北京四中八年级(上)期中数学试卷 (2)
北京四中八年级上期中考试数学模拟试卷
2020-2021学年北京四中八年级上期中考试数学模拟试卷解析版一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．2．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3 D ．0.56×10﹣1 【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B ．3．（3分）若点A （m ，n ）和点B （5，﹣7）关于x 轴对称，则m +n 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．﹣12【解答】解：∵点A （m ，n ）和点B （5，﹣7）关于x 轴对称，∴m ＝5，n ＝7，则m +n 的值是：12．故选：C ．4．（3分）化简5x 20xy 的结果是（ ） A ．14 B ．14x C ．14y D ．4y 【解答】解：原式=5x 5x⋅4y=14y ．故选：C ．5．（3分）y ﹣2x +1是4xy ﹣4x 2﹣y 2﹣k 的一个因式，则k 的值是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．4【解答】解：原式＝﹣（4x 2+y 2﹣4xy +k ）＝﹣[（2x ﹣y ）2+k ]显然根据平方差公式的特点，两个平方项要异号才能继续分解又由y ﹣2x +1是4xy ﹣4x 2﹣y 2﹣k 的一个因式，可知第二个数是1则k ＝﹣1．故选：B ．6．（3分）已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，△DEF 的三边长分别为3，3x ﹣2，2x +1，若这两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．2B ．2或73C ．73或32D ．2或73或32 【解答】解：∵△ABC 与△DEF 全等，当3x ﹣2＝5，2x +1＝4，x =73，把x =73代入2x +1中，2x ﹣1≠4，∴3x ﹣2与5不是对应边，当3x ﹣2＝4时，x ＝2，把x ＝2代入2x +1中，2x +1＝5，故选：A ．7．（3分）分式2y x−3有意义的条件是（ ） A ．x ≠0 B ．y ≠0 C ．x ≠3 D ．x ≠﹣3【解答】解：根据分式有意义的条件，得x ﹣3≠0解得x ≠3．故选：C ．8．（3分）2x −4÷1x −2x 的计算结果为（ ） A ．x x+2 B ．2x x+2 C ．2x x−2 D ．2x(x+2)。
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北京四中初二上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式不能分解因式的是（ ）． A ．224x x - B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -3．点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(5,3)-D ．(3,5)--4．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c m CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cmD ．2cm5．下列各式中，正确的是（ ）． A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c +-+-= C ．a b a bc c---=-D ．a ab a a b-=--6．下列命题是真命题的是（ ）． A ．等底等高的两个三角形全等 B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt ABC △内一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数（ ）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒AC D BD'ACD B8．在等腰ABC △中，已知2AB BC =，20AB =，则ABC △的周长为（ ）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（ ）．A ．212x <<B ．57x <<C ．16x <<D ．无法确定 10．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论： （1）AD BF =；（2）CF CD =；（3）AC CD AB +=；（4）BE CF =；（5）2BF BE =， 其中正确的结论个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子24x x -有意义，则x 的取值范围是__________．12．计算212293m m +=--__________．13．如图，在ABC △中，AB AC =，20A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠为__________度．14．若关于x 的二次三项式2x kx b ++的因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为__________．15．若7a b +=，5ab =，则22a ab b -+=__________．16．当x 取__________值时，2610x x ++有最小值，最小值是__________．17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是__________．18．如图，ABC △中，在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若2BD CD =，ABC △的面积为22cm ，则DPC △的面积为__________．19．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为__________．20．如果满足条件“30ABC ∠=︒，1AC =，(0)BC k k =>”的ABC △是唯一的，那么k 的取值范围是__________．FEAC BDEDBC AP D BCA三、解答题21．把多项式分解因式（每题4分，共8分） （1）33312a b ab -； （2）222()4()4x x x x ---+．22．（每题4分，共8分） （1）计算：21111a a a a a ÷----． （2）解方程：542332x x x+=--． 23．（本题5分）已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AB CD =，AE BF ∥且AE BF =． 求证：EC FD =．24．（每题4分，共8分）（1）先化简，再求值：21123369m m m m m ⎛⎫+÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中9m =．（2）已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y----的值．25．列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系） 赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26．（本题4分）某地区要在区域S 内（即COD ∠内部）建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）27．（本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ADC ∠=∠=︒． 求证：CD AB =． 小刚是这样思考的：由已知可得，60DCA ∠=︒，75DAC ∠=︒，30CAB ∠=︒，180ACB DAC ∠+∠=︒， 由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB AE =，E D ∠=∠． ∵在ADC △与CEA △中， 75D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADC △≌CEA △， 得CD AE AB ==．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明：若不相等，请说明理由．ACBDEDBCA28．（本题7分）在等边ABC △中，D 为射线BC 上一点，CE 是ACB ∠外角的平分线，60ADE ∠=︒，EF BC ⊥于F ．（1）如图1，若点D 在线段BC 上． 求证：①AD DE =；②2BC DC CF =+；（2）如图2，若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．图2ABD CFE图1ACBEDF附加题（满分20分）：1．（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+=__________． 2．（本题4分）如图，45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒，2BD =，则四边形ABCD 的面积为__________．3．（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m n ≠，求332m mn n -+的值．4．（本题6分）已知：ABC △中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠的平分线BD 与ACB ∠的平分线CD 相交于点D ，且CD AB =，求证：60A ∠=︒．DCBA北京四中初二上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCACDDDBCD二、填空题（本题共20分，每小题2分）题号 11 12 13 14 15 答案 4x ≠23m -+ 601-34题号 16 17 18 19 20 答案 3-，1480480420x x -=+21cm 325︒2k =或01k <≤三、解答题21．（1）解：33223123(4)3(2)(2)a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-． （2）解：2222222()4()4(2)(2)(1)x x x x x x x x ---+=--=-+．22．（1）解：原式1(1)(1)11a a aa a a -+=⋅--- 11a aa a +=-- 221(1)(1)a a a a a a -=--- 1(1)a a =--．（2）解：去分母得，54(23)x x -=-， 整理得，77x =， 解得，1x =．经检验，1x =为原方程的解．22．证明：∵AE BF ∥， ∴A FBD ∠=∠． ∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC BD =． 在AEC △和BFD △中， A FBD AC AE B BD F ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩， ∴AEC △≌BFD △（SAS ）． ∴EC FD =．24．（1）解：原式233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+ 22(3)(3)(3)2m m m m m-=⋅-+ 33m m -=+． ∵9=m ， ∴原式931932-==+． （2）解：∵113x y-=，∴3x y xy -=-，21426144232x xy y xy xyx xy y xy xy----==----．25．解：设自行车的速度为x 千米/小时，则自驾车的速度为2x 千米/小时． 依题意得：2020529x x -=， 解得18x =．经检验，18x =是原方程的解，且符合实际意义． 236x =．答：自行车的速度为18千米/小时，则自驾车的速度为36千米/小时．26．解：如图所示，点M 即为所求．27．解：CD 与AB 相等，证明如下： 作AE AB =交BC 延长线于点E ， ∴B E ∠=∠． ∵B D ∠=∠， ∴D E ∠=∠．∵180ACB CAD ∠+∠=︒，180ACB ECA ∠+∠=︒， ∴DAC ECA ∠=∠． 在DAC △和ECA △中，D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌ECA △（AAS ）， ∴CD AE =，∴CD AB =．28．（1）证明：①过点D 作DG AC ∥交AB 于点G ． ∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60B ACB ∠=∠=︒， ∴60BDG ACB ∠=∠=︒， ∴60BGD ∠=，∴BDG △是等边三角形， ∴BG BD =， ∴AG DC =．∵CE 是ACB ∠外角的平分线， ∴120DCE AGD ∠=︒=∠． ∵60ADE ∠=︒，∴120ADB EDC ADB DAG ∠+∠=︒=∠+∠， ∴EDC DAG ∠=∠， ∴AGD △≌DCE △． ∴AD DE =．②∵AGD △≌DCE △， ∴GD CE =， ∴BD CE =，∴2BC BD DC DC CF =+=+．（2）①成立；②不成立，此时2BC CF CD =-． 过D 作DG AC ∥交BA 延长线于G ． 同（1）可证明AGD △≌DCE △， ∴AD DE =，GD CE =． ∴BD CE =，在CEF △中，60∠=︒ECF ，90∠=︒CFE ， ∴2=CE CF ．∴2=-=-BC BD CD CF CD ．附加题（满分20分）： 1．【答案】1309【解析】∵2310a a --=，∴231a a =+，∴422(31)9613310a a a a a =+=++=+， ∴822(3310)108966010039271189a a a a a =+=++=+，∴8622120392711891201309(31)12013093131a a a a a a a a -+++++====++．2．【答案】2【解析】延长AD 交BC 于点H ． ∵45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒， ∴90AHB ∠=︒，∴AHB △与CHD △均为等腰直角三角形． 设CH m =，BH n =，则AH n =，DH m =． 在Rt BHD △中，222BH HD BD +=，∴22224m n +==，则2211=222ABH CDH ABCD S S S m n +=+=四边形△△．故答案为2．3．解：∵22m n =+，22n m =+，∴2222m n n m -=+--， ∴()()m n m n n m +-=-， ∵m n ≠， ∴1m n +=-． ∴332m mn n -+222m m mn n n =⋅-+⋅222mn m mn mn n =+-++ 2()m n =+2=-．4．证明：过点A 作AE BC ∥交BD 延长线于E ，连接CE ． 设AC 、BE 相交于点O ，则1ACB ∠=∠，23∠=∠．∵2ABC ACB ∠=∠， ∴3ACB ∠=∠， ∴OB OC =，12∠=∠， ∴OA OE =． 又∵AOB EOC ∠=∠， ∴AOB △≌EOC △．∴BAC CED ∠=∠，543∠=∠=∠，AB CE =． ∵CD AB =， ∴CD CE =，∴36CED CDE ∠=∠=∠+∠， 又∵57DCE ∠=∠+∠，67∠=∠， ∴60CED CDE DCE ∠=∠=∠=︒， ∴60BAC CED ∠=∠=︒．HDCBA北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】观察可知，D 中的图形为轴对称图形．故选D ．2．【答案】C【解析】2242(2)x x x x -=-；2211()42x x x ++=+；21(1)(1)m m m -=+-．故选C ．3．【答案】A【解析】点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是(3,5)．故选A ．4．【答案】C【解析】由角平分线性质定理可知，点D 到AB 的距离是等于3cm CD =．故选C ．5．【答案】D 【解析】3355xxy y --=；a ba bc c +---=；a ba bc c --+=-．故选D ．6．【答案】D【解析】有一边对应相等的两个等边三角形全等为真命题．故选D ．7．【答案】D【解析】由题意知，ABD △≌ACD '△，∴AD AD '=，D AC DAB '∠=∠，∴90D AD D AC CAD DAB CAD ''∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45ADD '∠=︒．故选D ．8．【答案】B【解析】若AB 为底边，则10BC CA ==，不能构成三角形，∴AB 为腰，∴20AC =，10BC =，故ABC △的周长为50．故选B ．9．【答案】C【解析】倍长中线，得到一个边长分别为5，7，2x 的三角形，则75275x -<<+，即16x <<．故答案为C ．10．【答案】D【解析】易证ACD △≌BCF △，则AD BF =，CF CD =．∵AD 平分BAC ∠，AD BF ⊥，∴AB AF =，BE EF =，∴AC CD AC CF AF AB +=+==，2BF BE =．∵BE EF CD CF =>=，即BE CF >．故（1）（2）（3）（5）正确，即正确的结论个数为4．故选D ．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．【答案】4x ≠【解析】由题意，得40x -≠，∴4x ≠．故答案为4x ≠．12．【答案】23m -+ 【解析】2122122(3)1226293(3)(3)(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m m m m m +--+=-==---+-+-+-+．故答案为23m -+．13．【答案】60【解析】∵AB AC =，20A ∠=︒，∴80ABC C ∠=∠=︒．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE BE =，∴20ABE A ∠=∠=︒，∴802060CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为60．14．【答案】1-【解析】22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+，∴4k =-，3b =，∴1k b +=-．故答案为1-．15．【答案】34【解析】∵7a b +=，5ab =，∴222()239a b a b ab +=+-=，∴2234a ab b -+=．故答案为34．16．【答案】3-，1【解析】22610(3)1x x x ++=++，当3x =-时，有最小值1．故答案为3-，1．17．【答案】480480420x x -=+ 【解析】由题意可知，所列方程为480480420x x -=+．故答案为480480420x x -=+．18．【答案】21cm 3【解析】∵2BD CD =，∴2ABD ACD S S =△△，∴13ACD ABC S S =△△． ∵BD BA =，BP 平分ABD ∠，∴AP PD =，∴12PDC APC ADC S S S ==△△△， ∴1163PDC ABC S S ==△△．故答案为21cm 3．19．【答案】25︒【解析】由折叠性质，易得122A ∠+∠=∠，∴225∠=︒．故答案为25︒．20．【答案】2k =或01k <≤【解析】作30MBN ∠=︒，在射线BN 上任取一点C ，使BC k =．①如图1，当01k <<时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，此时只与圆有唯一的交点，∴ABC △是唯一的．②如图2，当1k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，B ， ∴ABC △是唯一的．③如图3，当2k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，是唯一的， ∴ABC △是唯一的．故当2k =或01k <≤时，ABC △是唯一的． 故答案为2k =或01k <≤．图1NMC B A图2N M C B A 图3N M C B A。
北京四中初二数学期中试卷
北京四中初二数学期中试卷(考试时间为100分钟，试卷分为A卷、B卷满分为120分) 试卷部分A卷一、选择题：(每小题3分，共24分)1．下列命题中，不正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形全等B．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合C．线段有2条对称轴D．角是轴对称图形2．下列因式分解中，结果正确的是()A．B．C．D．3．要使代数式有意义，则的取值范围是( )A．B．C．D．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A．B．C．D．5．将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是()6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点7．如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是( )A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙8．如图，已知，，，则为()A．67°B．46°C．23°D．无法确定二、填空题：(每小题2分，共20分)9．已知点和点关于轴对称，那么____________。
10．若，则____________；若，则____________。
11．若，则的值是____________。
12．等腰三角形的一边是3，另一边是8，则它的周长是____________。
13．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如下图所示，这时实际时间应是____________。
14．如图所示，三角形纸片ABC，，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为____________。
15．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且，则的大小等于______。
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为____________。
2019-2020北京四中初二上册期中考试试卷数学(含解析).docx
北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（ ）． A ．(4)a a - B ．(2)(2)a a +- C ．(2)(2)a a a +- D ．2(2)4a --3．分式21x -有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．1x ≠ B ．1x = C ．1x ≠-D ．1x =-4．点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ．(2,3)-5．在ABC △和A B C '''△中，已知A A '∠=∠，AB A B ''=，添加下列条件中的一个，不能．．使ABC △≌A B C '''△一定成立的是（ ）． A ．AC A C ''=B ．BC B C ''=C ．B B '∠=∠D ．C C '∠=∠6．下列各式中，正确的是（ ）． A ．1a b bab b++= B ．22x y x y-++=- C ． 23193x x x -=--D ．222()x y x y x y x y --=++7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）． A ．12B ．15C ．12或15D ．188．如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是AC 边上的高，则DBC ∠的度数是（ ）． A ．18︒B ．24︒C ．30︒D ．36︒9．如图，330∠=︒，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1∠的度数为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒10．如图，130BAC ∠=︒，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠等于（ ）． A ．50︒B ．75︒C ．80︒D ．105︒二、填空题11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．分解因式：2363x x -+=__________．13．计算：101()(21)|3|2---+-=__________．14． 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ．若1c m DE =，则BC =__________cm ．15．如图，已知ABC △是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG CD =，DF DE =，则E ∠=__________度．16．如图，ABC △中，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，OM AB ∥，ON AC ∥，10cm BC =，则O M N△的周长=__________cm ．17．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y--=--__________．18． 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，4AB =，2AC =，且ABD △的面积为3，则ACD △的面积为__________．19．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC PD +最小时，PCD ∠=__________．20．如图所示，长方形ABCD 中，4AB =，43BC =，点E 是折线段A D C --上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使PCB △为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有__________个．三、解答题分解因式21．22(2)9(2)x m y m -+-．22．222(1)4x x +-．计算23．3423()39b b ab a a b÷⋅-． 24．21211xx x++-．25．先化简，再求值：21(1)121aa a a -÷+++，其中31a =-．26．解方程：238111x x x +-=--．27．已知：如图，AD AE =，AB AC =，DAE BAC ∠=∠．求证：BD CE =．28．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？29．小明在做课本中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画P C a∥，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由．（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D．②连结AD并延长交直线a于点B，请直接写出图3中所有与PAB∠相等的角．（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．30．（本题8分）（1）如图（1），已知：在ABC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥∠=︒，AB AC△中，90BAC直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE BD CE=+．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC=，D、A、E三点都在直线l上，且△中，AB AC∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？如成立．请BDA AEC BACα你给出证明．若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC∠平分线上的一点，且ABF △和ACF △均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DF EF =．附加题1．已知:2a b -=，2240a a +-=，则121a b+=+__________．2．已知：x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，则()()()b c x c a y a b z -+-+-的值为__________．3．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ．（1）如图（1），若(0,1)A ，(2,0)B ，求C 点的坐标．（2）如图（2），当等腰Rt ABC △运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：ADB CDE ∠=∠． （3）如图（3），在等腰Rt ABC △不断运动的过程中，若满足BD 始终是ABC ∠的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．北京四中初二上期中数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 AAABBDBACC二、填空题11．53.510-⨯ 12．23(1)x - 13．4 14．3 15．15 16．10 17．4 18．1.5 19．45 20．4三、解答题21．解：22(2)9(2)x m y m -+-22(2)(9)m x y =-- (2)(3)(3)m x y x y =--+．22．解：222(1)4x x +-22(12)(12)x x x x =+-++ 22(1)(1)x x =-+．23．解：3423()39b b ab a a b ÷⋅-33493272b a aba b b =-⋅⋅22336b a a b =-⋅ 12ab =-．24．解：21211x x x ++-12(1)(1)x x x x -+=-+ 11x=-．25．解：原式211()1121a aa a a a +=-÷++++ 211121a aa a a +-=÷+++ ()211a a a a+=⋅+ 1a =+．当31a =-时，原式3113=-+=．26．解：2(3)(1)81x x x ++-=-，224381x x x ++-=-，44x =， 1x =，经检验：1x =是原方程的增根，所以原方程无解．27．证明：∵DAE BAC ∠=∠，BAE BAE ∠=∠， ∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠， 在AEC △和ADB △中， AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEC △≌ADB △（SAS ），∴BD CE =．28．解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打(5)x +个字， 由题意得，10009005x x=+， 得：45x =，检验：45x =是原方程的解，且符合题意． 答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．29．解：（1）两直线平行，同位角相等． （2）1PAB PDA BDC ∠=∠=∠=∠， （3）作线段AB 的垂直平分线EF ， 则EF 是所求作的图形．30．解：（1）∵BD l ⊥，CE l ⊥， ∴90BDA AEC ∠=∠=︒， 又∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ABD △和CAE △中，90ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABD △≌CAE △（AAS ）， ∴BD AE =，AD CE =， ∵DE AD AE =+， ∴DE CE BD =+． （2）成立，∵BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE α∠+∠=∠+∠=︒-， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ADB △和CEA △中， ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADB △≌CEA △（AAS ）， ∴AE BD =，AD CE =， ∴BD CE AE AD DE +=+=． （3）由（2）知，ADB △≌CEA △， ∴AE BD =，DBA CAE ∠=∠， ∵ABF △和ACF △均为等边三角形， ∴60ABF CAF ∠=∠=︒，∴DBA ABF CAE CAF ∠+∠=∠+∠， ∴DBF FAE ∠=∠， ∵BF AF =，在DBF △和EAF △中， FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DBF △和EAF △（SAS ）， ∴DF EF =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DEF △为等边三角形． ∴DF EF =．附加题：1．解：由题可知2b a =-，222a a =-， ∴121a b++ 22(1)(1)(2)a a a a -++=+- 232aa a =--3222aaa =-+-2=-．2．解：令x y zk b c a c a b a b c===+-+-+-，则()x k b c a =+-，()y k c a b =+-，()z k a b c =+-， 代入()()()b c x c a y a b z -+-+-()()()()()()b c b c a c a c a b a b a b c =-+-+-+-+-+-， 222222b c ab ac c a bc ab a b ac bc =--++--++--+， 0=．3．（1）如图，过点C 作CF y ⊥轴于点F ， 则ACF △≌ABO △（AAS ）， ∴1CF OA ==，2AF OB ==， ∴1OF =， ∴(1,1)C --．（2）如图，过点C 作CG AC ⊥交y 轴于点G ， 则ACG △≌ABD △（ASA ）， ∴CG AD CD ==，ADB G ∠=∠， ∵45DCE GCE ∠=∠=︒， ∴DCE △≌GCE △（SAS ）， ∴CDE G ∠=∠， ∴ADB CDE ∠=∠．（3）如图，在OB 上截取OH OD =，连接AH ， 由对称性得AD AH =，ADH AHD ∠=∠， ∴AHD ADH BAO BEO ∠=∠=∠=∠， ∴AEC BHA ∠=∠，又∵AB AC =，CAE ABH ∠=∠， ∴ACE △≌BAH △（AAS ）， ∴2AE BH OA ==， ∵2DH OD =， ∴2()BD OA OD =+．北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴．A 选项经过折叠后不能重合．故选：A ．2．【答案】A【解析】24(4)a a a a -=-．故选：A ．3．【答案】A 【解析】分式21x -有意义，则分母10x -≠，解得1x ≠． 故选：A ．4．【答案】B【解析】点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标其2x =，3y =-，即(2,3)-．故选：B ．5．【答案】B【解析】A 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△， B 、A A '∠=∠，AB A B ''=，BC B C ''=无法判定ABC △≌A B C '''△，C 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△，D 、A A '∠=∠，AB A B ''=，C C '∠=∠可利用ASA 条件判定ABC △≌A B C '''△．故选：B ．6．【答案】D【解析】A 、1a b b ab b++≠，本选项错误， B 、22x y x y -+-=-，本选项错误， C 、23193x x x -=-+，本选项错误， D 、222()x y x y x y x y --=++，本选项正确． 故选：D ．7．【答案】B【解析】若腰为3，底边为6，则336+=不能构成三角形．故腰为6，底边为3，则周长为66315++=．故选：B ．8．【答案】A【解析】∵AB AC =， ∴1(180)722B C A ∠=∠=︒-∠=︒， ∵BD AC ⊥，∴9018DBC C ∠=︒-∠=︒．故选：A ．9．【答案】C【解析】1290360∠=∠=︒-∠=︒．故选：C ．10．【答案】C【解析】∵130A ∠=︒，∴50B C ∠+∠=︒，∵MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，∴BP AP =，AQ CQ =，∴PAB B ∠=∠，QAC C ∠=∠，∴50PAB QAC B C ∠+∠=∠+∠=︒，∴()80PAQ BAC PAB QAC ∠=∠-∠+∠=︒．故选：C ．二、填空题11．【答案】53.510-⨯【解析】把一个绝对值小于1（或者大于等于10）的实数记为10n a ⨯的形式（其中110a <≤），这种记数法叫做科学记数法．把0.000035用科学记数法表示为53.510-⨯． 故答案为：53.510-⨯．12．【答案】23(1)x -【解析】2223633(21)3(1)x x x x x -+=-+=-．故答案为：23(1)x -．13．【答案】4 【解析】101()(21)|3|21342---+-=-+=． 故答案为：4．14．【答案】3【解析】∵AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，AC DC ⊥，∴1CD DE ==，又∵在Rt BDE △中，30B ∠=︒，∴22BD DE ==，∴3cm BC CD BD =+=．故答案为：3．15．【答案】15【解析】∵ABC △是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，又∵CG CD =，∴30CDG ∠=︒，150FDE ∠=︒，又∵DF DE =，∴15E ∠=︒．故答案为：15︒．16．【答案】10【解析】∵BO 平分ABC ∠，∴ABO MBO ∠=∠，又∵OM AB ∥，∴ABO BOM ∠=∠，∴MBO MOB ∠=∠，∴OM OB =，同理可得ON NC =，∴OMN △的周长为10cm OM ON MN BM MN NC BC ++=++==．故答案为：10．17．【答案】4 【解析】将等式113x y -=两边同时乘以xy ，得3y x xy -=， ∴21422x xy yx xy y ----2()142x y xyx y xy --=--61432xy xyxy xy --=--4=．故答案为：4．18．【答案】1.5【解析】过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE DF =， ∵132ABD S AB DE =⋅=△， ∴32DE =， ∴32DF =，∴1 1.52ADC S AC DF =⋅=△． 故答案为：1.5．19．【答案】45【解析】连结PB ，∵MN 垂直平分BC ， ∴PB PC =，∴PD PC PD PB +=+， ∵两点之间直线最短， ∴PB PD BD +≤， ∴PC PD BD +≤，即PC PD +的最短距离为BD ， 此时PC 平分BCD ∠， ∴45PCD ∠=︒． 故答案为：45︒．20．【答案】4【解析】①BP 为等腰三角形一腰长时， 符合点E 的位置有2个， 是BC 的垂直平分线与以B 为圆心BA 为半径的圆的交点即是点P ． ②BP 为底边时，C 为顶点时， 符合点E 的位置有2个， 是以B 为圆心BA 为半径的圆与以C 为圆心BC 为半径的圆的交点即是点P ． ③以PC 为底边，B 为顶点时，这样的等腰三角形不存在， 因为以B 为圆心BA 为半径的圆与以B 为圆心BC 为半径的圆没有交点．故答案为：4．。
北京四中八年级上学期期中数学试卷【解析版】
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )[来源:Z+xx+]A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，523．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=54．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2[来源:Z*xx*]7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm28．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是__________．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=__________．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第__________段内．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=__________．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为__________．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为__________．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为__________．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？[来源:学科网]八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．【考点】最简二次根式．【分析】题目给出的二次根式中，被开方数含有分母，因此需将根号的分母化去．【解答】解：==；故本题选B．【点评】本题化简二次根式的过程：分子、分母同乘以分母的有理化因式，使被开方数不含分母．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，52【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、152+122≠202，故不是直角三角形，故此选项不合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意；C、0.32+0.42=0.52，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、（32）2+（42）2=（52）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=5【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据已知条件，P点和P1点关于y轴对称，可知n=3，﹣m=5，即可得到m和n．【解答】解：点P和点P1关于y轴对称，根据题意，有n=3，﹣m=5；即m=﹣5，n=3；故选A．【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号．4．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的化简结合选项进行运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、+≠，原式错误，故本选项错误；B、=•，原式错误，故本选项错误；C、=x2+1，计算正确，故本选项正确；D、=﹣x，原式错误，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、二次根式的乘法等知识，属于基础题．5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【考点】立方根；算术平方根．【专题】计算题．【分析】已知等式变形，利用绝对值的代数意义化简即可确定出x的范围．【解答】解：已知等式变形得：x﹣2+|x﹣2|=0，即|x﹣2|=2﹣x，∴x﹣2≤0，即x≤2．故选A【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a2+b2的值，再利用完全平方公式得出ab的值，进而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2=100，∵a+b=12cm，c=10cm，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=144，∴100+2ab=144，则：ab=11，故Rt△ABC的面积是：11cm2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用，得出a2+b2的值是解题关键．8．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段A B最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=1，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=，∴D（﹣，﹣）．故选C．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．[来源:学科网]二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是（﹣3，﹣2）．【考点】点的坐标．【专题】应用题．【分析】本题根据点在第三象限的特点，横纵坐标都小于0，再根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而根据点P到坐标轴的距离判断点P的具体坐标．【解答】解：∵第三象限内的点横坐标＜0，纵坐标＜0，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，∴点P的纵坐标为﹣2，横坐标为﹣3，因而点P的坐标是（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】此题用到的知识点为：第三象限点的坐标的符号都为负，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=1﹣2a．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到a＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简得到原式=﹣a﹣1﹣a，再合并即可．【解答】解：根据题意得a＜0，所以原式=﹣a﹣1﹣a=﹣2a﹣1．故答案为﹣2a﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b，当k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第③段内．【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．【解答】解：∵2.42=5.76，2.62=6.76，2.82=7.84，∴的点落在第③段内．故答案为：③．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确利用已知数的平得出是解题关键．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=3或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分情况进行讨论，两边长分别为5和4，5可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，两边长分别为5和4，∴5可能是直角边也可能为斜边，当5为直角边时，斜边长为：=，当5为斜边时，另一直角边为：=3，综上所述：AC的长为3或．故答案为：3或．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为．【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】数形结合．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．【解答】解：AC===，则AM=，∵A点表示﹣1，∴M点表示﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为．[来源:Z_xx_]【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为，∴CF=BE=1，CE=AF=，在Rt△ACF中，∵AF=，CF=1，∴AC==2，[来源:]∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴=，，解得CD=，在Rt△BCD中，BD==．故答案为：．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为（4，0），（，0）（﹣，0）．【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】分类讨论：OP=PA，OP=OA，根据勾股定理，可得OP的长，根据等腰三角形的定义，可得答案．【解答】解：OP=PA时，A（4，0）；OP=PA时，A（，0），（﹣，0）．故答案为：A（4，0），（，0），（﹣，0）．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）先算负整数指数幂，0次幂，化简二次根式，再进一步合并即可；（2）先算负整数指数幂，乘方，化简二次根式，再进一步合并即可．【解答】解：（1）原式=﹣+1﹣（2﹣）=﹣+；（2）原式=4﹣2﹣（+1）﹣=3﹣4．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与化简的方法是解决问题的关键．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形进而利用勾股定理得出AC的长，即可得出此三角形菜地的面积．【解答】解：如图1所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=28m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×28=210（m2），如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=12m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×12=90（m2），答：此三角形菜地的面积为210m2或90m2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？[来源:]【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】计算题．【分析】（1）做出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；（2）A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如图所示，AQ+QG为最短路程．（2）∵在直角△AEG中，AE=40cm，AA′=120，∴A′E=80cm，又EG=60cm，∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G==100cm．∴最短路线长为100cm．【点评】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．【考点】一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；三角形的面积．【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC．【解答】解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=．【点评】此题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．[来源:Z,xx,]（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；②根据题意列出不等式，即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234，∴y=3x小+234；②依题意，得3x小+234≤260，解得：，∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式．。
北京市四中八年级数学上学期期中考试试题 北师大版
OB（考试时间为100分钟，试卷满分为100分）班级 学号 姓名 分数 一、选择题： （每题3分，共30分）1．下列交通标志是轴对称图形的是 （ ）A. B ． C ． D ．2．下列各式中，正确的是 （ ）A ．39±=±B ．9)3(2=- C ．393-=- D ．2)2(2-=-3．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 （ ） A ．21x +B ．221x x +-C ．21x x ++D ．244x x ++4．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的 为 （ ）A ．BD=CDB ．BD=2CDC ．BD=3CD D ．BD=4CD6．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 （ ）A ．253010(180%)60x x -=+ B ．253010(180%)x x-=+C ．302510(180%)60x x -=+ D ．302510(180%)x x-=+7．已知1=-b a ，则a 2－b 2－2b 的值为 （ ） A ．4B ．3C ．1D ．08．已知ΔABC 中，AB=10，BC=15，CA=20，点O 是ΔABC 内角平 分线的交点，则ΔABO 、 ΔBCO 、 ΔCAO 的面积比是 （ ）A ．1:1:1B ．1:2:3CABDA BCDC ．2:3:4D ．3:4:59．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三 角形， 满足条件的点Q 的个数为 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个10．ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
北京市第四中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
北京市第四中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列运算正确的是（ ） A ．233+=m m mB ．326326⋅=m m mC ．22(3)9=m mD ．66÷=m m m3．如图，点B ，D ，E ，C 在同一条直线上，若ABD ACE △≌△，110AEC ∠=︒，则DAE ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（ ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．A ．①B ．①C ．①D ．①①①5．正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，到AOB ∠两边距离相等的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q6．如图1，将长为(1)x +宽为(1)x -的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A ．22(1)21x x x -=-+B ．2(1)x x x x -=-C ．22(1)21x x x +=++D ．2(1)(1)1x x x +-=-7．如图，等边ABC 的边长为3，点M 为AC 边上的一个动点，作MD AB ⊥于点D ，延长CB 使得BF AM =，连接MF 交AB 与点E ，则DE 的长为（ ）A ．34B ．1C ．32D ．28．设a ，b 是实数，定义一种新的运算：2()a b a b ⊕=+，则下列结论：①0a b ⊕=，则0a =且0b =；①a b b a ⊕=⊕；①()a b c a b a c ⊕+=⊕+⊕；①()()a b a b ⊕=-⊕-，正确的有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．0π-=____________．(2)10．计算：()323a b-=________；63÷=_________．a a11．如图，己知12∠=∠，添加一个条件______________，使得ABC ADC△≌△．12．如图，在ABC中，BD是边AC上的高，CE平分ACB∠，交BD于点E，BC=，则BCE的面积为___________．DE=，104AB=，则EBC的周长13．如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若4BC=，5是_________．14．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是①BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__15．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，则 BC 边的中线 AD 的取值范围为_____.16．丽丽在做一道计算题目()()()()24816(21)21212121+++++的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式(21)-，很快得到计算结果．①()()()()24816(21)21212121+++++=______________；请参考丽丽的方法进行运算：①()()()242048(51)515151++++的值为____________．三、解答题 17．计算：（1）()24(31)x x -+；（2）(2)(3)m n n m +-（3）()3212633-+÷m m m m ；（4）(2)(2)x y z x y z ++--．18．课堂上，老师让同学们计算(3)(3)(41)-+--a b a b a a ．左边文本框中是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．19．如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N 两点；①分别以点M ，N 为圆心，以大于12线段MN 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内部交于点C ．则射线OC 是AOB ∠的角平分线． 根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出射线OC （请保留作图痕迹）； （2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．连接MC ，NC ． 在OCM 和OCN 中， ①,,,OM ON OC OC MC NC =⎧⎪=⎨⎪=⎩①≌OCM OCN （ ），①AOC ∠=________（ ）， 即OC 平分AOB ∠．20．如图，ABC 的顶点都是格点（平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点），（1）请画出ABC 关于y 轴对称的A B C '''（其中,,A B C '''分别是A ，B ，C 的对应点，不写画法）；（2）直接写出,,A B C '''三点的坐标．21．化简求值：若231a a -= ，求2(23)(2)(5)--+-a a a 的值．22．如图，,,AB CD AE BC DF BC =⊥⊥，垂足分别为E ，F ，BE CF =．求证：AB CD ∥．23．计算：（1）已知102,103m n ==，求3210m n +的值； （2）已知22()16,()4+=-=x y x y ，求xy 的值．24．如图，已知AB=AC ，E 为AB 上一点，ED ①AC ，ED=AE .求证：BD=CD .25．我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等． 【初步思考】一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？ 小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型： ①．一条边和四个角分别相等；①．二条边和三个角分别相等；①．三条边和二个角分别相等；①．四条边和一个角分别相等．（1）小齐认为“①．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．（2）小栗认为“①．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．已知：如图，四边形ABCD 和四边形1111D C B A 中，11AB A B =，11BC B C =，11CD C D =，11=DA D A ，1B B ∠=∠．求证：四边形ABCD ≌四边形1111D C B A ．（3）小熊认为还可以对“①．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形ABCD 和四边形1111D C B A 为例，分为以下几类：①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B AD A D A A B B C C ； ①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B AD A D A A B B D D ； ①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B AD A D B B C C D D ； ①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B CD C D A A B B C C ．其中能判定四边形ABCD 和四边形1111D C B A 全等的是__________（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是_________________．26．已知：如图1，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2∠=∠ABE ACE ．（1）如图2，若18∠=︒ACE ，且EA EC =，则DEC ∠=________︒，AEB ∠=_______︒．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE ∠和BAC ∠的数量关系．27．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对()n a b +展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应222()2a b a ab b +=++展开式中的系数．（1）根据表中规律，写出5()a b +的展开式；（2）写出12()+a b 展开式中含102a b 项的系数是____________． 28．在平面直角坐标系xOy 中，定义：①“直线y m =”表示过点(0,)m 且平行于x 轴的直线；①若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于直线l 的二次对称点．①若图形T 关于y 轴对称的图形为1T ，图形1T 关于直线l 的对称图形为2T ，则称2T 是图形T 关于直线l 的二次对称图形．例如：点(1,2)Q 关于直线1y =的二次对称点是2(1,0)Q -．已知四点(1,1),(1,3),(3,3),(1,1)----A B C D ．（1）若点E 是点A 关于直线1:2l y =的二次对称点，则点E 的坐标为___________； （2）点B 是点A 关于直线2:l y a =的二次对称点，则a 的值为____________； （3）已知线段CD 关于直线y b =的二次对称图形22C D 与线段BD 有交点，则b 的取值范围为___________．（4）已知ABC 关于直线y t =的二次对称图形为222A B C △．若222A B C △与BCD △无交点，则t 的取值范围为_____________．答案第1页，共2页参考答案：1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．110． 6327a b - 3a11．AB AD =或34∠=∠或B D ∠=∠ 12．20 13．914．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 15．14AD <<16． 3221- 4096514-17．（1）32124x x --；（2）226-+mn m n ；（3）2421m m -+；（4）22242x y yz z --- 18．错误，225-+a b a19．（1）见解析；（2）SSS ，BOC ∠，全等三角形的对应角相等 20．（1）见解析；（2）(2,2),(3,0),(2,2)'''--A B C 21．23(3)19a a -+,22 . 22．见解析 23．（1）72；（2）3 24．见解析.25．（1）见解析；（2）见解析；（3）①①①，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等26．（1）36，126；（2）见解析；（3）3180∠+∠=︒ABE BAC 27．（1）54322345510105a a b a b a b ab b +++++；（2）66答案第2页，共2页 28．（1）()1,5- ；（2）2-；（3）1 1.5b -≤≤；（4）2t <-或1t >。
2019-2020北京四中初二第一学期数学期中考试
数学试卷（时间：100分钟 满分：120分）班级： 分层班级： 姓名： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111y y y -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=++3. 在平面直角坐标系中，点A ，点B 关于y 轴对称，点A 的坐标是()28,-，则点B 的坐标是（ ）． A ．()28,-- B ．()28, C ．()28,- D ．()82,4. 已知3x =是分式方程31kx =-的解，那么实数k 的值为（ ）． A ．1 B ．32C ．6D ．95. 如图，已知△ABC ≌△DCB ，AB =10，∠A =60°，∠ABC =80°，那么下列结论中错误的是（ ）． A ．∠D =60° B ．∠DBC =40° C ．AC =DB D ．BE =106. 下列算式中，你认为正确的是（ ）．A ．1b a a b b a -=---B ．11b aa b÷⋅=C ．1133a a -= D ．()22211a b a b a b a b -⋅=-++ 7. 在三角形内，到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条中线的交点8. 某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）．A ．()120012002120x %x -=+ B ．()120012002120%x x -=- C ．()120012002120%x x -=+ D ．()120012002120x %x-=-9. 对于非零实数a 、b ，规定11a b b a⊗=-，若()2211x ⊗-=，则x 的值为（ ）． A ．56 B ．54 C ．32 D ．16-10. 如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD =CD ，∠DBC =∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ； ②CE =AB +AE ； ③∠BDC =∠BAC ； ④∠DAF =∠CBD ． 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（每小题2分，共16分）11. 若分式21x x -+的值为0，则x 的值为 ．12. 23-= ；用科学记数法表示= ．13. 化简：224816x x x x --+ = ．14. 若2226100a b a b +--+=，则a b += ．15. 如图，AC =DC ，BC =EC ，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC ≌△DEC ．（第15题图） （第16题图）ABCDEF16. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ，过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ，BD =2，则△ABE 的面积为 ．17. 若关于x 的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．18. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l 和l 外一点P ．（如图18-1） 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图18-2．（1）在直线l 上任取两点A ，B ；（2）分别以点A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点Q ； （3）作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是． （图18-1） （图18-2）三、解答题19. （8分）将下列各式因式分解：（1）221218x x -+； （2）()2x a b a b --+．20. （5分）先化简22144111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，再选一个适当的数代入求值．21. （5分）解分式方程：2311xx x x +=--．22. （5分）如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB =FD ．求证：AE =FC ．23. （6分）下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式=()()264y y +++()()2222816444y y y x x .=++=+=-+（1）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．24. （6分）如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ． （1）请你利用尺规作图作出点D ；（2）过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AB =6，AC =3，则BE = ．25. （5分）列方程或方程组解应用题：为了响应市政府“绿色出行”的号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段，自驾车的平均速度是自行车平均速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多23小时．求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少？ABC26.（7分）如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，与AC交于点G，连接CF．（1）BD和AE的大小关系是，位置关系是；请给出证明；（2）求证：CF平分∠BFE．27. （7分）三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D 在BC 所在直线上运动，连接AD ，在AD 所在直线的右侧作∠DAE =60°，交△ABC 的外角∠ACF 的角平分线所在直线于点E ． （1）如图27-1，当点D 在线段BC 上时，请你猜想AD 与AE 的大小关系，并给出证明；（2）如图27-2，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．（图27-1） （图27-2）附加卷（20分）1. （4分）分解因式：（1）2244x y y -+-= ；（2）2244243x xy y x y -+-+-= ． 2. （4分）若关于x 的分式方程7311mxx x +=--无解，则实数m = ．3. （4分）阅读下面材料，并解答问题．将分式42231x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -，可设()()422231x x x x a b +-=-++.则()()422242231x x x x a b x x ax a b +-=-++=-+-+()421x a x a b =+--+11231a a ,a b b -==⎧⎧∴∴⎨⎨-+=-=-⎩⎩()()()()()22224222222212112311211111x x x x x x x x x x x x -+--++-∴==-=+------ 这样，分式42231x x x +--被拆分成了一个整式22x +与一个分式211x -- 的和． 根据上述作法，将分式422681x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．4. （8分）如图4-1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD平分∠ACB ，与y 轴交于D 点，∠CAO =90°﹣∠BDO ． （1）求证：AC =BC ；（2）如图4-2，点C 的坐标为（4，0），点E 为AC 上一点，且∠DEA =∠DBO ，求BC +EC 的长；（图4-1） （图4-2）（3）如图4-3，过D 作DF ⊥AC 于F 点，点H 为FC 上一动点，点G 为OC 上一动点，当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时，始终满足∠GDH =∠GDO +∠FDH ，试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．（图4-3）参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．C 5．D6．D 7．B 8．A 9．A 10．D二、填空题11．2 12．19，431410.-⨯ 13．4x x - 14．4 15．AB DE =，或ACB DCE ∠=∠，或ACD BCE ∠=∠16．4 17．6m <且2m ≠18．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线三、解答题19．（1）()223x -； （2）()()()11a b x x -+- 20．12x x +-，选取的值不能是12,± 21．3x = 22．证()ABE FDC ASA ∆∆≌23．（1）不彻底；()42x - ；（2）设22x x y -=，则原式=()()()()2242211211y y y x x x ++=+=-+=- 24．（2）25．自驾车的平均速度为30km/h ，自行车的平均速度为15km/h26．（1）BD AE,BD AE =⊥，证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD=∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，，∴△ACE ≌△BCD ；∴∠CBD=∠CAE ，∵∠BGC=∠AGE ，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF ⊥AE ；（2）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，法1：∵△BCD ≌△ACE ，∴AE=BD ，S △ACE =S △BCD ，∴CH=CI ，∴CF 平分∠BFH ．法2：可证△BCI ≌△ACH ．27．（1）证60B ACE ,BAD CAE,AB AC ∠=∠=∠=∠= ⇒ ABD ACE ∆∆≌；（2）证120ABD ACE ,∠=∠= BAD CAE ∠=∠， AB=AC ⇒ ABD ACE ∆∆≌．附加卷1．（1）()()22x y x y +--+；（2）()()2321x y x y ---+.2．7或33．()()224222221716817111x x x x x x x x -+-+-==+---- 4． （1）证明：∵∠CAO=90°﹣∠BDO ，∴∠CAO=∠CBD ．又∵，CD=CD ， ∴△ACD ≌△BCD （AAS ）． ∴AC=BC ．（2）解：过D 作DN ⊥AC 于N 点，如右图所示： ∵∠ACD=∠BCD ，∠DOC=∠DNC=90°，CD=CD∴△DOC ≌△DNC （AAS ），∴DO=DN ，OC=NC.又∵∠DEA=∠DBO ，∠DOB=∠DNC=90° y xB DO C A∴△BDO≌△EDN（AAS），∴BO=EN．∴BC+EC=BO+OC+NC﹣NE=2OC=8．（3）GH=FH+OG．证明：由（1）知：DF=DO，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如右图所示：在△DFH和△DOM中，∴△DFH≌△DOM（SAS）．∴DH=DM，∠1=∠ODM．∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM．在△HDG和△MDG中，∴△HDG≌△MDG（SAS）．∴MG=GH，∴GH=OM+OG=FH+OG．yxFDO CAGHM12。
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27．（5 分）阅读下列材料： 如图 1，在四边形 ABCD 中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：
CD=AB． 小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+
∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点 A 作 AE ⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 AB=AE，∠E=∠D． 在△ADC 与△CEA 中， ∵ ∴△ADC≌△CEA， 得 CD=AE=AB． 请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
北京四中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅
剪纸作品中，属于轴对称图形的是（Βιβλιοθήκη ）A．B．C．
2．（3 分）下列各式不能分解因式的是（ ）
A．2x2﹣4x
B．
C．x2+9y2
D． D．1﹣m2
如图 2，在四边形 ABCD 中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD 与 AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．
28．（7 分）在等边△ABC 中，D 为射线 BC 上一点，CE 是∠ACB 外角的平分线， ∠ADE=60°，EF⊥BC 于 F．
（1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上．求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；
是（ ）
A．2＜x＜12
B．5＜x＜7
C．1＜x＜6
D．无法确定
10．（3 分）如图，在△ABC 中，BC=AC，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，BE⊥AD 交
AC 的延长线于 F，垂足为 E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④
BE=CF；⑤BF=2BE
其中正确结论的个数是（ ）
分线 CD 相交于点 D，且 CD=AB，求证：∠A=60°．
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北京四中八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．C；2．C；3．A；4．C；5．D；6．D；7．D；8．B；9．C；10．D；
二、填空题（本题共 20 分，每小题 2 分） 11．x≠4；12． ；13．60°；14．﹣1；15．34；16．﹣3；1；17． ﹣
和自行速度各是多少．
四、解答题 26．（4 分）某地区要在区域 S 内 （即∠COD 内部） 建一个超市 M，如图所示，
按照要求，超市 M 到两个新建的居民小区 A，B 的距离相等，到两条公路 OC， OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹）
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．
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14．（2 分）若关于 x 的二次三项式 x2+kx+b 因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则 k+b
的值为
．
15．（2 分）若 a+b=7，ab=5，则 a2﹣ab+b2=
．
16．（2 分）当 x 取
值时，x2+6x+10 有最小值，最小值是
．
17．（2 分）某农场开挖一条长 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，
结果提前 4 天完成任务，如果设原计划每天挖 x 米，那么根据题意可列方程
为
．
18．（2 分）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，在 BC 上截取 BD=BA，
作∠ABC 的平分线与 AD 相交于点 P，连结 PC，若 BD=2CD，△ABC 的面积为
2cm2，则△DPC 的面积为
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按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．45°
8．（3 分）在等腰△ABC 中，已知 AB=2BC，AB=20，则△ABC 的周长为（ ）
A．40
B．50
C．40 或 50
D．无法确定
9．（3 分）已知三角形的两边长分别为 5 和 7，则第三边的中线长 x 的取值范围
5．（3 分）下列各式中，正确的是（
A．
C．3cm ）
B．
D．2cm
C．
D．
6．（3 分）下列命题是真命题的是（ ） A．等底等高的两个三角形全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
7．（3 分）如图，D 是等腰 Rt△ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点 A
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（2）如图 2，若点 D 在线段 BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？ 请说明理由．
29．（4 分）已知 a2﹣3a﹣1=0，求 a6+120a﹣2=
．
30．（4 分）如图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形 ABCD 的面积
为
．
31．（6 分）已知：m2=n+2，n2=m+2（m≠n），求：m3﹣2mn+n3 的值． 32．（6 分）已知：△ABC 中，∠ABC=2∠ACB，∠ABC 的平分线 BD 与∠ACB 的平
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本题共 20 分，每小题 2 分）
11．（2 分）若式子 有意义，则 x 的取值范围是
．
12．（2 分）计算
=
．
13．（2 分）如图，等腰三角形 ABC 中 AB=AC，∠A=20°，线段 AB 的垂直平分线
交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则∠CBE=
．
19．（2 分）如图，把△ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠
1=90°，则∠2 的度数为
．
20．（2 分）如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1，BC=k（k＞0）”的△ABC 是唯一的，
那么 k 的取值范围是
．
三、解答题 21．（8 分）把多项式分解因式：
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3．（3 分）点 P（﹣3，5）关于 y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，5）
B．（3，﹣5）
C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）
4．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D，若 CD=3cm，
则点 D 到 AB 的距离 DE 是（ ）
A．5cm
B．4cm
的值．
25．（5 分）列分式方程解应用题：（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖 掘”等量关系）
赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方 式．已知赵老师家距学校 20 千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车 速度的 2 倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多 小时．求自驾车速度
18． ；19．30°；20．k=2 或 0＜k≤1；
=4；
三、解答题
21．
；22．
；23．
；24．
；25．
；
四、解答题
26．
；27．
；28．
；29．1309；30．2；31．；32．
；
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（1）3a3b﹣12ab3；
（2）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）+4．
22．（8 分）（1）计算：
；
（2）解方程：
．
23．（5 分）已知：如图，A、B、C、D 四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF 且 AE=BF．
求证：EC=FD．
24．（8 分）（1）先化简，再求值：（
）
，其中 m=9；
（2）已知 =3，求代数式