初一数学绝对值难题解析

初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0c＜0，b＞0 ∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。

解：∵x＜－1 ∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。

解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6) ＝34、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，解得a＝0，这时b＞0；综上所述，（1）是正确的。

第二类：考察对绝对值基本性质的运用5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2012＝20126、设a、b同时满足：(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1(2) |a－4|＝0那么ab等于多少？解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0∴（1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 ，得|a－2b|＝0，即a＝2b∵ |a－4|＝0 ∴a－4＝0，a＝4∵ a＝2b ∴ b＝2 ，ab＝4×2＝87、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。

解：∵|a|＋a＝0，a≠0 ∴a＜0∵|ab|＝ab≥0 ，b≠0，a＜0 ∴b＜0，a＋b＜0∵|c|－c＝0，c≠0 ∴c＞0 ，c－b＞0，a－c＜0∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？解：∵a，b都是非负整数∴|a－b|也是非负整数，ab也是非负整数∴要满足|a－b|＋ab＝1，必须|a－b|＝1，ab＝0 或者|a－b|＝0，ab＝1分类讨论：当|a－b|＝1，ab＝0时，a＝0，b＝1 或者a＝1，b＝0 有两对（a，b）的取值；当|a－b|＝0，ab＝1时，a＝1，b＝1有一对（a，b）的取值；综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。

9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，求|b－a|－|d－c|的值？分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a－b和c－d分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。

解：设x＝a－b，y＝c－d，则|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|∵|x|≤9，|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25∵已知|x-y|＝25 ∴|x|＝9，|y|＝16∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。

根据以上材料解决下列问题：（1）化简：2|x－2|－|x＋4|（2）求|x－1|－4|x＋1|的最大值。

解：（1）令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4，分区段讨论：当x≤-4时，原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8当-4＜x≤2时，原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x当x＞2时，原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8综上讨论，原式＝…（略)（2）使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。

令x－1＝0，x＋1＝0，分别求得零点值：x＝1，x＝-1，分区段讨论：当x≤-1时，原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；当-1＜x≤1时，原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3，此时无最大值；当x＞1时，原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3，此时无最大值。

综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。

11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。

即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4令5x－4＝0，3x－1＝0，分别求得零点值：x＝4/5 , x＝1/3，分区段讨论：当x≤1/3时，原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9，此时不是恒值；当1/3＜x≤4/5时，原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7，此时恒为常数7；当x＞4/5时，原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1，此时也不是恒值。

综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。

12、若|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7，则m等于多少？解：∵当a≥0时，|a|＝a＝a＋1,得到0＝1矛盾∴a＜0，|a|＝－a＝a＋1，解得a＝－1/2。

∵|x|＝2ax＝－x，即x的绝对值等于它的相反数∴x≤0令x＋1＝0，x－5＝0，x－m＝0，分别求得零点值：x＝－1，x＝5，x＝m∵x≤0 ∴要对m进行分类讨论，以确定分段区间：（1）若m≥0，则x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤0当x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝－1时取到最小值8＋2m当－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m，x＝0时取到最小值6＋2m所以当m≥0时，最小值是6＋2m，令6＋2m＝7，得m＝0.5，符合题意（2）若－1≤m＜0，则x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤m和m＜x≤0当x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝－1时取到最小值8＋2m, 因为－1≤m＜0，所以最小值≥6当－1＜x≤m，原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m，x＝m时取到最小值6所以当－1≤m＜0时，最小值是6，和题意不符。

（3）若m＜－1，则x取值范围分成x≤m和m＜x≤－1和－1＜x≤0当x≤m，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝m时取到最小值4－2m当m＜x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝4－2m，这时为恒值4－2m 当－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝2x－2m＋6，无最小值所以当m＜－1时，最小值是4－2m，令4－2m ＝7，得m＝－1.5，符合题意综上所述，m＝0.5或－1.5 。

第四类：运用绝对值的几何意义解题1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示x的点到原点的距离，即|x|=|x－0||x－1|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示1的点的距离，|x＋2|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示－2的点的距离，|a－b|的几何意义是在数轴上表示a的点到表示b的点的距离。

2、设A和B是数轴上的两个点，X是数轴上一个动点，我们研究下，当X在什么位置时，X到A点和B点的距离之和最小？很显然，当X点在A点和B点之间时，X点到两个点的距离之和最小，最小值即为A点到B点的距离。

当再增加一个C点时，如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢。

经过研究发现，当X点在中间的点即C点时，它到三个点的距离之和最小，最小值也是A点到B点的距离。

继续研究下去，我们可以得到结论：如果有奇数个点，当动点处在最中间那个点的位置时，它到所有点的距离之和最小。

如果有偶数个点，当动点处在最中间的两个点之间时，它到所有点的距离之和最小。

用一句话来记忆，就是奇中偶范。

即奇数个点时，取最小值是在最中间的点。

偶数个点时，取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。