四川考友会——排列组合全集
【备战2019】(四川版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理
第十一章 排列组合、二项式定理一．基础题组1.【2007四川，理10】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( )（A ）288个（B ）240个（C ）144个（D ）126个2.【2008四川，理6】从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；3.【2008四川，理13】()()34121x x +-展开式中2x 的系数为_______________.【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想； 【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数； 4.【2009四川，理13】61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答）【答案】-20【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题. 5.【2018四川，理13】6(2的展开式中的第四项是 .6.【2018四川，理1】7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、21B 、28C 、35D 、427. 【2018四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）8.【2018四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【考点定位】二项式定理.9．【2018四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【考点定位】排列组合.10. 【2018高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个【考点定位】排列组合.11. 【2018高考四川，理11】在5(21)x 的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.【考点定位】二项式定理. 二．能力题组1.【2009四川，理11】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）（A ）360 （B ）288 （C ）216 （D ）962.【2018四川，理10】由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ） （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 【答案】C 【3.【2018四川，理11】方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条三．拔高题组1.【2007四川，理22】设函数1()1(,1,)nf x n N n x N n ⎛⎫=+∈>∈ ⎪⎝⎭且.(Ⅰ)当x=6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.【考点】本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法.考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识. 2.【2018四川，理18】 (本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生． （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率i P （1,2,3i =）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．当【考点定位】本小题主要考查算法与程序框图、古典概率、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识．算法、统计、概率、分布列、数学期望等相关概念不熟，从超长的题干中提取数据被无关信息干扰，或计算出错.。
2009-2014四川高考排列组合、概率、二项式定理汇编
2009 13.61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答） 18. （本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。
某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。
在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。
（I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。
2010（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是C（A ）72 （B ）96 （C ） 108（D ）144（13）6(2-的展开式中的第四项是__________． （17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16B ．13C ．12D ．2318．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。
四川公务员考试：排列组合终结篇——排列
四川公务员考试：排列组合终结篇——排列四川华图李明辉排列组合的重要性我们已经在排列组合终结篇——组合篇已经讲述，在此，我们直接开始为考生讲述排列。
排列的特点：与顺序有关。
举例说明：A、B、C三位同学分别住1、2、3号房，任意交换其中两个的顺序（例如A、B，现在A住2号房，B住1号房），对结果产生了影响，这时候选取方法就是排列。
排列的表示法：()!(1)(2)(1)!mnnA n n n n mn m==---+-…。
举例说明：。
排列常见题型：排房间、排队、排位置。
下面我们通过具体题目来给大家一一展示：【例1】甲、乙、丙三个人到旅店住店，旅店里只有三个房间，恰好每个房间住一个人，问一共有（）住法？A.5B.6C.7D.8【解析】B.三个房间安排甲、乙、丙三个人，交换其中两人的房间（例如A、B原来分别住1号房和2号房，现在交换以后A住2号房，B住1号房），对结果产生影响，因此总共有有种排法，选择B选项。
【例2】某宾馆有6个空房间，3间在一楼，3间在二楼。
现有4名客人要入住，每人都住单间，都优先选择一楼房间。
问宾馆共有多少种安排？（）。
A.24B.36C.48D.72【解析】D.因为有4名客人入住，3间在一楼，3间在二楼，如果优先选择一楼房间，那么4个人中只有3人能够住宿一楼，我们可以先从4个人中挑出3个人，让后将其安排在一楼的房间，总共有种安排方法。
那么剩下的一个人只能住在二楼，总共的安排方法有=3种，那么宾馆的安排方法总共有种。
因此，选择D选项。
【例3】3名学生和2名老师站成一排照相，2名老师必须站在一起且不在边上的不同排法共有（）。
A.12种B.24种C.36种D.48种【解析】B. 排列与捆绑法的结合。
为保证2名老师站在一起，可以假设用一根绳子将两名老师捆绑起来，3名学生总共有种排法，然后让老师过来站队，3名老师之间有2个空位（老师不能站边上），总共排法有种，站好以后将两名老师松绑，2名老师2个位置，总共有种排法，所以总共有种排法，选择B选项。
四川省木里县中学高三数学总复习 排列组合典型例题第
四川省木里县中学高三数学总复习 排列组合典型例题第二节新人教A 版1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．。
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同合作探究二 排列数的定义及公式3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？4、排列数公式推导探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？mA n 呢？ )1()2)(1(+-⋯--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）,,m n N m n *∈≤即学即练:1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷2.已知101095m A =⨯⨯⨯L ，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( )A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A -D ．3050k A -答案：1、5040、20、20；2、6；3、C例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。
解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。
点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。
排列组合ppt课件
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
计数应用(排列组合、概率、抽屉原理、容斥)练习题-公务员考试行测试卷与试题
计数应用（排列组合、概率、抽屉原理、容斥）练习题-公务员考试行测试卷与试题1. 抽屉里有黑色小球13只，红色小球7只，现在要选3个球出来，至少要有2只红球的不同选法共有多少种？A. 308B. 378C. 616D. 458答案：A2. 用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？A. 20B. 30C. 40D. 50答案：B3. 一条马路上有编号为l、2、…、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？A. 10B. 20C. 35D. 84答案：C4. 用0、1、2、3、4、5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数？A. 120B. 300C. 600D. 720答案：A5. 7个人排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边的情况有几种？A. 3120B. 3720C. 3600D. 7200答案：B6. 7个人站成一排，要求甲乙丙三人相邻的排法有几种？A. 120B. 300C. 600D. 720答案：D7. 将“PROBABILKIY”11个字母排成一列，排列数有多少种？A. 9979200B. 9979201C. 9979202D. 9979203答案：A8. 将“PROBABILlIY”11个字母排成一列，若保持P,R,O次序，则排列数有（）种？A. 90720B. 90721C. 90729D. 90726答案：C9. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作。
若这三人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？A. 144B. 192C. 186D. 150答案：C10. 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个？A. 72B. 76C. 78D. 84答案：C11. 甲，乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人，问有多少种不同的选法？【2011年国考】A. 67B. 63C. 53D. 51答案：D12. 有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？【2008浙江】A. 24C. 64D. 72答案：C13. 如图，圆被三条线段分成四个部分。
整除运算规律及排列组合问题
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四川光华公务员考试培训中心 所以，10 个球分给 7 个班，每班至少一个球的分法种数为 84： 。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上 题中球的数目较多处理起来将更加困难， 因此我们需要寻求一种新的模式解决问 题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将 10 个相同的球排成一行，10 个球之间出现了 9 个空档，现在我们用“档 板”把 10 个球隔成有序的 7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个 球（可能是 1 个、2 个、3 个、4 个） ，借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方 法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在 9 个空档之中插 入 6 个“档板” 个档板可把球分为 7 组） （6 ，其方法种数为 C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各 位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下 3 个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到 1 个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例 2．有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】 这道题很多同学错选 C， ： 错误的原因是直接套用上面所讲的 “插板法” ， 而忽略了“插板法”的适用条件。例 2 和例 1 的最大区别是：例 1 的每组元素都 要求“非空” ，而例 2 则无此要求，即可以出现空盒子。 其实此题还是用“插板法” ，只是要做一些小变化，详解如下： 设想把这 8 个球一个接一个排起来，即|● |●|●|●|●|●|●|●|，共形 成 9 个空档（此时的空档包括中间 7 个空档和两端 2 个空档） ，然后用 2 个档板 把这 8 个球分成 3 组，先插第一个档板，由于可以有空盒，所以有 9 个空档可以 插；再插第二个板，有 10 个空档可以插，但由于两个板是不可分的（也就是说 当两个档板相邻时，虽然是两种插法，但实际上是一种分法） ，所以共 C210 种。 【提示】 ：利用“插板法”解决这种相同元素问题时，一定要注意“空”与 “不空”的分析，防止掉入陷阱。 【总结】 “非空”问题插板法原型为：设有 M 个相同元素，分成 N 组， ： 每组至少一个元素的分组方法共有 CN(M-1)； “可空”问题插板法问题原型为：设有 M 个相同元素，分成 N 组，则分组方法共有 C(N-1)(M+2)种方法。 练习 1．有 10 级台阶，分 8 步走完。每步可以迈 1 级、2 级或 3 级台阶，有 多少中走法？（答案为 ） 老子曰：夫物芸芸，各复归其根，归根曰静，静曰复命。在平时的学习中， 我们应当学会寻找共性，寻找根源，从本质上理解归纳各种 问题。
2017四川公务员笔试行测备考：优限法解排列组合题
2017四川公务员笔试行测备考：优限法解排列组合题四川公务员考试行政职业能力测验主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，通过测试选拔出能够胜任公共管理工作的优秀人才。
测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
优限法是指优先考虑具有限制条件的元素，通过此元素作为突破口进行分类分步操作的方法。
所谓具有限制条件的元素就是题目中最特殊的，约束条件最多的元素。
考生如果没有思路，无从下手的时候，可以从这个元素着手，深入思考，定能打开思路。
例：用1-5这5个数字能够组成多少个无重复的三位偶数?解析：此题正是考查三位数的不同排列方法，属于排列组合问题。
根据优限法，题目中三位偶数，百十个三个位置上，最特殊的就是个位，要想是偶数，个位只能是偶数。
至此，很容易想到从个位这个最特殊的位置入手进行分类。
当个位是2时，百位和十位可以在剩下4个数字中任选两个数字进行排列：A(2,4)=12;当个位是4时，百位和十位仍是在剩下4个数字中任选两个数字进行排列：A(2,4)=12;根据分类用加法，一共有12+12=24个无重复三位偶数。
例：有甲乙丙丁四名操作人员，要操作ABC三台机器，每台机器一人操作。
根据技能水平不同，甲乙三台机器都可以操作，丙不能操作C，丁只能操作A，分配方法一共有多少种?解析：此题考查操作人员和机器之间的排列组合方式问题。
方法一：根据优限法，三台机器中最特殊的是C机器，丙丁都不能操作C，所以优先考虑C机器，只能从甲乙两个人中任选一个人操作：C(1,2)=2;继续用优限法，其次比较特殊的是B机器，丁不能操作B，除了C机器操作工和丁之外剩余的两个人都可以操作：C(1,2)=2;最后A机器在除了BC机器操作工以外剩余的两个人中选择操作工：C(1,2)=2.根据分步用乘法，总的方法数2*2*2=8.方法二：根据优限法，四个操作人员中丁最特殊，从丁入手进行分类。
如果丁参与操作，只能操作A机器，剩下的三个人还要操作BC，此时丙比较特殊，继续从丙入手思考：1.如果丙操作B，甲乙其中一人操作C机器：C(1,2)=2;2.如果丙不操作任何机器，甲乙操作BC进行排列：A(2,2)=2;3.如果丁不参与操作，甲乙丙操作三台机器，仍然用优限法，此时丙最特殊，优先考虑丙在AB中选择一台操作：C(1,2)=2，再考虑甲乙操作剩下两台机器：A(2,2)=2，根据分步思想：2*2=4.最后把三类的方法数加起来：2+2+4=8.通过优限法，可以快速找到解题突破口，希望广大考生能够熟练应用此方法，让排列组合问题不再是数学运算的短板。
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排列组合全集一．排列，就是从M个元素中选出N个元素来排，其中要考虑各元素的先后次序，记为：P(M,N)P(M,N)=M*(M-1)*(M-2)*……*(M-N+1),如P(7,5)=7*6*5*4*3,组合，就是从M个元素中选出N个元素来组合在一起，不考虑元素的先后次序，记为：C(M,N)C(M,N)=P(M,N)/N!，P(M,N)除以N的阶乘，如C(7,5)=7*6*5*4*3/(5*4*3*2*1) 在近几年的公考中，这类题目常有出现，通常情况下，出题者不会简单的只出单独的排列或者单独的组合，而是综合在一起进行考察，再结合一些排列组合的变形式，使得此类题目成为了广大考生的难中之难，考生经常走入误区，时常出现讨论不完全或者讨论情况超出了题干的范围，当然，由于是选择题，所以很多了选择了猜答案的办法，如果在2分钟之内仍没有思路，那就只有猜了，做这个专题，是想告诉大家，其实排列组合并不是大家想象的那么难的，花点时间学习这个专题，对自己必将有很大的收获。
二．基本原理①加法原理：完成一件事有K类方法，第一类中有M1种不同的方法，第二类中有M2种不同的方法……第K类中有Mk种不同的方法，那么完成这件事的方法就是M1+M2+……Mk,即常用到的分类讨论方法。
例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。
问有几种方法。
根据分类的方法。
我们可以看，第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人全排，P（5，5）第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人全排，P（5，5）我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。
这就是分类原则。
这样就是P（5，5）＋P（5，5）＝240②乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，……，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝M1×M2×M3×…×Mn种不同的方法．例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。
问有几种方法，按照分步原则，第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，P（5，5）第二步：我们再排甲乙，P（2，2）这样就是P（5，5）×P（2，2）＝240三．特殊元素或特殊位置优先考虑。
对参与排列的某元素或某一位置进行特殊的限制，往往首先考虑这个特殊的情况，例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法?解析：方法1. 对甲的位置进行了特殊的限制，首先考虑甲的位置，甲只能在中间4个位置选择，有4种方法，剩下5人全排，根据乘法原理有：4*P(5,5)=480方法2.先从余下的5人中选2个来排在两端，然后余下4人全排。
C(5,2)*P(2,2)*P(4,4)=480例2．用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？解析：3位数的偶数，尾数只能是0，2，4，十位数任意，百位上不能为0，这里0的位置出现了特殊情况，所以可以从0的位置着手来讨论，分含0和不含0含0：0在个位：P(4,2)=120在十位：个位为2或4，C(2,1),百位为余下3个非0数中任意一个，C(3,1)2*3=6不含0：C(2,1)*C(3,1)*C(2,1)=12根据加法原理，答案就为：12+6+12=30四．相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个捆绑了的元素进行全排列。
例3. 5名学生和3名老师排在一起照相，要求3名老师必须站在一起，求不同的排列方法。
解析：3名老师必须在一起，那么捆绑3名老师，看成一个具体的元素，与5名学生排列，为P(6,6)，然后再在3名老师内部进行全排列，P(3,3)，根据乘法原理有：P(6,6)*P(3,3)=4320五．不相邻即相离问题用插空法。
对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素插入，然后再进行排列。
例4. 有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种不同的排列次序？限制4人解析：限制了4人的位置，这4人任意两两不能站在一起，那么先全排其他6人，在这6人行成的空隙中来插入这4个人，就满足了任意2个不能在一起的情况，6人中间5个空，这4人还可以站在6人的两端，所以有7个位置可以安排这4人，所以答案就为：P(6,6)*P(7,4)=25200例5.5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解析：先排男生,P(5,5),再插入女生，由于女生不能站在排头，所以不能站在男生的两端，可以插入的位置就只有4个了，P(4,3)答案就为：P(5,5)*P(4,3)=2880例6.马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解析：关掉3盏，还有6盏是亮着的，不能同时关掉相邻的2盏或3盏，即在6盏之间插入3盏即可，两端的不能关，即只有中间5个空可以利用，答案就为：C(5,3)=10对于插空法的使用，必须注意的是：①必须分清“谁插入谁”的问题。
要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素。
②数清可插的位置数。
③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
六．元素定序，先排后除或选位不排或先定后插对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。
也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。
例7．5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解法一：先5人全排有P(5,5)种，由于全排中有甲、乙的全排种数P(2,2)，而这里只有1种是符合要求的，即甲乙先到后到的几率是均等的，各占一半，故要除以定序元素的全排P(2,2)种，所以有P(5,5)/P(2,2)=60种。
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C(5,2)种，再排列其它3人有P(3,3)，由乘法原理得共有C(5,2)P(3,3)=60种。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。
由乘法原理得共有3×4×5=60种七．正面解答很困难时，用排除法（逆向思维处理法）逆向思维解某些复杂的排列组合，先不管条件，找出所有可能的情况，然后再排除掉所有与条件不符合的情况，剩下的就是题干所需要的情况。
例7.三行三列共9个点，以这些点可以组成多少个三角形？解析：9个点选3个点的所有选法是：C(9,3)，排除掉3点共线的情况，就是答案了3点共线共有3+3+2=8种，所以结果是：C(9,3)-8=76例8.从1，2，3，4……9，9个数字中取出2个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数？解析：对数中底数大于0且不能为1，当选出的2个数字含1时，1必为真数，此时只有1种数值，当不选1的时候，从2……9中选2个来作为底数和真数，有P(8,2)其中，Log(2,4)=Log(3,9), Log(4,2)=Log(9,3)Log(2,3)=Log(4,9), Log(3,2)=Log(9,4)所以结果是：1+P(8,2)-4=53例9.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种？解析：先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有C(7,4) 种选法，其中不符合条件的是选出的4人都是男生，即1 种。
所以符合条件的选法是C(7,4)-1 =34种.八．分组分配额问题（不同元素进盒），先分组后排列。
例10. 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解析：先把5位老师分3堆，有两类：①3、1、1分布有C53种；②1、2、2分布有C51C42C22/P22种，再排列到3个班里有P33种，故共有(C53+C51C42C22/P22)·P33=240例11. 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；④平均分成三组进行排球训练。
解析：①． C(6,3)*C(3,2)②． C(6,2)*C(4,2)③． C(6,3)*C(3,2)*P(3,3)，具体哪组多少人没有确定，所以多了个3组的全排。
④．C(6,2)*C(4,2)/P(3,3)，相当于是3个相同的元素，所以要用除法排除掉重复计算的。
九．插板法（隔板法）及其变形式插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
一般式是把M个相同的元素放入到N个不同的箱子，每个箱子至少一个，求放法。
应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素，这个条件尤其重要(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，C（9 ,2）=36A．条件（2）的隐藏模式例12.某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？解析：发现3个年级都是需要至少4个节目以上！跟插板法的条件有出入，插板法的条件是至少1个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路，为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。
这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了3×3＝9 还剩下18－9＝9个剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。
9个节目排成一排共计8个间隔。
分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份（班级）！C8取2＝28例13. 有10个相同的小球。
分别放到编号为1，2，3的盒子里要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。
那么有多少种放法？解析：还是同样的原理。
每个盒子至少的要求和插板法有出入那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。
编号1的盒子是满足的至少需要1个，编号2至少需要2个，那么我们先给它1个，这样就差1个编号3至少需要3个，那么我们先给它2个，这样就差1个现在三个盒子都满足插板法的要求了我们看还剩下几个小球？10－1－2＝77个小球6个间隔再按照插板法来做C（6,2）＝15种.B.凑元素插板法例14 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？解析：此题中3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？显然就是C(12,2)=66例15：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？解析：我们可以在第二个箱子预先放入10个小球中的2个，使第二个箱子满足条件（2）此时小球剩余8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？C(8,2)=28C. 添板插板法例16.有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？解析：此题目注意直到不能写为止，列如：123，1235，12358.这样的3个数属于一类数，123，1235都还可以往下写，而12358不能再往下写了，故12358就属于符合条件的一类数。