(完整版)极坐标系的概念及其性质(含答案),推荐文档
极坐标系的概念与应用
极坐标系的概念与应用极坐标系是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。
它以极轴和极角来确定点的位置，极轴通常为原点到点的距离，而极角则是从极轴正方向旋转到线段的方向所经过的角度。
极坐标系在各个科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、数学等等。
本文将介绍极坐标系的概念以及它在不同领域中的应用。
一、极坐标系的概念极坐标系是一种二维坐标系统，用极径和极角来描述平面上的点。
在极坐标系中，平面上的点可以表示为(r, θ)，其中r是点到原点的距离，θ是从极轴正方向旋转到线段的方向所经过的角度。
极径r是一个非负实数，极角θ通常用弧度制表示。
极坐标系与直角坐标系之间的转换关系由以下公式给出：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是直角坐标系中的点，r是点的极径，θ是点的极角。
这些公式使得我们可以在直角坐标系和极坐标系之间进行坐标的转换，方便我们在不同坐标系中进行计算和分析。
二、极坐标系的应用1. 物理学中的应用：极坐标系在物理学中有广泛的应用，特别是在描述圆形、旋转质点和极化等问题中。
例如在力学中，我们可以用极坐标系来描述质点在圆周运动中的运动规律，方便地计算质点的速度和加速度。
此外，极坐标系还在电磁学中用于描述电场和磁场的变化规律。
2. 工程学中的应用：工程学中的许多问题，如天线的辐射方向、波传播和声纳导航等，都可以使用极坐标系来进行分析和设计。
通过将问题转化为极坐标系，我们可以更好地理解和解决实际工程中的各种应用场景。
3. 数学中的应用：极坐标系在数学中也有重要的应用，特别是在微积分和复数理论中。
在微积分中，利用极坐标系可以简化一些复杂的曲线积分和面积计算。
在复数理论中，极坐标系可以用来表示复数的幅度和幅角，方便进行复数运算和解析几何的推导。
结论极坐标系是一种二维坐标系统，以极径和极角来确定平面上的点的位置。
它在物理学、工程学、数学等多个领域中都有广泛的应用。
极坐标系的性质与极坐标方程的应用
极坐标系的性质与极坐标方程的应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来唯一确定一个点的位置。
极坐标系具有一些与直角坐标系不同的性质，同时，极坐标方程也有着广泛的应用。
本文将探讨极坐标系的性质以及极坐标方程在不同领域的应用。
一、极坐标系的性质在极坐标系中，一个点的位置可以由极径和极角来确定。
极径表示该点到原点的距离，而极角表示该点与极轴的夹角。
极坐标系的性质如下：1. 原点：极坐标系的原点即为极坐标的起点，表示为O。
2. 极轴：极轴是极坐标系中的一条直线，通过原点O，并与x轴方向相同。
极轴的角度为0或360度。
3. 极径：极径表示一个点到原点O的距离，通常用r表示。
极径的取值范围可以是非负实数，即r≥0。
4. 极角：极角表示一个点与极轴的夹角，通常用θ（读作西塔）表示。
极角的取值范围可以是[0, 2π) 或[0, 360°)。
5. 制正：在极坐标系中，负极径和负极角并不常见。
一般来说，极径为负表示该点位于极轴的反方向，而极径为正表示该点位于极轴方向。
极角为负表示该点位于极轴的逆时针方向，而极角为正表示该点位于极轴的顺时针方向。
二、极坐标方程的应用极坐标方程是一种通过极坐标表示点的坐标的方程形式。
极坐标方程在各个领域有着广泛的应用，以下将介绍几种常见的应用。
1. 极坐标方程与图形绘制：极坐标方程可以描述各种图形的形状，例如圆、椭圆、双曲线等。
通过调整极坐标方程中的参数，可以绘制出不同形态的图形，实现对图形的变换和调整。
2. 极坐标方程与物体运动：在物体运动的描述中，极坐标方程可以提供更直观的表达方式。
例如，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹可以使用极坐标方程来描述。
3. 极坐标方程与工程设计：在工程设计中，极坐标方程可以用来描述物体的形状和运动规律。
例如，在风力发电机的设计中，可以使用极坐标方程来描述风轮的叶片形状，以实现最大的能量转化效率。
4. 极坐标方程与电磁场分布：在电磁学和电路设计中，极坐标方程可以用来描述电场和磁场的分布情况。
极坐标系的基本概念与性质
极坐标系的基本概念与性质极坐标系是一种非常常见的坐标系，其在物理、数学、工程等领域都有着广泛的应用。
在极坐标系中，每一个点可以由其距离原点的距离 r 和与 x 轴的夹角θ 来唯一确定。
本文将介绍极坐标系的基本概念与性质，帮助读者更好地理解它的应用。
一、坐标系定义极坐标系由一个原点 O 和一个极轴（通常选择 x 轴）共同确定。
从原点 O 出发，以极轴上的一个点作为起点，沿极轴反时针旋转一个角度，到达一个点 P，P 的位置可以用极坐标表示成(r,θ)。
其中，r 表示点 P 到原点 O 的距离，θ表示 OP 与极轴正方向的夹角。
二、坐标变换极坐标系和直角坐标系之间可以进行坐标变换。
在直角坐标系中，一个点的位置可以用其在 x、y、z 三个轴上的坐标来表示。
假设有一个点 (x,y)，它在极坐标系中的位置如下：x = r cosθy = r sinθ反过来，如果我们知道一个点在极坐标系中的坐标(r,θ)，它在直角坐标系中的坐标可以表示为：x = r cosθy = r sinθ由此可见，在极坐标系和直角坐标系之间进行坐标变换只需要进行简单的数学运算即可。
三、极坐标系的特征极坐标系不同于其他坐标系的一个显著特点是它的弧长不等于直线距离。
例如，在极坐标系中，一个圆的方程可以写作 r = a，其中 a 表示圆的半径。
实际上，这个圆的长度并不等于2πa，而是2aπ。
这是因为在极坐标系中，弧长是沿着曲线走的路程，而距离则是两点之间的直线距离。
因此，在极坐标系中，弧长会因为曲率发生变化，这是需要注意的。
极坐标系也具有周期性。
由于极角θ 只有在 360 度之后才会开始重复，因此在极坐标系中，一个点 P 的位置(r,θ) 可以和(r,θ+2πk) 相等，其中 k 是任意整数。
根据这个特征，我们可以把极坐标系中的点想象成在一个环上运动的点，每一个完整的圈都对应着2π 的角度。
四、曲线方程在极坐标系中，我们可以用方程来描述各种曲线。
高中数学421_极坐标系的概念(有答案)
_4.2.1 极坐标系的概念一、选择题。
1. 在极坐标系中，点A (2,0)关于极点的对称点的极坐标不能是（ ）A.(2,−π)B.(2,π)C.(2,2π)D.(2,3π)2. 已知点M 的极坐标为(5,π3)，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ） A.（5,−π3）B.(5,4π3)C.(5,−2π3)D.(5,−5π3)3. 在极坐标系中，点(ρ,θ)与点(ρ,π−θ)的位置关系是（ ）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于过极点且垂直于极轴的直线对称4. 在极坐标系中，点A (1,π5)，B (2,6π5)，则|AB|等于（ ） A.1B.2C.3D.45. 在极坐标系中，集合{(ρ,θ)|ρ=1，0≤θ<2π}表示的图形是（ ）A.射线B.直线C.圆D.半圆6. 一个三角形的一个顶点为极点O ，其它两个顶点的极坐标为P 1(4,π12)，P 2(2,π2)，则△P 1OP 2的面积为（ ）A.√6−√2B.√6+√2C.√3+1D.√3−1 二、填空题。
点M(6,5π6)到极轴的距离为________．若A (3,π3)，B (4,−π6)，则|AB|=________，S △AOB =________（其中O 是极点）．将极轴绕极点顺时针方向旋转π4，得到射线OP ，在OP 上取一点M ，使OM =2016，则ρ>0，θ∈[0,2π）时的点M的极坐标为________．三、解答题。
在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B(3,π4)，C(2,π2)，D(3,7π4)，E(4,2π3)已知极坐标系中，O为极点，A(3,π6)，OA⊥OB，|AB|=5，若ρ≥0，θ∈[0,2π），求点B的极坐标．△ABC的顶点的极坐标为A(4,4π3)，B(6,5π6)，C(8，7π6)．判断△ABC的形状；求△ABC的面积．参考答案与试题解析4.2.1 极坐标系的概念一、选择题。
极坐标系的概念
极坐标系的概念一、极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.二、极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.三、极坐标和直角坐标的互化1、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:2、互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.3、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.练习题：1．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2π(ρ∈R) 对称 D ．重合2.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈3．极坐标方程 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )。
极坐标系
极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.例题训练：1．(教材习题改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．2．在极坐标系中，圆ρ＝4表示 ．θ＝π3表示________． 3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．4.在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值？1.(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．2．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．3.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．4. 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x ，（ϕ为参数），一坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系。
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示极坐标系是一种在数学和物理中常用的坐标系，它可以用来描述平面上的点的位置。
本文将介绍极坐标系的概念、极坐标的表示以及极坐标系的应用。
一、极坐标系的概念极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系。
极轴是指从原点到点的有向线段，通常用正方向表示。
而极角是指极轴与固定参考线之间的夹角，通常用弧度表示。
极坐标系的标准位置通常以极轴平行于x轴的正方向并通过原点的直线来表示。
二、极坐标的表示在极坐标系中，点的位置可以用极径和极角来表示。
极径是指从原点到点的距离，而极角则是指从极轴到线段所经过的角度。
通常，极径用大写字母r表示，极角用希腊字母θ表示。
因此，一个点可以用（r，θ）来表示。
三、极坐标系的转换在直角坐标系和极坐标系之间可以进行转换。
如果已知一个点在直角坐标系中的坐标（x，y），那么可以通过以下公式将其转换为极坐标系中的坐标：r = √（x² + y²）θ = arctan（y / x）反之，如果已知点在极坐标系中的坐标（r，θ），则可以通过以下公式将其转换为直角坐标系中的坐标：x = r * cosθy = r * sinθ四、极坐标系的应用极坐标系在许多应用中起着重要的作用。
例如，极坐标系常用于描述极坐标图，这些图形在科学研究、工程设计和技术绘图中广泛应用。
此外，极坐标系还可以用于描述极坐标方程的图形，如极坐标方程r =a +b * cosθ和r = a + b * sinθ等。
在物理学中，极坐标系也被用来描述旋转和循环运动。
总结：通过本文的介绍，我们对极坐标系和极坐标的表示有了更深入的了解。
极坐标系通过极轴和极角描述平面上的点的位置，其转换关系可以方便地将点在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。
极坐标系在科学研究、工程设计和技术绘图中具有广泛的应用。
通过掌握极坐标系的概念和表示方法，我们能更好地理解和应用相关的数学和物理知识。
极坐标系的概念和应用
极坐标系的概念和应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r 代表该点到原点的距离，θ代表该点与参考线的夹角。
极坐标系能够简洁地描述圆形、对称图形以及其他一些具有旋转特性的图形，因此在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系统，它与直角坐标系密切相关。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为(x,y)的形式，其中x为该点与x轴的水平距离，y为该点与y轴的垂直距离。
而在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r为该点到原点的距离，θ为该点与参考线的夹角。
二、极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系之间存在着一种转换关系，通过这种关系可以实现坐标系的相互转换。
具体而言，对于给定的极坐标(r,θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)同样地，对于给定的直角坐标(x,y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r,θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这种转换关系使得在不同的应用场景中能够灵活地使用极坐标系和直角坐标系。
三、极坐标系的应用1. 圆的极坐标方程在极坐标系中，圆可以用简洁的形式进行表示。
对于圆心在原点，半径为a的圆，其极坐标方程为：r = a通过这个方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质。
2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，某些曲线的方程可以用极坐标表示。
例如，对于给定的极坐标方程r = f(θ)，其中f(θ)是一个与θ有关的函数，我们可以通过描绘不同θ值对应的r值来绘制出相应的曲线。
3. 极坐标系在物理学中的应用极坐标系在物理学中有着重要的应用。
例如，极坐标系可以用来描述某些旋转对称的物理问题，比如自转的刚体、天体运动等。
通过使用极坐标系，可以更加简洁地描述物体在旋转过程中的运动规律。
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9 . 如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点
D(2, ), E(4, 3 ), F (3.5, 5 ) 所在的位置.
6
4
3
10．中央气象台在 2004 年 7 月 15 日 10：30 发布的一则台风消息：今年第 9 号热带风暴 “圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约 440 公里的南海东北 部海面上，中心附近最大风力有 9 级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位 置.
D．直角坐标平面上，以原点为起点的向量
2.已知 M(−5， )，下列所给出的不能表示此点的坐标的是（ ） 3
A．(5，− )
3
4
B．(5， )
3
2
C．(5，− )
3
5
D．(−5，− )
3
3.在极坐标系中，与点 P (2， )关于极点对称的点的坐标是（ ） 3
A．(−2， )
3
4
B．(−2， )
6.设 M 是平面内一点，极点 O 与 M 的距离| OM | 叫做点 M 的
，记为
；以
极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的
叫做点 M 的
，记作
。
，记为
。有序数对
7．
A(4,
)、
B(4,
5
)
C(4,
7
)
D(4,
)
E (4, 13
)
表示同一个点的是
.
6
6
6
6
6
8 . 写出图中各点的极坐标：
典题探究
极坐标系的概念及其性质
例 1 写出图中 A，B，C，D，E，F，G 各点的极坐标 ( 0,0 2 ) .
例 2 在下面的极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
4 D(5, )
3 5 G(6, ) 3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
C(3, )
2 F (4, )
例 3 如图，用点 A，B，C，D，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位 置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.
.
3
3
2
9．在极坐标系中，求 A(3, ) 与 B(1, ) 两点间的距离.
3
3
10．边长为 a 的正六边形 OABCDE 在极坐标系中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点 的极坐标.
C 档（跨越导练）
1．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是 A(2, ) 、 B(2, 5 ) ，那么顶点 C 的坐标可能
B 档（提升精练）
1．已知
M
5,
3
，下列所给出的能表示该点的坐标的是(
)
A． 5, 3
B． 5, 4 3
C． 5, 2 3
D．
5,
5 3
2. 在极坐标系中，与点(－3, )重合的点是(
)
6
A.(3,
)
6
B. (－3, － )
6
5
C. (3, － )
6
5
D. (－3, － )
6
X
10．在极坐标系中，已知△ABC 三个顶点的极坐标为 A(2，10°)，B(－4，220°)， C(3，100°)，（1）求△ABC 的面积;（2）求△ABC 的边 AB 的的长度.
典题探究
极坐标系的概念及其性质参考答案
例 1 解： A(3,0), B(2, ),C(3, ), D(1, 5 ), E(2.5, ), F (5, 4 ),G(4, 5 ) .
C. (3， 5 ) 4
D. (3， 3 ) 4
5．点 P(, ) 关于直线 的对称点的一个极坐标是
.
2
6．在极坐标系中，已知两点 A(3, ), B(1, 2 ) ，则 A，B 两点间的距离是________.
3
3
7．已知两点的极坐标 A(3, ), B(3, ) ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为
3
3
3
3
N (2,2k 5 ) (k Z ) 四点中与 P 重合的点有（ ） 3
A．1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个
4.设点 P 对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P
的极坐标为（
）
A.( 3 2 ， 3 ) 4
B. ( 3 2 ， 5 ) 4
2
6
________.
8．极坐标系中，点 A 的极坐标是 (3, ) ，则
6
（1）点 A 关于极轴对称的点是_______;
（2）点 A 关于极点对称的点的极坐标是___;
（3）点 A 关于直线 的对称点的极坐标是________.(规定: ( 0) 0,2
2
9．在极坐标系中，描出点 M (2, ) ，并写出点 M 的统一极坐标。 3
4
4
是（ ）
A.(4, 3 ) 4
B(2 3, 3 ) 4
C.(2 3, )
D.(3, )
2．在极坐标系内，点 (3,
) 关于直线
.
(
R) 的对称点坐标为（
）
2
6
A（3，0）
B(3, )
2
C(3, 2 ) 3
D(3,11 ) 6
3．若 P(2, ) 是极坐标系中的一点，则 Q(2, 2 )..R(2, 8 )..M (2, 5 ).
3
C．(2，− )
3
2
D．(2，− )
3
4.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )
A． (, )
B． (, )
C． (, ) D． (, )
5 . 如图，在平面内取一个
O ，叫做
；在选定一个
及其计算角度的
立了一个
。
；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做
（通常取逆时针方向为正方向），这样就建
3.在极坐标系中,与点(－8, )关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
6
A.(8, )
6
5
B. (8, － )
6
5
C. (－8, )
6
D.(－8, － )
6
4．已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A(4，0°), B(－4,－120°), C(2 3 ＋2,
30°)，则△ABC 为
.
5．在极坐标系中，点 M (5,
例 4 已知点 Q(, ) ，分别按下列要求求出点 P 的一个极坐标.
（1）P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； （2）P 是点 Q 关于极轴的对称点.
演练方阵
A 档（巩固专练）
1.下列条件与有序实数对不能构成一一对应的是（ ）
A．直角坐标平面上的点
C．极坐标系中，平面上的点
B．复平面上的点
) 关于直线
的对称点的一个极坐标是
.
6
4
6．在极坐标系中，点 (, ) 与 (, ) 的位置关系是
.
7．在极坐标系中，设 O 是极点，A、B 两点的极坐标分别是 (4, ) 、 (5, 5 ) ，则⊿OAB
3
6
的面积是
.
8．在极坐标系中，已知 A(6, ), B(8, 4 ) ，则线段 AB 中点的极坐标是