饮酒驾车问题

观察其方程满足非齐次一阶线性微分方程的一般形式，带入公式进行求解， 最终得到如下公式：
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C (t )
k1Q (e k2t e k1t ) C0e k2t V0 (k1 k2 )
5.2.2 具体模型二的求解
模型二求解：根据题设，我们取 T 2 。
Q dy (t ) k1 y (t ), 2 由 dt k1 y (t ),
3 模型假设
（1） 体液总体积保持不变 （2） 在较短时间内喝酒的情况下，酒精量是瞬间进入到胃里的。 （3） 体液的总体积不变。 （4） 酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同。 （5） 不管喝的是什么酒，只以涉入的酒精总量纳入计算。 （6） 假设整体过程中人没有摄入任何影响代谢的药类物质和作剧烈性运 动。 （7） 人的吸收速率和代谢速率是恒定的。 （8） 忽略不同人对酒精代谢能力的差异。
5.1.3 具体模型二（慢速饮酒）
针对具体模型二：该模型针对长期饮酒效应，可将其近似认为在持续饮酒的 过程中酒精是匀速进入肠胃的，参照模型一可有 y (0) 0 ，在此我们引入函数
f 1 (t ) 来表示酒精进入肠胃的速率（单位：毫克/小时）， T 表示饮酒时的持续总
时间，则酒精进入肠胃的速率与整个过程中喝入的酒精量有如下关系：
5.2 模型求解 5.2.1 具体模型一的求解
模型一求解：根据具体模型一得：
dy (t ) k1 y (t ) dt f (t ) k1 y (t )
将其整理并带入一般模型中求解得到 C (t ) 与 t 的关系：
dC (t ) aC0 k1t e k2C (t ) dt V0
关键词：房室模型 微分方程组
Ct 驻点法 吸收和代谢
1
1 问题重述
据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其中因饮酒驾 车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况， 国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 号 发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准 规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克／百毫升，小于 80 毫 克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克／百毫升），血液中的酒精含量 大于或等于 80 毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克／百毫 升）。 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接 着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家，又 一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车， 这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒， 两次检查结果会不一样呢？ 我们将参考下面给出的数据并自己收集资料建立饮酒后血液中酒精含量的 数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准， 在以下情况下回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机 如何驾车提出忠告。
5.1.2 具体模型一 (快速饮酒)
针对具体模型一： 该模型针对短时的饮酒效应， 即在喝酒后的很短的时间内， 酒精就全部进入肠胃，以 y(t ) 表示 t 时刻肠胃中酒精的量，即有 y (0) Q0 ，根据 文献资料判断，可知肠胃中酒精的减少速率应该和剩余量成正比，并设其比例系 数为 a ，因此得到微分方程：
将其代入特解中并化简得：
(k1 (1 e k2t ) k1 (1 e k1t ))Q t2 2(k1 k2 )k2V0 C (t ) k t k1 (2 t ) 2 (e 2 k1 1)(e 2 k2 k1t e 2 k1 k2t )Q 2053(k1 k2 )e2 k2V0 ) e (10e t2 20(k1 k2 )V0
4 符号说明
3
变量 k1 k2 C0
含义 吸收能力系数 代谢能力系数 开始饮酒时人体体液中的酒 精浓度 人喝下酒精的总量 人体液所占的体积 时间 较长时间饮酒时的持续时间 酒精由肠胃进入人体体液的 速率
单位 1/小时 1/小时 毫克/百毫升
备注
Q
毫克 百毫升 小时 小时 毫克/小时 毫克/小时 毫克 毫克 毫克/百毫升
2 问题分析
当人们喝酒时,酒精(即乙醇)就会随着血液扩散到全身的器官和组织中,然
2
后不断地被吸收、 代谢和排出.在这里我们把乙醇在血液中的浓度(即每 100mL 血 液中乙醇含量(mg))称血醇浓度,它随时间和所处范围的变化而变化. 为了建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型,我们需要讨论乙醇在体内吸收、 分布和排出的动态过程以及此过程中的定量关系.为了达到这一目的,我们借鉴 药物动力学中的房室模型.所谓房室,是指由具有相近的药物转运速率的器官、 组 织组合而成.同一房室内各部分的药物处于动态平衡.可以认为乙醇在体内各部 位间均有较高及相近的转运速率,可在体内迅速达到分布平衡,即血醇浓度具有 均衡性.但是在不同的房室则可按一定的规律进行乙醇的转移,在这里我们简单 地认为机体是一个血液均匀分布的中心， 喝酒后乙醇的扩散与分布可看作在进入 中心室之前有一个将乙醇由肠胃吸收入血液的过程将之简化为一个吸收室这种 简化在医学界和药理学界已被接受和承认，我们称之为一室模型。 本题中因为乙醇在血液中的浓度与在体液中的浓度大致相等所以我们可以 将血液与体液合并为一个房室即中心室。 下面在吸收室和中心室之间建立一个血 醇浓度的微分方程来描述其动态特征。
t2 t2
及 x 0 ( 0)
0 可得：
Q k1t t2 2k (1 e ), 1 y (t ) Q (e2 k1 1)e k1t , t 2 2k1
又
f (t ) k1 y (t ) ，可得：
Q (1 e k1t ), t2 2 f (t ) Q (e 2 k1 1)e k1t ,时的初始时刻，即 t =0，由于喝下的酒精在 时间无穷长时总会被全部吸收，故有：

中乙醇变化量为
t t t
f (t ) dt =Q
再考虑中心室，根据有关文献可知设从 t 时刻到 t t 时刻中心室（血液）
x(t t ) x(t )
可得：
t t
dy (t ) k1 y (t ) dt
在此我们假设酒精进入人体和肠胃中酒精的减少为一个过程， 即不考虑其在 转化过程中的酒精的损耗，从而得到以下方程：
f (t ) k1 y (t )
再结合之前通过方式模型得到的一般模型， 我们在此得到短时饮酒效应的模 型如下所示：
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dC (t ) f (t ) dt V k2C (t ) 0 f (t ) dt Q 0 C (0) C 0 f (t ) k1 y (t ) dy (t ) k y (t ) 1 dt y (0) Q
t t t t Q dt t k1 y(t )dt , t T t T y (t t ) y (t ) t t k1 y (t )dt , t T t
两边同除 t 后让 t 0 取极限得：
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Q dy (t ) k1 y (t ), T dt k1 y (t ),
一瓶啤酒中酒精的量 约为 24000 毫克 约为 450 百毫升
V0 t
T
f 1 (t )
酒精由口进入肠胃的速率 t 时刻体液中酒精的量 t 时刻肠胃中酒精的量 在 t 时刻人体体液（或血 液）中的酒精浓度
x(t ) y(t )
C (t )
5 模型建立与求解
5.1 模型的建立
根据以上分析，我们可以建立一个房室模型，如图 1：
t
f (t )dt
t t
t
k 2 x(t )dt
即血液中乙醇变化量=吸收量-代谢量。等式两边同时除以 t ，并令 t 0
dx(t ) f (t ) k 2 x (t ) dt
此外还有初值条件 C (0) C0
5.1.1 一般模型的建立
由此得到一般情况下的模型：
5
由题中可知，酒可以在很短时间内喝完，也可以在一段较长的时间内喝完， 这样将有两个不同的吸收速率， 即可以得到两个不同的 f (t ) 表达式， 于是可以得 到两个具体模型。第一个模型是考虑短时饮酒效应，第二个模型考虑的是长时饮 酒效应。
Q / T , t T f1 ( t ) 0 t T 0 ,
而肠胃里的酒精量的变化与机体对酒精的吸收和喝入机体的酒精量都有关 系，而机体对酒精的吸收速率可以与模型一一样用 k1 y (t ) 来表示，则时间段
[t , t t ] 内有：
肠胃里的酒精量的变化量 = 喝入机体的酒精量 - 机体对酒精的吸收量 即得：
而与模型一一样有：
t T t T
f (t ) k1 y (t )
再结合一般模型我们可以得到模型二如下：
dC (t ) f (t ) dt V bC (t ) 0 T f (t )dt f (t )dt Q T 0 C (0) C 0 f (t ) k y (t ) 1 Q t T dy ( t ) k1 y (t ), T dt t T k1 y (t ), y (0) 0
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图 1 房室模型结构 又考虑到吸收总量为 Q ，有： 在吸收室中我们考虑的是肠胃吸收酒精进入体液所引起的酒精量的增量， 其中 用 f (t ) 代表 t 时刻酒精由肠胃进入人体体液的速率（单位：毫克/小时），则时间 段 [t , t t ] 内体液中酒精量的增量可表示为： t