高二数学 讲义：圆与方程
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5 圆的标准方程；§2.6 圆的一般方程二. 重点、难点：1. 圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
这定点叫做圆的圆心，通常用C 表示；这定点叫做圆的半径，通常用r 表示。
根据圆的定义，易导出圆的标准方程。
2. 圆的标准方程的导出：设圆心C （a ，b ），半径为r ，设P （x ，y ）是圆C 上任意一点，则 ()()由圆的定义，可知，即PC r x a y b r =-+-=22()()化简，得x a y b r -+-=222此即以（，）为圆心，以为半径的圆的标准方程a b r C（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。
（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a ，b ，r ，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a ，b ，r 为未知的三个方程，求解a ，b ，r ，再写出标准方程。
()()若将圆的标准方程进一步去括号，整理，可得圆的一般方程。
x a y b r -+-=2223022.圆的一般方程：x y Dx Ey F ++++=当且仅当时，上述方程才表示圆，其圆心坐标为，，半径D E F DE 224022+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪r D E F =+-12422。
事实上，上述结论可由如下方法得来：把的左式配方变形，得：x y Dx Ey F 220++++= x D y E D E F +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-22442222 若，则该方程表示以，为圆心，以为半D E F C DE D EF 22224022124+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-径的圆。
若，则该方程即D E F x D y E 222240220+-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=x D y E DE =-=---⎛⎝ ⎫⎭⎪2222且，此时该方程只有一个解，，它表示一个点。
串讲02 第一章 圆与圆的方程(考点串讲)高二数学上学期期中考点(北师大版2019选择性必修第一册)
考点7.直线与圆的位置关系的判断
r |y|≤ 02 ___．这说明圆上的所有点都在两条平行直线 x＝－r，x＝r 和两条平行直线 y＝－r，y＝r 围成的正方形之间(如图所示)．
考点2.圆x2＋y2＝r2的简单几何性质
(2)对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若点 P 的坐标(x，y)满足方程①，则点 P 分 别关于 x 轴、y 轴和原点 O 对称的点 P1(x，－y)，P2(－x，y)，P3(－x，－y)的坐标也 都满足方程①. 这说明圆①既是关于 03 _x_轴___和 04 _y_轴___的轴对称图形，也是关于 05 _原__点__的中 心对称图形．
解 (1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0，解得 m<15， 故实数 m 的取值范围为－∞，15. (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
同理，得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x＋y＋5＝0. 由x2－x＋7yy＋＋150＝＝00，，得圆心的坐标为(－3，1)． 又圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（1－5）2＝5， 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
解
考点3.点与圆的位置关系
【例题 3】已知 a，b 是方程 x2－x－ 2＝0 的两个不等的实数根，则点
①x2，y2 的系数相同，且不等于 0，即 06 ___A_＝__B_≠_0___； ②不含 xy 这样的二次项，即 07 __C__＝__0___． 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a yb -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)+(y+E/2)=(D +E -4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解圆的一般方程及其特点；2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.知识点1圆的一般方程1、圆的一般方程：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．其中,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．2、圆的一般方程的形式特点（1）22,x y 项的系数相同且不等于0（2x 和2y 的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含xy 项；（3）2240D E F +->．3、一般方程与标准方程关系：对方程220x y Dx Ey F ++++=的左边配方，并将常数移项到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据圆的标准方程可知：（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，知识点2圆的一般方程判断点和圆的位置关系已知点()00,M x y ，和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）则知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点(,)M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式。
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．3、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；（3）列式：列出关于.x y 的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．考点一：二元二次方程与圆例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆22:4650O x y x y +-++=，则圆心O 和半径r 分别为（）A ．()2,3,O r -=B ．()2,3,O r -=C ．()2,3,O r -=D ．()2,3,O r -=【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程22210x y x m ++--=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（）A ．－1B ．0C ．12D ．1考点二：求圆的一般方程例2.（23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为（）A ．()2222x y ++=B ．()22210x y -+=C ．()2222x y +-=D ．()22210x y ++=【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知(2,0)A ，(4,2)B ，O 为原点，则AOB 的外接圆方程为.【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．(1)求C 点的坐标；(2)求ABC 的外接圆方程．考点三：点与圆的位置关系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C ：22220x y x y +--=，则点(3,1)P 在（）A ．圆外B ．圆上C ．圆内D ．以上情况均有可能【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎝C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C 的方程为222245330x y mx my m m +-++-+=，若点(1,2)m -在圆外，则m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞+∞B ．(1,)+∞C ．(1,4)D ．(4,)+∞【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <考点四：与圆有关的轨迹问题例4.（23-24高二上·北京·期末）已知点(2,0)B 和点(2,4)C ，直角ABC 以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程.【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点(5,0)A -，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是．【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且||6AB =，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（）A ．||||6PA PB +=B ．1PA PB ⋅=-C ．||2||PA PB =D ．22||||18PA PB +=【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点(6,0)A ，O 为坐标原点，若动点(,)P x y 满足2OP PA =．(1)试求动点P 的轨迹方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点五：圆过定点问题例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆2220x y mx y m ++--=恒过的定点是.考点六：与圆有关的实际问题例6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）A B C ．米D ．【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度为米．（精确到0.01米，参考数据：33 5.744≈）【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(3 1.732)≈一、单选题1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆222440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,2-D ．()1,2,3-2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点()()()4,2,1,1,14A B C --,的圆的一般方程为（）A ．227320x y x y ++-+=B ．227320x y x y ++++=C ．227320x y x y +-++=D ．227320x y x y +--+=3．（2024·河北沧州·二模）若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆22224590x y ax ay a +-++-=上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（）A ．(),3-∞-B ．(],3-∞-C ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π二、多选题7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若()2,1，()4,2，()3,4，()1,m 四点共圆，则m 的值为（）A ．2B C ．12+D ．38．（23-24高二上·河北邢台·222:240C ax ay x a y +-+=，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，曲线C 是一条直线B ．当0a ≠时，曲线C 是一个圆C ．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2πD ．当曲线C 是面积为5π的圆时，1=a 三、填空题9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=，则两圆心之间的距离为.10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆22:220C x y mx y ++-=被直线210x y ++=平分，则圆C 的半径为．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .四、解答题12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线12:20,:0l x y l x y ++=+=，直线l 过点()10,4-且与1l 垂直.(1)求直线l 的方程；(2)设l 分别与12,l l 交于点A ，B ，O 为坐标原点，求过三点A ，B ，O 的圆的方程.。
2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程(思维导图+4知识点+4考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征；2．能根据所给条件求圆的标准方程；3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.知识点1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(,)a b ，半径为r ，(,)M x y 为圆上任意一点，⊙A 就是集合{}P M MA r ==．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．知识点2圆的标准方程1、圆的标准方程：我们把()()222-+-=x a y b r 称为圆心为(),A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径．（2）圆的标准方程的右端20r >，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．2、圆的标准方程的推导过程（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设(),A a b ，半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为(,)x y ．（2）写点集：根据定义，圆就是集合{}P M MA r ==．（3r =．（4）化简方程：将上式两边平方得222()()x a y b r -+-=．3、几种特殊位置的圆的标准方程知识点3点与圆的位置关系1、几何法：点()00,M x y ，圆心(),A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA d =，d r >⇔点M 在圆A 外；d r <⇔点M 在圆A 内；d r =⇔点M 在圆A 上．2、代数法：将点()00,M x y 直接代入圆的标准方程()()222-+-=x a y b r 进行判断，即若点()00,M x y 在圆外，则()()22200->+-x a y b r ；若点()00,M x y 在圆内，则()()22200x a y b r +-<-；若点()00,M x y 在圆上，则()()22200x a y b r +-=-．知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．（1）若点C 在圆外时，max PC d r =+，min PC d r =-；（2）若点C 在圆上时，max 2PC r =，min 0PC =；（2）若点C 在圆内时，max PC d r =+，min PC r d =-．综上：max PC d r =+，min PC d r =-．考点一：求圆的标准方程例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在(3,4)-，半径为5，则它的方程为（）A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．22(3)(4)25x y ++-=D ．()()22345x y ++-=【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是.【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点(2,0),(2,2)--且圆心在直线:0l x y +=上的圆的标准方程为.【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点()()()120,01,33,1O M M ---､､的圆的标准方程是.考点二：点与圆的位置关系例2.（23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知()14,9P ，()26,3P 两点，以线段12PP为直径的圆为圆P ，则（）A ．()6,9M 在圆P 上B ．()3,3N 在圆P 内C ．()5,3Q 在圆P 内D ．()2,7R 在圆P 外【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点(,10)P a ，圆的标准方程为()()221112x y -+-=，则点P （）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．与a 的取值有关【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点(),3A a 在圆()22:15C x y +-=外，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1-【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线2y x k =+与y x =-的交点在圆228x y +=的内部，则实数k 的取值范围是（）A ．11k -<<B ．2<<2k -C ．33k -<<D ．k <考点三：与圆有关的最值问题例3.（23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数x y ，满足221x y +=，则()()2234x y -+-的最大值是（）A ．5B ．6C ．25D ．36【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知P 为圆22(3)(4)4x y -+-=上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值为.【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆C :()()22124x y ++-=，点()2,0A -，()2,0B .设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．考点四：与圆有关的对称问题例4.（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线()()22124x y -+-=上相异两点P 、Q 关于直线20kx y --=对称，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆M ：()2211x y ++=与圆N ：()()22231x y -+-=关于直线l 对称，则l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆()()22:112C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的方程为（）A ．()2222x y -+=B ．()2222x y ++=C ．()2222x y +-=D ．()2212x y ++=一、单选题1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为()1,0，半径为2的圆的方程是（）A ．()2212x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2214x y -+=D ．()2214x y ++=2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆M 经过点()()0,20,4,，且圆心M 在直线210x y --=上，则圆M 的面积为（）A ．2πB 5πC ．4πD ．5π3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆22:(2)(1)1M x y -+-=与圆N 关于直线0x y -=对称，则圆N 的方程为（）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(2)(1)1x y -++=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(1)(2)1x y -+-=4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点(,3)P m 与圆()()22212x y -+-=的位置关系为（）A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值无关5．（2023高二上·全国·专题练习）点(1,1)--在圆22()()4x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（）A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a <-或1a >D ．1a =±6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆C 经过点()0,0A 、()2,0B ，ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为（）A ．()()22114x y -+-=B ．()()22112x y -++=C ．()()22112x y -+-=D ．()()22125x y -+-=8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆k C ：()()()224R x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．所有圆k C 的半径均为2B ．所有的圆kC 的圆心恒在直线y x =上C ．当2k =时，点()3,0在圆k C 上D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个三、填空题9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆222430x y x y +-++=有相同圆心，且过点()4,2-的圆的标准方程是.10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆221:(1)9C x y -+=和圆222:(3)(2)9C x y +++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知,x y 满足22(1)(2)16x y -+-=，则22x y +的取值范围是.四、解答题12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知A 关于直线y x =对称，点()0,0O ，()4,0N 都在A 上.(1)求线段ON 垂直平分线的方程；(2)求A 的标准方程13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C 的圆经过()0,0O ，(0,A 两点，且圆心C 在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA +的取值范围．。
高二数学圆的方程解题技巧
高二数学圆的方程解题技巧
在高二数学中，圆的方程解题是一个非常重要的知识点。
掌握好圆的方程解题技巧，可以帮助我们快速准确地解决各种与圆相关的问题。
以下是一些常用的圆的方程解题技巧：
1. 圆的标准方程：(x-a) + (y-b) = r。
其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
通过圆的标准方程，我们可以快速确定圆的位置、半径等信息。
2. 圆的一般方程：x + y + Dx + Ey + F = 0。
通过圆的一般方程，我们可以确定圆心坐标和半径大小。
3. 圆的截距方程：x + y = r。
通过圆的截距方程，我们可以快速确定圆心在原点的情况下的半径大小。
4. 圆的切线方程：对于圆(x-a) + (y-b) = r，它在点(P,Q)处的切线方程为(x-a)P + (y-b)Q = r。
5. 圆的判别式：对于一般方程x + y + Dx + Ey + F = 0，它表示的圆的判别式为D + E - 4F > 0时，圆存在；D + E - 4F = 0时，圆与直线相切；D + E - 4F < 0时，圆不存在。
总之，掌握好圆的方程解题技巧，可以帮助我们更好地理解圆的性质，准确地解决各种与圆相关的问题。
- 1 -。
高二数学必修二专题：圆的方程(一)
| AB |
。
训练三：已知：直线 l 与圆 C 的方程：x2 y2 2x 4 y 2 0 相交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点 M (0,0) ，则 | AB |
。
：计算弦长的最值。
训练一：2020 年高考文科数学新课标Ⅰ卷第 6 题：已知圆 x2 y2 6x 0 ，过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的
判断：直线 l 与圆 C 的位置关系。 解法设计：第一步：计算圆心 C(a, b) 到直线 l ： Ax By C 0 的距离： d | Aa Bb C | 。
A2 B2
第二步：判断圆心到直线的距离 d 与半径 r 大小关系。 ①当 d r 时：直线 l 与圆 C 相离； ②当 d r 时：直线 l 与圆 C 相切； ③当 d r 时：直线 l 与圆 C 相交。
：判断下列直线 l 与圆 C 的位置关系。 （Ⅰ）直线 l 的方程： y x 1，圆 C 的方程： (x 5)2 y2 1。
（Ⅱ）直线 l 的方程： 3x 4 y 3 0 ，圆 C 的方程： x2 y2 2x 2 y 2 0 。
（Ⅲ）直线 l 的方程： y 1 x ，圆 C 的方程： (x 2)2 ( y 1)2 16 。 2
(1 k 2 )x2 [2k(m b) 2a]x [a2 (m b)2 r 2 ] 0 。
计算判别式 [2k(m b) 2a]2 4 (1 k 2 ) [a2 (m b)2 r 2 ] 。
①当 0 时：直线 l 与圆 C 有两个公共点 直线 l 与圆 C 相交； ②当 0 时：直线 l 与圆 C 有一个公共点 直线 l 与圆 C 相切； ③当 0 时：直线 l 与圆 C 没有公共点 直线 l 与圆 C 相离。
第一部分：圆的两类方程
高二同步课程数学讲义：圆的方程【学生版】
高二同步课程数学讲义“圆的方程”圆的方程是在学生掌握了求曲线方程方法的基础上进一步研究的，属于高中数学解析几何的基础知识，是研究二次曲线的开始，具有承前启后的作用，故学好本章节就是为后续的解析几何的学习打下坚实基础。
本章节将注重下述几点进行教学：1．圆的一般方程于与圆的标准方程的转化问题使学生掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径，能运用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。
2．配方法、待定系数法解决圆的方程的实际问题配方法和待定系数法在解析几何中有着极其关键的作用，本章节将会通过训练学生熟练使用配方法和待定系数法，进而为之后的学习扎实根基。
1．求圆心在直线l:x+y=0上，且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程。
2.ABC三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5)，求其外接圆的方程。
知识点一：圆的标准方程✧ 1：圆心为（a,b ）,半径为r 的圆的方程为（x-a ）²+（y-b ）²=r ²（r>0） *特别地，圆心在原点，半径为r 的圆的方程为x ²+y ²=r ² 确定圆需要两个独立的条件：①圆心坐标（a,b ）②半径r ✧ 2：点与圆的位置关系已知点M （x0，y0）及圆C ：（x-a ）²+（y-b ）²=r ²（r>0） ① 点M 在圆C 外 ↔ |CM|>r ↔ （x0-a ）²+（y0-b ）²>r ² ② 点M 在圆C 内 ↔ |CM|<r ↔ （x0-a ）²+（y0-b ）²<r ² ③ 点M 在圆C 上 ↔ |CM|=r ↔ （x0-a ）²+（y0-b ）²=r ²知识点二：圆的一般方程✧ 1：圆的一般方程：方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0当D ²+E ²-4F>0时，表示圆的方程，圆心坐标为（2D -，2E -）， 当D ²+E ²-4F=0时，表示点（2D -，2E-） 当D ²+E ²-4F<0时，不表示任何图形。
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讲义:圆与方程
圆得标准方程与一般方程
1、圆得标准方程:222
()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222
x y r +=。
2、圆得一般方程:()
2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->
(1)当22
40D E F +->时,表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、
特点:(1)①2x 与2
y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项
(2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了
(3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+
当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为
200))(())((r b y b y a x a x =--+--
典型例题
例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。
例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。
例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、
例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。
例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。
巩固练习:
1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( )
A.22(2)5x y -+=
B.22(2)5x y +-=
C.22(2)(2)5x y +++=
D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x
3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、
4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。
5、求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x ―2y ―2=0上得圆得方程;
直线与圆、圆与圆得关系
1、点与圆得位置关系:
设圆得标准方程222
()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,将M 带入圆得标准方程,
结果>r 2在外,<r 2在内、
判断点P 在圆上、圆内、圆外得依据就是比较点P 到圆心得距离d 与半径r 得大小关系: d >r ⇔点P 在圆外;即点P ),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-外得条件就是22020)()(r b y a x >-+-;
d =r ⇔点P 在圆上;在圆22)()(b y a x -+-=2r 上得条件就是22020)()(r b y a x =-+-;
d <r ⇔点P 在圆内;在圆222)()(r b y a x =-+-内得条件就是22020)()(r b y a x <-+-。
2、直线与圆得位置关系:
①代数法:由方程组⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ,得)0(022≠=++m p nx mx ,mp n 42-=∆
0>∆方程组有两解
0=∆方程组有一解
0<∆方程组无解
②几何法: 直线与圆相交
r d <
直线与圆相切
r d =
直线与圆相离
r d >
3、圆与圆得位置关系:几何角度判断(圆心距与半径与差得关系)
(1)相离1212C C r r ⇔>+; (2)外切1212C C r r ⇔=+; (3)相交121212r r C C r r ⇔-<<+;
(4)内切1212C C r r ⇔=-; (5)内含1212C C r r ⇔<-、
例1、设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2=m 得位置关系为( )
A 、相切
B 、相交
C 、相切或相离
D 、相交或相切 例2、圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得得弦长等于( )
A 、6
B 、
225 C 、1 D 、5 例3、已知圆C :(x －1)2＋(y －2)2＝25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y －7m －4=0(m ∈R )、
证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点。
巩固练习:
1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 得弦AB 得中点,则直线AB 得方程就是( )
A 、 03=--y x
B 、 032=-+y x
C 、 01=-+y x
D 、 052=--y x
2、圆012222=+--+y x y x 上得点到直线2=-y x 得距离最大值就是( )
A.2
B.21+
C.2
21+ D.221+
3、若经过点(1,0)P -得直线与圆03242
2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上得截距
就是 __________________、
4、点(),P a b 在直线01=++y x 上,求22222+--+b a b a 得最小值。
5、已知圆C 与y 轴相切,圆心在直线03=-y x 上,且被直线x y =截得得弦长为72,求圆C 得方程。
课后作业
1、若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 得方程就是( )
A.x+y=0
B.x+y-2=0
C.x-y-2=0
D.x-y+2=0
2、圆x 2+y 2+6x-7=0与圆x 2+y 2
+6y-27=0得位置关系就是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D.内含
3、点(1,1)P -到直线10x y -+=得距离就是________________
4、 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称,则2l 得方程为__________;
若3l 与1l 关于x 轴对称,则3l 得方程为_________;
若4l 与1l 关于x y =对称,则4l 得方程为___________;
5、若方程22
0x y x y m +-++=表示一个圆,则m 得取值范就是: ____________、
6、圆心在直线270x y --=上得圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 得方程为 、
7、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 得交点且平行于直线032=-+y x 得直线方程 8、求过点()1,2A 与()1,10B 且与直线012=--y x 相切得圆得方程。