初一奥数专题五绝对值
专题五 绝对值
1．（第15届希望杯竞赛题）已知a=|-2004|+15，则a 是（ ）
A ．合数
B ．质数
C ．偶数
D ．负数
2．（北京市迎春杯竞赛题）已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c ，那么a+b-c=
3．（第16届希望杯竞赛题）如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于
4．（2004年重庆市竞赛题）计算：|31-21|+|41-31|-|41-21
|=
5．（希望杯竞赛题）若|a+b+1|与(a-b+1)2互为相反数，则a 与b 的大小关系是
A ．a>b
B ．a=b
C ．a<b
D ．a b
6．（希望杯竞赛题）如果|m-3|+(n+2)2=0，则方程3mx+1=x+n 的解是
7．（希望杯竞赛题）|x+1|+|x-1|的最小值是
A．2 B．0 C．1 D．-1
8．（第13届江苏省竞赛题）|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？
9．（希望杯竞赛题）设a,b,c为整数，且|a-b|+|c-a|=1，求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值10．（2004年广西竞赛题）已知a<b<0<c，化简式子：|a-b|+|a+b|-|c-a|+2|b-c|得11．（第16届北京市迎春杯竞赛题）已知|x|=5，|y|=1，那么||x-y|-|x+y||= 12．(2004年上海南汇竞赛题)a的相反数是最大的负整数，b的绝对值是最小的正整数，则a+b=
13．（第18届北京市迎春杯竞赛题）代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值为
14．（第17届希望杯竞赛题）已知a,b,c 都是整数，m=|a+b|+|b-c|+|a-c|，那么（ ）
A ．m 一定是奇数
B ．m 一定是偶数
C ．仅当a,b,c 同奇或同偶时，m 是偶数
D ．m 的奇偶性不能确定
15．已知a,b,c 都是有理数，且满足
a a ||+
b b ||+
c c ||=1，求||abc abc 的值
作业：
1．已知2|3a-2b|+(4b-12)2=0，求41a 2b-1-(a 3+21a b +4) 2．求y=|x-1|+|x-2|的最小值
3．已知a,b 是整数，且满足|a-b|+|ab|=2，求ab 的值。
七年级数学绝对值知识点
七年级数学绝对值知识点在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
对于七年级的学生来说，掌握绝对值的知识是十分必要的。
下面将详细介绍七年级数学的绝对值知识点。
一、什么是绝对值？在数学中，绝对值是一个数字的大小，表示这个数字与0的距离。
例如，-5的绝对值是5，5的绝对值也是5。
二、绝对值的符号当数字为正数时，它的绝对值与本身相等；当数字为负数时，它的绝对值等于它的相反数。
例如，|-3|=3，|3|=3。
三、绝对值的性质1. 非负性：绝对值始终为非负数。
2. 对称性：对于任意实数a，有|a|=|-a|。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
四、绝对值的计算1. 当a≥0时，|a|=a。
2. 当a<0时，|a|=-a。
例如，|-6|=6，|4|=4，|-3.8|=3.8。
五、绝对值的运算1. 加减法：|a+b|≤|a|+|b|。
例如，|4+(-2)|=|2|=2，|4|+|-2|=4+2=6，6≥2，符合三角不等式。
2. 乘法：|ab|=|a|×|b|。
例如，|-3×2|=|-6|=6，|-3|×|2|=3×2=6，6=6。
3. 除法：|a/b|=|a|/|b|，其中b≠0。
例如，|(-12)/3|=|12|/3=4，|-12|/|3|=4。
六、绝对值的应用1. 确定方向：绝对值可以用来确定距离和方向。
例如，在坐标轴上，以原点为起点，终点为a的有向线段的长度就是|a|。
2. 解绝对值不等式：当绝对值中有未知数时，可以通过绝对值的性质和计算方法，解出绝对值不等式的解集。
例如，|x-3|<7的解集为-4<x<10。
3. 解绝对值方程：当绝对值中有未知数时，可以根据绝对值的定义和计算方法，解出绝对值方程的解集。
例如，|2x+1|=5的解集为x=-3或x=2。
以上就是七年级数学绝对值知识点的详细介绍。
通过学习和掌握这些知识，同学们可以更好地理解和应用绝对值的相关概念。
初一奥数专题五绝对值
专题五 绝对值1．（第15届希望杯竞赛题）已知a=|-2004|+15，则a 是（ ）A ．合数B ．质数C ．偶数D ．负数2．（北京市迎春杯竞赛题）已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c ，那么a+b-c=3．（第16届希望杯竞赛题）如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于4．（2004年重庆市竞赛题）计算：|-|+|-|-|-|=3121413141215．（希望杯竞赛题）若|a+b+1|与(a-b+1)2互为相反数，则a 与b 的大小关系是A ．a>bB ．a=bC ．a<bD ．a b6．（希望杯竞赛题）如果|m-3|+(n+2)2=0，则方程3mx+1=x+n 的解是7．（希望杯竞赛题）|x+1|+|x-1|的最小值是A．2 B．0 C．1 D．-18．（第13届江苏省竞赛题）|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？9．（希望杯竞赛题）设a,b,c为整数，且|a-b|+|c-a|=1，求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值10．（2004年广西竞赛题）已知a<b<0<c，化简式子：|a-b|+|a+b|-|c-a|+2|b-c|得11．（第16届北京市迎春杯竞赛题）已知|x|=5，|y|=1，那么||x-y|-|x+y||= 12．(2004年上海南汇竞赛题)a的相反数是最大的负整数，b的绝对值是最小的正整数，则a+b=13．（第18届北京市迎春杯竞赛题）代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值为14．（第17届希望杯竞赛题）已知a,b,c 都是整数，m=|a+b|+|b-c|+|a-c|，那么（ ）A ．m 一定是奇数B ．m 一定是偶数C ．仅当a,b,c 同奇或同偶时，m 是偶数D ．m 的奇偶性不能确定15．已知a,b,c 都是有理数，且满足++=1，求的值a a ||b b ||cc ||||abc abc 作业：1．已知2|3a-2b|+(4b-12)2=0，求a 2b-1-(a 3+a b +4)41212．求y=|x-1|+|x-2|的最小值3．已知a,b 是整数，且满足|a-b|+|ab|=2，求ab 的值。
七年级数学绝对值问题知识点
七年级数学绝对值问题知识点数学中，绝对值是一种用于描述数值的概念，通常表示为两个竖杠（||）之间的数值。
这个符号表示了一个数与零的距离，而无论这个数是正数还是负数，绝对值都是正数。
在七年级数学中，绝对值经常会被用到。
下面将为大家介绍一些关于绝对值的基本知识点。
一、绝对值的定义绝对值的定义是一个非常基础的概念，用于表示任何实数的大小。
它的定义如下：对于任意实数a，绝对值表示为|a|，其值为：当a≥0时，|a|=a当a<0时，|a|=-a|5|=5，因为5是非负数|-5|=5，因为-5是负数二、绝对值的性质绝对值有很多基本的性质，这些性质也经常被用于解决数学问题。
下面列举一些常见的绝对值的性质。
1. 非负性对于任意实数a，有|a|≥0。
2. 加法性对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
对于任意实数a和b，有|ab|=|a||b|。
4. 三角不等式对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
例如：求解|-3|+|4|解：|-3|=3，|4|=4所以，|-3|+|4|=3+4=7三、应用绝对值可以用来解决很多问题，下面给出一些常见的应用场景。
1. 求解不等式例如：|2x-1|>3解：当2x-1>0时，|2x-1|=2x-1当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)所以，|2x-1|>3可以转化为以下两个不等式：2x-1>3或2x-1<-3解得x>2或x<-1所以，解集为x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)。
2. 求两个数的距离例如：求解-3和4的距离解：|-3-4|=|-7|=7所以，-3和4的距离为7。
3. 确定一个数的相对大小例如：比较|3-5|和|2-7|的大小。
解：|3-5|=2，|2-7|=5所以，|3-5|<|2-7|。
总结绝对值是非常重要和基础的数学概念，它经常用于解决不同类型的问题，包括求解不等式、求两个数的距离以及确定一个数的相对大小等。
七年级绝对值专题讲义
绝对值专题绝对值性质，绝对值化简、绝对值方程一站到底1、绝对值等于本身的数是正数答案：绝对值等于本身的数是非负数2、绝对值等于本身的数是负数答案：绝对值等于本身的数是非负数（或绝对值等于其相反数的数是非正数）3、若a＞0，则|a|＝a4、若a＜0，则|a|＝－a5、若|a|＝a，则a＞0答案：若|a|＝a，则a≥06、若|a|＝－a，则a≤0答案：若|a|＝－a，则a≤07、绝对值好难啊，难到怀疑人生模块一绝对值的非负性绝对值的非负性定义：|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离．|a|≥0（非负性）|a|＋|b|＝0（24（1）3′）解：∵|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＋|b|≥0．又∵|a|＋|b|＝0，∴|a|＝0，|b|＝0．∴a＝0，b＝0．例1（1）若|x|＋|y－3|＝0，则x＋y＝________；答案：3（2）若2|x＋5|＋3y2＝0，则xy＝________；答案：0（3）若12(x－1)2与35|y－2|互为相反数，则x－y＝________；答案：－1（4）若4|x＋3|＝－5|y－1.5|，则xy＝________；答案：－2（5）若12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，则b－2a＋3c的相反数是________．答案：0解：∵12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，∴12|a－1|＋3|b＋4|＋2(c－2)2＝0．又∵12|a－1|≥0，3|b＋4|≥0，2(c－2)2≥0，∴12|a－1|＝0，3|b＋4|＝0，2(c－2)2＝0．∴a＝1，b＝－4，c＝2．∴b－2a＋3c＝0．∴b－2a＋3c的相反数是0．例2（1）若|x|＋|y－2|＝x，则y＝________．答案：2（2）若|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，求x－z的值．答案：解：∵|x－1|≥0，|y＋2|≥0，|z－3|≥0，∴|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|≥0．∵|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，∴y＋2≥0．∴|y＋2|＝y＋2．∴|x－1|＋|z－3|＝0．∴x＝1，z＝3．∴x－z＝－2．练2若2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，求aca c-的值．答案：解：∵2|a＋1|≥0，|b|≥0，3(c－2)2≥0，∴2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2≥0．∵2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，∴b≥0．∴|b|＝b．∴2|a＋1|＋3(c－2)2＝0．∴a＝－1，c＝2．∴aca c-＝1212-⨯--＝23．模块二已知范围的化简已知范围的绝对值的化简（不重不漏）①|a|＝00a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜②|a|＝a aa a⎧⎨-⎩≥＜③|a|＝a aa a⎧⎨-⎩＞≤⎧⎨⎩①给范围②给数轴答题器：请问|a|＝________A．a B．－a C．以上都错答案：C例3（1）若a≥1，则|a－1|＝________；若x＞－1，则|x＋1|＝________；若a≤2，则|a－4|＝________；若x＜3，则|3－x|＝________；若x≥－12，则|2x＋1|＝________．答案：a－1，x＋1，－a＋4，3－x，2x＋1k（2）|12018－12017|＋|12017－12016|＋|12016－12015|－|12015－12018|＝________．答案：0练3（1）若a≤－5，则|a＋1|＝________；若x＞－1.5，则|x＋4|＝________；若a≥12，则|13－2a|＝________；若x＜－2，则|1－2x|＝________．答案：－a－1，x＋4，2a－13，1－2x（2）已知1＜a＜3，化简|a－1|－|3－a|．答案：解：∵1＜a＜3，∴a－1＞0，3－a＞0．∴|a－1|＝a－1，|3－a|＝3－a．∴原式＝a－1－(3－a)＝2a－4．拓展3（1）若a＋b＜0，则|2a＋2b－1|－2|3－a－b|＝________．答案：－5（2）若|a|＝－a，b与a互为相反数，那么|b－a＋1|－|a－b－5|＝________．答案：－4课间小游戏猜谜语谜题：再见吧，妈妈（数学名词）分母谜题：1000×10＝10000（成语）成千上万谜题：考试不作弊（数学名词）真分数谜题：朱元璋登基（数学名词）消元谜题：员（数学名词）圆心谜题：风筝跑了（数学名词）线段例4（1）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：|b ＋c |＝________；|a ＋c |＝________；|b －c |＝________；|a －b |＝________． 答案：b ＋c ，－a －c ，－b ＋c ，－a ＋b（2）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：2|a |＋|b |＋4|a ＋b |－3|b －c |．答案：解：由题意，得a ＜0，b ＞0，a ＋b ＞0，b －c ＜0，∴|a |＝－a ，|b |＝b ，|a ＋b |＝a ＋b ，|b －c |＝－b ＋c ．∴原式＝－2a ＋b ＋4(a ＋b )－3(－b ＋c )＝－2a ＋b ＋4a ＋4b ＋3b －3c ＝2a ＋8b －3c ． 练4 （1）（2017－2018外校七上期中）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|a －b |－|b －c |＝________．答案：2a －2b（2）a 、b 、c 在数轴上的位置如图，若x ＝|a ＋b |－|b －1|－|a －c |－|1－c |，则1008x ＝________．答案：－2 例5 （1）（2017－2018武昌区七上期中）如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．1a ＋1b＞0 D ．1a －1b＜0 答案：C （2）（2017－2018二中七上期中）如图，a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．(c －a )b ＜0C ．c (a －b )＜0D ．(b ＋c )a ＞0答案：BC 练5（2017－2018江汉区七上期中）数m 、n 在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．m －n ＞0B ．m ＋n ＞0C ．mn ＞0D ．|m |－|n |＞0 答案：A 拓展5已知x ＜0＜z ，xy ＞0，|y |＞|z |＞|x |，那么|x ＋z |＋|y ＋z |－|x －y |的值是（ ）ba01-1BAA．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号答案：C模块三绝对值方程绝对值方程（整体）|x|＝1 |x|＝0 |x|＝－1解：x＝1或x＝－1 解：x＝0 解：方程无解|x＋1|＝1 |x＋1|＝0 |x＋1|＝－1解：x＋1＝1或x＋1＝－1 解：x＋1＝0 解：方程无解x＝0或x＝－2 x＝－1|3x－2|＝1 |3x－2|＝0 |3x－2|＝－1例6解下列绝对值方程：若|x|＝2，则x＝________；若|x|＝－2，则________；若|x＋1|＝0，则x＝________；若|2x－1|＝0，则x＝________；若|x＋1|＝2，则x＝________；若|2x－1|＝2，则x＝________．答案：±2，方程无解，－1，12，1或－3，32或－12练6解下列绝对值方程：|2x－3|＝5 |13x＋2|＝1 |5x－3|＝8答案：x＝4或－1，x＝－3或－9，x＝115或－1拓展6解下列关于x的绝对值方程：1 2|x＋1|＋2＝7－13|x＋1|答案：解：12|x＋1|＋13|x＋1|＝5 56|x＋1|＝5|x＋1|＝6x＋1＝6或－6x＝5或－711x--＝1 11x--＝0 11x--＝－1 解：|x－1|－1＝1或|x－1|－1＝－1 解：|x－1|－1＝0 解：方程无解|x－1|＝2或|x－1|＝0 |x－1|＝1x－1＝2或x－1＝－2或x－1＝0 x－1＝1或x－1＝－1x＝3或x＝－1或x＝1 x＝2或x＝0例7解下列绝对值方程：①12x+-＝0；②12x+-＝1；解：|x＋1|－2＝0 解：|x＋1|－2＝1或|x＋1|－2＝－1 |x＋1|＝2 |x＋1|＝3或|x＋1|＝1x＋1＝2或x＋1＝－2 x＋1＝3或x＋1＝－3或x＋1＝1或x＋1＝－1 x＝1或－3 x＝2或－4或0或－2③12x+-＝2；④12x+-＝3．解：|x＋1|－2＝2或|x＋1|－2＝－2 解：|x＋1|－2＝3或|x＋1|－2＝－3 |x＋1|＝4或|x＋1|＝0 |x＋1|＝5或|x＋1|＝－1x＋1＝4或x＋1＝－4或x＋1＝0 x＋1＝5或x＋1＝－5或方程无解x＝3或－5或－1 x＝4或－6练7解方程：321x--＝2答案：解：3－|2x－1|＝2或3－|2x－1|＝－2|2x－1|＝1或|2x－1|＝52x－1＝1或2x－1＝－1或2x－1＝5或2x－1＝－5x＝1或0或3或－2拓展7已知关于x的方程12x+-＝a有三个解，则a＝________．解：①a＝0时，|x＋1|＝2（舍）②a＞0时，|x＋1|－2＝a或|x＋1|－2＝－a|x＋1|＝a＋2或|x＋1|＝2－a∵a＞0，∴a＋2＞0．∴|x＋1|＝2－a有一个解．∴2－a＝0．∴a＝2．例8已知整数x、y满足|x|＋|y|＝1，求x、y的值．答案：解：∵|x|，|y|为非负整数，∴1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴1xy=⎧⎨=⎩或1xy=-⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=-⎩．练8已知整数a、b满足|a＋1|＋|b－2|＝2，求a、b的值．答案：解：∵|a＋1|，|b－2|为非负整数，∴1022ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1121ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1220ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩．∴14ab=-⎧⎨=⎩或1ab=-⎧⎨=⎩或3ab=⎧⎨=⎩或1ab=⎧⎨=⎩或23ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=⎩或2ab=⎧⎨=⎩或42ab=-⎧⎨=⎩．。
七年级绝对值解题思路
七年级绝对值解题思路一、基础概念类。
1. 已知| x| = 5，求x的值。
- 解析：根据绝对值的定义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
所以若| x| = 5，则x = 5或x=-5。
2. 若| a| = 0，求a的值。
- 解析：因为0的绝对值是0，所以a = 0。
3. 若| -m|=| m|，这说明了什么？- 解析：这说明一个数和它的相反数的绝对值相等。
因为| -m|表示-m到原点的距离，| m|表示m到原点的距离，而-m和m到原点的距离是相等的。
二、比较大小类。
4. 比较| -3|和| 2|的大小。
- 解析：先求出绝对值的值，| -3| = 3，| 2| = 2。
因为3>2，所以| -3|>| 2|。
5. 已知a = - 4，b = 3，比较| a|与| b|的大小。
- 解析：先求| a|=| - 4| = 4，| b|=| 3| = 3。
因为4>3，所以| a|>| b|。
6. 比较-| -5|和-| -3|的大小。
- 解析：先求-| -5|=-5，-| -3|=-3。
因为-5 < - 3，所以-| -5|<-| -3|。
三、化简求值类。
7. 化简| x - 3|，当x≥slant3时。
- 解析：当x≥slant3时，x - 3≥slant0，根据绝对值的性质，当a≥slant0时，| a| = a，所以| x - 3|=x - 3。
8. 化简| 2x+1|，当x<-(1)/(2)时。
- 解析：当x<-(1)/(2)时，2x + 1<0，根据绝对值的性质，当a<0时，| a|=-a，所以| 2x + 1|=-(2x + 1)=-2x - 1。
9. 已知y=| x - 1|+| x+3|，当x = 2时，求y的值。
- 解析：当x = 2时，| x - 1|=| 2 - 1| = 1，| x + 3|=| 2+3| = 5，所以y=| 2 - 1|+| 2 + 3|=1 + 5=6。
初一年级奥数知识点：绝对值
初一年级奥数知识点：绝对值
1.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，•就是在数轴上该数所对应的点与原点的距离.
2.绝对值的代数意义
(1)正数的绝对值是它的本身.
(2)负数的绝对值是它的相反数.
(3)0的绝对值是0.
掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值.
掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答.
理解绝对值的概念，利用绝对值比较两负数的大小.比较方法是先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来解答.掌握了绝对值的概念后，判断有理数的大小就不一定要依赖于比较数轴上的点的位置了.
注意
(1)任何一个数的绝对值均大于或等于0(即非负数).
(2)互为相反数的两数的绝对值相等;反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数.
练习题
1. -3的绝对值是( )
(A)3 (B)-3 (C)13 (D)-13
2. 绝对值等于其相反数的数一定是
A.负数
B.正数
C.负数或零
D.正数或零
3. 若│x│+x=0，则x一定是( )
A.负数
B.0
C.非正数
D.非负数
4.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为0.1kg、0.2kg、0.3kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差( )
A.0.8kg
B.0.6kg
C.0.5kg
D.0.4kg
5.正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，已知四个乒乓球，超过规定的尺寸为正数，不足的尺寸记为负数，为选一个乒乓球用于比赛，裁判对这四个乒乓球进行了测量，得到结果:A 球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛?为什么?。
七年级奥数竞赛——绝对值
七年级奥数竞赛——绝对值1、绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数。
符号表示：|a|={a,a>0 0,a=0−a,a<0或者|a|={a,a≥0−a,a<0或者|a|={a,a>0−a,a≤0辨析：如果一个数的绝对值是它本身，则这个数是；如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是 .2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
显然，任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.想一想：有理数a,b,c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（）A. a+b+c>0B. |a+b|<cC. |a−c|=|a|+cD. |b−c|>|c−a|3、化简含有绝对值是式子，关键是去绝对值符号。
而要去绝对值符号，关键是看绝对值符号内的数a的正负性，即a>0,a<0,还是a=0. 如果已知条件没有给出a的的正负性，那么就应该对a的正负进行分类讨论。
当a>0时，|a|a =；当a<0时，|a|a= .例1 计算：（1）|13−12|+|14−13|−|14−12|=;(2) 已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c, 那么a+b−c= .练习1（1）|12004−12003|+|12003−12002|+|12002−12001|+|12001−12004||=;（2）已知|a|=3,|b|=5,那么|a+b|−|a−b|的绝对值等于 .（3）已知a的相反数是最大的负整数，b的绝对值是最小的正整数，则a+b= .（4）设a,b,c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c, 则|a−b|+|b−c|+|c−a|可能取得的最大值是 .例2 若x<−2, 则y=|1−|1+x||等于（）A. 2+xB. −2−xC. xD. −x练习2：若0<a<1,−2<b<−1, 则|a−1|a−1−|b+2|b+2+|a+b|a+b的值是（）A. 0B. -1C. -2D. -3练习3：已知x=|a|a +|b|b+|c|c+|abc|abc，且a,b,c都不等于0，则x的所有可能值有 .练习3‘：已知a,b,c都不等于0，a+b+c=0, x=|a|a +|b|b+|c|c+|abc|abc，那么x的所有可能值有 .练习4：已知三个数a,b,c的积为负数，和为正数，且x=|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc,则ax3+bx2+cx+1的值为 .例3 (1) 如果|m−3|+(n+2)2=0,那么方程3mx+1=x+n的解是 . (2) 已知a,b,c是整数，且|a−b|+|c−a|=1, 则|c−a|+|a−b|+|b−c|= . 练习5：（1）若|a+b+1|与(a−b+1)2互为相反数，则a与b的大小关系是 . （2）求满足|a−b|+ab=1的非负整数对（a, b）的值.（3）已知|ab−2|+|a−2|=0, 求1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2006)(b+2006)的值.例4 (1)已知y=|x+1|+|x−1|，则y的最小值是（）A. 2B. 0C. 1D. -1变式：已知y=|2x+1|+|x−1|，则y的最小值是(2) y=|x+1|+|x−2|+|x−3|的最小值是, 此时x= .一般化：设a≤b≤c,则y=|x−a|+|x−b|+|x−c|在x= 时取到最小值 .练习6：已知y=|x−b|+|x−20|+|x−b−20|, 其中0<b<20, b≤x≤20, 那么y的最小值为 .练习7：已知(|x+1|+|x−2|)(|y−2|+|y+1|)(|z−3|+|z+1|)=36，求x+2y+ 3z的最大值和最小值.【参考答案】1、辨析：正数和0 负数和02、想一想：C3、1 ；-1例1（1）0（2）2或0练习1（1）32005002（2）6（3）2或0（4）16例2 B练习2：D练习3：±4、0练习4：1例3（1）−38(2) 2练习5（1）a<b（2）(1,0), (0,1), (1,1)（3）20072008例4（1）A变式：1.5(2) 4, 2一般化：b；c-a练习6：20练习7：最大值是15，最小值是-6。
(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第五讲 解读绝对值
第五讲 解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例题【例1】(1)已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)由已知条件求出c b a 、、的值，注意条件c b a >>的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解．【例2】 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或一lC ．2或一2D ．0或一2(山东省竞赛题)思路点拨 根据b a 、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键【例3】已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值． (“五羊杯”竞赛题)思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．【例4】化简(1)12-x ； (2)31-+-x x ； (3)121++--x x ．思路点拨 (1)就012012<-≥-x x ，两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就1<x ，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由02101=--=+x x ，，得3,11==-=x x x ，．【例5】已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，4321----a a a a 、、、的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．注：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a 、n a 2是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质：(1) a ≥0，即非负敷有最小值为0；(2)若0=+++h b a ，则0====h b a②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．学力训练1．若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+22y x ．2．已知3,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a += ．3．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则b a c a c -+-+-1化简后的结果是 ．湖北省选拔赛题)4．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号)5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，一l ，那么1+a 表示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题)6．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥8．如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个9．化简：(1)3223++-x x ； (2)1331++--x x ．10．求满足1=+-ab b a 的非负整数对(a ，b)的值．(全国初中联赛题)11．若2-<x ，则=+-x 11 ；若a a -=，则=---21a a ．12．能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ．l3．a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ ． 14．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．(江苏省竞赛题) ．15．使代数式x xx 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ． 不存在的16．如果02=+b a ，则21-+-ba b a 等于（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．517．如果150<<p ，那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（ ）．A ．30B ．0C ．15D ．一个与p 有关的代数式18．设0=++c b a ，0>abc ，则cb a b ac a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或119．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设b a ca c bc b ax +++++=，试求代数式20029919+-x x 的值．20．若c b a 、、为整数，且19919=-+-a c b a ，求c b b a a c -+-+-的值．21．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．22．已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ， 求代数式20032002212222x x x x +--- 的值．参考答案。
数学-奥数竞赛-初一奥数-绝对值
②
• 由①有 a=b 且 c=a±1, 于是|b-c |=|c-a|=1;
• 由②有 c=a 且 a=b±1, 于是|b-c|=|a-b|=1.
• 无论①或②都有|b-c|=1 , 且|a-b|+|c-a|=1,
• 所以|c-a|+|a-b|+|b-c |=2.
例 7 、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反 数, 求 x 2y 的值。
xy
• 解: 依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999|.
• 因为任何一个实数的绝对值是非负数, 所以必 有|x-y+3|=0 且|x+y-1999|=0.即
例 8 、化简:|3x+1|+|2x-1|.
• 分析: 本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是 如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个 绝对值符号, 则是很容易的事.
论化简了。
• 说明 :解这类题目, 可先求出使各个绝对值等于零的变数字母 的值, 即先求出各个分界点, 然后在数轴上标出这些分界点, 这样就将数轴分成几个部分, 根据变数字母的这些取值范围 分类讨论化简, 这种方法又称为“零点分段法”.
例 9 、已知 y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,
a,当a 0时
a 0,当a 0时
a,当a 0时
• 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识, 它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一 个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对 值.
• 结合相反数的概念可知, 除零外, 绝对值 相等的数有两个, 它们恰好互为相反数.反 之, 相反数的绝对值相等也成立.由此还可 得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对 值是非负数.
绝对值-奥数经典题
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绝对值奥数经典题
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
一、典型例题分析
例1已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
例2若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例3化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
二、专项练习
练习1.已知y=｜2x+6｜+｜
x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
练习2.设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
练习3.若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．三、巩固练习
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
4．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，
对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
5．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，
如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．
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