及向量的数乘运算统称为向量的线性运算．
1.2 向量的线性运算
设 a 0 ，与 a 同方向的单位向量记为 ea ，由数与向量乘积的定义有 a | a | ea ，
ea
a |a
|
．Hale Waihona Puke 上式表明一个非零向量除以它的模，结果是一个与原向量同方向的单位向量，
这一过程称为向量单位化．
由于向量 a 与 a 平行，因此我们常用数乘来说明两个向量的平行关系．
1.2 向量的线性运算
定理 1 设向量 a 0 ，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实
本章先介绍向量的概念、性质与运算，然后建立空间直角坐标系，利用坐 标讨论向量的运算，进而研究空间中的平面、直线、曲面、曲线及其方程．
1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量，也称为矢量，如位移、速度、加速度、力、 力矩等．在数学上，通常用一条带箭头的线段来表示向量．例如，如图所示，以 A 为起点， B 为终点的向量记作 AB ，有时也用粗体字母或在字母上面加箭头来表示 向量，如 a 或 a ．
1.2 向量的线性运算
2．向量与数的乘法
向量 a 与实数 的乘积是一个向量，记为 a ，它的模是 a 的模的 | | 倍，即 | a || || a | ．它的方向为：当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时， a 0 ．这种运算称为向量的数乘．
1.2 向量的线性运算
特别地，当 a b 时，有 a a a ( a) 0 ．
《高等数学》第六章 向量代数与空间解析几何(电子讲稿)
205第六章 向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容．第一节 向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向．例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）．在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB −−→（图6-1）．向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，a ，r ，F 或a →，→r ，→F ．由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．因此，如果向量a 和b 的大小相等，且方向相同，则说向量a 和b 是相等的，记为=a b ．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的大小叫做向量的模．向量a ，→a ，AB −−→的模分别记为||a ，||→a ，||AB −−→．模等于1的向量叫做单位向量．模等于0的向量叫做零向量，记作0或→0．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．与a 的模相等而方向相反的向量，称为a 的负向量，记作-a ．设a 和b 为非零向量，在空间中任取一点O ，作OA −−→=a ，OB b −−→=，规定不超过π的AOB ∠（即0AOB ≤∠≤π）称为向量a 和b 的夹角（图6-2），记作(,)∧a b 或(,)∧b a ．如果a 和b 中有一个为零向量，规定它们的夹角可在0与π之间任意取值．若(,)0∧=a b 或π，即向量a 和b 的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作a //b ．可认为零向量与任何向量都平行．若(,)∧=a b 2π，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．也可认为零向量与任何向量都垂直．当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平行又称两向量共线．206 类似还有向量共面的概念，设有(3)k k ≥个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k 个终点和公共起点在一个平面上，就称这k 个向量共面．二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量a 与b ，任取一点A ，作AB −−→=a ，再以B 为起点，作BC −−→=b ，连接AC ，（图6-3），那么向量AC −−→=c 称为向量a 与b 的和，记作+a b ，即=+c a b ．上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量加法还满足如下平行四边形法则（图6-4）：当向量a 与b 不平行时，平移向量a ，使a 与b 的起点重合，以a ，b 为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点C 的向量等于向量a 与b 的和+a b ．向量的加法满足下列运算规律： （1）交换律 +=+a b b a ；（2）结合律 ()()++=++a b c a b c ．由于向量的加法符合交换律与结合律，故n 个向量12,,n a a a (3)n ≥相加可写成12+++n a a a ,并按向量相加的三角形法则，可得n 个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量12,n a a a ，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．我们规定两个向量b 与a 的差为()-=+-b a b a （图6-5）． 特别地，当=b a 时，有()-=+-=a a a a 0．显然，任给向量AB −−→及点O ，有AB AO OB OB OA −−→−−→−−→−−→−−→=+=-，因此，若把向量a 与b 移到同一起点O ，则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB −−→便是向量b 与a 的差-b a ．由三角形两边之和大于第三边的原理，有+≤+a b a b 及 -≤+a b a b ， 其中等号在b 与a 同向或反向时成立．2．向量与数的乘法向量a 与实数λ的乘积记作λa ，规定λa 是一个向量，它的模为207λλ=a a ．当0λ>时，向量λa 与a 的方向相同，当0λ<时，向量λa 与a 的方向相反．当0λ= 时，0λ=a ，即λa 为零向量，这时它的方向可以是任意的． 特别地，当1λ=±时，有1,(1)=-=-a a a a ． 向量与数的乘积运算满足下列运算规律：（1）结合律 ()()()λμμλλμ==a a a ； （2）分配律 ()λμλμ+=+a a a ；()λλλ+=+a b a b ．向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算．●●例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b ． 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 51(13)1525⎛⎫=-+--+⋅ ⎪⎝⎭a b 522=--a b ． ●●例2 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL NM −−→−−→=．证 如图6-6所示，连结AC ，则在BAC ∆中，KL −−→=12AC −−→；在DAC ∆中，NM −−→=12AC −−→．所以KL NM −−→−−→=． 设≠0a ，则向量||aa 是与a 同方向的单位向量，记为a e ．于是||=a a a e ．由向量的数乘运算知向量λa 与a 平行，因此有如下定理：设向量≠0a ，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使λ=b a ．证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性．设b //a ．取||a b ||||=λ，当b 与a 同向时λ取正值；当b 与a 反向时λ取负值，即λ=b a ．这是因为此时b 与a 同向，且λλ===ba a ab a． 再证明实数λ的唯一性．设λ=b a ，又设μ=b a ，两式相减，得()λμ-=0a ，即 0λμ-=a ．因0≠a ，故0λμ-=，即λμ=．定理获证．定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴．设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ，对于数轴上任一点P ，对应一个向量OP −−→，由OP //i ，根据定理1，必有唯一的实数x ，使OP x −−→=i ，（实数x 叫做数轴上有向线段OP −−→的值），并知OP −−→与实数x 一一对应．于是点P向量OP x −−→=i 实数x ，从而数轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系．据此，定义实数x 为数轴上点P 的坐标．208 由此可知，数轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是OP x −−→=i ．三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和3个两两垂直的单位向量i ，j ，k ，就确定了3条都以O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz 坐标系或[];,,O i j k 坐标系．通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则，即用右手握住z 轴，其余四指从正向x 轴以π2角度转向正向y 轴时，大拇指所指的方向为z 轴的正向，如图6-7所示．在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面．x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面，另两个由y 轴及z 轴和z 轴及x 轴所确定的坐标面分别叫做yOz 面和zOx 面．3个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有3个正半轴的卦限叫做第一卦限，在xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限．在xOy 面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向分别是第六卦限、第七卦限和第八卦限．八个卦限分别用字母I ，II ，III ，IV ，V ，VI ，VII ，VIII 表示（图6-8）．设M 为空间一点，过点M 作3个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R （图6-9），这3点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ．于是空间点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ．反之，若已知一个有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q ，R 分别作与x 轴、y 轴、z 轴垂直的平面，由这3个平面得到唯一的交点M （图6-9）．用上述方法，我们建立了空间点与三元有序数组之间的一一对应关系．这组数,,x y z 叫做点M 的坐标，并依次称,x y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．点M 通常记作(,,)M x y z ．记OM −−→=r ，则=r OM OP PN NM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=++=++，设OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，则OM x y z −−→==++r i j k ．上式称为向量r 的坐标分解式，x i ，y j ，z k 称为向量r 沿3个坐标轴方向的分向量．有序数,,x y z 称为向量r 在坐标系Oxyz 中的坐标，记作r (,,)x y z =．向量OM −−→=r 称为点M 关于原点O 的向径．上述定义表明，一个点与该点的向径有相同209的坐标．记号(,,)x y z 既表示点M ，又表示向量OM −−→．究竟何时表示点，何时表示向量要看具体的情况．坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例如：点M 在xOy 面上，则0=z ；类似地，点M 在yOz 面上，则0=x ；点M 在zOx 面上，则0=y ．如果点M 在x 轴上，则0==y z ；同样，点M 在y 轴上，有0z x ==；点M 在z 轴上，有0x y ==．如果点M 为原点，则x =y 0z ==．四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设(,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，即x y z a a a =++a i j k ， x y z b b b =++b i j k ，则加法：()()()x x y y z z a b a b a b +=+++++a b i j k ； 减法：()()()x x y y z z a b a b a b -=-+-+-a b i j k ； 数乘：()()()x y z a a a λλλλ=++a i j k （λ为实数） 或(,,)x x y y z z a b a b a b +=+++a b ， (,,)x x y y z z a b a b a b -=---a b ，(,,)x y z a a a λλλλ=a ．由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了．由定理1可知：若≠0a 时，向量//b a 相当于λ=b a （λ为实数），即(,,)(,,),x y z x y z b b b a a a λ= 也相当于向量的对应坐标成比例，即.y x zx y zb b b a a a == ●●例3 求解以向量为未知元的线性方程组53,32-=⎧⎨-=⎩x y a x y b ，其中(2,1,2)=a ，(1,1,2)=--b ．解 如同解二元一次线性方程组，可得23,35=-=-x a b y a b ．以a 、b 的坐标表示式代入，即得2(2,1,2)3(1,1,2)(7,1,10)x =---=-， 3(2,1,2)5(1,1,2)(11,2,16)=---=-y ．●●例4 已知两点111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 以及实数1λ≠-，在直线AB 上求一点M ，使AM MB λ−−→−−→=．解法1 如图6-10所示，由于AM OM OA −−→−−→−−→=-，MB OB OM −−→−−→−−→=-，因此 ()OM OA OB OM λ−−→−−→−−→−−→-=-，210 从而 1()1OM OA OB λλ−−→−−→−−→=++ 121212( , , )111x x y y z z λλλλλλ+++=+++，这就是点M 的坐标．解法2 设所求点为(,,)M x y z ，则111(, , )AM OM OA x x y y z z −−→−−→−−→=-=---，222(, , )MB OB OM x x y y z z −−→−−→−−→=-=---．依题意有AM MB λ−−→−−→=，即111222(,,)(,,)λ---=---x x y y z z x x y y z z ， 则有111222(,,)(,,)(,,)(,,)λλ-=-x y z x y z x y z x y z ，故) , ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++=，从而 λλ++=121x x x ，121y y y λλ+=+，λλ++=121z z z ．点M 叫做有向线段AB −−→的λ分点，当1λ=时，点M 是有向线段AB −−→的中点，其坐标为221x x x +=，221y y y +=，221z z z +=．五、向量的模、方向角、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量r =(,,)x y z ，作OM −−→=r （图6-9），则OM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→==++r ，按勾股定理可得||||OM −−→==r因为OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，所以||,||,||OP x OQ y OR z −−→−−→−−→===，于是得向量模的坐标表示式222||z y x ++=r ．设有点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z , 则222111212121 (,,)(,,)(,,)−−→−−→−−→=-=-=---AB OB OA x y z x y z x x y y z z ，于是A 、B 两点间的距离为||||AB AB −−→==●●例5 求证：以(1,2,3)A ，(2,1,4)B ，(4,2,1)C --为顶点的三角形是直角三角形． 证 因为2222(21)(12)(43)3AB =-+-+-=， 2222(41)(22)(13)41AC =-+--+--=， 2222(42)(21)(14)38BC =-+--+--=，211所以，2233841AB BC +=+=，又因为241AC =，根据勾股定理可知，ABC ∆是直角三角形．●●例6 设点P 在x轴上，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P -的距离的两倍，求点P 的坐标．解 因为点P 在x 轴上，故可设点P 的坐标为(,0,0)x ，则1PP =，2PP =由于122PP PP=，即，解之得1x =±．从而所求点P 的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)-．●●例7 已知两点(1,0,3)A 和(3,1,1)B ，求与AB −−→方向相同的单位向量e ． 解 因为 (3,1,1)(1,0,3)(2,1,2)AB OB OA −−→−−→−−→=-=-=-,所以，||3AB −−→=，从而 =e 1(2,1,2)3||ABAB −−→−−→=-． 2．方向角与方向余弦非零向量r =(,,)x y z 分别与x 轴、y 轴、z 轴的夹角αβγ、、称为向量r 的方向角（图6-11）．c o s,c o s ,c o s αβγ称为向量r 的方向余弦．则||cos ,||cos ,||cos x y z αβγ===r r r ．cos ||x α=r ，cos ||y β=r ，cos ||zγ=r ．从而1(cos , cos , cos )||r αβγ==r e r ． 上式表明，以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量r e ，而且有222cos cos cos 1αβγ++=．●●例8 已知两点A )和 (1, 3, 0)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角． 解因为(12, 32, 0(1, 1, AB −−→=---=-， 所以||2)2AB −−→=，从而(cos , cos , cos )||ABAB αβγ−−→−−→=，即 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos γ=，故 α=23π，β=3π，γ= 34π．212 ●●例9 设向量12P P −−→与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π，而且122|PP |−−→=，如果点1P 的坐标为(1,0,3)，求点2P 的坐标．解 设点2P 的坐标为(,,)x y z ，则12P P −−→的坐标为(1,0,3)x y z ---，又设向量12P P −−→的方向角为α、β、γ，由题设可得α=3π，1cos 2α=，β=4π，cos β= 因为222cos cos cos 1αβγ++=，所以1cos 2γ=±．即γ=3π或γ=23π．由121cos x |PP |α−−→-= 可得12x -12=，解之得2x =，由120cos y |PP |β−−→-= 可得02y-=y = 由123cos z |PP |γ−−→-=可得32z -12=±，解之得4z =或2z =． 故点2P的坐标为或．3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴（图6-12）．任给向量r ，作OM −−→=r ，再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '（点M '叫作点M 在u 轴上的投影），则向量OM −−→'称为向量r 在u 轴上的分向量．设OM −−→'λ=e ，则数λ称为向量r 在u 轴上的投影，记作Pr j u r 或()u r ． 按此定义，向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标,,x y z a a a 就是a 在3条坐标轴上的投影，即Pr j ,Pr j ,Pr j x x y y z z a a a ===a a a ．投影的性质：性质1 ()cos u a a ϕ=（即Pr j cos u a a ϕ=），其中ϕ为向量a 与u 轴的夹角． 性质2 ()()()u u u a b a b +=+（即Pr j ()Pr j Pr j u u u a b a b +=+）．性质3 ()()u u a a λλ=（即Pr j ()Pr j u u a a λλ=）．习 题 6-11．在平行四边形ABCD 中，设a −−→=AB ，AD −−→=b ，试用a 和b 表示向量MA −−→、MB −−→、MC −−→、MD −−→，其中M 是平行四边形对角线的交点．2．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形．2133．求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB −−→与12AB -的坐标表达式．4．求平行于(1,1,1)=a 的单位向量．5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)A B C D ------6．求点(,,)M x y z 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标．7．已知点(,,)A a b c ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．8．过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？9．求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．10．求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 3点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 11．在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点的坐标． 12．z 轴上，求与点(4,1,7)-A ，点(3,5,2)-B 等距离的点． 13．求λ使向量(,1,5)λ=a 与向量(2,10,50)=b 平行． 14．求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式．15．求与向量(1,5,6)=a 平行，模为10的向量b 的坐标表达式． 16．已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．17．已知两点A ，(3,0,4)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角．18．设向量的方向角为α，β，γ．若已知π3α=，2π3β=．求γ．19．已知3点(1,0,0)A =，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC −−→与CA −−→及其模；（2）BC −−→的方向余弦、方向角；（3）与BC −−→同向的单位向量． 20．设23=++m i j k ，23=+-n i j k ，34=-+p i j k ，求向量23=+-a m n p 在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量．21．一向量的终点为点(2,1,4)B --,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8， 求这向量起点A 的坐标．22．已知向量a 的两个方向余弦为2cos 7α=，3cos 7β=，且a 与z 轴的方向角是钝角．求cos γ．23．设有三个力12=-F i k ，2234=-+F i j k ，3=+F j k 作用于同一质点，求合力的大小和方向角．214 第二节 数量积 向量积 混合积*一、向量的数量积1．数量积的定义设一物体在常力F 作用下沿直线从点1M 移动到点2M ，以s 表示位移12M M −−→． 由物理学知道, 力F 所作的功为cos θ=W F s , 其中θ为F 与s 的夹角（图6-13）．在现实生活中还有很多问题的求解都归结于求两个向量a 和b 的模||a 、||b 及它们的夹角θ的余弦的乘积，我们称之为向量a 和b 的数量积，记作a b ⋅（图6-14），即cos θ⋅=a b a b ．由数量积的定义可以知道,力F 所作的功是力F 与位移s 这两个向量的数量积，即W =⋅F s ，下面我们来讨论数量积的一些性质．2．数量积的性质性质 1 当a ≠0时，Pr j ⋅=a a b a b ；当b ≠0时，Pr j ⋅=b a b b a ．这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积.由向量投影的定义即可证明，证明略．性质2 2⋅=a a a ．证 因为向量a 与自身的夹角0θ=，所以 2cos θ⋅==a a a a a ．性质3 两个向量a 与b 垂直的充要条件是0⋅a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当0⋅=a b 时一定有cos 0θ=，从而θ=π2，即a ⊥b ； 反之，如果a ⊥b ，那么π2θ=，cos 0θ=，于是cos 0θ⋅==a b a b ． 3．数量积满足的运算规律（1） 交换律 a b b a ⋅=⋅．（2） 分配律 ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．（3） 结合律 ()()a b a b λλ⋅=⋅, ()()()a b a b λμλμ⋅=⋅ （λ、μ 为常数）． 证 下面只证明分配律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，余下的证明留给读者． 当0c =时，上式显然成立，当0c ≠时，由性质1及投影的性质有()P r ()(P r P r )c c c j j j +⋅=+=+a b c c a b c ab Pr Prc c j j =+=⋅+⋅c a c b a c b c ．●●例1 试用向量证明三角形的余弦定理．215证 设在ABC ∆中，BCA θ∠=，=BC a ，CA b =，AB c =（图6-15），要证2222cos θ=+-c a b ab ．记CB −−→=a ，CA −−→=b ，AB −−→=c ， 则有 =-c a b ，从而2()()2=⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅c c c a b a b a a b b a b222cos(,).=+-a b a b a b即2222cos θ=+-c a b ab ．4．数量积的坐标表示设 ()x y z a ,a ,a a =，()x y z b ,b ,b =b ，则按数量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a b i j k i j ki i i j i k j i j j j k k i k j k k因为i j k 、、是两两互相垂直的单位向量，所以0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j i j k k j k i i k ，1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ．从而a b ⋅=++x x y y z z a b a b a b ．这就是两个向量的数量积的坐标表示式.5．两向量夹角的余弦的坐标表示设(,)θ∧=a b 则当,≠≠00a b 时, 由数量积的定义cos θ⋅=⋅a b a b 有cos ||||a b a b a b θ++⋅==⋅a ba b ． ●●例2 已知(1,1,4)=-a ，(1,2,2)=-b ，求（1）⋅a b ； （2）a 与b 的夹角； （3）a 在b 上的投影． 解 （1）⋅a b 111(2)(4)2=⋅+⋅-+-⋅9.=-（2）因为cos a b a b a b θ++==θ=3π4． （3）因为||Prj ⋅=b a b b a ，所以 P rj 3||⋅==-b a ba b ． 二、向量的向量积1．向量积的定义在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩． 设O 为一根杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处． F 与OP −−→的夹角为θ（图6-16）．由力学规定，力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模sin |||OP |||θ−−→=M F , 而M 的方向垂直于OP −−→与F 所决定的平面, M 的指向是按右手规则从OP −−→以不超过π的角转向F 来确定的（图6-17）．216设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出：（1）c 的模：sin θ=c a b ，其中θ为a 与b 间的夹角；（2）c 的方向：垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图6-18）．那么，向量c 叫做向量a 与b 的向量积，记作⨯a b ，即=⨯c a b．根据向量积的定义，力矩M 等于OP −−→与F 的向量积，即OP −−→=⨯M F ．2．向量积的性质性质1 ×0a a =．性质2 两个向量//a b 的充要条件是×0a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故由于可以认为零向量与任何向量都平行，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当×0a b =时一定有sin 0θ=，从而0θ=或πθ=，即//a b ；反之，如果//a b ，那么0θ=或πθ=，则sin 0θ=，于是×0a b =．3．向量积的运算规律（1）反交换律 ⨯=-⨯a b b a ．（2）分配律 ()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ．（3）结合律 ()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b （λ为数）．4．向量积的坐标表示设x y z a a a =++a i j k ，x y z b b b b =i +j +k ， 按向量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k由于⨯=⨯=⨯=0i i j j k k ，,,⨯=⨯=⨯=i j k j k i k i j ---⨯⨯⨯,j i =k,k j =i,i k =j ，所以()()()y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+-a b i j k ．217为了帮助记忆, 利用三阶行列式, 上式可写成x yz x yza a ab b b ⨯=i jk a b ． ●●例3 设向量2a i j k =+-，23b j k =+．计算a b ⨯，并计算以a ，为b 邻边的平行四边形的面积．解 121023i j ka b ⨯=-211112230302i j k --=-+832i j k =-+．根据向量积的模的几何意义，a b ⨯的模在数值上就是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．因而其面积S 为S ||=⨯a b●●例4 求同时垂直于向量(=-a解 记368(803)010,,=⨯=-=--i j kb a j ，故同时垂直于向量a 与y 轴的单位向量为803),,±=--b b ． ●●例5 用向量方法证明：三角形的正弦定理sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 证 如图6-19所示，在ABC ∆中，设−−→=BC a ，CA −−→=b ，−−→=AB c ，且=a a ，b =b ，c =c , 则0++=a b c ，从而()=-+c a b ，因此()⨯=-+⨯=-⨯=⨯0c a a b a b a a b ，同理可得⨯=⨯b c a b ，所以⨯=⨯=⨯b c c a a b ．故 ⨯=⨯=⨯b c c a a b ，即 sin sin sin bc A ca B ab C ==，于是sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 三、向量的混合积*1．向量的混合积的定义已知3个向量a 、b 、c ，向量a b ⨯与向量c 的数量积()⨯⋅a b c 称为这3个向量的混合积，记为[]abc ．2．混合积的坐标表示设 (,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，(,,)x y z c c c =c ，因为218 xy z x y za a ab b b ⨯=ij ka b yz x yx zyz x yx z a a a a a a b b b b b b =-+i j k ． 再按两向量的数量积的坐标表达式可得[]()=⨯⋅abc a b c yz x yx zxy zy z x yx za a a a a a c c cb b b b b b =-+xy zx y z x y za a ab b bc c c =． 由上述坐标表达式不难验证 []()()()=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅a b ca b c b c a c a b ． 3．向量的混合积的几何意义向量的混合积[]()=⨯⋅abc a b c 的绝对值表示以向量,,a b c 为棱的平行六面体的体积．如果向量,,a b c 组成右手系（即c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是正的；如果向量,,a b c 组成左手系（即c 的指向按左手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是负的．下面我们来解释这一问题．一方面，设−−→OA =a ，−−→OB =b ，−−→OC =c ，按向量积的定义，向量积a b f ⨯=是一个向量，它的模在数值上等于向量a 和b 为边所作的平行四边形OADB 的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当,,a b c 组成右手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的同侧（图6-20）；当,,a b c 组成左手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的异侧．所以，如设f 与c 的夹角为α，那么当,,a b c 组成右手系时，α为锐角；当,,a b c 组成左手系时，α为钝角．由于[]()cos α=⨯⋅=⨯abc a b c a b c ．所以当,,a b c 组成右手系时，[]abc 为正；当,,a b c 组成左手系时，[]abc 为负．另一方面，以向量,,a b c 为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB ）的面积S 在数值上等于a b ⨯，它的高h 等于向量c 在向量f 上的投影的绝对值，即h Prj cos α==f c c ，所以平行六面体的体积==V Sh []cos α⨯=a b c abc ．由上述混合积的几何意义可知，若混合积[]0abc ≠，则能以,,a b c 三向量为棱构成平行六面体，从而,,a b c 三向量不共面；反之，若,,a b c 三向量不共面，则必能以,,a b c 为棱构成平行六面体，从而[]0abc ≠．于是有下述结论：三向量,,a b c 共面的充分必要条件是它们的混合积[]0abc =，即0x y zx y z xyza a ab b bc c c =． ●●例6 已知[]2=abc ，计算[()()]()+⨯+⋅+a b b c c a ．解 [()()]()+⨯+⋅+a b b c c a [)]()=⨯+⨯+⨯+⨯⋅+a b a c b b b c c a219()()()0=⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b c a c c c b c c ()()()0+⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b a a c a a b c a 2()=⨯⋅a b c 2[]=abc 4=．●●例7 已知(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，(,,)D x y z 4点共面，试求D 点的坐标所满足的关系式．解 A B C D 、、、 四点共面相当于−−→AB 、−−→AC 、AD −−→三个向量共面，而(450)−−→=-，，AB ，(043)−−→=-，，AC ，(112)−−→=-+-，，AD x y z ，由3个向量共面的充要条件可知：1124500043-+--=-x y z ． 即 151216350++-=x y z 为所求的关系式．习 题 6-21．已知向量(112),,=a ，(010),,=b ，(0,0,1)=c ，求（1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．2．已知向量(100),,=a ，(221),,=b ，求⋅a b ，⨯a b 及a 与b 的夹角余弦．3．已知π5,2,(,)3∧===a b a b ，求23a b -．4．证明下列问题：（1）证明向量(101),,=a 与向量(-111),,=b 垂直； （2）证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直．5．求点(1M 的向径OM −−→与坐标轴之间的夹角． 6．求与=++a i j k 平行且满足1⋅=a x 的向量x ．7．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．8．在顶点为(1,-1,2)A 、(5,-6,2)B 和(1,3,-1)C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD ．9．已知向量2222, , ||||||().≠≠⨯=-⋅00证明a b a b a b a b10．证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义． 11．已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b ； （2）()()+⨯+a b b c ； （3）()⨯⋅a b c ； （4）⨯⨯a b c ．第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念类似于在平面解析几何中把平面曲线看作是动点的运动轨迹，在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹．在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）220 有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）,（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）, 那么，方程(,,)0F x y z =就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）．下面我们来建立几个常见的曲面的方程．●●例1 建立球心在0000()M x ,y ,z 、半径为R 的球面的方程． 解 设(,,)M x y z 是球面上的任一点（图6-22），那么0M M =R ，即R或 2222000()()()R x x y y z z -+-+-=． （2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程．而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程． 特别地，如果球心在原点，那么球面方程为2222x y z R ++=．●●例2 求与原点O 及0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程．解 设(,,)M x y z 是曲面上任一点，根据题意有0||1||2MO MM =，即12=， 整理得: 22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．与方程（2）比较可知，该方程表示球心在点24,1,33⎛⎫--- ⎪⎝⎭求球面上的点的坐标所满足的方程，而不在此球面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求球面的方程．以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x 、y 和z 间的方程通常表示一个曲面．因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题：（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；图6-22图6-21221（2） 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状． 上述两个例子是从已知曲面建立其方程的例子，下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子．●●例3 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可化为222(1)(2)5x y z -+++=，与方程（2）比较可知，原方程表示球心在点0(1,2,0)M -、半径为R = 一般地，设有三元二次方程2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=，这个方程的特点是缺xy ，yz ，zx 各项，而且平方项系数相同，如果能将方程经过配方化成2222000()()()x x y y z z R -+-+-=的形式，那么它的图形就是一个球面．下面，我们来讨论一些特殊的曲面．二、旋转曲面以一条平面曲线绕其所在平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴．设在yOz 坐标面上有一已知曲线:(,)0C f y z =，把该曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面（图6-23），下面求该旋转曲面的方程．设111(0,,)M y z 为曲线C 上的任一点，那么有11(,)0=f y z ， （3）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 也绕z 轴旋转到另一点(,,)M x y z ，这时1z z =保持不变，且点M 到z 轴的距离1d y ．将1z z =，1y =3）式，即得旋转曲面的方程为()0f z =，即将曲线C 的方程(,)0f y z =中的y改成，便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程．同理yOz 坐标面上的已知曲线(,)0f y z =绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为(0f y,=．同理xOy 坐标面上的已知曲线(,)0=f x y 绕x 轴旋转一周的旋转曲面方程为(,0f x =．●●例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角π(0)2αα<<叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面（图6-24）222 的方程．解 yOz 面上直线L 的方程为cot z y α=，因为z 轴为旋转轴，L 为母线，所以只要将方程cot z y α=中的y改成即可得到所要求的圆锥面方程z α=或 2222()z a x y =+，其中cot a α=．显然，圆锥面上任一点M 的坐标一定满足此方程．如果点M 不在圆锥面上，那么直线OM 与z 轴的夹角就不等于α，于是点M 的坐标就不满足此方程．三、柱面给定一曲线C 和一定直线L （L 不在曲线C 所在的平面内），如果一动直线平行于定直线L 并沿着曲线C 平行移动所生成的曲面叫做柱面，其中，曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线．下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面．设准线C 为xOy 面内的一条曲线，其方程为(,)0F x y =，沿C 作母线平行于z 轴的柱面（图6-25）．在柱面上任取一点(,,)M x y z ，过M 点作一条与z 轴平行的直线，则该直线与xOy 平面的交点为0(,,0)M x y ，由于0M 在准线C 上，所以有(,)0F x y =．即M 点的坐标应满足方程 (,)0F x y =． 反之,如果空间一点000(,,)M x y z 满足方程(,)0F x y =,即00(,)0F x y =,则000(,,)M x y z 必在过准线C 上一点00(,)x y 而平行于z 轴的直线上，于是点000(,,)M x y z 必在柱面上．所以，方程(,)0F x y =在空间就表示母线平行于z 轴的柱面．例如方程222x y R +=表示母线平行于z 轴，准线是xOy 平面上以原点为圆心、以R 为半径的圆的柱面（图6-26），称其为圆柱面，类似地，曲面222x z R +=、222y z R +=都表示圆柱面．方程22y x =表示母线平行于z 轴，以xOy 坐标面上的抛物线22y x =为准线的柱面，该柱面叫做抛物柱面（图6-27）．一般地，只含,x y 而缺z 的方程(,)0F x y =，在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy 面上的曲线C ：(,)0F x y =．类似地，只含,x z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含,y z 而缺x 的方程(,)0=H y z 分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面．223图6-29例如，方程0-=x z 表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是xOz 面上的直线0-=x z ，所以它是过y 轴的平面．四、二次曲面与平面解析几何中介绍的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．把平面叫做一次曲面．怎样了解三元方程(,,)0F x y z =所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状．这种方法叫做截痕法．另外一种常见的方法是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法：设S 是一个曲面，其方程为(,,)0F x y z =，S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面，显然，若(,,)x y z S ∈，则(,,)x y z S λ'∈；若(,,)x y z S '∈，则1,,x y z S λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因此，对于任意的(,,)x y z S '∈，有1,,0λ⎛⎫= ⎪⎝⎭F x y z ，即1,,0F x y z λ⎛⎫= ⎪⎝⎭是曲面S '的方程．下面我们来介绍几种典型的二次曲面．1．椭圆锥面由方程22222x y z a b+=所表示的曲面称为椭圆锥面（图6-28）．我们先用截痕法来讨论其图形．以垂直于z 轴的平面z t =截此曲面,当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆1)()(2222=+bt y at x ．当t 变化时， 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当||t 从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点．综合上述讨论，可得椭圆锥面． 另外，我们也可以用伸缩变形的方法来讨论其图形．把圆锥面2222x y a z +=沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得到椭圆锥面的方程为2222()a x y a z b +=，即 22222x yz a b+=．2．椭球面由方程2222221x y z a b c++=所表示的曲面称为椭球面（图6-29）．把xOz 面上的椭圆22221x z a c +=绕z 轴旋转一周所得的曲面称 为旋转椭球面，其方程为222221x y z=a c ++，再把旋转椭球面沿y 轴 方向伸缩a b 倍，便得椭球面2222221x y z a b c++=.另外，把球面2222x y z a ++=沿z 轴方向伸缩a c 倍，得旋转椭球面222221x y z a c++=，再沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得椭球面2222221x y z a bc++=．。
空间解析几何与向量代数教案
空间解析几何与向量代数教案第一章：空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系的定义与性质学习空间直角坐标系的定义与性质，理解坐标轴的相互关系。
通过实例演示空间直角坐标系的建立与表示方法。
1.2 点、向量与坐标学习点在空间直角坐标系中的表示方法，理解坐标与点的关系。
学习向量的定义与表示方法，掌握向量的坐标表示。
第二章：向量代数2.1 向量的基本运算学习向量的加法、减法、数乘运算，掌握运算规则与性质。
学习向量的点积与叉积运算，理解其几何意义与计算方法。
2.2 向量的数量积与角度学习向量的数量积（点积）的定义与性质，掌握计算方法。
学习向量的夹角（角度）的定义与计算方法，理解其几何意义。
第三章：空间解析几何3.1 直线与方程学习直线的解析几何表示方法，理解直线方程的定义与形式。
学习直线的点斜式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。
3.2 平面与方程学习平面的解析几何表示方法，理解平面方程的定义与形式。
学习平面的点法式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。
第四章：空间几何图形4.1 直线与平面的位置关系学习直线与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。
学习直线与平面交线的求法，理解交线的几何性质。
4.2 平面与平面的位置关系学习平面与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。
学习平面与平面交线的求法，理解交线的几何性质。
第五章：空间解析几何的应用5.1 空间距离与角度学习空间两点间的距离公式，掌握距离的计算方法。
学习空间两点间的夹角公式，理解夹角的计算方法。
5.2 空间解析几何在几何中的应用学习空间几何问题的解析几何方法，解决线与线、线与面、面与面的交点问题。
学习空间几何图形的面积、体积的计算方法，应用解析几何知识解决实际问题。
第六章：空间向量与线性方程组6.1 向量组的线性组合学习向量组的线性组合的定义与性质，理解线性组合与向量加法的关系。
学习向量组的线性相关的概念，掌握线性相关的判定方法。
向量代数与空间解析几何(修改篇
解：2a b 2 (2,1, 2) (1,1, 2)
(4, 2, 4) (1,1, 2)
(3,3, 2)
20
向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有源自rOMOP
OQ
OR
由勾股定理得
r OM
z
R
o
r
M
Q y
P
o x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
19
利用坐标作向量的线性运算
设
a
(aax ,ba
y,
az ), b (ax bx ,
(bx ay
,by ,bz ) by ,az
, 为实数，则
bz )
a
(
ax
,
ay
,
az
)
例3. a （2，1，2）, b （ 1，1， 2）. 求 2a b .
b
且符合右手规则
a
ab
当a或b为零向量时,或者当 0或 时，ab 0
40
两向量的向量积(叉积, 外积)
设 a , b的夹角为 ，(叉积)向量积: a b a 0,b 0
求 AMB .
35
例8. 已知三点M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1 , 2 ),
求 AMB .
A
解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
B
M
则 cos AMB
MA MB MA MB
1 0 0 22
故 AMB
36
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则
第六章向量代数与空间解析几何
第六章空间解析几何与向量代数第二十二讲§6.1 向量及其运算教学目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；教学重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。
难点：运算法则的掌握教学过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有两种:→a、→AB向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为||→a、||→AB.单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的.相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行.二、向量运算向量的加法向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b .当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.向量的减法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
→→→→→AOOBOBOAAB-=+=,2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.(1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a；(2)分配律(λ+μ)a=λa+μa；λ(a+b)=λa+λb.例1在平行四边形ABCD中,设−→−AB=a,−→−AD=b.试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点. 解 ：a +b −→−−→−==AM AC 2于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ).又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ).由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b = λa .三、空间直角坐标系过空间一个点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点。
向量代数与空间解析几何教案
向量代数与空间解析几何教案
一、矢量代数与空间解析几何教学目标
（一）知识与技能目标
1.掌握实数张量的基本概念及性质。
2.掌握空间解析几何的基本概念及定义，掌握空间解析几何的性质及关系。
3.理解空间解析几何的基本概念及定义，理解矢量代数的基本概念及定义。
4.掌握矢量代数的基本概念及定义，掌握矢量代数的基本算法及实例分析。
5.掌握常见的几何形状和曲线的推导运算，推导图形的两点之间的距离及角度等。
（二）过程与方法目标
1.掌握数学建模的基本要素，学习建模的方法及过程。
2.养成独立学习、自主思考的习惯，练习解题能力及应用能力。
3.加强个别学习，形成组织学习，自学，互学相结合的学习模式。
二、教学内容
（一）矢量代数
1.实数张量的定义及基本性质：实数张量是一种关系的概括，它描述了一组数字之间的关系，它的基本性质包括变换的对称性、可加性和逆变换。
2.矢量代数的定义及基本性质：矢量代数是由实数张量和实数矩阵组成的数学模型，它可以用来刻画几何物体的几何特征，矢量代数的基本性质包括平行性、正交性和判定性。
高等数学教案-向量代数与空间解析几何
高等数学教学教案第8章 向量代数与空间解析几何授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件教学难点 两个向量垂直、平行的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.教 学 基 本 内 容一．空间直角坐标系1.直角坐标系，点叫做坐标原点.2.在直角坐标系下，数轴统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.3.数组为点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．二．空间两点间的距离设，为空间两点，则与之间的距离为.三．向量的概念1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．O Oxyz 111(, , )M x y z 222(, , )N x y z M N 212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=Oxyz Oz Oy Ox ,,zOx yOz xOy ,,(, , )x y z M Oxyz z y x ,,M2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作或.3. 单位向量:模为的向量叫做单位向量.4. 零向量:模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.6.负向量:与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作．7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.四．向量的线性运算1. 向量的加法定义 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作．这种向量求和方法称为平行四边形法则．若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和，该法则称为三角形法则．对于任意向量，，，满足以下运算法则：(1)(交换律)． (2) (结合律)． (3)．2.向量的减法定义 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即．特别地，当时，有.若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.3.数乘向量定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向：当时，与同向；当时，与反向；当时，．对于任意向量，以及任意实数，，有下列运算法则：(1) ． (2) ． (3) ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合．特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记作，即. 定理 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数，使得.a AB10b a =a a -a a b A AB AD a b AB ADABCD A C ACa b b a +b a a b c a b a b c a +b =b +a ()()a +b +c =a +b +c 0a +=a a b -b a b ()--a b =a +b b =a ()-0a +a =a b a b b a λa λa λa λa 0λ>λa a 0λ<λa a 0λ=λ0a =a b λμ()()λμλμa =a ()+λμλμ+a =a a ()+λλλ+a b =a b λμa +b a b (, )R λμ∈a a a e ||a ae a =a b λλa =b例7 已知向量，，求.例8 已知三角形的顶点分别是，求三角形的面积.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角教学难点 利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决问题参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.教 学 基 本 内 容一．空间平面方程1.平面方程的各种形式（1）若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量．（2）平面的点法式方程：过点，法向量为的平面方程为．（3）平面的三点式方程：过三点的平面方程为 称为平面的三点式方程.（4）平面的截距式方程：过三点，，的平面的方程为}2,1,3{--=a }1,2,1{-=b b a 2⨯ABC (1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ABC n ∏n ∏0000(, , )M x y z {, , }A B C n =000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---(, 0, 0)A a (0, , 0)B b (0, 0, )C c (0)abc ≠例8将直线的一般式方程化为点向式方程和参数方程．例9求直线和的夹角. 例10求直线与平面的夹角.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影及其方程参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.教 学 基 本 内 容一．空间曲面定义 如果曲面与方程满足如下关系： (1) 曲面上每一点的坐标都满足方程； (2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上． 则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形．几个常见的曲面方程.1.球面（1）以坐标原点为球心，以为半径的球面方程为．（2）以为球心，以为半径的球面方程为. （3）一般方程.2310,32120,x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩113:141x y z l -+==-220:20x y l x z ++=⎧⎨+=⎩300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩10x y z --+=∑(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =∑∑R 2222R z y x =++000(,,)x y z R 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=0222=++++++D Cz By Ax z y x组称作空间曲线的一般方程.2.空间曲线的参数方程对于空间曲线，若上的动点的坐标可表示成为参数的函数随着的变动可得到曲线上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.3.空间曲线在坐标面上的投影（1）设空间曲线的一般方程为消去变量之后所得到的方程,表示一个母线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线.以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成（2）消去方程组中的变量或，再分别与或联立，我们便得到了空间曲线在或面上的投影曲线方程：或（3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.三．二次曲面1.椭圆锥面由方程所确定的曲面称为椭圆锥面.2.椭球面(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩C C x y z ,,t ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x t C C (,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩z (,)0H x y =z C C z xoy xoy C xoy (,)0,0.H x y z =⎧⎨=⎩(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩x y 0x =0y =C yoz xoz (,)0,0,R y z x =⎧⎨=⎩(,)0,0.T x z y =⎧⎨=⎩22222x y z a b+=由方程 ()所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程．3.单叶双曲面由方程()所确定的曲面称为单叶双曲面．4.双叶双曲面由方程()所确定的曲面称为双叶双曲面．注 方程和也都是单叶双曲面;方程和也都是双叶双曲面．5.椭圆抛物面由方程 ()所确定的曲面称为椭圆抛物面．6.双曲抛物面由方程 ()所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解例1建立球面的中心是点，半径为的球面方程. 例2 方程表示怎样的曲面？ 例3 分析方程表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.1222222=++cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>, , a b c 1222222=-+cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222-=-+c z b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222=+-c z b y a x 1222222=++-cz b y a x 1222222-=+-c z b y a x 1222222-=++-cz b y a x 2222by a x z +=0, 0, 0a b c >>>2222by a x z -=0, 0, 0a b c >>>),,(0000z y x M R 024222=+-++y x z y x 222R y x =+8.24 图8.25坐标面上的双曲线分别绕绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的12222=-by c z L。
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第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点： 1. 空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。
3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。
模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平行。
6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a二、向量的线性运算b c1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7a －42．a b c 即 a ( b) c3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为(1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a |(2) 0 时， a 0(3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a |其满足的运算规律有：结合率、分配率。
设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么a 0aa定理 1：设向量，那么，向量b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，a≠ 0使b＝a例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。
（见图7－5）图 7－ 4解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1(a b) 2由于 MC MA ，于是 MC 1b)(a2 1(b a)又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD1 (b 2由于 MB MD ，于是 MB a)2三、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图 7－ 1，其符合右手规则。
即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度2转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为 xoy 面、yoz面、zox面。
坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。
图图 7－1 右手规则演示7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4．空间两点间的距离。
若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1 M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：d 2 M 1M 2 2 2 2M 1 NNM 22 2NM 2 2M 1 p pN而M 1 P x2 x1PN y2 y1NM 2 z2 z1所以d M 1 M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 ) 2特殊地：若两点分别为M ( x, y, z) ， o(0,0,0)d oM x 2 y 2 z2例 1：求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
2(4 7) 2 (3 1)2 (1 2)2 14证明 : M 1 M 2M 2 M 3 27)2 (2 1)2 (3 2)2 6 (52(5 4)2 ( 2 3) 2 (3 1) 2 6M 3 M 1由于M 2 M 3 M 3 M 1，原结论成立。
例 2：设P在x轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到点 P2 (0,1, 1) 的距离的两倍，求点P 的坐标。
解：因为 P 在x轴上，设P点坐标为( x,0,0)PP1 x 2 2 2 2 x 2 11 2 2 2 2 23x 1 x 2PP 1PP1 2 PP2 x2 11 2 x2 2x 1所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)四、利用坐标系作向量的线性运算1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设 a = M 1M 2 是以 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 为起点、 M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) 为终点的向量， i 、 j 、 k分别表示图 7－ 5沿 x ， y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7－ 5，并应用向量的加法规则知：M M2( x2x ) i + ( y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k11或a = a x i + a y j + a z k上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。
有序数组a x、 y 、 z 与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影x、 y 、 z 就a a a a a叫做向量 a 的坐标，并记为a ＝ { a x ， a y ， a z } 。
上式叫做向量 a 的坐标表示式。
于是，起点为 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 终点为 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为M 1M 2 { x 2 x 1, y 2 y 1 , z 2z 1 }特别地，点 M ( x, y, z) 对于原点 O 的向径OM { x, y, z}注意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量 a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、 a y 、 a z ，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量xi 、y、z.a a j a k2．向量运算的坐标表示设 a{ a x , a y , a z } ， b { b x , b y ,b z } 即 a a x i a y ja z k ，b b x i b y j b z k则(1) 加法：a b(axb x )i (a yb y ) j(azb z )k◆ 减法：a b(axb x ) i(ayb y ) j( a zbz) k◆ 乘数： a ( a x )i ( a y ) j ( a z ) k◆ 或 a b { a x b x , a y b y , a z b z}a b { a x b x , a y b y , a z b z}a { a x , a y , a z}◆平行：若 a≠0时，向量b // a相当于b a ，即{ b x , b y ,b z} { a x , a y , a z}也相当于向量的对应坐标成比例即b x by b za x a y a z五、向量的模、方向角、投影设 a { a x , a y , a z} ，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量 a 的方向角，见图7－ 6，其余弦表示形式cos 、cos 、cos 称为方向余弦。
1．模a a x2 a2y a2z2．方向余弦a x M 1 M 2 由性质 1 知a y M 1M 2a z M 1 M 2 cos a coscos a cos，当a a2x a2y a 2z0 时，有cos a cosa x a xcosa a x2 a y2 a z2a y a ycosa a x2 a y2 a z2a z a zcosa a x2 a y2 a z2◆任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos2 1 ◆与非零向量 a 同方向的单位向量为：a 0 a 1 { a x , a y , a z } {cos , cos , cos }a a例：已知两点 M(2,2, 2 )、M(1,3,0) ，计算向量 M 1M 2 的模、方向余弦、方向角以及与1 2M 1M 2同向的单位向量。
解： M 1M 2 ＝ {1-2 ， 3-2 ，0- 2 }={-1 ， 1，- 2 }M 1 M 2 ( 1) 2 12 ( 2) 2 2cos1， cos1， cos22 2 22，，33 3 4设 a 0为与M1M2 同向的单位向量，由于 a0 {cos , cos , cos }即得a0 { 1 , 1 , 2 }2 2 23．向量在轴上的投影(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数满足AB ，且当 AB 与轴 u 同向时是正的，当 AB 与轴 u 反向时是负的，那么数叫做轴 u 上有向线段AB 的值，记做AB，即AB 。
设e是与u轴同方向的单位向量，则AB e(2) 设 A、 B、C是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和b，任取空间一点O，作OA a ，OB b，规定不超过的 AOB 称为向量 a 和b的夹角，记为(a,b)(4)空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点 A 在轴u上的投影。
(5)向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量 AB 的起点A和终点B在轴 u 上的投影分别为点 A'和 B '，那么轴u上的有向线段的值A' B'叫做向量AB在轴u上的投影，记做Pr j u AB 。
2．投影定理性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Pr j u AB AB cos性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Pr j u ( a1a2 ) Pr j a1Pr j a2性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即Pr j u ( a)Pr j a小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。
本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。