四川考友会——排列组合全集
排列组合全集一．排列，就是从M个元素中选出N个元素来排，其中要考虑各元素的先后次序，记为：P(M,N)P(M,N)=M*(M-1)*(M-2)*……*(M-N+1),如P(7,5)=7*6*5*4*3,组合，就是从M个元素中选出N个元素来组合在一起，不考虑元素的先后次序，记为：C(M,N)C(M,N)=P(M,N)/N!，P(M,N)除以N的阶乘，如C(7,5)=7*6*5*4*3/(5*4*3*2*1) 在近几年的公考中，这类题目常有出现，通常情况下，出题者不会简单的只出单独的排列或者单独的组合，而是综合在一起进行考察，再结合一些排列组合的变形式，使得此类题目成为了广大考生的难中之难，考生经常走入误区，时常出现讨论不完全或者讨论情况超出了题干的范围，当然，由于是选择题，所以很多了选择了猜答案的办法，如果在2分钟之内仍没有思路，那就只有猜了，做这个专题，是想告诉大家，其实排列组合并不是大家想象的那么难的，花点时间学习这个专题，对自己必将有很大的收获。
二．基本原理①加法原理：完成一件事有K类方法，第一类中有M1种不同的方法，第二类中有M2种不同的方法……第K类中有Mk种不同的方法，那么完成这件事的方法就是M1+M2+……Mk,即常用到的分类讨论方法。
例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。
问有几种方法。
根据分类的方法。
我们可以看，第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人全排，P（5，5）第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人全排，P（5，5）我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。
这就是分类原则。
这样就是P（5，5）＋P（5，5）＝240②乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，……，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝M1×M2×M3×…×Mn种不同的方法．例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。
问有几种方法，按照分步原则，第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，P（5，5）第二步：我们再排甲乙，P（2，2）这样就是P（5，5）×P（2，2）＝240三．特殊元素或特殊位置优先考虑。
对参与排列的某元素或某一位置进行特殊的限制，往往首先考虑这个特殊的情况，例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法?解析：方法1. 对甲的位置进行了特殊的限制，首先考虑甲的位置，甲只能在中间4个位置选择，有4种方法，剩下5人全排，根据乘法原理有：4*P(5,5)=480方法2.先从余下的5人中选2个来排在两端，然后余下4人全排。
C(5,2)*P(2,2)*P(4,4)=480例2．用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？解析：3位数的偶数，尾数只能是0，2，4，十位数任意，百位上不能为0，这里0的位置出现了特殊情况，所以可以从0的位置着手来讨论，分含0和不含0含0：0在个位：P(4,2)=120在十位：个位为2或4，C(2,1),百位为余下3个非0数中任意一个，C(3,1)2*3=6不含0：C(2,1)*C(3,1)*C(2,1)=12根据加法原理，答案就为：12+6+12=30四．相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个捆绑了的元素进行全排列。
例3. 5名学生和3名老师排在一起照相，要求3名老师必须站在一起，求不同的排列方法。
解析：3名老师必须在一起，那么捆绑3名老师，看成一个具体的元素，与5名学生排列，为P(6,6)，然后再在3名老师内部进行全排列，P(3,3)，根据乘法原理有：P(6,6)*P(3,3)=4320五．不相邻即相离问题用插空法。
对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素插入，然后再进行排列。
例4. 有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种不同的排列次序？限制4人解析：限制了4人的位置，这4人任意两两不能站在一起，那么先全排其他6人，在这6人行成的空隙中来插入这4个人，就满足了任意2个不能在一起的情况，6人中间5个空，这4人还可以站在6人的两端，所以有7个位置可以安排这4人，所以答案就为：P(6,6)*P(7,4)=25200例5.5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解析：先排男生,P(5,5),再插入女生，由于女生不能站在排头，所以不能站在男生的两端，可以插入的位置就只有4个了，P(4,3)答案就为：P(5,5)*P(4,3)=2880例6.马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解析：关掉3盏，还有6盏是亮着的，不能同时关掉相邻的2盏或3盏，即在6盏之间插入3盏即可，两端的不能关，即只有中间5个空可以利用，答案就为：C(5,3)=10对于插空法的使用，必须注意的是：①必须分清“谁插入谁”的问题。
要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素。
②数清可插的位置数。
③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
六．元素定序，先排后除或选位不排或先定后插对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。
也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。
例7．5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解法一：先5人全排有P(5,5)种，由于全排中有甲、乙的全排种数P(2,2)，而这里只有1种是符合要求的，即甲乙先到后到的几率是均等的，各占一半，故要除以定序元素的全排P(2,2)种，所以有P(5,5)/P(2,2)=60种。
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C(5,2)种，再排列其它3人有P(3,3)，由乘法原理得共有C(5,2)P(3,3)=60种。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。
由乘法原理得共有3×4×5=60种七．正面解答很困难时，用排除法（逆向思维处理法）逆向思维解某些复杂的排列组合，先不管条件，找出所有可能的情况，然后再排除掉所有与条件不符合的情况，剩下的就是题干所需要的情况。
例7.三行三列共9个点，以这些点可以组成多少个三角形？解析：9个点选3个点的所有选法是：C(9,3)，排除掉3点共线的情况，就是答案了3点共线共有3+3+2=8种，所以结果是：C(9,3)-8=76例8.从1，2，3，4……9，9个数字中取出2个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数？解析：对数中底数大于0且不能为1，当选出的2个数字含1时，1必为真数，此时只有1种数值，当不选1的时候，从2……9中选2个来作为底数和真数，有P(8,2)其中，Log(2,4)=Log(3,9), Log(4,2)=Log(9,3)Log(2,3)=Log(4,9), Log(3,2)=Log(9,4)所以结果是：1+P(8,2)-4=53例9.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种？解析：先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有C(7,4) 种选法，其中不符合条件的是选出的4人都是男生，即1 种。
所以符合条件的选法是C(7,4)-1 =34种.八．分组分配额问题（不同元素进盒），先分组后排列。
例10. 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解析：先把5位老师分3堆，有两类：①3、1、1分布有C53种；②1、2、2分布有C51C42C22/P22种，再排列到3个班里有P33种，故共有(C53+C51C42C22/P22)·P33=240例11. 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；④平均分成三组进行排球训练。
解析：①． C(6,3)*C(3,2)②． C(6,2)*C(4,2)③． C(6,3)*C(3,2)*P(3,3)，具体哪组多少人没有确定，所以多了个3组的全排。
④．C(6,2)*C(4,2)/P(3,3)，相当于是3个相同的元素，所以要用除法排除掉重复计算的。
九．插板法（隔板法）及其变形式插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
一般式是把M个相同的元素放入到N个不同的箱子，每个箱子至少一个，求放法。
应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素，这个条件尤其重要(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，C（9 ,2）=36A．条件（2）的隐藏模式例12.某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？解析：发现3个年级都是需要至少4个节目以上！跟插板法的条件有出入，插板法的条件是至少1个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路，为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。
这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了3×3＝9 还剩下18－9＝9个剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。
9个节目排成一排共计8个间隔。
分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份（班级）！C8取2＝28例13. 有10个相同的小球。
分别放到编号为1，2，3的盒子里要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。
那么有多少种放法？解析：还是同样的原理。
每个盒子至少的要求和插板法有出入那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。
编号1的盒子是满足的至少需要1个，编号2至少需要2个，那么我们先给它1个，这样就差1个编号3至少需要3个，那么我们先给它2个，这样就差1个现在三个盒子都满足插板法的要求了我们看还剩下几个小球？10－1－2＝77个小球6个间隔再按照插板法来做C（6,2）＝15种.B.凑元素插板法例14 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？解析：此题中3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？显然就是C(12,2)=66例15：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？解析：我们可以在第二个箱子预先放入10个小球中的2个，使第二个箱子满足条件（2）此时小球剩余8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？C(8,2)=28C. 添板插板法例16.有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？解析：此题目注意直到不能写为止，列如：123，1235，12358.这样的3个数属于一类数，123，1235都还可以往下写，而12358不能再往下写了，故12358就属于符合条件的一类数。
【备战2019】(四川版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理
第十一章 排列组合、二项式定理一．基础题组1.【2007四川，理10】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( )（A ）288个（B ）240个（C ）144个（D ）126个2.【2008四川，理6】从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；3.【2008四川，理13】()()34121x x +-展开式中2x 的系数为_______________.【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想； 【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数； 4.【2009四川，理13】61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答）【答案】-20【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题. 5.【2018四川，理13】6(2的展开式中的第四项是 .6.【2018四川，理1】7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、21B 、28C 、35D 、427. 【2018四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）8.【2018四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【考点定位】二项式定理.9．【2018四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【考点定位】排列组合.10. 【2018高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个【考点定位】排列组合.11. 【2018高考四川，理11】在5(21)x 的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.【考点定位】二项式定理. 二．能力题组1.【2009四川，理11】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）（A ）360 （B ）288 （C ）216 （D ）962.【2018四川，理10】由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ） （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 【答案】C 【3.【2018四川，理11】方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条三．拔高题组1.【2007四川，理22】设函数1()1(,1,)nf x n N n x N n ⎛⎫=+∈>∈ ⎪⎝⎭且.(Ⅰ)当x=6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.【考点】本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法.考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识. 2.【2018四川，理18】 (本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生． （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率i P （1,2,3i =）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．当【考点定位】本小题主要考查算法与程序框图、古典概率、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识．算法、统计、概率、分布列、数学期望等相关概念不熟，从超长的题干中提取数据被无关信息干扰，或计算出错.。
2009-2014四川高考排列组合、概率、二项式定理汇编
2009 13.61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答） 18. （本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。
某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。
在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。
（I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。
2010（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是C（A ）72 （B ）96 （C ） 108（D ）144（13）6(2-的展开式中的第四项是__________． （17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16B ．13C ．12D ．2318．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。
四川公务员考试：排列组合终结篇——排列
四川公务员考试：排列组合终结篇——排列四川华图李明辉排列组合的重要性我们已经在排列组合终结篇——组合篇已经讲述，在此，我们直接开始为考生讲述排列。
排列的特点：与顺序有关。
举例说明：A、B、C三位同学分别住1、2、3号房，任意交换其中两个的顺序（例如A、B，现在A住2号房，B住1号房），对结果产生了影响，这时候选取方法就是排列。
排列的表示法：()!(1)(2)(1)!mnnA n n n n mn m==---+-…。
举例说明：。
排列常见题型：排房间、排队、排位置。
下面我们通过具体题目来给大家一一展示：【例1】甲、乙、丙三个人到旅店住店，旅店里只有三个房间，恰好每个房间住一个人，问一共有（）住法？A.5B.6C.7D.8【解析】B.三个房间安排甲、乙、丙三个人，交换其中两人的房间（例如A、B原来分别住1号房和2号房，现在交换以后A住2号房，B住1号房），对结果产生影响，因此总共有有种排法，选择B选项。
【例2】某宾馆有6个空房间，3间在一楼，3间在二楼。
现有4名客人要入住，每人都住单间，都优先选择一楼房间。
问宾馆共有多少种安排？（）。
A.24B.36C.48D.72【解析】D.因为有4名客人入住，3间在一楼，3间在二楼，如果优先选择一楼房间，那么4个人中只有3人能够住宿一楼，我们可以先从4个人中挑出3个人，让后将其安排在一楼的房间，总共有种安排方法。
那么剩下的一个人只能住在二楼，总共的安排方法有=3种，那么宾馆的安排方法总共有种。
因此，选择D选项。
【例3】3名学生和2名老师站成一排照相，2名老师必须站在一起且不在边上的不同排法共有（）。
A.12种B.24种C.36种D.48种【解析】B. 排列与捆绑法的结合。
为保证2名老师站在一起，可以假设用一根绳子将两名老师捆绑起来，3名学生总共有种排法，然后让老师过来站队，3名老师之间有2个空位（老师不能站边上），总共排法有种，站好以后将两名老师松绑，2名老师2个位置，总共有种排法，所以总共有种排法，选择B选项。
四川省木里县中学高三数学总复习 排列组合典型例题第
四川省木里县中学高三数学总复习 排列组合典型例题第二节新人教A 版1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．。
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同合作探究二 排列数的定义及公式3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？4、排列数公式推导探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？mA n 呢？ )1()2)(1(+-⋯--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）,,m n N m n *∈≤即学即练:1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷2.已知101095m A =⨯⨯⨯L ，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( )A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A -D ．3050k A -答案：1、5040、20、20；2、6；3、C例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。
解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。
点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。
排列组合ppt课件
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
计数应用(排列组合、概率、抽屉原理、容斥)练习题-公务员考试行测试卷与试题
计数应用（排列组合、概率、抽屉原理、容斥）练习题-公务员考试行测试卷与试题1. 抽屉里有黑色小球13只，红色小球7只，现在要选3个球出来，至少要有2只红球的不同选法共有多少种？A. 308B. 378C. 616D. 458答案：A2. 用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？A. 20B. 30C. 40D. 50答案：B3. 一条马路上有编号为l、2、…、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？A. 10B. 20C. 35D. 84答案：C4. 用0、1、2、3、4、5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数？A. 120B. 300C. 600D. 720答案：A5. 7个人排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边的情况有几种？A. 3120B. 3720C. 3600D. 7200答案：B6. 7个人站成一排，要求甲乙丙三人相邻的排法有几种？A. 120B. 300C. 600D. 720答案：D7. 将“PROBABILKIY”11个字母排成一列，排列数有多少种？A. 9979200B. 9979201C. 9979202D. 9979203答案：A8. 将“PROBABILlIY”11个字母排成一列，若保持P,R,O次序，则排列数有（）种？A. 90720B. 90721C. 90729D. 90726答案：C9. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作。
若这三人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？A. 144B. 192C. 186D. 150答案：C10. 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个？A. 72B. 76C. 78D. 84答案：C11. 甲，乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人，问有多少种不同的选法？【2011年国考】A. 67B. 63C. 53D. 51答案：D12. 有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？【2008浙江】A. 24C. 64D. 72答案：C13. 如图，圆被三条线段分成四个部分。
整除运算规律及排列组合问题
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四川光华公务员考试培训中心 所以，10 个球分给 7 个班，每班至少一个球的分法种数为 84： 。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上 题中球的数目较多处理起来将更加困难， 因此我们需要寻求一种新的模式解决问 题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将 10 个相同的球排成一行，10 个球之间出现了 9 个空档，现在我们用“档 板”把 10 个球隔成有序的 7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个 球（可能是 1 个、2 个、3 个、4 个） ，借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方 法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在 9 个空档之中插 入 6 个“档板” 个档板可把球分为 7 组） （6 ，其方法种数为 C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各 位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下 3 个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到 1 个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例 2．有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】 这道题很多同学错选 C， ： 错误的原因是直接套用上面所讲的 “插板法” ， 而忽略了“插板法”的适用条件。例 2 和例 1 的最大区别是：例 1 的每组元素都 要求“非空” ，而例 2 则无此要求，即可以出现空盒子。 其实此题还是用“插板法” ，只是要做一些小变化，详解如下： 设想把这 8 个球一个接一个排起来，即|● |●|●|●|●|●|●|●|，共形 成 9 个空档（此时的空档包括中间 7 个空档和两端 2 个空档） ，然后用 2 个档板 把这 8 个球分成 3 组，先插第一个档板，由于可以有空盒，所以有 9 个空档可以 插；再插第二个板，有 10 个空档可以插，但由于两个板是不可分的（也就是说 当两个档板相邻时，虽然是两种插法，但实际上是一种分法） ，所以共 C210 种。 【提示】 ：利用“插板法”解决这种相同元素问题时，一定要注意“空”与 “不空”的分析，防止掉入陷阱。 【总结】 “非空”问题插板法原型为：设有 M 个相同元素，分成 N 组， ： 每组至少一个元素的分组方法共有 CN(M-1)； “可空”问题插板法问题原型为：设有 M 个相同元素，分成 N 组，则分组方法共有 C(N-1)(M+2)种方法。 练习 1．有 10 级台阶，分 8 步走完。每步可以迈 1 级、2 级或 3 级台阶，有 多少中走法？（答案为 ） 老子曰：夫物芸芸，各复归其根，归根曰静，静曰复命。在平时的学习中， 我们应当学会寻找共性，寻找根源，从本质上理解归纳各种 问题。
2017四川公务员笔试行测备考：优限法解排列组合题
2017四川公务员笔试行测备考：优限法解排列组合题四川公务员考试行政职业能力测验主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，通过测试选拔出能够胜任公共管理工作的优秀人才。
测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
优限法是指优先考虑具有限制条件的元素，通过此元素作为突破口进行分类分步操作的方法。
所谓具有限制条件的元素就是题目中最特殊的，约束条件最多的元素。
考生如果没有思路，无从下手的时候，可以从这个元素着手，深入思考，定能打开思路。
例：用1-5这5个数字能够组成多少个无重复的三位偶数?解析：此题正是考查三位数的不同排列方法，属于排列组合问题。
根据优限法，题目中三位偶数，百十个三个位置上，最特殊的就是个位，要想是偶数，个位只能是偶数。
至此，很容易想到从个位这个最特殊的位置入手进行分类。
当个位是2时，百位和十位可以在剩下4个数字中任选两个数字进行排列：A(2,4)=12;当个位是4时，百位和十位仍是在剩下4个数字中任选两个数字进行排列：A(2,4)=12;根据分类用加法，一共有12+12=24个无重复三位偶数。
例：有甲乙丙丁四名操作人员，要操作ABC三台机器，每台机器一人操作。
根据技能水平不同，甲乙三台机器都可以操作，丙不能操作C，丁只能操作A，分配方法一共有多少种?解析：此题考查操作人员和机器之间的排列组合方式问题。
方法一：根据优限法，三台机器中最特殊的是C机器，丙丁都不能操作C，所以优先考虑C机器，只能从甲乙两个人中任选一个人操作：C(1,2)=2;继续用优限法，其次比较特殊的是B机器，丁不能操作B，除了C机器操作工和丁之外剩余的两个人都可以操作：C(1,2)=2;最后A机器在除了BC机器操作工以外剩余的两个人中选择操作工：C(1,2)=2.根据分步用乘法，总的方法数2*2*2=8.方法二：根据优限法，四个操作人员中丁最特殊，从丁入手进行分类。
如果丁参与操作，只能操作A机器，剩下的三个人还要操作BC，此时丙比较特殊，继续从丙入手思考：1.如果丙操作B，甲乙其中一人操作C机器：C(1,2)=2;2.如果丙不操作任何机器，甲乙操作BC进行排列：A(2,2)=2;3.如果丁不参与操作，甲乙丙操作三台机器，仍然用优限法，此时丙最特殊，优先考虑丙在AB中选择一台操作：C(1,2)=2，再考虑甲乙操作剩下两台机器：A(2,2)=2，根据分步思想：2*2=4.最后把三类的方法数加起来：2+2+4=8.通过优限法，可以快速找到解题突破口，希望广大考生能够熟练应用此方法，让排列组合问题不再是数学运算的短板。
四川地区排列组合及其概率高三数学文科专题复习资料
排列.组合及其概率一．典型例题：例1．（1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）（A ）至多有一次中靶 （B ）两次都中靶（C ）两次都不中靶 （D ）只有一次中靶 答案：C 。
点评：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。
（2）把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。
事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（ ）（A ）互斥但非对立事件 （B ）对立事件（C ）相互独立事件 （D ）以上都不对答案：A 。
点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。
例2．（2006天津文，18）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9,乙机床产品的正品率是。
（I ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）； （II ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）。
（I ）解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为2233(2)0.90.10.243.P C =⨯⨯= （II ）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A ，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B 。
则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为：(.)(.)(.)0.90.950.90.050.10.95P A B P A B P A B ++=⨯+⨯+⨯0.995.= 解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为：1(.)10.10.050.995.P A B -=-⨯=点评：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。
例3．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
考向37 计数原理与排列组合小题最全归纳(十九大经典题型)(原卷版)
考向37计数原理与排列组合小题最全归纳经典题型一：两个计数原理的综合应用经典题型二：直接法经典题型三：间接法经典题型四：捆绑法经典题型五：插空法经典题型六：定序问题（先选后排）经典题型七：列举法经典题型八：多面手问题经典题型九：错位排列经典题型十：涂色问题经典题型十一：分组问题经典题型十二：分配问题经典题型十三：隔板法经典题型十四：数字排列经典题型十五：几何问题经典题型十六：分解法模型与最短路径问题经典题型十七：排队问题经典题型十八：构造法模型和递推模型经典题型十九：环排问题（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种知识点1、分类加法计数原理完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的办法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．事事A 事事事事1事事1事事2事事m 1事事事事n 事事1事事2事事m n m 1事m n 事 事事事事A 事事m 1+m 2+m 3+···+m n 事事事事事事知识点2、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⋅⋅⋅种不同的方法. 事事B事事1事事i ···事事2事事n m 1事m n 事事事事事B 事事m 1×m 2×m 3×···×m n 事事事事事事m 2事m i 事 注意：两个原理及其区别 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n 类办法，这n 类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n 个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.知识点3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．知识点4、排列与排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示．（2）排列数的公式：()()()()!121!m n n A n n n n m n m =---+=-． 特例：当m n =时，()()!12321m n A n n n n ==--⋅⋅；规定：0!1=．（3）排列数的性质：①11m m n n A nA --=；②111m m m n n n n A A A n m n m+-==--；③111m m m n n n A mA A ---=+． （4）解排列应用题的基本思路：通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，()()A 11mn n n n m =-⋅⋅⋅-+常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!A ()!mn n n m =-． 知识点5、组合与组合数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示．（2）组合数公式及其推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m n A ；根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅； 因此()()()121!m mn n m m n n n n m A C A m ---+==．这里n ，m N +∈，且m n ≤，这个公式叫做组合数公式．因为()!!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：()!!!m n n C m n m =-．特例：01n n n C C ==． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)C !mn n n n n m m --⋅⋅⋅-+=常用于具体数字计算，!C !()!m n n m n m =-常用于含字母算式的化简或证明．（3）组合数的主要性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=．（4）组合应用题的常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型②“至少”或“最多”含有几个元素的题型知识点6、排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ，，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种．2、错位排列公式1(1)(1)!!in n i D n n =-=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k kk A A -+-+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A --·1k n k A -+种．经典题型一：两个计数原理的综合应用......M n...M n -1M 1M 2M 31．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（）A．50种B．60种C．70种D．80种2．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．600个B．540个C．480个D．420个3．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）A．36B．48C．60D．72 4．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C 花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（）A．360B．480C．600D．720 5．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 6．（2022·全国·高三专题练习）有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________.经典题型二：直接法7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A．54B．72C．96D．120A B C D E F共6名同学进行8．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,,,,,决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗㙳，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A．720种B．600种C．480种D．384种9．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A．24种B．6种C．4种D．12种10．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（）．A．10B．30C．40D．46经典题型三：间接法11．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）．A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种12．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）A．21种B．231种C．238种D．252种13．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A．408种B．240种C．1092种.D．120种14．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（）A．96B．326C．336D．360经典题型四：捆绑法15．（2022·浙江邵外高三阶段练习）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.16．（2022·江西·高三开学考试（理））中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）．17．（2022·湖北·高三开学考试）五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.18．（2022·全国·高三专题练习）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有___________种.19．（2022·全国·高三专题练习（理））成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）经典题型五：插空法20．（2022·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）21．（2022·全国·高三专题练习）英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n 不相邻一共可以得到英文单词的个数为_________．（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）22．（2022·全国·高三专题练习）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．23．（2022·全国·高三专题练习）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．24．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）某等候区有9个座位（连成一排），甲、乙、丙、丁四人随机就座，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有_______种 ．25．（2022·全国·高三专题练习）某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，间隔而坐”制度．若该学校的教室一排有8个座位，安排4名同学就坐，则不同的安排方法共有______种．(用数字作答)经典题型六：定序问题（先选后排）26．满足*(1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（ ）个. A ．49C B ．49P C ．410C D ．410P27．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．24种28．DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只有4种类型的碱基，分别用A 、C 、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A -T ，或者是C -G ，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3个碱基A ，2个碱基C 和1个碱基T ，则不同的插入方式的种数为（ ）A ．20B ．40C ．60D ．12029．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A ．120种 B ．80种 C ．20种 D ．48种30．某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）A ．36B ．90C ．360D ．72031．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）A ．2520B ．5040C ．7560D ．10080经典题型七：列举法32．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种33．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．12种34．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足32212308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（ ）A ．45B ．46C ．47D ．48 35．从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个A ．98B ．56C ．84D ．4936．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续．．．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．经典题型八：多面手问题37．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A．675B．575C．512D．54538．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225B．185C．145D．11039．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种经典题型九：错位排列40．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种41．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．36042．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20B．90C．15D．45经典题型十：涂色问题43．（2022·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.44．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．45．（2022·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.46．（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．47．（2022·全国·高三专题练习（理））用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______．48．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．的顶点染色，定义由同一条棱49．（2022·全国·高三专题练习）如图给三棱柱ABC DEF连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.经典题型十一：分组问题50．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（）A．18种B．36种C．68种D．84种51．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（）A．91B．101C．111D．12152．已知有6本不同的书.（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？经典题型十二：分配问题53．（2022·全国·高三专题练习）某校高二年级共有6个班级，现有4名交流生要安排到该年级的2个班级，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为__．54．（2022·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有__种55．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______．56．（2022·上海市向明中学高三开学考试）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．57．（2022·上海市南洋模范中学高三开学考试）将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有___________.（用数字作答）.､､三58．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）有2男2女共4名学生被分派去A B C 个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只收女生，则不同的分派方法数为___________. 59．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是______种.经典题型十三：隔板法60．（2022·广东中山·模拟预测）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）61．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某地举办庆祝建党100周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有7个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种.62．（2022·全国·高三专题练习）方程11x y z ++=的非负整数解共有___________组． 63．（2022·全国·模拟预测）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．64．（2022·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学模拟预测（理））关于x ，y ，z 的方程7x y z ++=（其中x ，y ，z +∈N ）的解共有_____组．65．（2022·全国·高三专题练习）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________. 66．（2022·新疆乌鲁木齐·一模（理））已知数列{}n a 共有26项，且11a =，2620a =，11(1,2,,25)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有__________ 个．经典题型十四：数字排列67．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）从0，1，2，3，4这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2，3时，2要排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（ ）A ．39个B ．40个C ．36个D ．38个68．（2022·重庆南开中学模拟预测）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926 3.1415927π<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．A ．600B ．300C ．360D ．18069．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）A ．120B ．168C ．204D ．21670．（2022·海南·海口一中高三阶段练习）已知a 1，a 2，a 3∈{2，4，6}，记N （a 1，a 2，a 3）为a 1，a 2，a 3中不同数字的个数，如∶N （2，2，2）=1，N （2，4，2）=2，N （2，4，6）=3，则所有的（a 1，a 2，a 3）的排列的N （a 1，a 2，a 3）平均值为（ ）A ．199B ．3C ．299D ．471．（2022·陕西省洛南中学高三阶段练习（理））由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数，共有多少种排法（ ）A ．24B ．48C ．60D ．6272．（2022·辽宁·模拟预测）用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且。