数学文化练习题
华中师范大学职业与继续教育学院《数学文化》练习题库及答案
华中师范大学职业与继续教育学院《数学文化》练习题库及答案一选择题1《三角形论》的作者是谁?A乾隆 B康熙 C雍正 D顺治2中国古代哪一项“四大发明”与宋代没有关系？A火药 B指南针 C造纸 D印刷术3 下列哪个学派提出“万物皆数”这个观点？A毕达哥拉斯学派 B泰勒斯学派 C巧辩学派 D 厄里亚学派4下列哪位数学家创立了“拓扑学”？A康托 B伽罗瓦 C高斯 D 庞加莱5黎曼开创了下列哪一个数学领域？A现代微分几何 B抽象代数 C拓扑学 D非欧几何6下列哪一个朝代出现了甲骨文？A夏 B商朝 C西周 D 战国7第二次数学危机发生在什么时候？A公元前5世纪 B16世纪 C17世纪 D 19世纪8“以反对中世纪经院哲学派的基督教思想体系为中心，推崇人文主义。
颂扬人，蔑视神；赞美人性，贬抑神性；提倡人权，否定神权；标榜人道，反对神道。
”这段文字描述的是下列哪个时期?A古典时期 B 古希腊时期 C文艺复兴时期 D 中世纪9下列哪一项不是古印度的数学知识积累?A楔形文字泥板 B桦树皮 C经文 D碑文10文明古国的数学知识非常丰富，金文是下列哪个古国的数学知识？A古埃及 B古中国 C古印度 D玛雅11下列哪一个著作是丢番图（Diophantus of Alexandria 约246~330）完成的？A《算术》 B《数学汇编》 C《圆锥曲线》 D《算术入门》12自从公元前200多年罗马入侵后，古希腊数学以至整个古希腊文明就开始遭到破坏，其中有三把火加速这些破坏，下列哪一项不是？A、B.C.47年凯撒纵火，亚历山大里亚图书馆藏书50万份手稿被焚B 392年罗马王泰奥多希乌斯下令拆神庙，塞拉皮斯神庙所30万份手稿被焚C公元529年，东罗马王子封闭了所有的古希腊学园，包括柏拉图学园，古希腊的学者们纷纷逃散到波斯。
D 640年阿拉伯人奥玛下令焚书达 6 个月13下列哪一项不是古希腊数学的成就？A倡导理性和抽象，为数学的理论及其发展奠定了基础B三、四次方程的求解C建立了逻辑推理和证明的方法，对数学的严密性产生了深远的影响D确立了数学观以及初等数学全面开创14阿拉伯数学的兴盛期是9 — 13世纪，以巴格达、布哈拉、开罗、科尔瓦多、托来多等中心，其中有以阿尔-花拉子模为代表的创造性工作，下列哪个著作是阿尔-花拉子模完成的？A《代数学》 B《圆周论》 C《论四边形》 D《算术之钥》15下列哪位历史人物首创内插法，编《皇极历》并用内插法算子午线？A赵爽 B刘徽 C祖冲之 D刘焯16.1840年鸦片战争，打开了清廷闭关自守的大门。
高考数学二轮复习练习-专题七数学文化练典型习题提数学素养
一、选择题1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人解析：选 B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912＝300×8 10022 500＝108.故选B. 2．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B.法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B.法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B.3．(2019·山东淄博模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎨⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15. 因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.5．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A.先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A.6．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.7．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则a2 017·a2 019－a22 018等于()A．1 B．－1C．2 017 D．－2 017解析：选A.因为a1a3－a22＝1×2－1＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝1，a4a6－a25＝3×8－52＝－1，…，由此可知a n a n＋2－a2n＋1＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a22 018＝(－1)2 017＋1＝1，故选A.8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A.10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B. 11．(多选)(2019·济南模拟)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝2n －1C ．a 4＝27D ．a n －a n －1＝2·3n －2(n ≥2) 解析：选ACD.黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.12．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路解析：选ABD.设此人第n 天走a n 里路，前n 天共走S n 里路．由题意可知，{a n }是首项为a 1，公比q ＝12的等比数列，由等比数列前n 项和公式得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192. 在A 中，a 2＝192×12＝96，故A 正确； 在B 中，378－192＝186，192－186＝6，故B 正确；在C 中，a 3＝192×14＝48，48378>18，故C 错误； 在D 中，a 4＋a 5＋a 6＝192×⎝⎛⎭⎫18＋116＋132＝42，故D 正确．13．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，下列命题正确的是( )A ．对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个B ．函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”C ．正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”D ．函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故A 正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故B 错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C 正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D 错误．二、填空题14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R ，(2R )2＝62＋22＋12，解得R 2＝414，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR 2＝41π.答案：41π15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF 2，PF 1分别是Rt △F 1PF 2的“勾”“股”，则点P 的横坐标为________．解析：由题意知半焦距c ＝3，又PF 1⊥PF 2，故点P 在圆x 2＋y 2＝3上，设P (x ，y )，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得P ⎝⎛⎭⎫263，33. 故点P 的横坐标为263. 答案：26316．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0．618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝________． 解析：由题设n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝2·（2sin 18°cos 18°）cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2. 答案：217．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.答案：262－1。
高考数学二轮复习专题十第十九讲数学文化与核心素养习题文
第十九讲数学文化与核心素养1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V≈136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551132.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=√14[c2c2-(c2+c2-c22)2].若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )A.√3B.2C.3D.√63.3世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的n为(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018贵州贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n 的值为( ) A.20 B.25 C.30D.355.(2018重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π206.(2018云南昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )A.9B.16C.23D.307.(2018吉林长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为( )A.4B.5C.6D.128.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n 层,上底由a×b 个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),其中a 是上底长,b 是上底宽,c 是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )A.83B.84C.85D.869.(2018福建福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》.图中的Mod(N,m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n,例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A.23B.38C.44D.5810.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,他在5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos∠AOB=()A.125B.325C.15D.72512.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√c2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为( )A.①③B.①③④C.②③D.①④13.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是.14.(2018四川成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4,6,1,则输出的k的值为.15.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 .答案精解精析1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=13πr 2h≈7264l 2h=7264(2πr)2h,化简得π≈227.故选A. 2.A 根据正弦定理及a 2sinC=4sinA,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4,则S=√14[c 2c 2-(c 2+c 2-c 22)2]=√16-44=√3,故选A.3.B 按照程序框图执行,n=6,S=3sin60°=3√32,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=12,S=6sin30°=3,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=24,S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,跳出循环,输出n 的值为24,故选B. 4.B 解法一:执行程序框图,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+793≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.解法二:由题意,得{c +c =100,3c +c 3=100,且m,n 都是整数,解得n=25,m=75,故选B.5.D 如图,直角三角形的斜边长为√82+152=17,设其内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3,∴内切圆的面积为πr 2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-9π12×8×15=1-3π20.6.C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·[93]≠2;k=2,a=16,16-3·[163]=1≠2;k=3,a=23,23-3·[233]=2,23-5·[235]=3,满足条件,退出循环,则输出a=23.故选C.7.B 如图所示,由三视图可还原得到几何体ABCDEF,过E,F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN,可将原几何体切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱锥E-ADHG 和四棱锥F-MBCN,易知直三棱柱的体积为12×3×1×2=3,两个四棱锥的体积相同,都为13×1×3×1=1,则原几何体的体积为3+1+1=5.故选B.8.C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),得s=85,故选C. 9.A Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i =21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,结束循环.故输出的i=23.故选A.10.D 设截面与下底面的距离为h,则①中截面内的圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R 2-h 2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R -h)2;③中截面圆的半径为R-c2,则截面圆的面积为π(c -c 2)2;④中截面圆的半径为√c 2-c 2,则截面圆的面积为π(R 2-h 2).所以①④中截面的面积相等,满足祖暅原理,故选D.11.D 如图,AB=6,设CD=x(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5.由余弦定理得cos∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.12.A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x 2+√c 2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sinx 图象的对称中心上,则正弦函数y=sinx 是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.13.答案π8解析 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8. 14.答案 4解析 x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因为4>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因为4>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因为2>2不成立,2=2成立,所以输出的k=4. 15.答案20√5π3解析 如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√cc 2+A c 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.。
数学文化—中考复习(含练习题)【精心整理】【6本教材】
目录：数学文化——七上数学文化——七下数学文化——八上数学文化——八下数学文化——九上数学文化——九下数学文化专项练习题数学文化——七上1.中国人最先使用负数中国人很早就开始使用负数.著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法。
魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正，黑色为负).追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数, 中国人最先使用负数 .2.负数的由来中国是世界上首先使用负数的国家, 战国时期李悝(约前455- -前395)所著的(法经)中已出现使用负数的实例。
1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔(1595- -1632) 在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算，吉拉尔的负数符号得到人们的公认，一直沿用至今.印度最早使用负数的是婆罗摩芨多(598- -665), 他在628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正数、负数的四则运算法则，认为负数就是负债和损失.西方首先使用负数的是古希腊的丢番图.（丢番图(公元3-4世纪)，古希腊数学家.丢番图对代数学和数论的发展起了极其重要的作用和深远的影响。
他有几部著作，最重要的是《算术》，还有一部《多角数》，他被后人称为“代数学之父".）负数的地位最后是由德国的维尔斯特拉斯和意大利的皮亚诺确立的。
刘徽在注解《九章算术》"方程”章时给出了正数、负数的加减法则:“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。
遗憾的是他未能像正数、负数的加减运算那样，总结出正数、负数乘除运算的一般法则，而是通过具体的例子予以处理正数、负数的乘除法则，直到1299年元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载:“同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负.”3.通常用z. y, z等字母表示来知数，法国数学家笛卡儿是最早这样做的人，我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数.4.公元820年左右，中亚细亚的数学家阿尔—花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学的发展产生了很大影响。
2023年新高考数学创新题型微专题14 集合,复数,逻辑语言专题(数学文化)(解析版)
专题14 集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）一、单选题1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i − C ．12i − D ．12i +【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得12Z i =+,然后利用共轭复数的概念判定. 【详解】解：()505202041,12,12i i Z i Z i ==∴=+∴=−,故选：C.2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者【答案】A【分析】由S A B =I 即可判断S 的含义.【详解】解：由图可知，集合S 是集合A 与集合B 的交集， 所以集合S 表示：感染未发病者，即无症状感染者， 故选：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若p ，则q ”为真命题，则“由p 可以推出q ”，即一旦p 成立，q 就成立，p 是q 成立的充分条件.也可以这样说，若q 不成立，那么p 一定不成立，q 对p 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C5．（2020·陕西榆林·z a bi =+（a ，b ∈R ）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z r r i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫===+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z .故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n 次复系数多项式()f x 在复数集中有n 个复数根（重根按重数计）那么()31f x x =−在复平面内使()0f x =除了1和12−这两个根外，还有一个复数根为（ ）A ．12B ．12−C ．12D ．12−【答案】B【分析】利用方程根的意义，把12−代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因12−是方程()0f x =的根，即32111))22(1(2−−−=⇒==221111)())222(2(−=−−−+⇒=3111)())1222222((−−=−+−⇒=，所以12−是方程()0f x =的根.故选：B7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，3i 4e π表示的复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可. 【详解】解：根据欧拉公式i e cos isin x x x=+，得3πi 43π3πecosisin 44=+=+，即它在复平面内对应的点为22⎛ ⎝⎭， 故位于第二象限. 故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔()ReneDescartes 创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z ，1z =且(1i)0z ⋅+>(其中i 是虚数单位)，则复数z =（ ）ABC D 【答案】C【分析】根据条件，设i z a b =+，再列式求,a b ，即可得到复数. 【详解】设i z a b =+，221a b +=，①()()()()i 1i i>0a b a b a b ++=−++，得0a b +=，且0a b −> ②，由①②解得：a =b =所以22z =−. 故选：C9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i 在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i 的重要性．对于方程310x +=，它的两个虚数根分别为（ ）A ．12B ．12−C D 【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证．【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD ，A 选项，31110+=+==， 因此选项A 正确，则选项B 错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．故选：A ．10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=−，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ） A ．12i −+ B ．2i −−C ．12i −±D ．2i −±【答案】C【分析】设出复数z 的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a −++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧−++=⎨+=⎩，解得12a b =−⎧⎨=±⎩，所以12i z =−±. 故选：C11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知{}32,A x x n n N *==+∈，{}53,B x x n n N *==+∈，{}72,C x x n n N *==+∈，若x A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数x 为 A ．8 B ．127C ．37D ．23【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合A 、B 、C 的表达式，检验是否为A 、B 、C 的元素，即可选出正确选项．【详解】因为8711=⨯+，则8C ∉，选项A 错误；1273421=⨯+，则127A ∉，选项B 错误； 373121=⨯+，则37A ∉，选项C 错误；23372=⨯+，故23A ∈；23543=⨯+，故x B ∈；23732=⨯+，故x C ∈，则23A B C ∈⋂⋂，选项D 正确. 故选：D ．12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34,|B x x x =−<<∈Z ，则A B ⋂的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合A ，再根据交集的定义求出A B ⋂，从而可得答案. 【详解】解：依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =−−， 故{}1,2,3A B =，故A B ⋂的子集个数为8． 故选：D ．13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和d c （,,,abcd N +∈），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 2.71828e =⋯，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为 A ．10940B ．6825C ．197D ．8732【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<；第二次用“调日法”后得6825是e 的更为精确的过剩近似值，即27681025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197. 故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10g B ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g【答案】A【分析】设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >）， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m . 由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25bm a=， 则1255b am m a b+=+. 下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010b a b a m m a b ab−+−=+−=， 因为a b ¹，所以()250b a ab−>，即1210m m +>. 所以这样可知称出的黄金质量大于10g . 故选：A15．（2022·图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）A ．如果,a b b c >>，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．如果,0a b c >>，那么ac bc >D ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，在正方形的面积为2c ，四个直角三角形的面积和为2ab ，因此有22c ab ≥，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，中间没有小正方形，等号成立． 故选：D ．16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，可以直接通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为（ ）A ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）B ．0,0)2a ba b +>>>C ．2a b +≤a ＞0，b ＞0） D ．2aba b≤+a ＞0，b ＞0） 【答案】C【分析】由图形可知()1122OF AB a b ==+，()12OC a b =−，在Rt △OCF 中，由勾股定理可求CF ，结合CF ≥OF 即可得出.【详解】解：由图形可知，()1122OF AB a b ==+，()()1122OC a b b a b =+−=−， 在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ∵CF ≥OF ，()12a b ≥+，故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z −−的最大值为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9【答案】C【分析】由复数几何意义可得(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=，从而将问题转化为点(),Z x y 到点()3,4的距离，则所求最大值为圆心到()3,4的距离加上半径. 【详解】2z =，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z −−的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴−−==.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式i e cos isin x x x =+，（其中i 是虚数单位，e 是自然对数的底数，x ∈R ），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．i πe 10−=B ．i i 2cos e e x x x −=+C ．i i 2sin e e x x x −=−D ．2022i 122⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解. 【详解】对于A ，πi e πcos i πsin 1=+=−，所以i πe 1112−=−−=−，故A 不正确； 对于B ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2cos x x x −+=，故B 正确； 对于C ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2isin x x x −=−，故C 不正确；对于D ，202220222022πi 4ππ2022π2022πcos isin e cosisin 4444⎫⎛⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππcosisin i 22=−−=−，故D 不正确. 故选：B.19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确； 若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】原方程可化为20202(1)1x y +−=，所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对(,)x y ， 因为202022,(,)x y y x y Z +=∈ 所以20202(1)1x y +−=当20201x >或2(1)1y −>时，等号是不能成立的， 所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈ （1）当=1x −时，2(1)0y −=即1y = （2）当0x =时，2(1)1y −=即0y =或2y = （3）当1x =时，2(1)0y −=即1y =综上所述，共有四组解()()()()1,1,0,0,0,2,1,1−− 故选：D21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A．B ．10 C ．5+D ．252【答案】C【分析】先由勾股定理得2225a b +=，再利用基本不等式易得()250a b +≤，由此得到5a b c ++≤+问题得解.【详解】不妨设该直角三角形的斜边为5c =，直角边为,a b ，则22225a b c +==，因为222ab a b ≤+，所以()222222a b ab a b ++≤+，即()250a b +≤，当且仅当a b =且2225a b +=，即a b ==因为0,0a b >>，所以a b +≤所以该直角三角形周长5a b c c ++≤=+5+. 故选：C.22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；3:P 圆22(1)(1)4x y −+−=的一个太极函数为32()33f x x x x =−+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形；5:P 奇函数都是太极函数；6:P 偶函数不可能是太极函数.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】由定义可知过圆O 的任一直线都是圆O 的太极函数，故1P 正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故2P 错误；∵()()3323311f x x x x x =−+=−+，∴()f x 的图象关于点()1,1成中心对称，又∵圆()()22114x y −+−=关于点()1,1成中心对称，故()3233f x x x x =−+可以为圆()()22114x y −+−=的一个太极函数，故3P 正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如：故4P 函数可以为太极函数，故5P 正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故6P 错误；则错误的命题有3个，故选B.二、多选题23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式i cos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．复数i e 对应的点位于第一象限B ．i e π为纯虚数C ix 的模长等于12D ．i 6e π的共轭复数为12【答案】AC【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭复数的概念即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，i cos1isin1e =+，因为012π<<，所以cos10,sin10>>，即复数i e 对应的点()cos1,sin1位于第一象限，A 正确；对B ，i cos isin 1e πππ=+=−，i e π为实数，B 错误；对C ()i cos isin ix x x +，ix12，C 正确；对D ，πi 6ππ1cos isin i 662e =++1i 2−，D 错误． 故选：AC ．24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ） A ．i πe 10+=B ．复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限C ．复数πi 3e 1i 2D ．复数i e )(R θθ∈在复平面内对应的点的轨迹是圆 【答案】ABD【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A ；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B ；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C ；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A ，i πcos πisin π1101e 10=++=−+++=，A 正确； 对于B ，2i e cos2isin 2=+，cos 20,sin 20<>，∴复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限，B 正确；对于C ，πi 3cosis ππ1e 33n i 2==+，共轭复数为12，C 错误； 对于D ，i e cos isin (R)θθθθ+∈=，在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ， 又()()22cos 0sin 01θθ−+−=，∴在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选：ABD.25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“· ”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，③a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（ ）A ．{1,0,1}G =−关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群C ．实数集关于数的加法构成群D ．{|,Z}G m m n =∈关于数的加法构成群 【答案】CD【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.【详解】对于A ：若{1,0,1}G =−，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈−=， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即③不成立， 即选项A 错误； 对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈， 满足加法结合律，即①成立，满足②的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项C 正确；对于D：若{|,Z}G m m n =∈，所有的11a m =、22b m G =∈，有1212(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立， 即①成立；当0a b ==时，0a =，满足的0e =，即②成立；a m G ∀=∈，b m G ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项D 正确. 故选：CD.26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得abd a b=+； ②由AE AF ≥2a b+≥； ③由AD AE ≥211a b ≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABCD【解析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AEAF的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b=+，故①正确； 对于②：因为AF BC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t a b−=，解得abt a b =+，所以AE ==因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b +≥，故②正确； 对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以AD =因为AD AE ≥≥211a b≥+，故③正确； 对于④：因为AD AF ≥≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确； 故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力. 27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点D 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且CD AB ⊥.设AC a =，CB b =，CE OD ⊥，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A2aba b+B．2a b +≤C．2a b+≥ D．22a b +≥【答案】AC【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：根据图形，利用射影定理得：2CD DE OD =，由于：OD CD …，所以：0,0)2a ba b +>>． 由于2·CD AC CB ab ==，所以22CD abDE a b OD ==+所以由于CD DE …，2aba b+． 故选：AC ．【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此..若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ） A ．168cm B ．172cmC ．176cmD ．180cm【答案】BC【分析】设身高为cm x ，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高. 【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A B C D 、、、,假设身高为cm x ，即cm =AD x ，，ACCD∴=AC∴=.AC CD x+=，且AC=，=CD x+，=x,12CD x∴==，ABBC∴=,AB∴=,AB BC CD x++=,且AB，CD=，BC x+=，)2BC x∴=,)2AB x∴===,由题意可得26105AB xCD⎧=<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，xx⎧<⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩178.21169.89xx<⎧∴⎨>⎩，169.89178.21x∴<<,故BC正确.故选：BC29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称2a b+为正数,a b,a b的几何平均数，并把这两者()0,02a ba b+≤>>叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A．若4ab=，则4a b+≥B．若0a>，0b>，则()112a ba b⎛⎫++⎪⎝⎭最小值为C．若(),0,a b∈+∞，21a b+=，1142a b+≥D ．若实数,a b 满足0a >，0b >，4a b +=，则2211a b a b +++的最小值是83 【答案】CD【分析】通过反例可知A 错误；根据基本不等式“1”的应用可求得BC 正误；令11a m +=>，11b n +=>，将所求式子化为62mn+，利用基本不等式可知D 正确. 【详解】对于A ，若2a =−，2b =−，则44a b +=−<，A 错误；对于B ，0a >，0b >，0a b∴>，0ba >，()1122333a b a b a b b a ⎛⎫∴++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），即()112a ba b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为3+B 错误；对于C ，(),0,a b ∈+∞，0a b∴>，0ba >，又21ab +=，()111122224222b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当22b a a b =，即122b a ==时取等号），C 正确；对于D ，令11a m +=>，11b n +=>，则6m n +=，()()22221111116422211m n a bm n a b m n m n m n mn−−+=+=+++−=++=+∴≥+++26832m n =+⎛⎫ ⎪⎝⎭（当且仅当3m n ==时取等号），即2211a ab ++的最小值是83，D 正确. 故选：CD.30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若a b >，01c <<，则a b c c < C ．若1a b >>，1c >，则log log a b c c < D ．若1a b <<−，0c >，则cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】利用不等式性质结合可判断A ，根据指数函数的性质可判断B ，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C ，根据幂函数的性质可判断D.【详解】A 中，0a b <<时，则11a b<，错误；B 中，因为a b >，01c <<，所以a b c c <成立，正确；C 中，因为1a b >>，1c >，所以log log 0c c a b >>，10log log c c a b>⋅，所以11log log c c a b<，即log log a b c c <，正确； D 中，由1a b <<−，可得10a b b a >>>，又0c >，所以cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确.故选：BCD.三、填空题31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b −=__________． 【答案】96i +【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b −=+−=++++−−=+ ；故答案为：96i + .32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】“好汉”⇒“到长城”， “到长城”⇒“好汉”， 所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.【答案】 {}60,120,180 {}*60,N x x n n =∈【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可.。
2021届新高考数学二轮专题练习：热点(十三) 数学文化 (含解析)
热点(十三) 数学文化1．[2020·石家庄模拟](古典概率中的数学文化)古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A. 15B. 25C.35D. 110 2．[2020·山东六地市部分学校线上考试]《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )A.415B. 158C.154 D ．120 3．(函数图象中的数学文化)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f (x )＝x 4|4x －1|的图象大致是( )4．(概率中的数学文化)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )A.1415B.115C.29D.79 5．(数列中的数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为( )A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁6．[2020·新高考Ⅰ卷](立体几何中的数学文化)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°7．(解析几何中的数学文化)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2,0)出发，河岸线所在直线方程x＋y－4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A.10 B．25－1C．2 5 D.10－18．(圆中的数学文化)阿波罗尼斯(约公元前262～190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足|P A||PB|＝2，则|P A|2＋|PB|2的最小值为() A．36－24 2 B．48－24 2C．36 2 D．24 29．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱．已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面，现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动．若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p(n)，则p(4)＝()A．33 B．31C．17 D．1510．(解三角形中的文化)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字用数学公式表示，即S＝14⎣⎡⎦⎤c2a2－⎝⎛⎭⎫c2＋a2－b222(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为42＋25的△ABC满足sin A︰sin B︰sin C＝(2＋1)︰5︰(2－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC的面积为()A. 3 B．2 3C. 5 D．2 511．(立体几何中的数学文化)我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形ABCD 中，AB＝10，BC＝CD＝DA＝8，在等腰梯形ABEF中，EF＝6，AF＝BE＝6.将等腰梯形ABCD 沿AB折起，使DF＝CE＝26，则五面体ABCDFE中异面直线AC与DE所成角的余弦值为()A．0 B.2 4C．－24 D.2212．(多选题)(生活中的数学文化)《九章算术·衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中正确的是()A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少13．(三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则1－2cos2 27°3m n＝________.14．(数列中的数学文化)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系数数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1,1,2,3,5,8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n}为“斐波那契”数列，S n为数列{a n}的前n项和，若a2 020＝M，则S2 018＝________.(用M表示)15．[2020·山东烟台、菏泽联考](二项式定理中的数学文化)杨辉三角，又称贾宪三角、帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到(a＋b)n展开式的二项式系数．根据相关知识可求得(1－2x)5展开式中的x3的系数为________．16．[2020·山东肥城一中模拟](立体几何中的数学文化)在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱ABC -A1B1C1是一个“堑堵”，其中AB＝BC＝BB1＝2，点M是A1C1的中点，则四棱锥M-B1C1CB的外接球的表面积为________．热点(十三) 数学文化1．答案：B解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为C 25＝10.又6和28恰好在第一组有1种情况，6,28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为1＋310＝25，故选B.2．答案：C解析：由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α＝l r ＝308＝154(弧度)，故选C.3．答案：D解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 44x －1，x ＞0，x41－4x，x ＜0，f (－x )＝x 4|4－x －1|＝x 4·4x|4x －1|≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，所以f (x )没有奇偶性，而A ，B 选项中的图象关于y 轴对称，排除A ，B ；当x →－∞时，f (x )＝x 41－4x→＋∞，排除C ，选D. 4．答案：A解析：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以P (A )＝C 23C 210＝115，因此P (A )＝1－P (A )＝1－115＝1415，故选A.5．答案：C解析：设这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ， 由题可知{a n }是等差数列，设公差为d ，则d ＝－3， 又由S 9＝207，即S 9＝9a 1＋9＋82×(－3)＝207，解得a 1＝35，即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C. 6．答案：B解析：过球心O 、点A 以及晷针的轴截面如图所示，其中CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF 为点A 处的水平面，GF ⊥CD ，CD ∥OB ，∠AOB ＝40°，∠OAE ＝ ∠OAF ＝90°，所以∠GF A ＝∠CAO ＝∠AOB ＝40°.故选B.7．答案：B解析：设点A 关于直线x ＋y ＝4的对称点A ′(a ，b )，k AA ′＝ba －2， AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2＝1a ＋22＋b 2＝4解得a ＝4，b ＝2，要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，即为点A ′和圆上的点连线的最小值，即为点A ′和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为 4＋16－1＝25－1，故选B.8．答案：A解析：以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)、B (1,0)，设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝2，∴(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝2，两边平方并整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0⇒(x －3)2＋y 2＝8，所以P 点的轨迹是以(3,0)为圆心，22为半径的圆，则有|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2＝2|OP |2＋2，如图所示：当点P 为圆与x 轴的交点(靠近原点)时，此时， OP 取最小值，且OP ＝3－22，因此，|P A |2＋|PB |2≥2×(3－22)2＋2＝36－242，故选A. 9．答案：D解析：由题意，把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p (n )，则把起始柱上的(除最底下的)圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数为p (n －1)，则有p (n )＝2p (n －1)＋1，所以p (n )＋1＝2[p (n －1)＋1]，又p (1)＝1，即{p (n )＋1}是以p (1)＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，p (n )＋1＝2n ，所以p (n )＝2n －1，故p (4)＝24－1＝15，故选D.10．答案：A解析：因为sin A ︰sin B ︰sin C ＝(2＋1)︰5︰(2－1)， 则由正弦定理得a ︰b ︰c ＝(2＋1)︰5︰(2－1)． 设a ＝(2＋1)x ，b ＝5x ，c ＝(2－1)x ， 又周长为42＋25，所以42＋25＝(2＋1)x ＋5x ＋(2－1)x ，解得x ＝2. 所以S ＝14×⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫42×(2－1)2×(2＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×(2＋1)2＋22×(2－1)2－2022 ＝ 3.故选A.11．答案：B解析：如图，过点C 作AB 的垂线，H 为垂足，易知BH ＝1，CH ＝37，AC ＝12.同理，在等腰梯形CDFE 中，对角线DE ＝6 2.过点C 作CG ∥DE 交FE 的延长线于点G ，易知四边形CDEG 是平行四边形，DE 綉CG ，连接AG ，则异面直线AC 与DE 所成的角即直线AC 与CG 所成的角．过点A 作AT ⊥EF ，交EF 的延长线于点T ，则易知AT ＝42，TG ＝16，所以AG ＝12 2. 在△ACG 中，AG ＝122，AC ＝12，CG ＝DE ＝62，由余弦定理得cos ∠ACG ＝144＋72－2882×12×62＝－24.因为异面直线所成的角在⎝⎛⎦⎤0，π2范围内，所以异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为24，故选B.12．答案：ACD 解析：甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知A 、D 正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的53109＜12不超过甲。
高考数学二轮复习 第二部分 专题二 数学传统文化的创新应用问题习题-人教版高三全册数学试题
专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《X 丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布 解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 82803，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 11－271－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B6．(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B. 答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今某某省某某市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝5k －15k －1＋12＝5k5k －12， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k5k －1212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π传统文化训练二一、选择题1．(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.答案：A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否； 当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C. 答案：C3．(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( ) A ．28 B ．32 C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱． 答案：B4．(2017·某某模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝x32＋3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66x －322＋34，故选A.答案：A5．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D. 答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516， b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n 97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( )A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1C.1n ＋2＋1nn ＋2 D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半， 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1， 即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.故选A. 答案：A 二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P 的值为________．解析：由题意，第1次循环：a ＝0，b ＝1，i ＝3，S ＝0＋1＝1，求出第3项c ＝1，求出前3项和 S ＝0＋1＋1＝2，a ＝1，b ＝1，满足条件，i ＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c ＝1＋1＝2，求出前4项和S ＝0＋1＋1＋2＝4，a ＝1，b ＝2，满足条件，i ＝5，执行循环体，…… 第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i ＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S 的值，故判断框内应为“i ≤9？”，所以P 的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00011．(2017·某某模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：通解：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5 280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.优解：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5512．(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________个．解析：根据题意可知，a ＝2，b ＝1，n ＝15，则c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为15×20＋34×15＋146＝1 360. 答案：1 360。
初中数学练习题(含答案)
专题七新定义阅读理解题( 2019·重庆 A 卷)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性数进行研究．如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算 n＋(n ＋1) ＋(n ＋2) 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯数”．例如： 32 是“纯数”，因为计算32＋33＋34 时，各数位都不产生进位；23 不是“纯数”，因为计算23＋24＋25 时，个位产生了进位．(1) 判断 2 019 和 2 020 是否是“纯数”？请说明理由；(2) 求出不大于 100 的“纯数”的个数．【分析】 (1) 根据纯数的定义逐一判断 2 019 和 2 020 即可；(2) 判断不大于 100 的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”．【自主解答】1．( 2018·重庆 A 卷) 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 n 为“极数”．(1) 请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99 的倍数，请说明理由；(2) 如果一个正整数 a 是另一个正整数 b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数，m若四位数 m为“极数”，记D(m)＝33. 求满足 D(m)是完全平方数的所有m.2．( 2020·原创 ) 若在一个两位正整数 N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“中 2 数”，记作 F(N)，如 34 的“中 2 数”为 F(34) ＝324；若将一个两位正整数M加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为M的“尾 2 数”，记作 P(M)，如 34 的“尾 2 数”为 P(34) ＝36.对于任意一个两位正整数T，令 Q(T)＝F（T）－ P（T）.9(1) 判断 Q(T)是否为整数，并说明理由；(2) 对于一个两位正整数 M，若 P(M)的各位数之和是 M的各位数之和的一半，求M的值．3．( 2017·重庆 A 卷) 对于任意一个三位数n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n) ，例如 n＝123，对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，∴ F(123) ＝6.(1) 计算： F(243) ，F(617) ；(2) 若 s，t 都是“相异数” ，其中 s＝100x＋32，t ＝150＋y(1 ≤x≤9，1≤y≤9，F（s）x，y 都是正整数 ) ，规定： k＝F（t），当 F(s) ＋F(t) ＝18 时，求 k 的最大值．4．( 2020·原创 ) 事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被 3 整除，则这个数就能被 3 整除，反之也成立．定义：对于一个两位数m和一个三位数 n，它们各个数位上的数字都不为0，将数 m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n 任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用F(m，n) 表示．例如数12 与 345 的“二三联合”为 F(12，345) ＝13＋14＋15＋23＋24＋25＝114.(1) 填空： F(11，369) ＝________ ；F(16，123) ＝________ ；(2) 若一个两位数 s＝21x＋y，一个三位数 t ＝121x＋y＋199( 其中 1≤x≤4，1≤y≤5，且 x，y 均为整数 )，交换三位数 t 的百位数字和个位数字得到新数t ′，当 t ′与 s 的个位数字的 3 倍的和能被 11 整除，称这样的两个数 s 和 t 为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．5．( 2019·九龙坡区模拟 ) 数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化．数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第 1 格放 1 粒米，第 2 格放 2 粒米，第 3 格放 4 粒米，然后是 8 粒、16 粒、32 粒⋯一直到第 64 格．”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里有这么多米吗？题中问题就是求1＋21＋22＋23＋⋯＋ 263是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了．设 S＝1＋21＋22＋23＋⋯＋ 263，则 2S＝2(1 ＋21＋22＋23＋24＋⋯＋ 263) ＝2＋22＋34636412346312 32 ＋2 ＋⋯＋ 2 ＋2 .2S－S＝2(1＋2 ＋2 ＋2 ＋2 ＋⋯＋ 2 )－(1 ＋2 ＋2 ＋2 ＋即： S＝264－1. 事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64 个格子需要 1＋21＋22＋23＋⋯＋ 263＝(2 64－1) 粒米．那么 264－1 到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个 20 位数： 18 446 744 073 709 551 615，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求．请用你学到的方法解决以下问题：(1) 我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有多少盏灯？(2) 计算： 1＋3＋9＋27＋⋯＋ 3n；(3) 某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是 20，21，22，⋯，依此类推．求满足如下条件的所有正整数 N：10＜N＜ 100，且这一列数前 N项和为 2 的正整数幂．请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数 N 的值．参考答案【例 1】解： (1) 当 n＝2 019 时，n＋1＝2 020 ，n＋2＝2 021 ，∵9＋0＋1＝10，需进位，∴ 2 019 不是“纯数”；当 n＝2 020 时， n＋1＝2 021 ，n＋2＝2 022 ，个位： 0＋1＋2＝3，不需要进位；十位： 2＋2＋2＝6，不需要进位；百位： 0＋0＋0＝0，不需要进位；千位： 2＋2＋2＝6，不需要进位；∴2 020 是“纯数”．(2) 当 n＝0 时， n＋1＝1，n＋2＝2，则 0＋1＋2＝3，不需要进位，∴0 是“纯数”；当 n＝1 时， n＋1＝2，n＋2＝3，1＋2＋3＝6，不需要进位，∴1 是“纯数”；当n＝2 时，n＋1＝3，n＋2＝4，2＋3＋4＝9，不需要进位，∴2 是“纯数”；当n ＝3 时，n＋1＝4，n＋2＝5，3＋4＋5＝12，需要进位，∴3 不是“纯数”，综上可知，当这个自然数是一位自然数时，只能是 0，1，2；当这个自然数是两位自然数时，这个自然数可以是10，11， 12，20，21，22，30，31，32，共 9 个，当这个自然数是三位自然数时，100 是“纯数”，∴不大于 100 的自然数中，“纯数”的个数为3＋9＋1＝13.跟踪训练1．解： (1)1 188 ；2 475; 9 900.(答案不唯一)猜想：任意一个“极数”是99 的倍数．理由如下：设任意一个“极数”为xy(9 －x)(9 －y)( 其中 1≤x≤9，0≤y≤9，且 x，y 均为整数)，则 xy(9 －x)(9 －y) ＝1 000x ＋100y＋10(9 －x) ＋9－y＝1 000x ＋100y＋90－10x＋9－y＝99(10x ＋y＋1) ．∵x，y 为整数，∴ 10x＋y＋1 为整数，∴任意一个“极数”是 99 的倍数．(2) 设 m＝xy(9 －x)(9 －y) ，99（10x＋y＋1）＝3(10x ＋y＋1) ，由题意可知， D(m)＝33∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴ 33≤3(10x ＋ y＋1) ≤300，∵D(m)是完全平方数，∴D(m)可取的值为 36，81，144，225，当 D(m)＝36 时， 3(10x ＋y＋1) ＝36，则 x＝1，y＝1，m＝1 188 ；当 D(m)＝81 时， 3(10x ＋y＋1) ＝81，则 x＝2，y＝6，m＝2 673 ；当 D(m)＝144 时， 3(10x ＋y＋1) ＝144，则 x＝4，y＝7，m＝4 752 ；当 D(m)＝225 时， 3(10x ＋y＋1) ＝225，则 x＝7，y＝4，m＝7 425.综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为 1 188 ，2 673 ，4 752 ，7 425. 2．解： (1)Q(T) 是整数．理由如下：设两位正整数 T 为 ab，则 T＝10a＋b，∴F(T) ＝ a2b＝100a＋20＋b，P(T) ＝10a＋b＋2，∴F(T) － P(T) ＝100a＋20＋b－(10a ＋b＋2)＝90a＋18＝9(10a ＋2) ，∵a为整数，∴ 10a＋ 2 为整数，F（T）－ P（T）∴Q(T)＝9 是整数．(2) 设 M＝ab，1≤a≤9，0≤b≤9，∴M＋2＝10a＋b＋2，∵M＋2 的各数位上的数之和比 M各数位上的数之和小，∴M＋2 后，个位发生了进位，∴b≥8，且 M＋2＝10(a ＋1) ＋(b ＋2－10) ，1∴a＋1＋b＋2－10＝2(a ＋b) ，整理得 a＋b＝14，∴a＝6，b＝8，或 a＝5，b＝9，∴M为 68 或 59.3．解： (1)F(243) ＝(423 ＋342＋234) ÷111＝ 9，F(617) ＝(167 ＋716＋671) ÷111＝ 14.(2) ∵s， t 都是相异数，∴F(s) ＝ (302 ＋10x＋230＋x＋100x＋23) ÷111＝ x＋5，F(t) ＝(510 ＋y＋100y＋51＋105＋10y) ÷111＝ y＋6，∵F(s) ＋ F(t) ＝18，∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，∴x＋y＝7,∵1≤x≤9，1≤y≤9，且 x，y 都是正整数，x ＝1∴或y ＝6x ＝2 或y ＝5x ＝3 或y ＝4x ＝4 或y ＝3x ＝5或y ＝2x ＝6 ，y ＝1∵s 是相异数，∴ x ≠2，x ≠3，∵t 是相异数，∴ y ≠1，y ≠5，∴满足条件的有 x ＝1 x ＝4 x ＝5或 或 ，y ＝6 y ＝3 y ＝2∴ F （s ）＝ 6 F （s ）＝ 9 F （s ）＝ 10 或或 ， F （t ）＝ 12 F （t ）＝ 9 F （t ）＝ 8F （s ） 6 1 F （s ） 9 F （s ） 10 5 ∴k ＝F （t ）＝12＝2或 k ＝F （t ）＝9＝1 或 k ＝F （t ）＝ 8 ＝4，1 5 ∵ 2<1<4，5∴k 的最大值为 4.4．解： (1)F(11 ，369) ＝13＋16＋19＋13＋16＋19＝96；F(16 ，123) ＝11＋12＋13＋61＋62＋63＝222.(2) 已知 s ＝21x ＋y ＝20x ＋(x ＋y)，t ＝121x ＋y ＋199＝100(x ＋2) ＋20x ＋(x ＋y－ 1) ，∵1≤x ≤4，1≤y ≤5，且 x ，y 均为整数，∴ t ′＋ 3(x ＋y) ＝100(x ＋y －1) ＋20x ＋x ＋2＋3(x ＋y) ＝124x ＋103y －98，∵ t ′＋ 3(x ＋y) 能被 11 整除，t ′＋ 3（x ＋y ） 121x ＋99y －99＋ 3x ＋4y ＋13x ＋4y ＋1∴＝＝ 11x ＋ 9y －9＋为111111 11整数，3x ＋4y ＋1∴是整数，∵ 1≤x ≤4，1≤y ≤5，11∴8≤3x ＋ 4y ＋1≤33，∴当 3x＋4y＋1＝11 时， x＝2，y＝1，此时 s＝43，t ＝442；当 3x＋4y＋1＝22 时，得 x＝3，y＝3，此时 s＝66，t ＝565；当 3x＋4y＋1＝33 时， x＝4，y＝5，此时 s＝89，t ＝688.∴F(s ， t) 的最大值为 F(89，688) ＝554.5．解： (1) 设塔的顶层有 x 盏灯，依题意得：x＋21x＋22x＋23x＋24x＋25x＋26x＝381，解得： x＝3，答：塔的顶层共有 3 盏灯．(2) 设 S＝1＋3＋9＋27＋⋯＋ 3n，则 3S＝3(1 ＋3＋9＋27＋⋯＋ 3n) ＝3＋9＋27 ＋⋯＋ 3n＋3n＋1，∴3S－S＝(3 ＋9＋27＋3n＋3n＋1) －(1 ＋3＋9＋27＋3n) ，∴2S＝3n＋1－1，3n＋1－1∴S＝ 2 ，n＋1n3－1即： 1＋3＋9＋27＋⋯＋ 3 ＝.2(3) 由题意这列数分 n＋1 组：前 n 组含有的项数分别为： 1，2，3，⋯， n，最后一组 x 项，根据材料可知每组和公式，求得前 n 组每组的和分别为： 21－1，22－1，23－1，⋯， 2n－1，前 n 组共有项数为 N′＝ 1＋2＋3＋⋯＋ n＝n（n＋1），2前 n 组所有项数的和为 S n＝21－1＋22－1＋23－1＋⋯＋ 2n－1＝(2 1＋22＋23＋⋯＋ 2n) －n＝2n＋1－2－n，由题意可知： 2n＋1为 2 的整数幂．只需最后一组x 项将－ 2－n 消去即可，则① 1＋2＋( －2－n) ＝0，解得： n＝1，总项数为 N＝1×（ 1＋1）＋2＝3，不满2足 10<N<100，②1＋2＋4＋( －2－n) ＝0，解得： n＝5，总项数为 N＝5×（ 5＋1）＋3＝18，满2足 10<N<100，③1＋ 2＋ 4＋8＋ ( －2－n) ＝0，解得： n＝ 13，总项数为N＝13×（ 13＋1）＋42＝95，满足 10<N<100，④1＋2＋4＋8＋16＋( －2－n) ＝0，解得：n＝29，总项数为 N＝29×（ 29＋1）＋25＝440，不满足 10<N<100，∴所有满足条件的软件激活码正整数N的值为： 18 或 95.。
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61、华罗庚认为数学可以给人类带来音乐、美术、科学等可以给人的一切(Y)
三、判断题
1、所谓不可判定命题，是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来。含有这种命题的系统是不完全的。(√)
2、哲学系的逻辑学专业与数学系的数理逻辑专业没有关系。(×)
3、出入相补原理发布于《海岛算经》，是刘徽的研究成果。(√)
4、优选法在国内的推广者是袁隆平(×)
9、卢卡斯数列被称为是斐波那契数列的推广(√)
30、连分母是指分母相连的分数：错
31、明月松间照，清泉石上流这句话也具有对称性（是）
32、高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼：非欧几何
33、无理数应该翻译为非比数，有理数应该翻译为成比数：对的
34、悖论就是从正确的命题出发经过正确推理得出荒谬结：对
35、三角形内角和180度是既不能证明也不能证否的命题：否
49、狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展：是
50、数学是关于无限的科学是康托：错
51、第三次数学危机已经完美解决：否
52、阿拉伯人经过独立发展、自力更生，创造了自己的数学，拒绝和其他文化交流：错
53、伽利略悖论的产生是由于没有注意有限特点而产生的：错
54、有物不知其数的问题出自《孙子算经》：对
17、希伍德最终证明了五色定理√)
20、哲学从一门学科退出，意味着这门学科的建立；数学进入一门学科，意味着这门学科的成熟。这句话是错误的。(×)
21、保持平面上任意两点间距离不变的运动是保距变换：对
22、父女关系与夫妻关系是一种对称关系：错
23、之有数学专业的人在需要数学素养：错
24、不懂数学的人也可以搞社会学：错
A.数学之美B.数学与文化C.数学文化课文集D.数学
6、1820-1870年是现代数学的（C）
A.形成阶段B.繁荣阶段C.酝酿阶段D.衰落阶段
8、数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的科学，这个定义是（B）说的:
A.R·柯朗B.恩格斯C.华罗庚D.程景润
9、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理在西方叫做：（B）
36、一个非空集合想要成为群，只要满足封闭律、结合律、幺元律、逆元律、中的三个就能称为群了：错
37、十进制与人的十个手指有关：是
38、归纳与类比一样，都是合情推理：是
39、美的东西和有用的东西是相互冲突的：错
40、卢卡斯数列被称为是斐波那契数列的推广：是
41、韩信点兵重视余数是
42、实数系贝克莱否
43、求一个孤立问题，从系列入手，问题会复杂化：否
一、填空题
1、毕达哥拉斯学派发现第一个不能被整数比的数是：
2、数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式：恩格斯
3、四色猜想的提出者：英国人古德里
4、不属于数学起源的河谷地带：密西西比河
6、现代数学起源于：19世纪20年代
8、高等数学的研究范围不包括：常量
11、上海路佳明发现的元朝玉桂：1986年
1学专业的人才需要数学素养，非数学专业的学生不需要数学素养。(×)
13、初等数学时期也称为常量数学时期，这个时期的数学知识后来成为小学数学的内容。(×)
14、数学的研究对象和具体的自然科学的研究对象很不一样，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，是和人相关的，所以可以作为一种文化来研究。(√)
15、现代数学起源于：（C）
A.十九世纪初B.十九世纪末C.十九世纪二十年代D.二十世纪
18、下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：（B）
A.了解数学的思想B.提高解数学题的能力C.学会以数学方式的理性思维观察世界D.都不对
22、大多数植物的花瓣数都符合（C）
A．黄金分割B.素数分割C裴波那契数列D.都不对
A.商高定理B.毕达哥拉斯定理C.勾股定理D.都不对
12、下列不属于数学起源的河谷地带的是：（C）
A.非洲的尼罗河B.印度的恒河C.北美的密西西比河D.都不对
13、上海陆家明发现的元朝玉挂，过去只有在印度才发现过这种“完全幻方”，这个玉挂的发现时间是：（B）
A.1996年B.1986年C.1976年D.1982年
55、第一次数学危机后，以两个量的比相等，使得几何学脱颖而出，完全解决了无理数带来的危机：错
56、抓三推问题可以用二进制来解决：对
57、中国剩余定理就是“大衍求一术”，是中国人最早发现的，发表于《数书九章》：对
58、哥德尔的第二定理大大推进了公理化系统的发展，维护了希尔伯特的公理化体系设计：错
59、大衍求一术是有物不知其数的推广(Y)
二、选择题
1、数学文化这个词最早出现于：（C）
A.1986年B.1974年C.1990年D.1996年
2、下列不属于黄金分割点的是：（C）
A.印堂B.膝盖C.鼻子D.都不对
4、《几何学》的作者是：（C）
A.牛顿B.莱布尼兹C.笛卡尔D.柯西
5、南开大学每年出的杂志，收录数学文化课的学生优秀读书报告，叫做：（A）
27、四色猜想的提出者是哪国人：(B)
A．法国B．英国C．美国D．中国
32、下面哪一项不是黄金分割点(A)
A．印堂B．肚脐C．膝盖D．肘关节
33、（）关于化归提出了“烧水”的例子。(A)
A．波利亚B．笛卡尔C．高斯D．庞加莱
39、数学素养不包括（）(B)
A．从数学的角度看问题B．控制问题中的因素C．有条理地理性思考D．解决问题时的逻辑能力
44、歌德尔认为，在任何形式系统中，都有既不能证明，也不能证否的命题（是）
45、根号二发现之后,毕达哥拉斯学派非常高兴,并将之公诸于众：否
46、所谓不可判定命题，是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来了，含有这种命题的系统是不完全的：是
47、数学可以运用在文学方面，断作者的真伪：是
48、出入相补原理发布于《海岛算经》，是刘徽的研究成果：是
25、数学的研究对象和具体的自然科学的研究对象很不一样，具有、、、：对
26近代数学时期是公元17世纪到19世纪，和工业革命、天文、航天业的发展有关。错
27、现代数学的成果被广泛运用于各个方面：对
28、初等数学时期也称为常量数学时期，这个时期的数学知识后来称为小学数学内容（错）
29、哥德尔定理的启示是：数学本身不一定是是形式系统，是我们在探索世界的过程中将数学变成了形式系统对