20144月高一《-含参数的简单线性规划问题》
高一数学简单的线性规划问题课件2
4 x＋y 1 0 1 8 x＋ 15y 66 x 0 y 0
x
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图： 把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
教师年薪 万元
2／人
2／人
初中
高中
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
y2x＋2×3y≤1200 而由于资金限制，26x＋54y＋2×
另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。 把上面四个不等式合在一起， 得到
20 x＋y 30 x＋2y 40 x 0 y 0
30
20
o
20
30
40
x
设收取的学费总额为Z万元，则目标函数
2 5z y x Z＝7.2x＋10.8y变形为 3 54 2 5z 它表示斜率为 的直线系，截距为 的直线 3 54 y
可得M（200，100）
Y 500
Z 的最大值Z ＝
3x＋2y＝800
故生产甲产品200件， 乙产品100件，收入 最大，为80万元。
200
MO2504 Nhomakorabea0X
四、作业
P93习题3.3 B组：2、3
； / 交通违章查询
就算是咯咯壹桩事情。难不成非要拖到有咯壹男半女の时候才能给名分？别又闹得跟那家似の，非要等小格格格生出来咯才认命。唉，不过话说 回来，那各丫环の肚皮也实在是不争气，都这么长时间咯，怎么也不见有啥啊动静。”排字琦先是莫名其妙，再壹听德妃如此说来，简直就是五 雷轰顶！天啊！爷与年家那各玉盈仆役好上咯？除咯她也没有别人啊！总不可能是看上吟雪那丫头吧，那也就只剩下这各以丫环身份随行の年家 大仆役咯！震惊不已、怒火中烧の排字琦回到府里。这年家大仆役竟然敢在她の眼皮子底下与爷存咯私情，枉她那么好心好意地帮衬着她，甚至 还曾经操心过她の婚事，想过哪家の小格、公子配得上她。原来，原来，她耗成咯壹各嫁不出去の老姑娘，竟是惦记上自家爷咯！痛恨不已の排 字琦借着德妃娘娘催问她办婚事の由头，毫不掩饰地向王爷发难：“爷，妾身今天进宫里跟娘娘请安，额娘催问媳妇啥啊时候把那各年家大仆役 娶进府里来？”王爷被排字琦の这番话气得脸色铁青！此时の他，正被玉盈那各“谁也不嫁”の话伤心不已，本来就窝着壹口气，现在又听排字 琦说起这件事情，简直就是往他の伤口上撒盐。本来就邪火没处撒の他，正好遇到排字琦撞到咯枪口上，结果壹肚子の怒气全都壹股脑地发泄到 咯她の头上：“这种恶语中伤の事情你也做得出来？额娘不清楚情况，你也跟着不辨是非、人云亦云？人家是未出阁の姑娘，怎么就要凭白地被 你毁咯名节？”第壹卷 第331章 除疑被王爷劈头盖脑、不分青红皂白地壹顿训斥，排字琦简直就是委屈至极！她分明就是两面不讨好嘛。娘娘 那里指责她肚量小，不积极操持张罗爷の婚事；而在爷这里居然训斥她是毁咯年仆役名节の罪魁祸首，她排字琦还有没有活路咯？受咯夹板气の 排字琦从爷那里讨不来说法，只好派小柱子留意侧福晋以及侧福晋娘家姐姐の情况。她の想法是：既然德妃娘娘提出来咯，壹定不是捕风捉影の 事情，但是爷不但矢口否认，还倒打壹耙。那她只有凭自己の本事咯，谁让她不管是德妃娘娘还是爷都不敢得罪呢！排字琦最想知道の是，到底 是娘娘说の真，还是爷在欺骗她？或者是说，爷在塞外の时候跟那各年仆役好上咯，回到京城又后悔咯？这各应该是最有可能。爷根本就看不上 天仙妹妹，这出门在外大半年の时间，谁负责侍寝？只可惜，这年仆役是打错咯如意算盘，做错咯白日梦，赔咯身子也没换来啥啊好结果！虽然 分派咯小柱子，排字琦自己也格外地留意和观察起天仙妹妹の神色、情绪，企图寻找出来蛛丝马迹。结果不管是她自己观察の年妹妹，还是小柱 子上报来の侧福晋，都让她不得不相信咯王爷の说辞。先说水清妹妹这里。每日里她依然是早来早走，不跟其它の姐姐们有啥啊过多の来往，但 是排字琦还真是看不出她の脸上有壹丝の哀伤、怨气、不满、或是妒忌の神色。相反，不但壹如既往、克尽礼数地对待她，平淡如水地对待其它 の姐姐们，而且偶尔地，居然还会有些许の满足、些许の欣喜，洋溢在她の小脸上。水清那时候不高兴才怪呢！王爷の心思和时间先是被两各新 降生の小小格分去咯许多，继而又被二废太子之后新增の夺储大业占据咯全部，早就完全地将她忘到咯脑后。假如不是偶尔の家宴，以及压抑不 住の对玉盈の思念，他早就将她彻底地遗忘。因此这两年来，由于没有咯爷の“关注”，水清再也不会无缘无故地被爷寻咯短处，也不会无缘无 故地被爷安上“莫须有”の罪名，她开始充分地享受着无忧无虑、随性自然、幸福快乐の生活，这让她怎么能不面露喜色？再说小柱子那里。报 上来の情况壹如排字琦猜测の壹样，每日里不是读书写字儿做女红，就是晒晒太阳种花草，小日子过得有滋有味、怡然自得，不但根本看不出来 她是壹各被爷冷落至极の人，而且也根本看不出来她是壹各被自己の姐姐夺咯夫君の人。“此外，侧福晋与吟雪和月影她们聊天の时候，奴才也 注意到她们经常提到年家那各大姑奶奶，相互之间还经常送衣物、书信啥啊の。大概情况就是这些，不知道福晋还想咯解年家大仆役の啥啊事 情。”“噢，没啥啊咯，你精心当差，少不咯你好处の。”“多谢福晋。”第壹卷 第332章 入宫三月十八日当天，时隔三年，水清再壹次踏入 皇宫の大门。在永和宫，她再次见到咯两年多不见の德妃娘娘和塔娜。此次三小格弘时也随淑清壹同进宫参加皇玛法の寿宴。平时在府里弘时就 格外地不喜欢这各年姨娘。年姨娘没有进府之前，额娘只需要向福晋额娘行礼，现在额娘不但要向这各黄毛丫头行礼，而且自打她进咯府以后， 他又多出来咯两各小弟弟，他不再是王府里の独苗。以前全府所有の主子奴才对他全都是众星捧月，除咯阿玛，就是这各年姨娘，跟别人不壹样。 阿玛不用说咯，从来没有对他笑过，除咯吓人唬啦地查他功课，就是罚他抄书甚至跪地反省。年姨娘倒是壹直对他都是笑吟吟地，但是她从来不 会像其它人那样千方百计、强颜欢笑地讨好他，年姨娘永远都是端庄大方、彬彬有礼，既不会刻意地亲近他，但也绝对不会刻意地冷落他。凭啥 啊！小爷可是这王府里最年长の小格，将来皇玛法封咯小爷作世子，不管将来再有好些各弟弟，小爷也不怕！待小爷当咯世子爷，不信你年姨娘 不上赶着来巴结、讨好小爷。等到咯那各时候，小爷反倒是要好好地考虑考虑，理不理会你呢！嗯，还是理你吧。就罚你每天都要
高中生数学线性规划教案
高中生数学线性规划教案教学内容：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域。
2. 掌握线性规划的解题思路和方法。
3. 在实际问题中运用线性规划进行分析和解决。
教学目标：1. 理解线性规划的定义和特点。
2. 能够根据具体问题建立线性规划模型。
3. 能够运用线性规划解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 线性规划的基本概念和特点。
2. 线性规划模型的建立和求解方法。
3. 实际问题中线性规划的应用。
教学难点：1. 将实际问题抽象成线性规划模型。
2. 运用线性规划方法解决问题的能力。
教学过程及教学方法：1. 导入（5分钟）通过介绍一个生活中的实际问题，引出线性规划的概念和应用场景。
2. 理论讲解（15分钟）讲解线性规划的定义、目标函数、约束条件等基本概念，并介绍线性规划的解题思路和方法。
3. 示例分析（20分钟）通过具体的例题演示，引导学生理解如何建立线性规划模型，并运用线性规划方法解决问题。
4. 练习与讨论（15分钟）组织学生进行练习题目，引导学生思考问题的建模和解决方法，并开展讨论分享。
5. 拓展应用（10分钟）介绍线性规划在实际生活中的广泛应用领域，启发学生深入思考线性规划的实际意义。
6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，梳理线性规划的重点和难点，强调学生需要掌握的知识点。
教学资源：1. PPT课件；2. 课堂练习题目；3. 实际问题案例。
教学评估：1. 课堂练习成绩；2. 参与讨论的表现；3. 课后作业完成情况。
教学反馈：及时对学生在课堂练习和课后作业中存在的问题进行指导和辅导，帮助他们提高线性规划解题能力。
高一数学中的线性规划问题如何解决
高一数学中的线性规划问题如何解决在高一数学的学习中，线性规划问题是一个重要且具有一定难度的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还能培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
那么，如何有效地解决高一数学中的线性规划问题呢？下面让我们一起来探讨一下。
首先，我们要明白线性规划问题的基本概念。
简单来说，线性规划就是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
这些约束条件通常是由一些线性不等式组成，而目标函数则是一个关于变量的线性表达式。
为了更好地理解和解决线性规划问题，我们需要掌握以下几个关键步骤：第一步，准确地列出约束条件和目标函数。
这就要求我们能够读懂题目中的文字描述，将其转化为数学语言。
比如，如果题目中说“生产A 产品不超过 5 件，生产B 产品不少于 3 件”，那么我们可以列出约束条件：＄A\leq5$，＄B\geq3$。
同时，根据题目所给定的条件，确定目标函数，比如“利润最大”，那么可能就会有目标函数$Z ＝3A ＋5B$。
第二步，画出可行域。
可行域就是满足所有约束条件的点的集合。
我们可以通过把每个约束条件所对应的直线画出来，然后根据不等式的方向确定可行域的范围。
例如，对于不等式$A ＋ B\leq8$，我们先画出直线$A ＋ B ＝ 8$，然后根据“小于等于”这个条件，确定可行域在直线的下方（包括直线上的点）。
第三步，找到最优解。
在可行域内，我们要找到使得目标函数取得最大值或最小值的点。
这个点可能在可行域的顶点处，也可能在边界上。
我们可以通过将可行域的顶点坐标代入目标函数，比较得出最大值或最小值。
在实际解题过程中，还需要注意一些常见的错误和容易忽略的地方。
一是在列出约束条件时，要注意不等式的方向不要搞错。
比如“大于等于”和“小于等于”的区别，如果弄错了，就会导致可行域的范围出错，从而影响最终的结果。
二是在计算顶点坐标时要仔细，避免计算错误。
有时候顶点坐标可能不是整数，计算过程中要保持耐心和细心。
高中数学 简单的线性规划问题教案4 新人教A版必修4
§3.3.2 简单的线性规划问题4一、学习目标1.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；2.掌握寻找整点最优解的方法；3.求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义） 二、学习重点掌握寻找整点最优解的方法。
三、学习难点求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）。
四、学习过程（一）复习：已知变量 x , y 满足约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求2x+y 的最值目标函数：约束条件： 可行解： 可行域： 最优解：（二）学习新知 实例感知题型一：寻找整数点最优解的方法 例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示：今需要三种规格的成品分别为12 块、1 5 块、2 7 块，各截这两种钢板多少张可得所需 A 、B 、C 、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？知识小结：寻找整点最优解的方法1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验。
注意点：网格法要求做图精确，当不容易判别哪个解更接近最优解时可将各个可能逐一检查即可见分晓。
（三）实战演练北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？题型二：求解非线性目标函数的最值例2：已知：2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求（1）y z x =的最大值和最小值（2）22z x y =+的最大值（1）画出可行域（2）思考y z x=，22z x y =+的几何意义知识小结：非线性目标函数求解需结合目标函数的几何意义变式训练：已知2040250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求：（1）221025z x y y=+-+的最小值（2）211yzx+=+的范围巩固练习：已知x、y满足约束条件2510236210x yx yx y+≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩，求11yx++的取值范围（四）自我回顾课堂小结：1.掌握寻找整点最优解的方法；（平移求解法、调整最优值、逐一检验法）2. 求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）（五）课后实践1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是（）.A．50x + 40y = 2000 B．50x + 40y ≤ 2000C．50x + 40y ≥ 2000 D．40x + 50y ≤20002. 变量x, y 满足约束条件232421229360,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩则使得z = 3x + 2 y 的值的最小的(x, y ) 是（）.A．（4，5） B．（3，6） C．（9，2）D．（6，4）3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是数学课程中的一个重要内容，它是线性代数和数学建模的基础。
线性规划是一种优化问题，旨在找到一组变量的最优解，以满足一系列线性约束条件和目标函数。
在高中数学中，线性规划通常涉及到两个变量的问题，即两个未知数的最优解。
这种问题可以用图形法或代数法进行求解。
图形法是一种直观的方法，它通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线来找到最优解。
首先，我们将约束条件转化为不等式，然后绘制出这些不等式所表示的直线。
接下来，我们找到所有直线的交点，并确定它们的可行解区域。
最后，我们在可行解区域内找到目标函数的最大值或最小值。
代数法是一种更为精确的方法，它利用线性代数的知识来求解线性规划问题。
首先，我们将约束条件和目标函数转化为方程组。
然后，我们使用高斯消元法或矩阵运算来求解方程组，得到最优解。
线性规划在实际生活中有广泛的应用。
例如，在生产计划中，线性规划可以帮助企业确定最佳的生产数量和分配方案，以最大化利润。
在资源分配中，线性规划可以帮助政府或组织合理分配有限的资源，以满足多个需求。
在运输问题中，线性规划可以帮助物流公司确定最佳的运输路线和运输量，以降低成本。
除了基本的线性规划问题，高中数学还可以引导学生解决更复杂的线性规划问题。
例如，多目标线性规划可以同时考虑多个目标函数，如最大化利润和最小化成本。
混合整数线性规划可以引入整数变量，以更好地模拟实际问题。
灵敏度分析可以帮助学生理解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响。
在教学中，为了帮助学生更好地理解线性规划的概念和方法，教师可以设计一些实际问题，并引导学生进行求解。
例如，一个生产企业需要决定生产两种产品的数量，以最大化利润。
学生可以利用线性规划的方法来求解这个问题，并分析不同约束条件对最优解的影响。
总之，高中线性规划是数学课程中的重要内容，它不仅帮助学生理解线性代数和数学建模的基本概念，还培养了学生的问题解决能力和数学思维能力。
通过学习线性规划，学生可以更好地应用数学知识解决实际问题，并为未来的学习和工作打下坚实的基础。
高中数学 必修5 简单的线性规划问题(含参)
题型一
题型二
题型三
+ 2 ≤ 4,
(2)作出二元一次不等式组 - ≤ 1,
表示的平面区域,如图
+2≥0
所示.
由 u=3x-y,得 y=3x-u,得到斜率为 3,
在 y 轴上的截距为-u,随 u 变化的一组平
行线,由图可知,当直线经过可行域上的 C
点时,截距-u 最大,即 u 最小.
+ 2 = 4,
而增大;当 B<0 时,z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小.通
常情况下,可以利用可行域边界直线的斜率来判断.
题型一
题型二
题型三
题型一 求线性目标函数的最值
+ 2 ≤ 4,
【例 1】 已知关于 x,y 的二元一次不等式组 - ≤ 1,
+ 2 ≥ 0.
(1)求函数 z=x+2y 的最大值和最小值;
-2 + 2 ≥ 0
的可行域,
如图,作直线 2x-y=2,与直线 x2y+2=0 交于可行域内一点 A(2,2),
由题知直线 mx-y=0 必过点 A(2,2),
即 2m-2=0,得 m=1.故选 C.
答案:C
-4 ≤ -3,
(2)设 x,y 满足约束条件 3 + 5 ≤ 25, 求目标函数z=ax+y(a>0)
由可行域知,当直线y=-x+z经过点A(2,4)时,
z取最大值,此时x=2,y=4,则z的最大值为z=x+y=2+4=6.
答案:6
题型二
求参数的取值范围
≥ 1,
【例 2】 (1)已知实数 x,y 满足 ≤ 2-1, 如果目标函数z=x-y
高中数学简单的线性规划问题课件 新课标 人教 必修4(A)
若目标函数是z x2 y2，你知道其几何
意义吗？你能否借助其几何意义求得 z m i n
和 z m a x ？如果是 z
y 或 z 2( y 1) 呢？
x3
x3
【设计思路】
☆思考题难度提升较大， 可以为学有余力的学生拓 宽思维的空间，具体教学 中可根据不同程度的教学 对象及课堂学生的反应情 况进行删减与调整
选择 “工厂日生 产安排”为引例
选择贴近学生生活的 “饮食营养” 作为模仿 练习
展现线性规划的两种类型题，以及可行域封闭与 不封闭、最优解为最大值与最小值的对比情况
自编设计了一个探究练习
安排信息技术的拓展性应用
教学过程分析
环节一 环节二 环节三 环节四 环节五
五个教学环节
分析引例，形成概念，规范解答 模仿练习，强化方法，拓展题型 探究练习，增强互动，开阔视野
简单的线性规划问题
目录
教材分析
教学分析
教学过程分析
教法分析
教学评价分析
教材分析
“发展学生的数学应用意识” 是高中数学课程标准的基本理念之一
“简单的线性规划问题”这一知识板块 恰好是不等式知识的一个实际应用，既 具有丰富的实际背景，又具有较强的数学 建模思想，能体现数形结合的数学方法， 反映了数学在现实生产、生活优化决策 问题中的应用价值，是一个能引导学生
在_B_C__处有最小值__1_；
zxy ②
在__C__处有最大值__1_， 在__B__处有最小值_-_3_；
③你能否设计一个目标函数，使得其
取最优解的情况有无穷多个
y
A(2 , 4 )
B
(1 , 2)
0 C(1 , 0 )
x
④ 你从以上探究过程中获得哪 些探究成果和感受呢
含参的线性规划问题
x 0 （3）点M（a, b)在 y 0 区域内， x+y 2 求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0 （4）不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
表示的平面区域是一个三角形，则 取值范围是 D
4 D.0 a 1或a 3
命题点3 区域图形与面积
x+y-1 0 例3、（1）若不等式组 x-1 0 ax-y+1 0 所表示的平面区域的面积等于2，求a
1 1
D
x 0 例3（2）已知a>0，b 0，且 y 0 , x y 1 恒有ax+by 1,求点（a,b)所成区域的面积
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
直线型， z表示纵截距的 b倍 1. z ax by 2. z ax by+c 点到直线距离型 转化为坐标形式或投影 3. z OA OP yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型 (距离平方 )
线性规划
由区域求参数
【 例1】 ( 2013 新 课 标 II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 x 1 1， 则a ( ) x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
4 A.a 3 B.0 a 件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
必修高中数学简单的线性规划问题
诚西郊市崇武区沿街学校简单的线性规划问题教学目的〔1〕稳固图解法求线性目的函数的最大、最小值的方法； 〔2〕会用画网格的方法求解整数线性规划问题． 教学重点、难点用画网格的方法求解整数线性规划问题． 教学过程 一．数学运用例1．设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。
解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入不等式组消去z 得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，代入目的函数得224u x y =-++，作直线0l ：0x y -+=，作一组平行线l ：x y u -+=平行于0l ，由图象知，当l 往0l 左上方挪动时，u 随之增大，当l 往0l 右下方挪动时，u 随之减小，Axy OB1 1所以，当l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-⨯+⨯+=，当l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-⨯+⨯+=，所以，max 6u =，min 4u =．例2．,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部〔不含边界〕，设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，那么,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方挪动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解， 又由75019x <<知x 可取1,2,3，当1x =时，代入原不等式组得2y =-，∴1x y +=-； 当2x =时，得0y =或者者1-，∴2x y +=或者者1； 当3x=时，1y =-，∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或者者31x y =⎧⎨=-⎩． ABCxy O1l3l2l说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是此题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ，再用x 制约y ．例3．〔1〕1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围； 〔2〕设2()f x ax bx =+，且1(1)2f ≤-≤，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围。
参数线性规划
0 2
当 1 / 5 时，由原最终单纯形表
cj 2 1 2 CB X B b x1 x2 0 x3 15 / 2 0 0 2 x1 7 / 2 1 0 1 2 x2 3 / 2 0 1 cj zj
0 0
0 0 0 x3 x4 x5 1 5 / 4 15 / 2 0 1/ 4 1/ 2 0 1/ 4 3/ 2 1 1 5 0 4 4 2 2
举例分析——目标函数的系数
含有参数的线性规划问题 分析 值变化时，下述参数线性规划 问题最优解的变化。
max z ( ) (2 ) x1 (1 2 ) x2 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x x 5 2 1 x1 , x2 0
cj
1 0 0 0 x2 x3 x4 x5 5 1 0 0 1 0 0 1 4 0 1 6 1 0 0 2 z 10
先令 0 求得最优 解，然后 将 b 反映在最终单纯形表中，见下表：
cj
CB X B
b
2 1 0 x1 x2 x3 0 0 1
0 x4
0 x5
15 5 0 x3 2 4 7 1 2 x1 若 6， 4 2 则x 4 0 3 1 1 x2 2 4
先令 0求得最优 解，然后 将C 反映在最终单纯形表中，见下表：
cj 2 1 2 0 0 0 CB X B b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 15 / 2 0 最优解保持不变的条件 / 2 0 1 5 / 4 15 2 x1 7 / 2 1 0 0 1 / 417 132 1/ 1 z 1 2 x2 3 / 2 5 0 1 0 1 / 42 3 /22 1 1 5 0 0 0 cj zj 4 4 2 2
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4、已知实数 x，y 满足xx－ ＋yy＋ ≥60≥ ，0， x≤3，
若 z＝ax＋y 的最大值
为 3a＋9，最小值为 3a－3，则实数 a 的取值范围为________．
解：作出x，y满足的可行域，如图中 阴影部分所示，则z在点A处取得最大值， 在点C处取得最小值，又kBC＝－1， kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
答案：A
目标函数最值问题分析 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得， 也可能在边界处取得． (2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所 表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数．
(3)对目标函数不是一次函数的问题，常考虑目标函数的几何意义， 如① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)之间的距离；
含参数的简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1、(2012·福建高考)若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约
x＋y－3≤0， 束条件x－2y－3≤0， 则实数 m 的最大值为（ ）
x≥m，
A．－1
B．1
3 C.2
D．2
解:如图所示：约束条件
x＋y－3≤0， x－2y－3≤0， x≥m，
x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离． ②xy表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；xy－－ba表示点(x，y)与
点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求代数问题 转化为几何问题．
已知目标函数的最值求待定系数
例3、已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2,若目标函数 z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值范围. 分析:先画出可行域,利用数形结合求解.
x≥0 9.(2009 安徽)若不等式组 x 3y≥4 所表示的平面区域被直线
3x y≤4
y kx 4 分为面积相等的两部分,则k的值是
3
A. 7
B. 3
C. 4
D. 3
3
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
4
解析 :由题目所给的不等式组可知,其表示的平面区域如右图所示,
这里直线y kx 4 过定点C(0, 4),因此只需要经过线段AB的
表示的可行域如阴影
部分所示．当直线 x＝m 从如图所示的实线位置运动到过 A 点的位
x＋y－3＝0，
置时，m 取最大值．解方程组
得 A 点坐标为(1,2)，
y＝2x，
故 m 的最大值是 1. 答案:B
2、已知关于 x，y 的不等式组0x≤＋xy－≤22≥，0， kx－y＋2≥0，
答案：B
2．设不等式组x3＋ x－y－y＋113≥≥00，， 5x－3y＋9≤0
表示的平面区域为 D.若指数
函数 y＝ax 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
解：平面区域D如图所示． 要使指数函数y＝ax的图象上存在 区域D上的点， 所以1＜a≤3.
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
解：区域 D 如图所示： 设 M(x，y)，则 z＝OM ·OA＝(x，y)· ( 2，1)＝ 2x＋y. 要求目标函数 z＝ 2x＋y 的最大值 即求直线 y＝－ 2x＋z 在 y 轴上截 距的最大值，画 l0：y＝－ 2x，由图知过直线 y＝2 与直 线 x＝ 2的交点 M( 2，2)时，z 取得最大值为 zmax＝ 2× 2＋2＝4.
答案:B
x y≥2,
变式训练3
:已知变量x,
y满足约束条件
x
y≤2,
0≤y≤3,
若目标函数z y ax仅在点5,3处取得最小值,
求实数a的取值范围.
解:画出可行域,如图所示. 由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线 y=ax+z在y轴上的截距,由于函数z=y-ax仅在点(5,3)处取 得最小值,如图所示,直线y=ax+z过点P(5,3),且直线 y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率,所以a>1.
积为 4，则 k 的值为 ( )
所表示的平面区域的面
A．1 B．－3 C．1或－3 D．0
解：其中平面区域kx－y＋2≥0是含有 坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0 又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区 域的面积为4，确定一个封闭的区域， 作出平面区域即可求解．平面区域如图 所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.
x＋y≤1
3
3
中点D即可,此时D点的坐标为(1 , 5), 代入即可解得k的值为 7 .
22
3
答案:A
1． 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 上 的 区 域 D 由 不 等 式 组
0y≤≤2x，≤ 2， x≤ 2y
给定，若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A
的坐标为( 2，1)，则 z＝OM ·OA的最大值为 ( )
答案：[－1,1]
5、给出平面可行域(如下图),若使目标函数z=ax+y取最大值 的最优解有无穷多个,则a=( )
A. 1
B. 3
C.4
D. 5
4
5
3
解析 :由题意知,当直线y ax z与直线AC重合时,
最优解有无穷多个.a 5 2 3 ,a 3 .
16 5
5
答案：A
3、设 m>1，在约束条件yy≥ ≤xm，x， x＋y≤1
下，目标函数 z＝x＋my 的最
大值小于 2，则 m 的取值范围是( )．
A．(1,1＋ 2)
B．(1＋ 2，＋∞)
C．(1,3)
D．(3，＋∞)
错解:变形目标函数为
y＝－m1 x＋mz .
y≥x， 作不等式组y≤mxm>1，
解:由约束条件画出可行域,如图所示. 点C的坐标为(3,1), z最大时,即平移y=-ax时使直线在y轴上的截距最大,
∴y=-ax的斜率要小于直线CD:x+y-4=0的斜率. 即-a<kCD,即-a<-1,∴a>1.
规律技巧
这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题必 须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取 得,运用数形结合的思想方法求解.