高一数学必修 不等式知识点总结
不等式
一、基本不等式
1、0a b a b ->?>;0a b a b -=?=;0a b a b -<.
2、不等式的性质:
①a b b a >?<;②,a b b c a c >>?>;③
a b a c b c >?+>+;④,0a b c ac bc >>?>,,0a b c ac bc ><;⑤,a b c d a c b d >>?+>+;⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>;⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >;⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >.
3、设a 、b 是两个正数,则
2
a b +称为正数a 、b 的算术平均数,ab 称为正数a 、b 的几何平均数.4、均值不等式定理:若0a >,0b >,则2a b ab +≥,即
2a b ab +≥.5、常用的基本不等式:①()222,a b ab a b R +≥∈;②()22
,2
a b ab a b R +≤∈;③()20,02a b ab a b +??≤>> ???;④()2
22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???
.6、极值定理:设x 、y 都为正数,则有⑴若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2
4
s .⑵若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值2p .
例:(13-14耀华7)若2-m 与|m |-3异号,则m 的取值范围是
A、m >3
B、-3 C、2 D、-3 解析:由题.323,03020302><<-∴? ??>-<-???<->-m m m m m m 或或得答案:D 例:(13-14蓟县11)已知实数的最小值为则且、y x y x R y x 12,1,+=+∈解析:22323))(12(12+≥++=++=+y x x y y x y x y x 当且仅当222y x = 答案:2 23+二、一元二次不等式 1、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式. 2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:判别式24b ac ?=-0?>0?=0 ?<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象 一元二次方程2ax bx +0c +=()0a >的根有两个相异实数根 1,22b x a -±?=()12x x <有两个相等实数根122b x x a ==-没有实数根 一元二次 不等式的 解集20 ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ??≠-????R 20ax bx c ++<()0a >{}12x x x x <? 若二次项系数为负,先变为正 例:(12-13南开区17)已知不等式2230x x --<的解集为A,不等式260x x +-<的解集是B. (I)求A B ; (Ⅱ)若不等式20x ax b ++<的解集是A B ,求20ax x b ++<的解集.. ,022 1,0240-1(-1,2)0(2)(-1,2) ). 2,3(23-06(-1,3) ,31-032)1(2222R x x b a b a b a b ax x B A B x x x A x x x 解得解集为解得, 的解集是由,得解得解解:<-+-∴???-=-=???=++=+∴<++=∴-=∴<<<-+=∴<<<-- 3、??? ?????????图像法(数形结合)根的分布分离参数法恒成立问题:分类讨论(因式分解)含参一元二次不等式:例:(13-14红桥区17)解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<. . 1;11,111;11,1110;110)1)(1(00)1)(1(0; 10 时,不等式的解为当不等式的解为时,当不等式的解为时,当或,不等式的解化为时,原不等是等价于当时,因式分解为当时,不等式解为解:当=<<>><<<<<<><--<>--≠>=a x a a a a x a a a x x x a x a x a x a a x a 例:(13-14蓟县13)已知一元二次不等式02 122≥+ +kx kx 对一切实数x 都成立,则实数k 的取值范围为解析:400 40,002 1,02≤≤???≤-=?≥≠≥=k k k k k k 得则若,成立;则不等式化为若综上可得4 0≤≤k 答案:[] 4,0例:(12-13南开12)己知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R,则实数m 的取值范围是_________________. 解析: 22, 2064(2)4(2)0 m m m m m ≠-≥?<?=--- 不等式为一元二次不等式,则则得2得2 答案:(2,6) 三、线性规划 1.了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 3.解线性规划实际问题的步骤: (1)将数据列成表格;(2)列出约束条件与目标函数;(3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:移与目标函数一致的平行直线;③求:求最值点坐标;④答;求最值; (4)验证所求解是否在可行域内。 例:(13-14耀华11)x 、y 满足条件01,02,2 1.x y y x ≤≤??≤≤??-≥? ,设224z y x =-+,则z 的最小值是;解析:由题得可行域(阴影部分): 目标函数可化为:z x y 212+ -=所以在(1,1)处取得最小值为4答案:4