马尔科夫随机场与图像处理

MRF与Gibbs分布的等价关系
由于标号场先验概率和标号场的邻域局 部关系在实际应用中很难确定，20世纪 80年代Hammersley-Clifford给出了Gibbs 分布与MRF的关系，从而用Gibbs分布求 解MRF中的概率分布
MRF与Gibbs分布的等价关系
Gibbs分布：
是定义在S上的邻域系统，当且仅当随机场X={xs , s S}
随机场
当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空 间的一个值之后，其全体就叫做随机场。其中 有两个概念：位置（site），相空间（phase space）。我们不妨拿种地来打个比方。“位 置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是要 种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同 的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”， 赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随 机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。
(1)(s)S (2)s(s) (3)s,rS,s(r)r(s) 则位置r(s)称作s的邻点，(s)称作s的邻点集
分阶邻域系统与子团
在图像模型中，可以根据对象元的距离建 立一种分阶邻域系统，定义如下：
(n)(s){r|d(s,r)n,rs},式中n为邻域系统的阶次，
d(•)表示距离函数，经常使用欧氏距离，市区距离， 棋盘距离等函数。
马尔科夫随机过程
通俗的讲，马尔科夫随机过程就是，下 一个时间点的状态只与当前的状态有关 系，而与以前的状态没有关系，即未来 的状态决定于现在而不决定于过去。
用前苏联数学家辛钦（1894－1959〕的话来说， 就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来 由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识 丝毫不影响这种决定性。这种在已知 “现在” 的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特 性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机 过程就叫做马尔科夫过程
基本定义
设 S { ( i,j) |1 i M ,1 j N } 表 示 M N 位 置 的 有 限 格 点 集 即 随 机 场 中 的 位 置
= { 1 , 2 ， L } 表 示 状 态 空 间 ， 即 随 机 场 中 的 相 空 间
X ={xs|s S}表 示 定 义 在 s S处 的 随 机 场 xs表 示 在 随 机 场 X 上 ， 状 态 空 间 为 的 隐 状 态 随 机 变 量 ， 即 xs
(2) P{Xs =xs | Xr xr,r s,r (s)} P{Xs =xs | Xr xr ,r (s)} 则称X为以为邻域系统的马尔科夫随机场，
上式称为马尔科夫随机场的局部特性
在数字图像中，一个像元的灰度值仅与 其邻域系统内各象元的灰度值有关，因 而可以利用马尔科夫随机场来模拟数字 图像。当邻域系统 足够大时，任何定 义在S上的图像数据均可看成马尔科夫随 机场的一个实现
一维马尔科夫过程
设有随机过程Xn,nT,若对于任意正整数nT和任意的
i0,i1, ,in1I,条件概率满足 P{Xn1in1| X0 i0, ,Xn in}P{Xn1in1| Xn in}
就称Xn,nT为马尔科夫过程，该随机过程的统计特性
完全由条件概率所决定
马尔科夫随机过程的分类
按照参数集和状态空间分成四类 时间和状态都是离散的马尔科夫过程。
也成为马尔科夫链 时间连续、状态离散的马尔科夫过程。
通常称为纯不连续马尔科夫过程。 时间和状态都是连续的马尔科夫过程。 时间连续、状态离散的马尔科夫过程。
马尔科夫随机场
马尔科夫随机场包含两层意思 马尔科夫性质 随机场
马尔科夫性质
马尔科夫性质指的是一个随机变量序列 按时间先后关系依次排开的时候，第 N+1时刻的分布特性，与N时刻以前的随 机变量的取值无关。拿天气来打个比方。 如果我们假定天气是马尔可夫的，其意 思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天 的天气存在概率上的关联，而与前天及 前天以前的天气没有关系。其它如传染 病和谣言的传播规律，就是马尔可夫的。
马尔科夫随机场
拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄 稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼 的种类有关，与其它地方的庄稼的种类 无关，那么这些地里种的庄稼的集合， 就是一个马尔可夫随机场。
马尔科夫随机场与图像的关系
一维马尔科夫随机过程很好的描述了随 机过程中某点的状态只与该点之前的一 个点的状态有关系。对于定义在二维空 间上的图像，也可以将它看为一个二维 随机场。自然也存在二维马尔科夫随机 场,此时必须考虑空间的关系,二维MRF的 平面网格结构同样可以较好的表现图像 中像素之间的空间相关性。
马尔科夫随机场与图像处理
随机过程
在当代科学与社会领域里，人们都可以看到一 种叫作随机过程的数学模型：从分子的布朗运 动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电 话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、 从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应 用几乎无所不在。人类历史上第一个从理论上 提出并加以研究的过程模型是马尔科夫链，它 是马尔科夫对概率论乃至人类思想发展作出的 又一伟大贡献。
的联合概率分布具有如下形式：
P( X x) (1 / Z ) exp{U ( x)} 则称X为吉布斯随机场，式中x是随机场X的一“实现”， 即X在格点集S上的一组态。
U ( x) Vc ( x)称为能量函数，Vc ( x)是仅与子团c内各 cC
对n0,满足特性(n)(s)(n+1)(s)
子团
S中有不同的邻域结构，在S上由单个像 元或由象元与其邻点组成的子集 c S 称为一个子团。子团c的集合用C来表示。
分阶邻域系统与子团示例
马尔科夫随机场
设为S上的邻域系统，若随机场X={xs ,s S}满足如下条件：
（1）P{X=x}>0,x

在图像中
格点集S表示像素的位置
X称为标号场，也可以表示像素值的集合 或图像经小波变换后的小波系数集合
Λ为标号随机变量 x s的集合
L表示将图像分割为不同区域的数目
邻域系统
设 = {( s )|s S } 是 定 义 在 S 上 的 通 用 邻 域 系 统 的 集 合 ，
其 满 足 如 下 特 性 ：