极坐标系的概念及直极互化
极坐标
1.极坐标系的概念：在平面上取一个定点O叫做极 点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度 单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时 针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面上的任一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极 轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫 做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为 点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为0，233. 所以 P 点的直角坐标为1， 33， 则 P 点的极坐标为233，π6， 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝π6(ρ∈R)．
(1)极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原 点、x 轴正半轴重合时，可用 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 将极坐标 方程化为直角坐标方程；反之，利用 ρ2＝x2＋y2，tanθ＝xy(x≠0) 可以将直角坐标方程化为极坐标方程．
考点串串讲
1．极坐标系 (1)一般地，在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX， 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为 正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点 O 称为极点，射 线 OX 称为极轴． 设 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 OX 为始边，射线 OM 为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置． 其中，ρ 称为点 M 的极径，θ 称为点 M 的极角． 由极径的意义可知 ρ≥0.当极角 θ 的取值范围是[0,2π)时，平面 上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我 们规定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可以取任意角．
三维_极坐标与直角坐标的互化_解释说明
三维极坐标与直角坐标的互化解释说明1. 引言1.1 概述在数学和物理学中，坐标系统是一种用于描述物体位置的工具。
我们常用的直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成，可以描述点在平面上的位置。
然而，在某些情况下，直角坐标系并不能很好地描述物体的位置信息，特别是当涉及到球对称结构或者极向性场景时。
为了解决这个问题，人们引入了三维极坐标系。
极坐标系使用两个参数来描述点的位置：径向距离与方位角。
它将空间划分为一组同心圆和一组以原点为顶点的旋转平面锥（还包括了一个垂直于这些平面锥的半径轴），从而提供了另一种描述三维空间中点位置的方式。
本文将深入探讨三维极坐标与直角坐标之间的互化关系，包括它们各自的定义与表示方法以及彼此之间的转换方法。
1.2 文章结构本文共分为四个部分：引言、三维极坐标与直角坐标的互化、应用场景和优劣势比较以及结论。
在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，并介绍直角坐标系与三维极坐标系的基本概念。
在第二部分，我们将详细介绍三维极坐标与直角坐标的定义与表示方法，包括如何确定点在两种坐标系下的位置。
第三部分将探讨应用场景和优劣势比较。
我们将分析在不同领域中使用三维极坐标和直角坐标的情况，并比较它们各自的优势和劣势。
此外，我们还会通过实际应用案例来说明其具体应用。
最后，在结论部分，我们将总结主要观点和发现结果，并对未来发展趋势提出展望和建议。
1.3 目的本文的目的是深入探究三维极坐标与直角坐标之间的互化关系。
通过详细介绍它们两者的定义、表示方法以及转换方法，希望读者能够更好地理解它们之间的联系和差异，并能够根据具体问题选择适合的坐标系统进行描述。
同时，通过对应用场景和优劣势比较的探讨，进一步增进对这两种坐标系统特点及其适用性的认识，并为未来的研究和应用提供一定的参考和启示。
2. 三维极坐标与直角坐标的互化:2.1 三维极坐标的定义与表示方法:三维极坐标是一种在空间中描述点位置的方式。
它使用一个距离、一个仰角和一个方位角来表示点的坐标。
高中数学第一章坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标
π π 1．在极坐标系中，作出以下各点： A(4,0)，B3，4 ，C2，2， 7π D3， 4 ；结合图形判断点
B，D 的位置是否具有对称性；并
求出 B， D 关于极点的对称点的极坐标． (限定 ρ≥0， θ∈[0,2π))
解：如图，A，B，C，D 四个点分别是唯一确定的．
2 |MN|＝ ρ2 ＋ ρ 1 2－2ρ1ρ2cosθ1－θ2，
所以|AB|＝
3 ＋1
2
2
2π π － － －2×3×1×cos ＝4. 3 3
化直角坐标为极坐标
[ 例 3] 0≤θ<2π)．
分别将下列点的直角坐标化为极坐标 (ρ>0 ，
(1)(－1,1)，(2)(－ 3，－1)．
2.1 & 2.2 §2 第 一 章 极 坐 标 系 极坐标 系的概 念 点的极 坐标与 直角坐 标的互 化
理解教 材新知
考点一 把握热 点考向
考点二
考点三
应用创 新演练
§ 2
极坐标系
2．1&2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化
[自主学习]
1．极坐标系的概念 (1)极坐标系： 在平面内取一个定点 O，叫作 极点 ，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作 极轴；选定一个 单位长度 和角的正方向 (通 常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
3 2 2
＝ 4＋12＝4.
1．将极坐标 M(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)，只需根据公
x＝ρcos θ， 式： y＝ρsin θ
即可得到；
2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转 化为熟悉的直角坐标问题求解．
本例中如何由极坐标直接求 A，B 两点间的距离？
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系统，它们各自有自己的特点和优劣。
在不同的问题中，我们需要使用不同的坐标系统来描述和解决问题。
但是，有时候我们需要将一个点的极坐标和直角坐标相互转换。
这就需要用到极坐标和直角坐标的互化公式。
首先，我们来看如何将一个点的极坐标转换为直角坐标。
一个点在极坐标系中由极径和极角两个量来确定，分别用 r 和θ表示。
然而，我们在直角坐标系中描述一个点时需要用 x 和 y 坐标值。
为了将一个点的极坐标转换为直角坐标，我们可以使用以下公式：
x = r * cosθ
y = r * sinθ
其中，cosθ和 sinθ分别表示极角θ的余弦和正弦值。
这些值可以通过查表或使用计算器来求得。
接下来，我们来看如何将一个点的直角坐标转换为极坐标。
一个点在直角坐标系中由 x 和 y 坐标值来确定，我们需要找到它们对应的极径和极角。
为了将一个点的直角坐标转换为极坐标，我们可以使用以下公式：
r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = atan(y/x)
其中，sqrt 表示平方根，atan 表示反正切函数。
注意，当 x=0 时，θ的值为π/2 或 -π/2，取决于 y 的正负。
此时，我们需要特别处理。
讲坐标系第极坐标和直角坐标的互化
04
极坐标与直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的转换公式
极坐标系中的位置由两个角度和半径确定，其中角度以极轴为0度，顺时针增加角度，而半径从极轴的 长度开始。
直角坐标系中，点的位置由x和y坐标确定，其中x轴沿水平方向，y轴沿垂直方向。
极坐标与直角坐标之间的转换公式为：x = rcos(θ)，y = rsin(θ)，其中(r, θ)为极坐标系中的坐标，(x, y) 为直角坐标系中的坐标。
03
直角坐标系
直角坐标系的基本概念
定义
01
直角坐标系是一个二维坐标系统，其中点被定义为一对数值，
称为坐标。
坐标轴
02
在直角坐标系中，垂直相交的两条数轴称为坐标轴。
象限
03
在直角坐标系中，将平面分为四个象限，每个象限都包括一个
坐标轴和原点。
直角坐标系中的点和弧长
点
在直角坐标系中，每个点都有一个唯一 的坐标值，可以通过水平和垂直轴上的 刻度来测量。
在极坐标系中，一条曲线可以由其上面的一系列点来定义，这些点满足某个极坐标方程。弧长可以由这些点的极 径和极角计算出来。
极坐标系中的曲线方程
极坐标系中的曲线方程
在极坐标系中，曲线的形状由极径和极角的函数关系来定义，这种函数关系就是曲线在该坐标系下的 方程。
常见的极坐标系中的曲线方程
例如，圆形、椭圆形、心形等曲线的极坐标方程都有各自的形式。
03
极坐标系和直角坐标系之间的 转换是一个非常重要的数学技 能，也是解决许多实际问题的 基础。
课程知识点概述
极坐标系与直角坐标系之间的转换公式 极坐标系与直角坐标系在实际问题中的应用
极坐标系与直角坐标系的定义和性质
如何使用转换公式进行极坐标系与直角坐标系之间的转 换
极坐标系定义及互化
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点
M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4
O [2]在OP的反向延长
线上取一点M，使
M
OM= 3
P = /4
X
3、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成 是旋转 ，因此，所谓“负 极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致， 用“负”表示“反向 ”。
1
点Q的极坐标为 (4, 2 ) ，其直角坐
标如何表示？
3
Q
Q(2,2 3)
O
X
极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y)
y
极坐标是 (ρ,θ)
θ
O
x
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
极角的确定：由正切值找角，由象限位置定角
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
不做特殊说明时,≥0,∈R
当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值。
例：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
极坐标系的定义及和直角坐标的互化
极坐标系的定义及和直角坐标的互化一、极坐标系的定义及和直角坐标的互化1、极坐标系在平面内取一个顶点$O$，叫做极点；自极点$O$引一条射线$Ox$，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
2、点的极坐标设$M$是平面内一点，极点$O$与点$M$的距离$|OM|$叫做点$M$的极径，记为$ρ$；以极轴$Ox$为始边，射线$OM$为终边的角$xOM$叫做点$M$的极角，记为$θ$。
有序数对$（ρ，θ）$叫做点$M$的极坐标，记为$M(ρ，θ)$。
(一般地，不作特殊说明时，认为$ρ≥0，θ$可取任意实数)建立极坐标后，给定$ρ$和$θ$，就可以在平面内唯一确定点$M$；反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标$（ρ，θ）$。
3、特殊点的极坐标极点$O$的极坐标为(0,$θ$)($θ\in\mathbf{R}$)；极轴上的点的极坐标为($ρ$,0)($ρ>0$)；极轴反向延长线上的点的极坐标为($ρ$,$π$)($ρ>0$)。
注：一般地，极坐标$（ρ，θ）$与$（ρ，θ+2kπ）（k\in\mathbf{Z}$）表示同一个点。
和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示；如果规定$ρ≥0,0≤θ≤2π$，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标$（ρ，θ）$表示的点也是唯一确定的。
4、极坐标和直角坐标的互化互化的前提条件（1）极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；（2）极坐标系中的极轴与直角坐标系中的$x$轴的正半轴重合；（3）在两种坐标系中取相同的长度单位。
互化公式设$M$是平面内任意一点，它的直角坐标是$(x,y)$，极坐标是$（ρ，θ）$，则有：$x=ρ\cos θ,y=ρ\sin θ$。
$ρ^2=x^2+y^2,\tan θ=\frac{y}{x}(x≠0)$。
把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差2$\pi$的整数倍）。
极坐标与直角坐标系互化
2 2 2
Y 屠宰场
( ρ ≥ 0)
张三所在地 O
2公里 公里 300
1公里 公里
3公里
X
题型1 题型1：极坐标的概念
例1.把点P的直角坐标( 6 , − 2 ) 化为极坐标为( C )
所以取θ = −
π 4, 3
A.（2,2 C.（2
化为直角坐标为( Ｂ )
3）
3） 3 ,2）
B.（－2,－2 D.（－2
3 ,－2）
4π 4π 1 解 : x = 4 cos = 4 × − = −2, y = 4sin = −2 3, 3 3 2 所以直角坐标为(−2, −2 3), 故选B.
极坐标与直角坐标的互化
重点： 重点：体会在极坐标系和平面直角坐标系
中刻画点的位置及曲线方程的区别 难点：能进行极坐标与直角坐标的互化. 难点：能进行极坐标与直角坐标的互化
从这向东走 3 公里再 向北走1公里就到了 公里就到了。 向北走 公里就到了。
请问张三: 甲请问张三 去屠宰场怎么走？ 去屠宰场怎么走？
设点 ,直线l为过极点且垂直于 极轴的直线.（限定ρ>0,－π<θ≤π）， π 写出下列点的极坐标： (2,− ) 3 （1）A关于极轴的对称点B的极坐标为 2π (2, ) （2）A关于直线l的对称点C的极坐标为 3 （3）A关于极点的对称点D的极坐标为 (2,− 2π )
3
π A 2, 3
(1, ) 2
π
.
一、极坐标系的建立 二、极坐标与直角坐标的互化
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出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
1、极坐标系： 在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系. X
11 6
A(-4,0) 5 B(3, 6 ) C(-2, 2 ) D(-1, 5) 3 E(3,- ) 6 ) ( 4, F 3
(, 2k+)
都是同一点的 极坐标. (-, +(2k+1))
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标： (1) P是点Q关于极点O的对称点； (2) P是点Q关于直线 的对称点. 2 (3) P是点Q关于极轴的对称点。
5 6 ° O M(-2, 5) 6 ° O
x
x • •M(-2, 5) M (, ) 6 小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
5 6
2 F 3• B
2
4
•
•DLeabharlann 。 O• A1x
•
5 4 [小结] (, ) C 3 2
•
E
5 3 (-, +)
注意点M的极坐标具有多值性.
思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) 4 2 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 ) (C) (10, - 2 ) (D)(10, 3 3 3
思考？ 平面内一点P的直角坐标是 ( 3 ,1)， 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 2 为 (5, )，其直角坐标如何表示？
3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
M
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
O X π +2kπ 4， 4
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
2、极坐标系内的点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。 思考: 对比直角坐标系，比较异同。 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 计算角度的正方向 ____________________； O (, ) 表示. (2) 平面内点的极坐标用_____
3
, 0的点M（，）所组成的图形
若（ 3）中的 R，则M表示什么样的图形？
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 时如何规定 )对应的点的位置？ 当<0时，点 M(,( , )的位置规定： 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
M X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2 4
5 6
D
• E •
F
•
C
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 )
。 O1
• B
• •
A
x
5 D(5, ) 6 E(4.5, )
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中， （ 1）已知两点P（5、 ），Q（ 1， ），求线段PQ的长度。 4 4 5 （2）已知两点P（5、 ），Q（ 1， ），求线段PQ的长度。 4 ,4 （3）说明满足条件
极坐标系的概念
问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：校门口有人问你：到北京四中怎么走 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？
情境2：请问到北京四中怎么走？ 请分析这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 北 走 4 0 0 米 ！
6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 ) 极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
(5,0)
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
Q ( 2, ), 2、已知极坐标系中两点 P ( 3, ) ， 2 6 如何求线段|PQ|的长？ | PQ | 19
4 3
•
G
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练 ] 建立极坐标系，描出下列点：
4 A(3, 0)、B(6, 2 )、C (3, )、D(5, )、 2 3 5 5 E (3, )、F (4, )、G (6, ) 6 3 [小结]由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点. 思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
x cos , y sin
3
5 5 3 答案： P ( 2, ) Q( , ), 2 2 6
极坐标与直角坐 标的关系
极坐标与直角坐标的互化公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标 (4, )
推广：极坐标系内两点 P( 1 ,1 ),Q( 2 , 2 ) 2 2 的距离公式： | PQ | 1 2 21 2 cos(1 2 )
小
结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x