全等三角形动态几何练习精选

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(完整)八年级数学全等三角形之动点问题(精品)

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习解答题(本大题共8小题，共120分)1.(本小题15分)如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．2.(本小题15分)如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？3.(本小题15分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.(1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接A P，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.3.4.(本小题15分)如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′ 的位置, 使得 CC′∥AB, 则∠B′AB = _________5.(本小题15分)已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．6.(本小题15分)在图中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图中的MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥ BD；7.(本小题15分)如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B 点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由．8.(本小题15分)已知,如图,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC 于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点,（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移到至如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)

全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版）一、单选题（共10道，每道10分）1•如图，在长方形ABCD中，BC=8cm, AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ•设点P的运动时间为t秒，当t为（）时，△ PQC是以PQ为底的等腰三角形.A DA.5B.-10C.4D.-答案：D解题思路：点只。

速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点间题的解决方法解抉； ① 研究基本图形，标注：g② 研究动点运动状态.包括起点、终点、状态转折点、速度、时间范围，如图；③ 表达线段长，建等式.点P 已走路程AP=2t,则CP=10-2/；点Q 已走路程CQ=t.^PQC 是以尸。

为底的等腰三角形, 可知CP=CQ r即 10-2t=t r故选D.试题难度：三颗星知识点：动点问题2•已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC=18, BC=12,点D 为AB 的中点.点 P 在线段 BC 上以每秒 3个单位的速度由B 点向C 点运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由C 点向 A 点匀速运动，连接DP, QP.设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：0<r<5t的取值范围为（）—y JC.0W£W12D.0W（W18答案：A解题思路：根据题意列动点运动的路线图为乂（3/s）P\B 45>C F秒（£Z/S）O:C----- A对应的F的取值范围为OGW 4・故选A.试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第2题）（2）若某一时刻△ BPD与厶CQP全等，则t的值与相应的A.t=2，CQ=9B.t=1, CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：①要使△ BPD^2ACOP,则需BD^CP且.”=1"：C0 = 3②要使△ BPD^i^CPQ, 则需BD^CQ且BP=CP f gp|9 = CG^3r=12-3r.\t-2"\CQ = 9综上z=l・口2=3或戶2, CQ=9. 故选B.试题难度：三颗星知识点：动点问题4.(上接第2, 3题)(3)若某一时刻△ BPM A CPQ贝U a=( ) CQ的长为（）（1）根据点P的运动，对应的3A/- B.2gC.3D.l答案：D解题思路：当厶BPD辿CPQ时.由第3题可知’ t=2. CQ = 9,故选D*试题难度：三颗星知识点：动点问题5•在梯形ABCD中，AD// BC, DE丄BC于E,且AD=8, EC=6 BE=14.动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t 秒•请回答下列问题：（1）线段PD, QE的长可用含t的式子分别表示为（A.3t; 8-2tB.2t; 8-2tC.2t; 14-3tD.2t; 14-3t 或3t-14答案：C解题思路：根据题意列动点运动的路线图为:（2⑸只D 耳J（秒20（3 /s）Q B ——> -- ►C0 拓 f W 4根据点P的运动，DP=2t.因为J»E=14t OWrWA,点Q只在衣£上运动，而且到不了点£BO=3r,所以仑£=14—3九故选C.6.（上接第5题）（2）连接DQ，当t为何值时，△ DQE^A DCE根据题意可建等式为（）A.3t=6B.14-3t=6C.14-3t=8D.14-3t=6 或3t-14=6答案：B 解题思路:要^.A DOE^A DCE,则需OE=CE f即14—306 故选B.7•已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6cm, BC=10cm.动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒.请回答下列问题：A.OW泾鬼0冬任5c.O W8D.5W£ W 8答案：D 解题思路:根据题意列动点运动的路线图为:(2on⑤ P： 8―辽a C 3s» D―邑亠 A t秒当点P在线段CD上运动时，时间范围是故选D*8.（上接第7题）（2）当-门•…时，△ ABP的面积S可用含t的式子表示为（A.12t-96B.-6t+78C.-12t+156D.6t-48答案：B解题思路:2 )cm •（1 ）点P在线段CD上运动的时间范围是（如图，当8^ I <13时，点尸在线段/D上运动:此时BC+CD-DP=2t r因此AP=BC+CD^AD-(BC^CDWP)=^ BC+CLH-AD”2=26-2/, &_如=£ - AB AP = + 78) cm ^.故选B-9•已知：如图，正方形ABCD的边长为8,动点P从点B出发沿BC-CD-DA方向以每秒2个单位的速度运动，到达点A时停止运动.连接AP, BP.设点P运动时间为t秒，请回答下列(1)当点P在线段CD上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为()A.8-2tB.2t-8C.18-2tD.16-2t答案：B 解题思路:根据题意列动点运动路线图为= （2/5）P\B 4s > C 4s■>£> —当点尸在CD 边上运动时，如图:已走路程为* 2t=BC^CP f因此CP=2t-S・故选B.10.（上接第9题）（2 ）若厶ABP的面积为16，则t的值为（）A.1B.2C.2 或10D.2 或6答案：C解题思路:①当0<^4时，点尸在SC±,如图:Sf=16t解得t= 2 ,检脸可知2在范围内,故可取I②当时，点尸在CD上，如图：S = i 8-E = 32 ,不可能取至II 故不存在匚③当&CK12时，点尸在D4上.如图：B C= i 8 (24-20=^-Sr96-S^16,解得/=10»检验可知10在范围内，故可职综上* r的值为2或10.故选C.。

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)本文介绍了全等三角形之动点问题，主要涉及到动点在三角形内部运动的问题。

第一题考察了一个长方形内两个动点的运动问题，要求求出两点停止运动的时间，以及此时所构成的等腰三角形。

第二题考察了一个三角形内两个动点的运动问题，要求根据点P的运动，确定t的取值范围。

第三题和第四题分别考察了两个等式的求解，求解过程中需要使用到全等三角形的性质。

第五题考察了一个梯形内两个动点的运动问题，要求求出线段PD和QE的长度，以及当t为何值时，两个三角形全等。

已知长方形ABCD，其中AB=6cm，BC=10cm。

动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC-CD-DA方向运动到终点A。

设点P运动时间为t秒。

问题1：点P在线段CD上运动的时间范围是？答案：D。

解题思路：由于P从B出发，到A停止运动，因此P在线段CD上的运动时间为t-6秒。

又因为P以每秒2cm的速度运动，所以P在线段CD上的路程为2(t-6)cm。

由于CD=10cm，所以P在线段CD上的时间范围为5≤t≤8，即选项D。

问题2：当P在线段CD上运动时，△ABP的面积S可用含t的式子表示为？答案：-6t+78.解题思路：由于△ABP的面积为底边AB乘以高BP，而BP=2(t-6)，AB=6cm，因此S=6(2t-18)=12t-108.化简后得到S=-6t+78，即选项B。

已知正方形ABCD，边长为8.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA方向运动到终点A。

设点P 运动时间为t秒。

问题1：当P在线段CD上运动时，线段CP的长度可用含t的式子表示为？答案：2t-8.解题思路：由于P从B出发，到A停止运动，因此P在线段CD上的运动时间为t-4秒。

又因为P以每秒2个单位的速度运动，所以P在线段CD上的路程为2(t-4)个单位。

由于CD=8个单位，所以线段CP的长度为8-2(t-4)=2t-8，即选项B。

三角形全等之动点问题习题及答案数学试卷新课标人教版

三角形全等之动点问题（习题）例题示范例 1：已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 AB- BC- CD 方向运动，到达点 D 时停止运动．连接 AP ，DP ．设点 P 运动的时间为 t 秒，求当 t 为何值时，△ ADP 的面积为 A6．【思路解析】P1．研究背景图形，注明四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，四条边都相等，四个角均为 90°．2．解析运动过程，分段B①解析运动过程：动点 P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．A(2/s) P ： A2s2s2sD0≤ t ≤ 6BC②依照状态转折点分为三段： 0 ≤ t ≤ 2 ， 2 t ≤ 4 ， 4 t ≤ 6 ，需要对每一段分别进行解析．3．表达线段长，建等式B①当 0 ≤ t ≤ 2 时，即点 P 在线段 AB 上，ADAPB C此时 AP=2t ， AD=4，B1AD AP ， 2即 61 4 2t ，2t3，吻合题意．2DCDCDC②当 2 t ≤ 4 时，即点 P 在线段 BC 上，S △ ADPA DB PC此时 S △ ADP 1AD AB14 4 8，22不吻合题意，舍去．③当 4t ≤ 6 时，即点 P 在线段 CD 上，ADPB C此时 DP=12- 2t ， AD=4，1S △ ADPAD DP ，即 61 4 (12 2t) ，2t9，吻合题意．2综上，当 t 的值为 3或 9时，△ ADP 的面积为 6．2 2牢固练习1. 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，D 为 BC 边上一点，APBD C且 BD=4．动点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿 CA 向点 A 运动，连接AD，BP．设点 P 运动时间为 t 秒，求当 t 为何值时，△ BPA≌△ ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿 AB 向点 B 运动（点 P 不与点 A，B 重合），动点 Q 从点 B 出发以每秒 2 个单位的速度沿 BC向点 C 运动，点P，Q 同时出发，当点 Q 停止运动，点 P 也随之停止．连接 AQ，交BD 于点 E，连接 PE．设点 P 运动时间为 x 秒，求当 x 为何值时，△ PBE≌△ QBE．A DPEB Q C3. 已知：如图，在等边三角形ABC中， AB=10 cm，点 D 为边 AB上一点， AD=6 cm．点 P 在线段 BC上以每秒 2 cm 的速度由点AB 向点C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动．设DQ k 'B P C点 P 运动时间为 t 秒，若某一时辰△ BPD与△ CQP全等，求此时 t 的值及点 Q的运动速度．ADm'B Cl'4.已知：如图，在△ ABC中， AB=AC=12，BC=9，点 D 为 AB 的中点．（1）若是点 P 在线段 BC上以每秒 3 个单位的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动．①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，则经过 1 秒后，△BPD与△ CQP可否全等？请说明原由；②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPD与△ CQP全等？（2）若点 Q 以（1）②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ ABC 三边运动，则经过多长时间，点 P 与点 Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？ADQB P CADQB P C5.已知：如图，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=6．延长 BC到 E，使 CE=2，连接DE，动点 F从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 BC- CD- DA 向终点 A 运动．设点 F 的运动时间为 t 秒．（1）请用含 t 的式子表达△ ABF的面积 S．（2）可否存在某个 t 值，使得△ ABF和△ DCE全等？若存在，求出所有吻合条件的 t 值；若不存在，请说明原由．A DB FC EA DB FC EA DB FC E思虑小结1.动点问题的办理方法：①______________________；②______________________， ________；③______________________， ________．2.解析运动过程包括 4 个方面（四要素）：①起点、 ________、__________；②；③依照 _____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题状况复杂时，我们经常将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是这样．详尽解析动点问题时，经常会先研究背景图形，再解析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不但会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，尔后逐段解析，表达线段长，建等式．【参照答案】1.当 t 为 4 秒时，△ BPA≌△ ADC2.当 x 为8秒时，△ PBE≌△ QBE 33. ①当 t 为 5 秒时，△ BPD ≌△ CPQ ，此时 Q 的速度为 8cm/s ．2 5②当 t 为 3 秒时，△ BPD ≌△ CQP ，此时 Q 的速度为 2cm/s ．4. （1）①全等②Q 的速度为 4cm/s 时，能够使△ BPD 与△ CQP 全等（2）经过 24 秒，点 P 与点 Q 第一次在 BC 边上相遇．5．（1）0 t ≤3 ，4ts 3 t ≤ 5 ，12s 5 t， 4t 328 s （ 2） t 为 1 秒或 7 秒时，△ ABF 与△ DCE 全等。

八年级数学全等三角形动点问题压轴题精选20题

八年级数学全等三角形动点问题压轴题精选20题1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△B PD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且E F=FP.(1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°.在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB,则∠B′AB= _________4. 已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE 的关系．5.在图中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1= ∠2= 45°．（1）如图，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图中的MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD；6.如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，（1）求证：△AFC≌△DEB.（2）如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由．7.如图,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF= CE,BD交AC于M点,（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移到至如图所示的置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

八年级数学全等三角形动点问题压轴题精选20题

第-4讲---全等三角形动点提高题

第-4讲---全等三角形动点提高题(总23页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第4讲全等三角形动点提高题动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

典型例题例1、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．解：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm，若是运动了三圈即为：28×3=84cm，∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6BC=8．点P从点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，一点到相应的终点停止运动，某时刻，分别过P和Q 作PE⊥L于E，QF⊥L于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等请说明理由．解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP=CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=；③P 在BC 上，Q 在AC 时，此时不存在；理由是：8÷3×1＜6，Q 到AC 上时，P 应也在AC 上；④当Q 到A 点（和A 重合），P 在BC 上时，∵CQ=CP ，CQ=AC=6，CP=t-6，∴t-6=6∴t=12∵t ＜14∴t=12符合题意故点P 运动1或或12秒时，△PEC 与△QFC 全等．例3、(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD; FEDC B A(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立不用证明． FEDC BA证明：延长EB 到G ，使BG=DF ，联结AG ．∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90︒， AB ＝AD ，∴ABG ADF ∆∆≌． ∴AG ＝AF ， 12∠=∠．∴113232EAF BAD ∠+∠=∠+∠=∠=∠． ∴∠GAE=∠EAF ．又AE ＝AE ， ∴AEG AEF ∆∆≌．∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG ．∴EF= BE ＋FD(2) (1)中的结论EF BE FD =+仍然成立．考点训练一．选择题1．如图，△ACB ≌△A ′CB ′，∠BCB ′=30°，则∠ACA ′的度数为（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．解：∵△ACB ≌△A ′CB ′，∴∠ACB=∠A ′CB ′，即∠ACA ′+∠A ′CB=∠B ′CB+∠A ′CB ，∴∠ACA ′=∠B ′CB ，又∠B ′CB=30°∴∠ACA ′=30°．故选：B ．2．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A ．3B ．4C ．6D ．5【分析】过点D 作DF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ，再根据S △ABC =S △ABD +S △ACD 列出方程求解即可．解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ，由图可知，S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴×4×2+×AC ×2=7，解得AC=3．故选：A ．3．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．二．填空题1．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．解：∵AB∥CF，∴∠ADE=∠EFC，∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5cm，∵AB=9cm，∴BD=9﹣5=4cm．故填4．2．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．3．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．4.如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣°=°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．三．解答题1．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=150°，∠XBC+∠XCB=90°．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．【分析】本题考查的是三角形内角和定理．已知∠A=30°易求∠ABC+∠ACB的度数．又因为∠X为90°，所以易求∠XBC+∠XCB．解：（1）∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABC+∠ACB=150°；∠XBC+∠XCB=90°．（2）不变化．∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）=150°﹣90°=60°．2．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是20°；②当∠BAD=∠ABD时，x=120°；当∠BAD=∠BDA时，x=60°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D在线段OB上时，∵OE是∠MON的角平分线，∴∠AOB=∠MON=20°，∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO=90°，∴∠ABO=70°，若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20若∠BAD=∠BDA=（180°﹣70°）=55°，则x=35若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°﹣2×70°=40°，∴x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．3．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．4．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得．（2）、（3）五个角转化为一个平角．解：（1）如图，连接CD．在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°；（2）无变化．根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；（3）无变化．∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．13．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．14．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系并说明理由．【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，代入∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）根据三角形外角性质得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，代入即可求出答案；（3）根据三角形外角性质得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，推出∠2=∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．解：（1）图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A；（2）2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；（3）如图2，2∠A=∠2﹣∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2﹣∠1．△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=140°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：∠1+∠2=90°+α；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：∠2=90°+∠1﹣α．【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可；（3）利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，∴∠1+∠2=∠C+∠α，∵∠C=90°，∠α=50°，∴∠1+∠2=140°；故答案为：140°；（2）由（1）得出：∠α+∠C=∠1+∠2，∴∠1+∠2=90°+α故答案为：∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α，理由：∵∠2+∠α=∠DME ，∠DME+∠C=∠1， ∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．（4）∵∠PFD=∠EFC ，∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC ，∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2， ∴∠2=90°+∠1﹣α．故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．1、如图（1）,已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（P 不与A ，B 重合），分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD ．（1）当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP=___________；（直接写结果）（2）连结AD 、BC ，相交于点Q ，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P 的移动而变化请说明理由；（3）如图（2），若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化（只需直接写出你的猜想，不必证明）【思路】设AP 为x , 则PB 为a -x ，△APC 的面积为243x ，△BPD 的面积为2)2(43x a ，列出两三角形面积和的二次函数解析式，通过二次函数求极值得出面积和最小时AP 的值；通过△APD ≌△CPB, 得到∠PAD=∠PCB,由等量代换得到∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, 所以∠AQC=1800-1200 =600.【答案】（1）a ；（2）α的大小不会随点P 的移动而变化，理由：∵△APC 是等边三角形，∴PA=PC, ∠APC=600,∵△BDP 是等边三角形，∴PB=PD, ∠BPD=600, ∴∠APC=∠BPD, ∴∠APD=∠CPB, ∴△APD ≌△CPB, ∴∠PAD=∠PCB,∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, ∴∠AQC=1800-1200 =600;图图(3) 此时α的大小不会发生改变，始终等于600.2、在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，•那么△DEF是否仍为等腰直角三角形证明你的结论．图1 图2解析（1）连结AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°．又BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．∴△DEF为等腰直角三角形．（2）连结AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD=BD，AD⊥BC．∴∠DAC=∠ABD=45°，∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．∴△DEF仍为等腰直角三角形．试题分析：（1）连接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可证得△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即可证得结论；（2）先由∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°，可得∠DAF=∠DBE，再结合两组对边对应相等，即可证得△BED≌△AFD从而证得结论．证明：①连结AD，∵，∠BAC＝90°，为BC的中点∴AD⊥BC，BD＝AD∴∠B＝∠DAC＝45°又∵BE ＝AF∴△BDE ≌△ADF （SAS ） ∴ED ＝FD ，∠BDE ＝∠ADF∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠ADF ＝∠EDA ＋∠BDE ＝∠BDA ＝90° ∴△DEF 为等腰直角三角形；②若E ，F 分别是AB ，CA 延长线上的点，如图所示，连结AD∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点 ∴AD ＝BD ，AD ⊥BC ∴∠DAC ＝∠ABD ＝45° ∴∠DAF ＝∠DBE ＝135° 又AF ＝BE∴△DAF ≌△DBE （SAS ） ∴FD ＝ED ，∠FDA ＝∠EDB∴∠EDF ＝∠EDB ＋∠FDB ＝∠FDA ＋∠FDB ＝∠ADB ＝90° ∴△DEF 仍为等腰直角三角形.3.如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．(1)求证：OE=OF ；(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图1F M O C BAE图2FMOCB AE答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OA又∵AM ⊥BE ，∴∠MEA+∠MAE ＝90︒=∠AFO+∠MAE ∴∠MEA ＝∠AFO ∴Rt △BOE ≌Rt △AOF ∴OE=OF(2)OE ＝OF 成立证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OA又∵AM ⊥BE ，∴∠F+∠MBF ＝90︒=∠E+∠OBE 又∵∠MBF ＝∠OBE ∴∠F ＝∠E∴R t △BOE ≌Rt △AOF ∴OE=OF4.如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边∆ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，（1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时∆PBQ 是直角三角形（3）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则∠CMQ 变化吗若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；答案：（1）060=∠CMQ 不变。

全等三角形动点问题典型题目

全等三角形动点问题解析全等三角形动点问题是数学中的一个常见题型，主要涉及到全等三角形的特性和动点的运动规律。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，寻找满足条件的动点位置。

本文将对该问题的一般解法进行详细解析。

题目背景我们先来看一个典型的全等三角形动点问题的例子。

例题：已知一直角三角形ABC，其中∠ABC=90°,AC=5。

D为BC的中点，以D为圆心作一条半径为AD的圆交于E点，连接CE。

若点P在AC上，且满足∠BPC=∠CPA，求满足上述条件的点P的位置。

解题思路要解决这个问题，我们可以采用以下步骤：步骤1：根据题目给出的条件，通过画图并标记已知条件，包括所给的角度、边长、中点等。

在这个例子中，我们可以画出直角三角形ABC，并在BC边上标记中点D。

然后以点D为圆心，将半径调整为AD，并在圆上标记点E。

步骤2：观察题目中所问的点P在AC上，并满足∠BPC=∠CPA，即点P满足圆上的某个性质。

由于已知点C和点E在圆上，我们可以利用圆的性质来解决这个问题。

步骤3：观察点P在三角形ABC中的位置，我们可以发现点P处在直角三角形ABC所在的圆外。

我们进一步观察可以发现，点P与点C的连线延长后与圆交于C的另外一个点Q。

因此，我们可以将问题转化为求点Q的位置。

步骤4：通过观察几何图形，我们可以发现点Q与点E在直角三角形ABC上具有相同的高。

根据全等三角形的性质，我们可以断言，在两个全等三角形中，所有对应的边和角都是相等的。

因此，我们可以得出∠CQD=∠EPD，进一步得出∠BPC=∠QDC。

步骤5：根据步骤4的结论，我们可以在图上得出∠BPC与∠QDC的关系。

通过分析可得，在圆上任意一点M与半径所形成的角，等于角所对应的圆心角的一∠CQD，根据已知条件∠BPC=∠QDC，我们可以得出半。

因此，我们有∠QDC=12∠CQD。

∠BPC=12步骤6：通过步骤5的推导，我们将问题转化为求点CQD的位置。

通过观察我们可以发现，点Q与点D相连并延长后，与直角三角形ABC所在的圆交于另外一个点R。

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全等三角形动态几何练习精选（北师版）
1、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC（不含端点B、C）上运动，
连接AD，作∠ADE=40°，DE与线段AC相交于点E．
（1）当∠BDA=120°时，求∠DEC的度数；（4分）
（2）当CD等于多少时，△ABD≌△DCE？说明理由；（4分）（3）在点D的运动过程中，
△ADE可以是等腰三角形吗？如果可以，直接写出∠BDA的度数；如果不可以，说明理由．（3
分）

2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A－C－B路径
向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B－C－A路径向终点运动，终点为A
点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能
停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时
间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．

3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，CD∥AB，CD＝AB＝4cm，
点P是边AB上一动点，从点A出发，以1cm/s的速度从点A向终点B运动，
连接PD交AC于点F，过点P作PE⊥PD，交BC于点E，连接PC，设点P运

动的时间为)(sx

（1）若△PBC的面积为)(2cmy，写出y关于x的关系式；
（2）在点P运动的过程中，何时图中会出现全等三角形？直接写出x的值以及
相应全等三角形的对数。

D
A
B
C
E
40

B
C
4、在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB
＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过
点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借
助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否
发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

5、如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点。
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q
在线段CA上由C点向A点运动。
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否
全等，请说明理由；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够
使△BPD≌△CPQ？
（2）若点Q以①②的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度
从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间
点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

6、如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P
放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．
（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．
（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明
理由．
（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相
等吗？直接写出你的结论，不需证明．

A
D

B
C
G

E
图2

G
H
F
E
DC

A
图1
FCB
H
G
A
D
E

7、已知AC平分∠MAN，∠MAN=120º，
（1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90º，求证：AB+AD=AC 。
（2）在图（2）中，若∠MAN=120º，∠ABC+∠ADC=180º，则（1）中的结论任然成立吗？
若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？

8、（10分）已知△ABC是等边三角形，将一块含300角的直角三角板DEF如图1放置，当
点E与点B重合时，点A恰好落在三角板的斜边DF上.
（1）AC=CF吗? 为什么?
（2）让三角板在BC上向右平行移动，在三角板平行移动的过程中，(如图2)是否存在与线
段EB始终相等的线段（设AB，AC与三角板斜边的交点分别为G，H）？如果存在，请指
出这条线段，并证明；如果不存在，请说明理由.

9、已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点
A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边∠ACM的平分线CF
交于点F
（1）如图（1）当点B在BC边得中点位置时（6分）

○
1猜想AE与BF满足的数量关系是。（１分）

○
2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是（１

分）
○
3请证明你的上述猜想（４分）

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时：（６分）
此时ＡＥ和ＢＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？

图（1）
C
D
B
N

A
图（2）

C
D
B
N

(B)
A
C

E
F

图1

图2
F
C

A
B
E

10、如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE
为边作等边△DEF，连接CF．
（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE + CF = CD；
（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；

（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如
图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为___________________（不必证明）．

FCA

B
E

图（1）
N
F

M
CB

E
图（2）

F
M
CB

F
C
A
B(D)
E
F
C

B
E

图1
图2
图3