高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提高)电子版本

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新高考高中数学名师预测考前押题精品直线与圆的方程(选择与填空)(解析版)

精选16 直线与圆的方程（选择与填空）1．涉及直线被圆截得的弦长问题的两种求解方法：（1）利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；（2）若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-. 2．求两圆公共弦长的两种方法：（1）联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；（2）求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题. 3．两圆相交时公共弦所在直线的方程：设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D 1－D 2）x +（E 1－E 2）y +F 1－F 2=0 ③．方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程． 4．距离公式：（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2| （2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．一、单选题1．直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，所以直线l 与圆相交，故选A ．2．直线过点()0,2P ，且截圆224x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为A ．32± B ．C ．±D ．【答案】C【解析】设所求直线方程为2y kx =+，即20kx y -+=，∴圆心到直线的距离d =，2∴==，解得k =．故选C ．3．已知点)P和圆C ：224x y +=，则过点P 且与圆C 相切的直线方程是A 4y -=B 4y +=C ．4x -=D ．4x =【答案】B【解析】可知)P在圆上，则PC k =，所以切线方程为1y x -=4y +=．故选B ． 4．若直线:10l x y -+=与圆22210x y ay +--=相切，则实数a = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】()222222101x y ay x y a a +--=⇒+-=+，所以圆心为()0,a ，半径r :10l x y -+=与圆()2221x y a a -=++相切，=，解得1a =-．故选A.5．已知()0,0A ，()1,1B ，直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，则直线l 的方程为A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为()0,0A ，()1,1B ，所以直线AB 的斜率为10110-=-，因为直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，所以直线l 的方程为01(2)y x -=⋅-，即20x y --=，故选A ．6．若直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是 A ．1 B ．1- C ．4D ．4-【答案】B【解析】直线210ax y ++=的斜率为2a-，直线220x y +-=的斜率为2-，因为直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，所以()2112a a ⎛⎫-⨯-=-⇒=- ⎪⎝⎭，故选B ．7．若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为 A ．()()22212x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++=【答案】B【解析】设圆的半径为r ，圆心到直线10x y --=的距离d ==∴==，解得24r =，∴圆的方程为()()22214x y -++=．故选B ．8．过点()0,1P 的直线l 与圆()()22111x y -+-=相交于A ，B 两点，若该直线的斜率为1，则AB =A ．1BCD ．2【答案】B【解析】由题意可得直线l 的方程为1y x =+，圆()()22111x y -+-=的圆心()1,1，半径1r =，圆心()1,1到直线1y x =+的距离为d ==所以弦长22AB ===⨯= B. 9．已知过点()2,4M -的直线l 与圆C ：()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，则实数a 的值为A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】D【解析】因为点()2,4M -满足圆()()22125x y -++=的方程，所以M 在圆上，又过点()2,4M -的直线与圆()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，所以切点与圆心连线与直线230ax y -+=平行，所以直线230ax y -+=的斜率为422221a -+==--，所以4a =-，故选D. 10．已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，若12l l //，则a 的值为 A ．7- B ．1- C ．7-或1-D ．2-或4【答案】A【解析】已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，且12l l //，则()()()()35883253a a a a ⎧++=⎪⎨+≠-⎪⎩，解得7a =-．故选A ．【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直：已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=．（1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠；（2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．11．若函数()f x x m =-有零点，则实数m 的取值范围是A ．⎡-⎣B ．4,⎡⎣C ．[]4,4-D ．4,⎡-⎣【答案】D【解析】由题意可知，若()f x x m =-有零点，则只需满足直线y x m =+与曲线y =当直线y x m =+4=，得m =y x m =+过点A 时，4m =-，故4m -≤≤D ．【名师点睛】解答根据函数有零点求参数的取值范围的问题时，可采用数形结合法，将问题转化为()()f x g x =有解，分别画出函数()f x 和()g x 的图象，根据图象的位置变化确定参数的取值范围．12．已知直线1l ：230ax y +-=，2l ：()310x a y a ++-=，若12l l ⊥．则a 的值为 A ．25- B ．25C ．1D ．-2【答案】A 【解析】12l l ⊥，显然两直线的斜率存在且都不为0，312+1a a ⎛⎫⎛⎫∴-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25a =-．故选A ． 13．圆22420x y x y ++-=和圆22230x y x +--=交于A 、B 两点，则相交弦AB 的垂直平分线的方程为 A ．6230x y -+= B ．310x y +-= C ．2230x y -+=D ．310--=x y【答案】B【解析】由两圆的方程可得两圆的圆心分别为()()2,1,1,0,M N - 两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心,M N 的直线方程，由直线方程的两点式得到直线MN 的方程为120112y x -+=-+，整理得310x y +-=，故选B ． 14．若点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为d ，则d 的最大值是A ．2+B ．2C ．2-D ．2+【答案】A【解析】点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为cos sin 224d πθθθ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时max 22d == A.15．圆1C ：22430x y x +-+=与圆2C ：()()2214x y a ++-=外切，则实数a 的值为 A ．4 B ．16 C ．8D ．12【答案】B【解析】将圆22430x y x +-+=化为标准方程为()2221x y -+=，故圆1C 的圆心为()2,0，半径为1；圆2C 的圆心为()1,4-1=+16a =．故选B ．16．已知P 为圆22:1O x y +=上一个动点，O 为坐标原点，过点P 作圆O 的切线与圆221:28190O x y x y +---=相交于两点,A B ，则||AB 最小值是A 1B 1C ．2D ．2【答案】C【解析】由图象可知，当1O P AB ⊥时，且1O P 最大时，||AB 可取得最小值，()()22221:281901436O x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆心()11,6O ，半径16r =，而22:1O x y +=，圆心()0,0，半径1r =，又1OO ==1max 1O P =，在1Rt PO B 中，111,6O P O B ==，1PB ∴===，min 22AB PB ∴==．故选C.17．设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是A ．5[,)2+∞ B ．[,)2+∞C ．D ．5[,5)2【答案】C【解析】如图所示：222(0)x y r r +=>上存在点N 使得3OMN π∠=，则OMN ∠的最大值大于或者等于3π时，一定存在点N 使得3OMN π∠=，当MN 与圆相切时，OMN ∠取得最大值，此时，5OM =，sin 52ON ON OMN OM∠==≥，解得2ON ≥，即2r ≥，又(3,4)M 在圆外，22234r ∴+>，解得5r <，综上所述：52r ≤<．故选C ．18．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知(0,0),(3,0)O A ，动点(,)P x y 满足2PA PO=，则动点P 轨迹与圆22(1)1x y -+=位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，表示圆心为(1,0)-，半径为2R =的圆，圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)为圆心，1r =为半径的圆，两圆的圆心距为2，满足2R r R r -<<+，所以两个圆相交．故选C ．19．已知动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(2,)P n ，且(5,0)Q 到动直线l的最大距离为3，则22c a c+的最小值为A ．92B ．94C ．3D ．9【答案】C【解析】因为:20l ax by c ++-=恒过点(2,)P n ，所以220a bn c ++-=，因为(5,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，所以||3PQ =，所以22(25)9n -+=，得0n =，所以22a c +=，0,0a c >>，所以22c a c +22c a c a c +=+21132c a a c =++≥=，当且仅当1,12a c ==时，等号成立．故选C20．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是 A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤ D ．46m ≤≤【答案】B【解析】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =，设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =，以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得P A ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有25m -≤且25m +≥，即37m ≤≤，又0,37m m >∴≤≤，故选B ．21．已知圆C ：()()22122x y -+-=和点()00P x ,，若圆C 上存在两点,A B 使得3APB π∠=，则实数0x 的取值范围是A ．[]3,1-B ．[13]-,C ．[2,3]-D ．[2,4]-【答案】B【解析】圆C ：()()22122x y -+-=，圆心(1,2)C，半径r =由图可知，当PA 和PB 与圆C 相切时，APB ∠最大，要使圆C 上存在两点,A B ，使得3APB π∠=，则6APC π∠≥，sin6PC ∴≤=≤解得013x -≤≤，故选B．22．若关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，则实数k 的取值范围是A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，所以函数(1)3yk x =-+与函数y =(1)3yk x =-+与半圆y =直线(1)3y k x =-+经过定点(1,3)M ，当直线(1)3y k x =-+与半圆y =A1=，解得43k =，当直线(1)3y k x =-+经过点(1,0)B -时，32k，所以满足函数(1)3y k x =-+与函数y =的图象恰有两个交点的k 的范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦．故选B 23．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小，进而只需PC 取最小即可．由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=．即四边形PACB 面积的最小值为2．故选B ．24．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是 A ．9 B ．4 C ．12D ．14【答案】D【解析】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3．因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选D ． 25．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于A ．8B ．4C ．24D ．16【答案】A【解析】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =PAOB 的面积的最小值为8=．故选A ．26．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为A B ．CD ．【答案】B【解析】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌，所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又PA ==所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离，所以min 3PC ==，所以min PA =，所以四边形PACB 面积的最小值2S PA == B.27．已知圆C 的方程为222610x y x y +-++=，点P 在圆C 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值为A ．3B 3C ．3-D ．2【答案】B【解析】化简得圆C 的标准方程为()()22139x y -++=，故圆心是()1,3C -，半径3r =，则连接线段OC ，交圆于点P 时||OP 最小，因为原点到圆心的距离OC =||3OP OC r =-=．故选B ．28．已知圆O 的半径为3，且经过点()5,12P ，若点C 的坐标为(),a b 小值为 A ．5 B ．7 C ．9D ．10【答案】D3=，即()()225129a b -+-=，所以点(),C a b 在以()5,12P 为圆心，3为半径的圆上．表示点(),a b 到原点的距离，3310PO -=-=．故选D ． 29．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A ．72B ．4C ．1D ．5【答案】C【解析】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =．由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+，即3=，所以，2249a b +=，所以，2222221114155199a b a b b a ⎛⎛⎫+=++≥⨯+=⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b+的最小值为1．故选C ．二、多选题30．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．12D ．0【答案】AD【解析】因为圆22240x y x y +--=的圆心为(1,2)，所以圆心(1,2)到直线0x y a -+=2=，所以0a =或2a =．故选AD ．31．已知圆C ：()()223372x y -+-=，若直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m = A ．2 B ．4 C ．6D ．10【答案】AD【解析】因为直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离等于半径的13．由题意圆心为(3,3)C ，半径为r ==2m =或10m =．故选AD ．32．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的可能取值是 A ．－3 B ．3 C ．0D ．12【答案】CD【解析】由题意过点(2,0)有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则点(2,0)在圆外，即222210m -⨯++>，解得1m >-，由方程222210x y x y m +-+++=表示圆，则22(2)24(1)0m -+-+>，解得1m <，综上，实数m 的取值范围是(1,1)-．即实数m 取值范围是0，12．故选CD ． 33．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则A ．PQ 的最小值为0B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --= 【答案】BC【解析】由已知1(0,0)C ，半径为1r =，圆2C 标准方程为22(3)(4)1x y -++=，2(3,4)C -，1R =，则125C C =，所以min 5113PQ =--=，A 错；max 5117PQ =++=，B 正确；4433PQ k -==-，C 正确；又12C C R r >+，两圆相离，不相交，D 错．故选BC ．【名师点睛】本题考查两圆的位置关系，判断两圆12,C C 的位置关系，一般通过圆心距d 与两圆半径,R r 的关系判断．d R r >+⇔相离，d R r =+⇔外切，R r d R r -<<+⇔相交，d R r =-⇔内切，d R r <-⇔内含．34．已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点 C ．圆心C 到直线lD ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=．【答案】BCD【解析】圆心坐标为(1,0)C ，代入直线l 得10m m +-=，无解，所以不论m 为何值，圆心都不在直线l 上，A 错；直线l 方程整理为(1)210m x y y +-++=，由10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l 过定点11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又12MC ==<，M 在圆C 内部，所以直线与圆相交，B 正确；设直线l 与圆相交于,A B 两点，弦AB 中点为N ，则CN AB ⊥，CN 为C 到直线AB 的距离，显然CN CM ≤，,N M重合时取等号．MC =C 正确；1m =时直线l 方程为0x y -=，(1,0)C 关于l 的对称点为(0,1)，因此对称圆方程为22(1)1y x +-=，D 正确．故选BCD ．35．圆221:(2cos )(2sin )1C x y θθ-+-=与圆222:1C x y +=，下列说法正确的是A ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切B ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线 C ．当6πθ=时，圆1C被直线10l y --=D ．P ，Q 分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则PQ 的最大值为4 【答案】ACD【解析】由已知1(2cos ,2sin )C θθ，2(0,0)C，122C C ==等于两圆半径之和，两圆始终相切，A 正确，B 错误；6πθ=时，1C ，1C 到已知直线l的距离为12d ==，则弦长为=，C 正确；由于122C C =，所以12max 114PQ C C =++=，12,,,P C C Q 共线时最大值．D 正确．故选ACD ．36．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2221221x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．2D ．0【答案】BD【解析】设点(),M x y ，则()()1,,1,MA MB x y x y =---=-+-，所以()()2113MA MB x x y =⋅---++=，所以M 的轨迹方程为224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，由此可知圆()()2221221x a y a -++--=与224x y +=有公共点，又圆()()2221221x a y a -++--=的圆心为()21,22a a -+，半径为1，所以13≤≤，解得112a -≤≤．故选BD ． 37．如图，直线12,l l 相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到12,l l 的距离，则称（x ，y ）为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是A ．距离坐标为（0，0）的点有1个B ．距离坐标为（0，1）的点有2个C ．距离坐标为（1，2）的点有4个D ．距离坐标为（x ，x ）的点在一条直线上【答案】ABC【解析】对于A ，若距离坐标为（0，0)，即P 到两条直线的距离都为0，P 为两直线的交点，即距离坐标为（0，0)的点只有1个，A 正确，对于B ，若距离坐标为(0，1)，即P 到直线1l 的距离为0，到直线2l 的距离为1，P 在直线1l 上，到直线2l 的距离为1，符合条件的点有2个，B 正确，对于C ，若距离坐标为（1，2)，即P 到直线1l 的距离为1，到直线2l 的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线1l 相距为2的两条平行线和与直线2l 相距为1的两条平行线的交点，C 正确，对于D ，若距离坐标为（x ，x )，即P 到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x ，x )的点在2条相互垂直的直线上，D 错误，故选ABC38．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C - ，()2,0D - ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则下面说法正确的是A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32πB ．CB 与BA 的公切线方程为10x y +--=C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为0x y -=D ．用直线y x =截CD 所在的圆，所得的弦长为2【答案】BC【解析】连BC 交y 轴于点Q ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点C 作CM x ⊥轴于M ，各段圆弧所在圆的方程分别为CD ：()2211x y ++=；CB ：()2211x y +-=；BA ：()2211x y -+=；由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，所以围成的面积等于22242ππ⨯++=π+，故A 错误；易知直线QN ：1y x =-+，公切线l 平行于NQ ，且两直线间的距离为1，设直线l ：()0y x b b =-+>1=，解得1b =+，所以直线l ：10x y +-=，故B 正确；将AB 所在圆与CB 所在圆方程相减，得交点弦方程为0x y -=，故C 正确；圆心()1,0-到直线y x =的距离为d =，所以弦长为=故D 错误．故选BC.39．下列说法正确的是A ．直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点(3,3)--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -=的距离等于1C ．若圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，则4m =D ．若已知圆C ：224x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点（点P 在圆C 外），过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD 【解析】对于A ，将(3)4330m x y m ++-+=化为(3)3430x m x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3-，故A 不正确；对于B ，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离1d ==，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+=的距离等于1，故B 正确；对于C ，因为圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，所以两圆外切，因为1(1,0)C -，半径11r =，2(2,4)C ，半径2r =所以12||5C C ==，所以15=，解得4m =，故C 正确；对于D ，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1010(,)PA x x y y =--，11(,)CA x y =，因为PA CA⊥，所以101101()()0PA CA x x x y y y ⋅=-+-=，所以220101114x x y y x y +=+=，同理02024x x y y +=，所以直线AB 的方程为004x x y y +=，又00142x y +=，所以0042x y =-，所以00(42)4y x y y -+=，即044(2)x x y y -=-，由44020x x y -=⎧⎨-=⎩得1,2x y ==，所以直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确．故选BCD40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是 A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【解析】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为=4，而3∈﹣4+4]，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |=，又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．故选ABD ． 41．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43r a =B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内【答案】AD【解析】设(),P x y ，所以PA PB ==，因为PA PB λ=，所以PA ==()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭, A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径22413a ar λλ==-，故正确； B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆为222x y a +=，阿波罗尼斯圆为 22251639a x a y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心距为53a ，两半径之和为73a ，两半径之差的绝对值为13a ，不相切，故错误；C ．当01λ<<时，圆心的横坐标为()22212111aa a λλλ+⎛⎫=+< ⎪--⎝⎭，所以点B 在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误； D ．当1λ>时，点A与圆心的距离()22222122111aa aa r λλλλλλ++=>=---，在阿波罗尼斯圆外，点B与圆心的距离()2222122111aa aa r λλλλλ+-=<=---，在圆内，故正确；故选AD ．42．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为 A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=【答案】AD【解析】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离1d ==>，又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-，因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又OA ==，OB ==，OC ==由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，，则圆的方程为2237x y +=．故选AD ．【名师点睛】解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果．43．“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线C ．PAB △的面积最大值为12D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = 【答案】ABC【解析】在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足||1||2PA PB =，设(,)P x y 12=，化简可得22(4)16x y ++=，故A 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，可得射线PO 是APB ∠的平分线，故B正确；因为||6AB =，而P 在圆22(4)16x y ++=上，所以P 到AB 的最大距离为4，所以PAB△的面积最大值为164122S =⨯⨯=，故C 正确；若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y ，=化简可得221616033x y x +++=，联立2280x y x ++=，可得方程组无解，故不存在M ，故D 错误．故选ABC【名师点睛】求平面上点的轨迹方程的一般步骤：建系，设点，建立方程，代入坐标化简方程；根据这一过程可求出满足12PA PB =的点P 的轨迹方程，圆上的动点到直径的距离的最大值即为半径，可求出该题中三角形面积的最大． 44．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是A ．数列{}n x 的通项为1n n x n =+ B ．数列{}n y的通项为1n y n =+C ．当3n >时，13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅>Dn nxy < 【答案】ABD【解析】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=，得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=，则由0∆=，即()()222222410n n n k nk k ∆=--+=，得n k =（负值舍去）所以可得211n n n n k n x k n -==++，()1n n n y k x =+=AB 对；= 因为22441n n >-，则2211421n n n -<+，即()222121421n n n n --<+，所以212n n -<135211321242n n x x x x n --⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯<=C 错；因为n n x y ==()f x x x =，()1f x x =-'．可得()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，可知x x <在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．4π≤<．< 故D 正确．故选ABD. 三、填空题45．直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为____________．【答案】【解析】224x y +=的圆心坐标为()0,0，圆心到直线3450x y ++=的距离1d ==，则直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为==46．直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是____________．【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l的距离2d ==，所以AB ==所以1112222ABC S AB d =⋅==△，故答案为12. 47．已知两点()1,0M -，()1,0N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是____________．【答案】[]5,5-【解析】因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，所以以MN 为直径的圆与直线340x y m -+=有公共点，2MN =，MN 中点为(0,0)O ，1≤，解得55m -≤≤．故答案为[5,5]-．48．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 、()4,0B ．若直线:0l x y m -+=上存在点P使得PB PA =，则实数m 的取值范围是____________．【答案】[]4,4-【解析】设点(),P x y，由于PB PA ==化简可得228x y +=，由题意可知，直线l 与圆228x y +=有公共点，≤解得44m -≤≤．因此，实数m 的取值范围是[]4,4-．故答案为[]4,4-．49．若直线1:26l x ay C +-=与直线()()2:150l x a y a +-++=平行，则实数a =_________．【答案】2【解析】由题意2(1)0a a --=，解得2a =，2a =时，两直线方程分别为2260x y +-=和70x y ++=，平行．故答案为250．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =____________．【答案】32【解析】由方程可得圆C 1，C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+，()1,0-，半径都是1．如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得PQ =PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，12C C === 当32k 时，12C C 最小，得到PQ 最小，故答案是32．51．已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，若12l l ⊥，则a =_________．【答案】13-【解析】已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，且12l l ⊥，所以，()210a a ++=，解得13a =-．故答案为13-．【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直：已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=．（1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠；（2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．52．已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A 、B 两点（O 为坐标原点），且AOB 为等边三角形，则实数a =____________．【答案】【解析】因为OAB 是等边三角形，OA =所以圆心O 到直线AB 距离为d ==(0,0)O所以2d ==，解得a = 53．已知圆()()2245169x y -+-=，过点()1,1的直线交圆于A ，B 两点，则AB 的取值范围为____________．【答案】[]24,26【解析】由题意可知，该圆的圆心为(4,5)O ，因为22(14)(15)169-+-<，所以点(1,1)C 在圆O 内部，由圆的对称性可知，当(1,1)C 为弦AB 的中点时，弦AB 最短，且24AB ===，当弦AB 恰好为直径时，弦AB 最长，即26AB =，则[]24,26AB ∈，故答案为[]24,26.54．已知直线():120l kx y k k R -+-=∈，则点()5,0A 到l 的距离的最大值为_________．【解析】由题意，直线():120l kx y k k R -+-=∈，可化为直线的点斜式方程1(2)y k x -=-，可得直线l 过定点(2,1)P ，又由点()5,0A ，可得PA ==当直线l 与PA 所在的直线垂直时，此时点()5,0A 到l ．．55．已知圆()()22:215C x y -+-=及点()0,2B ，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，则PB PQ +的最小值为____________．【答案】【解析】如图所示：设点B 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),B x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2B '--，因为PB PB '=，所以 PB PQ +的最小值为B C r '-==.56．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =____________．【答案】1【解析】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d==l的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为1．57．关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m +=⎧⎨+-=⎩无解，则实数m =_________．【答案】1-【解析】因为关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩无解，所以直线280mx y +-=与直线2(3)0x m y m +--=平行，所以(3)220m m --⨯=且216m -≠-，解得1m =-．故答案为1-．【名师点睛】利用两直线平行求参数时，容易忽视条件1221A C A C ≠造成增解的情况． 58．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为____________．【答案】【解析】根据题意，圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0即x 2＋(y －3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离3cos302d r =︒=，32=，解得a =59．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年．已知O 是坐标原点，3OP =，若1(2M -，则线段PM 长的最小值是___________．【答案】2【解析】因为O 是坐标原点，3OP =，所以点P 在以坐标原点为圆心，3为半径的圆上，因为1OM ==，所以点M 在圆内，所以当,,O P M 共线，且,P M 在点O 的同侧时，PM 长的最小，此时3312PM OM =-=-=，所以线段PM 长的最小值为2,故答案为2.60．已知圆22(1)4x y -+=上一动点Q ，则点()2,3P --到点Q 的距离的最小值为___________．【答案】2【解析】由题意圆22(1)4x y -+=的圆心为()1,0，半径为2r，所以圆心与P=所以点()2,3P--到点Q的距离的最小值为2，故答案为2．61．已知圆C 与y 轴相切于点(P ，与x 轴正半轴交于两点A ，B ，30APB ∠=，则圆C 的方程为___________．【答案】()(2224x y -+-=【解析】连接PC AC BC 、、，因为30APB ∠=，所以圆心角60ACB ∠=， ACB △是等边三角形，作CD AB ⊥于D ，所以D 是AB 的中点，因为圆C 与y 轴相切于点(P ，所以PO DC ==所以=2AC PC =，所以(C ，所以圆的方程为()(2224x y -+-=．故答案为()(2224x y -+-=．62．已知点()3,0A ，()0,4B ，点P 在圆221x y +=上运动，则22||||PA PB +的最小值为___________．【答案】17【解析】设(),P x y ，则22||||PA PB +2222(3)(4)x y x y =-+++-223252(2)2524x y ⎡⎤⎛⎫=⨯-+--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若求()22min||||PA PB +，即求(),P x y 与3,22⎛⎫⎪⎝⎭距离的平方的最小值， 2222min511924d r ⎤⎤⎛⎫⎥⎥===-= ⎪⎥⎥⎝⎭⎦⎦，所以()22min925||||2251744PA PB ⎛⎫+=⨯-+= ⎪⎝⎭．故答案为17．63．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是____________．【答案】2【解析】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，1222PACB PACS SPA AC PA ==⨯⨯⨯==则当PC 取得最小值时，PACB S最小，点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，min PC ∴==()min 2PACB S∴==．故答案为2．64．已知两定点()()1,0,1,0A B -，如果平面内动点C满足条件CA =，则ABC S ∆的最大值是___________．【解析】设(),C x y，由CA =，=整理得 22410x y x +-+=，即()2223x y -+=所以12ABC AB S AB h ∆=⨯⨯（AB h 表示ABC 中AB 边上的高），显然()max AB h=ABC S ∆65．过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为_________．【答案】360xy +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-．在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=．所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -．由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <．OAB 的面积为()131111136966222k S k k k k ⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣．当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=．故答案为360x y +-=．【名师点睛】解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率k 有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率k 的取值范围的求解．66．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =____________．【答案】125【解析】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S aa >，234a =+=，，即()()4,04,0S L ∴-，．设方程为(0y kx mk =+≠），则三个圆心到该直线的距离分别为1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得240,21m k ==，则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =，故答案为 125．67．已知圆M ：()()22004x x y y -+-=，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，切点分别为P ，Q ，若3PNQ π∠=，则点M 到直线34250x y ++=的最小距离为___________．【答案】6【解析】如图所示，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，且3PNQ π∠=，可得在Rt MPN △中，6PNM π∠=，2PM =，所以4MN =，所以点M 的轨迹是以(3,4)N 为圆心，4为半径的圆，因为N 到直线34250x y ++=的距离10d ==，所以点M 到直线34250x y ++=的最小距离为1046-=．故答案为6．68．圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称，则12a b+的最小值是___________．【答案】3【解析】由已知得圆的圆心坐标为()1,2-，半径为2r，由于圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称，所以直线30(00)ax by a b --=>>，过圆心，所以23a b +=，00a b >>，，所以2133a b +=，00a b >>，，所以1212522233333533a b a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝+≥⎭+=，当且仅当2233a bb a=，即1a b ==时等号成立，故答案为3. 69．已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =___________；若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为___________．【答案】3【解析】圆的标准方程为222(1)()124a a x y a ++-=+-，因为圆关于直线40x y +=对称，所以圆心(1,)2a-在直线40x y +=上，所以8a =，圆半径3r ==，设圆心为C ，则(1,4)C -，所以MC =所以MA ===，故答案为370．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中()2,0A -，()2,0B ，(),P x y ，且满足PA =，则点P 的运动轨迹方程为___________，点P 到直线40x y +-=的最小距离为___________．【答案】()22632x y ++=。

高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系优化训练新人教B版必修101

| 2k 1 2 3k |
5
kx-y+2-3k=0, 由
=1, 得 k= 或 k=0,代入即可求得 .
k 2 ( 1) 2
12
答案： y=2 或 5x-12y+9=0
10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 ) 1.已知直线 l:ax-y-b=0, 圆 C:x2+y 2-2ax-2by=0,则 l 与 C 在同一坐标系中的图形只可能是 ( )
21
3
答案： D 2.已知直线 l 过点 (-2，0)，当直线 l 与圆 x2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是 ( )
A.( 2 2,2 2 )
B.( 2, 2 )
22
C.(
,)
44
11 D.( , )
88
解析：圆 x2+y 2=2x 可化为 (x-1)2+y 2=1, 当直线 l 的斜率不存在时 ,显然直线与圆不相交 ,不合题
C.x- 3 y +4=0
D.x- 3 y +2=0
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
解：点 P(1,3)在圆 x2+y 2-4x=0 上 ,所以点 P 为切点 , 从而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .
03
3
又因为圆心为 (2,0),所以
· k=-1,解得 k= ,所以切线方程为 x- 3 y+2=0.
2m 1
由
m1
1
=2, 得 m=
21 13
3
,代入得 l 的方程为 2x-y-5=0.
4
5.已知圆 x2+y 2-6mx-2(m-1)y+10m 2-2m-24=0(m ∈ R). (1)求证：不论 m 为何值，圆心总在同一条直线 l 上 . (2)与 l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离 ? (3)求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等 . (1)证明 :将圆的方程配方得 (x-3m)2+［ y-(m-1)］ 2=25.

人教版高中数学必修二第三章直线与圆课后提升作业二十一 3.2.3 含解析

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课后提升作业二十一直线的一般式方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选A.因为直线的倾斜角为120°，所以直线的斜率k=-，即-=-，所以a=.【补偿训练】平面直角坐标系中，直线x+y+2=0的斜率为( ) A. B.- C. D.-【解析】选B.将直线化为斜截式y=-x-.故斜率为-.2.(2016·海淀高一检测)已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x-y+2=0平行，那么直线l的方程是( )A.2x-y-3=0B.x+2y-4=0C.2x-y-4=0D.x-2y-4=0【解析】选A.由题意可设所求的方程为2x-y+c=0，代入已知点 (2，1)，可得4-1+c=0，即c=-3，故所求直线的方程为2x-y-3=0.3.直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( )A.，B.-，-C.-，-D.，【解析】选C.根据斜率公式k=-=-，令x=0，则y=-，即在y轴上的截距为-.4.若三直线l1：2x+3y+8=0，l2：x-y-1=0，l3：x+ky+k+=0能围成三角形，则k不等于( )A. B.-2C.，-1D.，-1，-【解析】选 D.由得交点P(-1，-2)，若P在直线x+ky+k+=0上，则k=-，此时三条直线交于一点；k=时，直线l1与l3平行；k=-1时，直线l2与l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠-，和-1.5.(2016·杭州高一检测)已知直线l：ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.当截距都为0时，-2-a=0即a=-2；当截距都不为0即a ≠-2时，直线方程可变形为：+=1，由已知有=a+2，得a=1.6.(2016·北京高一检测)已知直线ax+by+c=0的图象如图，则( )A.若c>0，则a>0，b>0B.若c>0，则a<0，b>0C.若c<0，则a>0，b<0D.若c<0，则a>0，b>0【解析】选D.由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如题图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0.7.(2016·威海高一检测)直线l过点(-1，2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0【解析】选A.由直线l与直线2x-3y+4=0垂直，可知直线l的斜率是-，由点斜式可得直线l的方程为y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0.【补偿训练】过点(1，0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0【解析】选A.设所求直线的方程为x-2y+m=0，把点(1，0)代入，得m=-1，故选A.8.已知m≠0，直线ax+3my+2a=0在y轴上的截距为2，则直线的斜率为( )A.1B.-C.-D.2【解析】选A.令x=0，得y=-，因为直线在y轴上的截距为2，所以-=2，所以a=-3m，原直线化为-3mx+3my-6m=0，所以k=1.【延伸探究】把题中的“在y轴上的截距为2”改为“在两坐标轴上的截距之和为2”，则直线的斜率为( )A.1B.-C.-D.2【解析】选D.令x=0，得y=-，令y=0，得x=-2，因为在两坐标轴上的截距之和为2，所以-+(-2)=2，所以a=-6m，原直线化为-6mx+3my-12m=0，所以k=2.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016·广州高一检测)垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.【解析】设直线方程是4x+3y+d=0，分别令x=0和y=0，得直线在两坐标轴上的截距分别是-，-.所以6=××=.所以d=±12，则直线在x轴上的截距为3或-3.答案：3或-310.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m的取值范围是______________.【解题指南】求x，y的系数不同时为0的m值即可，即先求出x与y 的系数均为零时m的值，再取补集即可.【解析】由得m=1，故要使方程表示一条直线，需2m2+m-3与m2-m不同时为0，故m≠1.答案：m≠1三、解答题11.(10分)求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.【解析】方法一：由题意知：可设l的方程为3x-4y+m=0，则l在x轴，y轴上的截距分别为-，.由-+=1知，m=-12.所以直线l的方程为：3x-4y-12=0.方法二：设直线方程为+=1，由题意得解得所以直线l的方程为：+=1.即3x-4y-12=0.【补偿训练】(2016·大连高一检测)已知直线2x+(t-2)y+3-2t=0，分别根据下列条件，求t的值.(1)过点(1，1).(2)直线在y轴上的截距为-3.【解析】(1)因为直线2x+(t-2)y+3-2t=0过点(1，1)，所以2+(t-2)+3-2t=0，即t=3.(2)令x=0，得y==-3，解得t=.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。

高考数学培优专题08 直线与圆的方程

高考数学培优专题08 直线与圆的方程一、单选题1. ( 2分) （2020·新课标Ⅰ·文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. ( 2分) （2020高三上·石家庄月考）已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（）A. B. 2 C. D. 43. ( 2分) （2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.4. ( 2分) （2020·新课标Ⅰ·理）已知⊙M：，直线：，P为l 上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.5. ( 2分) （2020·吉林模拟）已知圆，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（）A. 或B.C. 或D.6. ( 2分) （2020·长春模拟）已知圆E的圆心在y轴上，且与圆的公共弦所在直线的方程为，则圆E的方程为（）A. B. C. D.7. ( 2分) （2020高三上·南昌月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，且，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.8. ( 2分) （2020·榆林模拟）已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（）A. B. 16 C. D.二、多选题9. ( 3分) （2020高二上·郓城月考）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A. 始终过定点B. 若，则或-3C. 若，则或2D. 当时，始终不过第三象限10. ( 3分) （2020·德州模拟）直线与圆C：相交于A、B两点,则AB 长度可能为（）A. 6B. 8C. 12D. 1611. ( 3分) （2020高二上·重庆期中）已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（）A. 两圆有两条公切线B. 直线的方程为C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为12. ( 3分) （2020高二上·重庆月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）A. 的方程为B. 在上存在点，使得到点的距离为3C. 在上存在点，使得D. 在上存在点，使得三、填空题13. ( 1分) （2020高三上·如东月考）过点且与直线平行的直线l被圆所截得的弦长为________．14. ( 1分) （2020高三上·宁波期中）已知圆：，线段在直线上运动，点是线段上任意一点，若圆上存在两点，，使得，则线段长度的最大值是________．15. ( 1分) （2020·丹阳模拟）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（﹣1，0），B （1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1）；（2）；（3）∥，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．16. ( 1分) （2020·邵阳模拟）已知为坐标原点，圆：，圆：．分别为圆和圆上的动点，则的最大值为________．四、解答题17. ( 5分) （2018·临川模拟）已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为(Ⅰ) 求圆的方程；(Ⅱ) 设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；18. ( 10分) （2019高三上·西城月考）已知点，点是圆上任意两个不同点，且满足，点是弦的中点.（1）求点的轨迹方程;（2）已知直线，若被所截得的线段长之比为，求的值19. ( 10分) （2020·东莞模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，，点P的轨迹为曲线M．（1）求曲线M的方程．（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程．20. ( 10分) （2020·泉州模拟）已知圆，直线与圆O相切于点A，直线垂直y轴于点B，且．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）直线与E相交于两点，若的面积是的面积的两倍，求直线的方程．21. ( 5分) （2020·辽宁模拟）已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.22. ( 15分) （2018·兴化模拟）已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点.（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得 ( 为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】【解答】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为.故答案为：B.【分析】根据直线和圆心与点连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.2.【答案】C【考点】点到直线的距离公式，圆的一般方程【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程，则圆心为，半径，则圆心到定点的距离为，最小值为.故答案为：C.【分析】先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求的最小值3.【答案】B【考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程，点与圆的位置关系【解析】【解答】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故答案为：B.【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.4.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系，圆系方程【解析】【解答】圆的方程可化为，点M到直线l的距离为，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故答案为：D.【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．5.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】由题意，圆，若直线上总存在点P，使得过点P 的圆C的两条切线互相垂直，如图所示，根据过点P的圆C的两条切线互相垂直，可得四边形APBC为正方形，所以，所以只需圆心到直线的距离，解得或.故答案为：A.【分析】直接利用直线和圆的位置关系，由于存在点P使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.6.【答案】C【考点】直线与圆相交的性质【解析】【解答】两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为，又圆的圆心为，半径为1，故，解得.故所求圆心为.直线截得所成弦长，圆心到直线的距离为，所以直线截得所求圆的弦长，解得.故圆心坐标为，半径为，故答案为：C.【分析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.7.【答案】C【考点】轨迹方程【解析】【解答】设，则，又，，，所以，即，因此，又，所以，即点的轨迹方程为；当时，；当时，；当时，；当时，；画出点对应的轨迹图形如下（四边形）：由解得，同理，又，，所以，，因此动点的轨迹长度为.故答案为：C.【分析】设，根据题中条件，得到，由，求出点的轨迹方程为，画出轨迹方程对应的图形，即可求出轨迹长度.8.【答案】C【考点】轨迹方程【解析】【解答】由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为.故选：C【分析】根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度.二、多选题9.【答案】A,C,D【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，直线的一般式方程与直线的平行关系，直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】【解答】：过点，A符合题意；当时，，重合，B不符合题意；由，得或2，C符合题意；：始终过，斜率为负，不会过第三象限，D符合题意.故答案为：ACD【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.10.【答案】B,C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线过定点,故圆的圆心到直线的距离的最大值为.又圆的半径为6,故弦长的最小值为. 又当直线过圆心时弦长取最大值为直径12,故.故答案为：BC【分析】先求得圆心到直线的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长的范围即可.11.【答案】A,D【考点】直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，A符合题意；对于B，因为圆，圆，两圆作差得即，所以直线的方程为，B不符合题意；对于C，圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以，C不符合题意；对于D，圆的圆心，半径为1，所以，D符合题意.故答案为：AD.【分析】根据题意由两圆的位置关系、两圆方程作差以及垂径定理和圆心之间的距离逐项判断即可得出结论。

专题09 直线和圆的方程(捷进提升篇)-2021年高考数学备考中等生百日捷进提升系列(原卷版)

中等生百日捷进提升篇第九章直线和圆两条直线的位置关系F 背一背重点知识F1.两直线平行fl 垂直C 13两条直线平行对于两条н重合的直线l 1, l 2 ，其斜率y 别为k 1, k 2 ，则有l 1 l 2 ⇔ k 1 = k 2 ，特别地，fi 直线l 1, l 2 的斜率都н 存在时， l 1 fl l 2 的关系为平行. C 23两条直线垂直ķ如果两条直线l 1, l 2 的斜率存在，设为k 1, k 2 ，则l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 ⋅ k 2 = -1.ĸ如果l 1, l 2 中有一条直线的斜率н存在，另一条直线的斜率为 0 时， l 1 fl l 2 的关系为垂直.2.两直线的交点⎧ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 直线l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 和l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的公共点的坐标fl 方程组⎨ A x + B y + C 的解一= 0 ⎩ 2 22一对应.相交⇔ 方程组有一个解，交点坐标就是方程组的解: 平行⇔ 方程组无解: 重合⇔ 方程组有无数解. 3.距离公式C 13两点间的距离公式平面k 任意两点 P (x , y ), P (x , y ) 间的距离公式为 P P =.1 1 12 2 2 1 2特别地，原点 O C 0,03fl 任一点 P C x,y 3的距离 OP =.C 23点到直线的距离公式0 0 A 2+ B 21 2A 2+ B2平面k 任意一点 P 0 (x 0 , y 0 ) 到直线l : A x + B y + C = 0 C A,B н同时为 03的距离为d = .C 33两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1 : A x + By + C 1 = 0 ， l 2 : A x + By + C 2 = 0 C 其中 A,B н同时为 0，且C 1 ≠ C 2 3间的距离d =.F 讲一讲提高技能F1. 必备技能:1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，н 记斜率н存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行y 析:h 可直接利用一般式套用两直线垂直fl 平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在C 即 y 的系数是否为 03. 3.求两条平行线间的距离有两种思路:C13利用“化fi”法将两条平行线的距离转化为一条直线k 任意一点到另一条直线的距离．C23直接应用两平行直线之间的距离公式.4.涉及两直线的交点问题，‰‰需借助于‰形，应用数形结合思想，探索解题思路，这h 是解析几何中y 析问题s 解决问题的重要特½.例 1 若直线ax + 2 y + 1 = 0 f l 直线 x + y - 2 = 0 互相垂直，那么a 的值等于.例 2 已知点 A C 1，33，B C 3，13，C C -1，03，则й角形 ABC 的面〟为．F 练一练提升能力F1. 如果直线 ax + (1 - b ) y + 5 = 0和(1 + a )x - y - b = 0 同时平行于直线 x - 2 y + 3 = 0 ，则 a , b 的值为C 3A ． a = - 11, b = 0 2B ． a = 2, b = 01 C ． a = , b = 02D ． a = - , b = 222. 设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x ，则被 y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是C 3A ．x+2y+3=0B ．x-2y+1=0r 2- d 2R 2- d 21+ k 2 1 + 1 k 2⎨ ⎩OABC ．3x-2y+1=0D ．x-2y-1=0直线与圆的位置关系F 背一背重点知识F1.直线fl 圆的位置关系位置关系有й种:相离s 相fls 相交.判断直线fl 圆的位置关系常见的有两种方法:C 13代数法:⎧∆ > 0 ⇔ 相交 ⇒ 弦长 AB =- x 1 2判别式∆ = b 2 - 4ac ⇒ ⎪∆ = 0 ⇔ 相fl .⎜∆ < 0 ⇔ 相离C 23几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系: d < r ⇔ 相交⇒ 弦长2d = r ⇔ 相fl ， d > r ⇔ 相离.F 讲一讲提高技能F必备技能: 1.如f ‰所示，涉及直线fl 圆相交及弦长的题，都在 Rt ∆AOB 中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.2.弦长的计算:方法一s 设圆的半径为 R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长l =2 . 方法二s 设直线的斜率为k ，直线fl 圆的交点坐标为 P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，则弦长PQ = x - x= y - y . 11 2例 1 直线l : x + 3 y - 4 = 0 fl 圆C : x 2+ y 2= 4 的位置关系是C 31+k 262 2 2A．相交B．相fl C．相离D．无法确定例2 圆x2 +y2 -4x + 4 y+6 = 0 截直线x -y -5 = 0 所得弦长为C )As Bs2Cs1 Ds5F练一练提升能力F1.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4C a>03，有直线l:x-y+ 3 = 0 ，fi直线l被圆C 截得弦长为2时，a 等于C 3A.-1B.2-C.D. +12.由直线y=x+1k的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引fl线，则fl线长的最小值为.C一3 选择题C12*5=60 y31. 已知直线l1 : ax +(a +1)y+1 = 0, l2 : x +ay +2 = 0 ，则“a =-2 ”是“l1 ⊥l2 ”的C 3A．充yн必要条件B．必要н充y条件C．充y必要条件D．既н充yhн必要条件2.如‰所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线㓿直线AB 反射后再射到直线OB k，最后㓿直线OB 反射后又回到P 点，则光线所㓿过的路程是( )A．2 B．6 C．3 D．23.已知圆C 的标准方程为x2 +y2 =1，直线l 的方程为y =k (x - 2) ，若直线l 和圆C 有公共点，5 23210 3 53 3 3 3 3 3 2则实数k 的取值范围是C3A ．[-, ] 2 2B ．[-, ] 3 3 C ．[- 1 , 1 ]2 2 D ．[-1,1]4. 直线kx - y + k = 0 fl 圆 x 2 + y 2- 2x = 0 有公共点，则实数k 的取值范围是A ．[-, ] 3 3B ． (-∞,-3 ] ⋃ [ 3 3,+∞) 3C．[- 3, 3]D ． (-∞,- 3]⋃[ 3,+∞)5. 已知点 A (2, 0) ， B (-2, 4) ，C (5,8) ，若线段 AB 和CD 有相同的垂直平y 线，则点 D 的坐标是C3CA3 (6, 7)CB3 (7, 6) CC3 (-5, -4) CD3 (-4, -5)6. 在平面直角坐标系中，点C 0，23fl 点C 4,03关于直线l 对ƒ，则直线l 的方程为 A ． x + 2 y - 4 = 0 B ． x - 2 y = 0 C ． 2 x - y - 3 = 0 D ． 2 x - y + 3 = 07. 圆 x 2 + y 2- 2x - 2 y = 0 k 的点到直线 x + y + 2 = 0 的距离最大为C 3A ．B ． 2C ． 3D ． 2 + 28. 已知直线l 过圆x 2 + ( y - 3)2= 4 的圆心，且fl 直线 x + y + 1 = 0 垂直，则l 的方程是 C3A. x + y - 2 = 0 C. x + y - 3 = 0B. x - y + 2 = 0 D. x - y + 3 = 02 229.已知直线kx-y+ 2k-1 = 0 恒过定点A，点A h在直线mx+ny+1 = 0 k，其中m s n均为正数，则1+2 m n的最小值为C 3A．2 B．4 C．6 D．810. 已知圆C : (x- 3)2+(y- 4)2= 1和两点A(-m, 0)，B(m, 0)(m> 0)，若圆C k存在点P，使得∠APB= 90 ，则m的最大值为C3A. 7B. 6C. 5D. 411.设点M(x ,1)，若在圆O:x2+y2=1k存在点N，使得∠OMN= 45︒，则x的取值范围是C3C A3[-1, -1] CB3 ⎡-1,1 ⎤CC3 ⎡- 2, 2 ⎤⎡ 2 2 ⎤CD3 -,⎢2 2 ⎥⎦ ⎣⎦⎢ 2 2 ⎥ ⎣⎦12.过点AC11，23作圆x2 +y2 +2x -4 y-164 =0 的弦，其中弦长为整数的共有C 3A．16 条B．17 条C．32 条D．34 条C二3 选择题C4*5=20 y313.若直线x +y =k fl曲线y =k 的取值范围是．14.已知直线x -y +a = 0 fl圆心为C 的圆x2 +y2 + 2x - 4 y - 4 = 0 相交于A，B两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为.15.已知l ,l 是曲线C : y =1的两条互相平行的fl线，则l fl l 的距离的最大值为.1 2 x 1 216.已知圆C : x2 +y2 =12 ，直线l : 4x +3 y= 25 ．圆C k任意一点A 到直线l 的距离小于2 的概率为．1-x2。

人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)(含答案解析)

二、多选题
18．一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为 .现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
19．已知曲线C的方程为，圆，则（）
A．C表示一条直线
B．当时，C与圆M有3个公共点
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1．D
【解析】
先把面积表示出来，判断出最小时，四边形的面积最小，从而求出当PC⊥直线时，求出，即可求得.
，，
又，所以，所以．
故选：C．
关键点点睛：本题考查圆上两动点与直线上动点间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点，把用表示，这样两动点转化为一个动点，求得点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可．
圆的圆心坐标为，
该圆心到原点的距离为，半径为，
要想圆上存在点，使得，
说明圆和圆有公共点，
因此有，因为，所以，
故选：B
关键点睛：把问题转化为两个圆有公共点是解题的关键.
8．C
【解析】
取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得．
设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上，
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)
一、单选题

高中数学圆与方程专题(压轴题训练)

圆与方程【知识梳理】 1、确定圆的要素 2、圆的标准方程和一般方程 3、直线和圆、圆与圆的位置关系 4、用解析方法解决几何问题【重难点问题】 1、求圆的方程 2、位置关系 3、求最值、范围 4、求轨迹 5、存在性问题 6、定切线，定圆，定点【典题讲练】【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________．【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________．【变】已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________．【拓1】已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为_______________．【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________．【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________．【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y 有公共点，则k 的取值范围为___________．【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．（2）曲线1x 与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53(,]124B ．78(,]243C ．8[,)3+∞D ．72(,)(,)243-∞+∞ （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(，0)(0⋃C ．[D ．(-∞，⋃，)+∞【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值．（1）yx；（2）14y x --；（3）736xy +；（4）y x -；（5）23x y +；（6）22x y +；（7）221014x x y y -+-．【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值．（1）14y x --；（2）23x y +；（3）221014x x y y -+-．（4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )A ．2B ．4C ．D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则32x x y ---的取值范围是( )A ．[1，4]B ．19[17，4]C ．[1，11]3D ．19[17，11]3（3）设点(,)P x y 是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0C ．3D ．6【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【变】（1）已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为____________．（2）过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．（3）已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为____________．（4）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2﹣2x ﹣2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为___________．（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(1,1)B -，点P 为圆22(4)4x y -+=上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆ 的面积分别为1S 和2S ，则12S S 的最小值是____________．【例7】（1）已知|M 1M 2|＝2，点M 与两定点M 1，M 2距离的比值是一个正数m ．试建立适当坐标系，求点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．（直接翻译）（2）已知点P 在圆221x y +=运动，点M 的坐标为(2,0)M ，Q 为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为_______________．（设坐标转移）（3）由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为_______________．（几何法）（4）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2﹣6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．（消参法）【练】（1）自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为____________．（2）已知3AB =，动点P 满足2PA PB =，那么PAB ∆的面积的最大值为_______________．（3）在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是_______________．（4）已知动圆P 与圆M ：（x ＋1）2＋y 2＝16相切，且经过M 内的定点N （1，0）．试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程．【拓】（1）过定点(3,2)P 任作一直线与圆2242110x y x y +---=相交于A 、B 两点，A 和B 两点处的切线相交于M ，求点M 的轨迹方程．（2）已知圆224x y +=，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若90PBQ ∠=︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为____________________．（3）已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是_______________．【练】在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A ．12[0,]5B ．[0，1]C ．12[1,]5D ．12(0,)5【变】（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:30l x y +-=和圆22:()8M x y m +-=，若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l的距离为，则实数m 的取值范围是_______________．（2）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是( ) A ．[3，7] B ．[4，6]C ．[3，6]D ．[4，7]（3）已知圆22:1O x y +=，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为_______________．（4）在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( ) A ．5B ．3CD．（5）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是_______________．22:()(4)1M x a y a -+-+=M P P O A B 60APB ∠=︒a【例9】已知当a R ∈且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是___________．【练】已知：正数m 取不同的数值时，方程222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．【变1】（1）已知直线2:2(1)440l mx m y m +---=，若对任意m R ∈，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为_______________．（2）当实数m 变化时，不在任何直线2mx ＋（1－m 2）y －4m －4＝0上的所有点（x ，y ）形成的图形的面积为_______________．【变2】无论a 如何变化直线sin cos 10x y αα++=总和一个定圆相切，则该定圆方程为_______________．【例10】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．48(,)99B ．24(,)99C ．(2,0)D ．(9,0)【变1】已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线 l 上，过P 点作圆M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ．（1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【变2】已知圆O 过点A (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆O 的方程；（2）若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为N （1，22），求四边形EGFH 的面积的最大值；（3）已知直线l ：y ＝12x －2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究直线CD 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．【变3】已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A （3，0），且与圆O 相切．（1）求直线l 1的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定点坐标．【家庭作业】1、过点(3,4)P -作圆22(1)2x y -+=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．210x y --=C ．220x y --=D ．220x y ++=2、圆C 的方程为221x y +=，(,2)P x ．过P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B 两点．则APB ∠最大为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3、已知直线1:360l x y +-=与圆心为(0,1)M ，半径为的圆相交于A ，B 两点，另一直线2:22330l kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．B ．C ．1)D ．1)4、在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( )A ．5B ．3CD ．5、已知关于x 2ax =-有且只有一个解，则实数a 的取值范围为_______________．6、已知实数x ，y 满足22430x x y -++=，则21x y x ++-的取值范围是_______________． 7、设圆22:(1)1C x y -+=，过点(1,0)-作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．8、在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R ∈，点(2,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围．9、设实数x 、y 满足方程：2286210x y x y +--+=．（1）当3x ≠时，求12y P x +==-的取值范围；（2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．10、已知点(0,4)A ，点P 在直线20x y -=上运动．以线段AP 为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．11、已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，求证直线AB 恒过点.。

高二数学培优训练（直线与方程）

高二数学培优训练（直线与方程）长丰一中高二数学培优训练直线与方程项贤安（2016-10-28）一．选择题（共10小题）1．直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π）C．[﹣，] D．[0，]∪[，π）2．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）3．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）4．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l 的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．5．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]6．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m 的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．37．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（+x），则直线ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A．B．C． D．9．直线（1+a2）x﹣y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[0，] C．[0，]∪（，]D．[，）10．已知直线l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，若直线l∥m，则直线l与直线m之间的距离是（）A．B．C．D．二．解答题（共4小题）11．已知两直线l1：x+ysinθ﹣1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．12．（2010?泉州一模）在同一平面内，边长为2的等边△ABC的两个顶点B、C分别再两条平行直线l1，l2上，另一个顶点A在直线l1、l2之间，AB与l1的夹角为θ，0o＜θ＜60o．（I）当θ=45o时，求点A到直线l1的距离；（II）若点A到直线l1、l2的距离分别为d1、d2，记d1?d2=f （θ），求f（θ）的取值范围．13．（2015春?凉山州校级期末）已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2016?曲靖校级模拟）直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π）C．[﹣，] D．[0，]∪[，π）【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案．【解答】解：由xsinα﹣y+1=0，得此直线的斜率为sinα∈[﹣1，1]．设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈[﹣1，1]．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．（2016?衡阳三模）已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax ﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）【分析】由点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，得（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0，解出即可．【解答】解：点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0解不等式可得，﹣＜a＜﹣1∴，故选：D．【点评】要求a的范围，关键是要根据题意建立关于a 的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反．3．（2016?南昌一模）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．4．（2016?山东模拟）已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．【点评】本题考查了几何概型的问题，以及直线的斜率问题，属于基础题．5．（2016?湖南四模）已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]【分析】由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，求出以AB为直径的圆的方程，可知直线l与圆相交，利用点到直线的距离公式求出m的范围得答案．【解答】解：由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，则该圆的方程为x2+y2=1．∵M、N是不同的两点，∴直线l与圆相交，且直线l与圆相切为临界条件，此时原点到直线l的距离等于圆的半径，即1=，∴m=±5．∴m的取值范围为（﹣5，5）．故选：C．【点评】不同考查直线的斜率，考查了直线与圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．6．（2016?河西区模拟）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可．【解答】解：因为两条直线平行，所以：解得m=1故选B．【点评】本题考查两条直线平行的判定，容易疏忽截距问题，是基础题．7．（2016春?武威校级期末）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．【解答】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选B【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．8．（2016春?宜春校级期末）三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（+x），则直线ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【分析】由f（x）=asinx﹣bcosx，且f（﹣x）=f（+x）得到a=﹣b，再由直线ax﹣by+c=0求得直线的斜率，根据倾斜角的正切值等于斜率得答案．【解答】解：由f（﹣x）=f（+x），知三角函数f（x）的图象关于x=对称，∴f（0）=f（），∴asin0﹣bcos0=asin﹣bcos，即a=﹣b，∴直线ax﹣by+c=的斜率，其倾斜角为．故选：D．【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了直线的倾斜角，是基础题．9．（2016春?廊坊期末）直线（1+a2）x﹣y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[0，] C．[0，]∪（，]D．[，）【分析】表示出直线的斜率k=k=1+a2≥1，从而求出直线的倾斜角的范围即可．【解答】解：由（1+a2）x﹣y+2=0，得：y=（1+a2）x+2，故k=1+a2≥1，故直线的倾斜角的取值范围是[，），故选：D．【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，求出斜率的取值范围是解决本题的关键．10．（2016春?成都校级月考）已知直线l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，若直线l ∥m，则直线l与直线m 之间的距离是（）A．B．C．D．【分析】由两直线平行的条件列式求得a的值，代入直线l，m后化简，然后由两平行线间的距离公式得答案．【解答】解：由l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，且l∥m，得，解得：a=﹣4．∴直线l：（a+3）x+y﹣1=0化为：x﹣y+1=0．又直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，即x﹣y+2.2=0．∴直线l与直线m之间的距离是d==．故选：C．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了两平行线间的距离公式，是基础题．二．解答题（共19小题）11．（2016春?新疆期末）已知两直线l1：x+ysinθ﹣1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．【分析】（1）由A 1B 2﹣A 2B 1=0，且B 1C 2﹣B 2C 1≠0，可得sin θ=±，θ=k π±，k ∈Z ．（2）根据题意，可得A 1A 2+B 1B 2=0是l 1⊥l 2的充要条件，故有2sin θ+sin θ=0，解出sin θ，进而可得θ值．【解答】解：（1）由A 1B 2﹣A 2B 1=0，即2sin 2θ﹣1=0，得sin 2θ=，∴sin θ=±．由B 1C 2﹣B 2C 1≠0，即1+sin θ≠0，即sin θ≠﹣1．综上，sin θ=±，θ=k π±，k ∈Z ，∴当θ=k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2．（2）∵A 1A 2+B 1B 2=0是l 1⊥l 2的充要条件，∴2sin θ+sin θ=0，即sin θ=0，∴θ=k π（k ∈Z ），∴当θ=k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2．【点评】本题考查两直线平行、垂直的条件，以及已知三角函数值求教的大小．12．（2010?泉州一模）在同一平面内，边长为2的等边△ABC 的两个顶点B 、C 分别再两条平行直线l 1，l 2上，另一个顶点A 在直线l 1、l 2之间，AB 与l 1的夹角为θ，0o＜θ＜60o．（I ）当θ=45o 时，求点A 到直线l 1的距离；（II ）若点A 到直线l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2，记d 1?d 2=f （θ），求f （θ）的取值范围．【分析】（I ）过点A 作直线l 1的垂线，垂足为M ，然后解三角形，求点A 到直线l 1的距离；（II ）过点A 作直线l 2的垂线，垂足为N ，点A 到直线l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2，表示出d 1、d 2，和d 1?d 2=f （θ），然后求f （θ）的取值范围．【解答】解：（I ）过点A 作直线l 1的垂线，垂足为M ，在Rt △ABM 中，sin45°=，∴|AM |=2sin45°=2×即：点A 到直线l 1的距离为．（II ）过点A 作直线l 2的垂线，垂足为N ，∵AB 与l 2的夹角为θ，∴AC 与l 2的夹角为60°﹣θ，在Rt △ABM ，d 1=AM=2sin θ在Rt △ACN ，d 2=AN=2sin （60°﹣θ）d 1?d 2═4sin （60°﹣θ）sin θ===2sin （2θ+30°）﹣1∵0°＜θ＜60°∴30°＜2θ+30°＜150°∴＜sin （2θ+30°）≤1，∴d 1d 2∈（0，1]【点评】本题考查点到直线的距离，正弦函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，是中档题．13．（2015春?凉山州校级期末）已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．【分析】设l的方程，求出P、Q的坐标，得到PR和QS的方程，利用平行线间的距离公式求出|RS|，由四边形PRSQ为梯形，代入梯形的面积公式，再使用基本不等式可求四边形PRSQ的面积的最小值．【解答】解：设l的方程为y﹣1=﹣m（x﹣1），则P（1+，0），Q（0，1+m）．从而可得直线PR和QS的方程分别为x﹣2y﹣=0和x﹣2y+2（m+1）=0．又PR∥QS，∴|RS|==．又|PR|=，|QS|=，四边形PRSQ为梯形，S四边形PRSQ =[+]?=（m++）2﹣≥（2+）2﹣=3.6．∴四边形PRSQ的面积的最小值为 3.6．【点评】本题考查直线方程的应用，2条平行线间的距离公式的应用，使用基本不等式求式子的最小值．。

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高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提
高)
高二数学第3讲直线与圆综合
1.已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．
（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；
（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2
111x x 为定值；（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大．
2.已知点G （5，4），圆C 1：（x -1）2+（x -4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ．
（1）求点C 的轨迹C 2的方程；
（2）若过点A （1，0）的直线l 1与C 2相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ；又l 1与l 2：x +2y +2=0的交点为N ，求证|AM|•|AN|为定值．
3.已知点C （1，0），点A ，B 是⊙O ：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足0=⋅BC AC ，设M 为弦AB 的中点．求点M 的轨迹T 的方程；
4.已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B 的距离的2倍。

（1）求点P 的轨迹方程；
（2）若点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22
||||QA QC +的最大值和最小值；
（3）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。

5.已知圆22:4O x y +=和点(1,)M a ．
（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a 的值，并求出切线方程；
（2）若a =M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直．
①求四边形ABCD 面积的最大值；②求||||AC BD +的最大值．
6.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆C 1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L ：y =k （x -4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
7.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（I）求圆A的方程；
2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当MN＝19
（Ⅲ）BP
BQ 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
8.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9.平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
10.已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为
A、B．
（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．
11.已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．
①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；
②求|PQ|的最小值．。