杭州学军中学高三理科数学第五校联考定5

2011学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．1．在复平面内，复数1i i+＋(1)2对应的点位于 ( ) A ． 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2．若22)n x的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ）A ．45B ．90C ．180D ．3603．若数列{}n a 满足212(n na p p a +=为常数，*)n N ∈，则称数列{}n a 为等方比数列．已知甲：{}n a 是等方比数列，乙：{}n a 为等比数列，则命题甲是命题乙的 （ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率( ) A ．2140 B ．1740C ．310 D ．71205.函数()sin()f x A x B ωϕ=++的图象如图，则()f x 的解析式和(0)(1)S f f =++(2)(2011)f f +⋯+的值分别是 （ ） A ．1()sin 212f x x π=+ ， 2011S =B ．1()sin 122f x x π=+ ， 2012S =C ．1()sin 124f x x π=+ ， 2012S =D ．1()sin 122f x x π=+ ， 2011S =6．函数()y f x =的定义域是(,)-∞+∞是其定义域上的增函数，则函数()y f x =的图象可能是图中的 （ ）7．在锐角三角形ABC ∆中，tan 1,tan 1A t B t =+=-，则t 的取值范围是 （ ）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．(1,1)-8．已知向量OA (1,sin )θ=，OB (cos ,1)θ=，(0,)2πθ∈,则AOB ∆面积的最小值是 （ ）A ．1B ．18C ．12 D ．149．若函数 2()2,[1,2]f x x ax b x =++∈有两个不同的零点，则a b +的取值范围是 （ ）A ．(0,3]B ．(0,2)C ．(1,3)D ．[0,3]10．设三位数n =，若以,,a b c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 共有 （ ） A ．185个 B ．170个 C ．165个 D ．156个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11． 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 ；12．定义：区间1212[,]()x x x x <的长度为21x x -，已知函数0.5|log |y x =定义域为[,]a b ，值域为[0,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值为 ；13．随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若()EM a a a =--，，，则D ξ的值是 ；14. 对于等差数列{n a }，有如下一个真命题：“若{n a }是等差数列，且1a ＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则(1)(1)0t s s a t a ---=”．类比此命题，对于等比数列{n b }，有如下一个真命题：若{n b }是等比数列，且1b ＝1，s 、t 是互不相等的正整数，则 ；15．若不等式组02(1)1y y x y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ；16.设G 为ABC ∆的内心, 5,4,3AB AC CB ===，AG xAB yBC =+,则y 的值是 ；17．已知函数22,1()44,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若2(21)(2)f m f m +>-，则m 的范围是 ；三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题14分)设集合1{24}32x A x-=≤≤，{}223210B x x mx m m =-+--<. （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数； （2）若A B ⊇，求m 的取值范围.19．(本题14分)（如右图）半径为1，圆心角为0120的扇形，点P 是扇形AB 弧上的动点，设POA x ∠=．（1）用x 表示平行四边形ODPC 的面积()S f x =； （2）求平行四边形ODPC 面积的最大值．20．(本题14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅（1）证明：数列1{}n n S n+是等差数列，并求n S ； （2）设3nn S b n =，求证：121n b b b +++<.21. (本题15分)已知函数32(),(0)f x px qx r p =++>图象的对称中心为(1,0)，且()f x 的极小值为2-. （1）求()f x 的解析式；（2）设()()T x f x m =+，若()T x 有三个零点，求m 的范围； （3）是否存在实数k ，当2a b +≤时，使函数1()'()3g x f x k =+[,][,],a b a b 在定义域上的值域恰为若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.22．(本题15分)已知函数()ln f x ax x x b =++是奇函数，且图像在点(,())e f e (e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3.（1） 求实数a 、b 的值;（2） 若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值;B（3） 当1,(,)n m n m Z >>∈时，证明：()()m nn m mn nm >.2011学年浙江省第一次五校联考数学（理）答卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，答案请填入答题卡中）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、三、解答题（本大题共5小题，共72分）18、19、20、21、22、2010学年浙江省第一次五校联考数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题11． 2 ； 12．154 ； 13． 5.9； 14． 111=--t ss t b b15．(,0)a ∈-∞； 16．512；17. (3,1)(1,3)m ∈--三、解答题18．解：化简集合A={}25x x -≤≤，集合{}(1)(21)0B x x m x m =-+--<. ………….4分 （1）{},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--,即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为822254-=个. .7分（2）①m= －2时，B A =Φ⊆；………….9分②当m<－2 时，()()21120m m m +--=+<，所以B=()21,1m m +-,因此，要B A ⊆，则只要21236152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，所以m 的值不存在；…………11分 ③当m>－2 时, B=（m-1,2m+1）,因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是：m=－2或1 2.m -≤≤ …………14分 19．由题意得：001sin(120)sin 60a x ==- ………….3分0)a x -000)sin ,(0,120)ODPCSx x x -∈ …………7分1sin sin 2x x x ⎤+⎥⎦2cos sin x x x =1cos 2x x ⎤-+⎥⎦311sin 2cos 22x x ⎤-+⎥⎦ ()01sin 2302x ⎤-+⎥⎦………….11分 当0023090x -=时达最大值00029030120x =+=即，当00060(0,120)x =∈ ………….14分20．解：（1）由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即()221(1)1n n n S n S n n ---=-，所以1111n n n n S S n n -+-=-，对2n ≥成立。

11111S += 所以1{}n n S n+是首项为1，公差为1的等差数列， ………………………4分1112S a ==，所以21n n S n =+，当1n =时，也成立。

………………………8分 （2）3111(1)1n n S b n n n n n ===-++ …………………11分 1211111111122311n b b b n n n ∴+++=-+-++-=-<++……………14分21．解：（1）32()32f x x x =-+ …………………………………………4分 (2)()22f x 的极大值为，极小值为－，(2,2)m ∴∈- ……………………7分(3) 2'()36f x x x =-,2()2g x x x k =-+ ①当1a b <≤时，在[,]a b 上单调减，222(1)2(2)b k a a a k b b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩ (1)(2)1a b ⇒-+=得…………………9分2212(3)12(4)a k a a b k b b ⎧-=-+⎪⎨-=-+⎪⎩ 22201(5)01(6)0115[1,)4k a a k b b k x x x k ⎧=--+⎪⎨=--+⎪⎩=--+≤∈ 所以方程在上有两个不同的解…………………11分②1a b ≤≤若且11a b -≥-，2a b +≤ 在[,]a b 上不单调时， min ()(1)1a f x f k ===-，22b k a a =-+，2b a ≤-2221122[1,0]b k a a a a a a a =-+⇒≤+-+≤-⇒∈- [0,1]k ∴∈ …………………14分综上得：5[0,)4k ∈ …………………15分22. 解：(1) 由()ln (ln f x ax x x b x a x b =++=++是奇函数 则ln y a x b =++为偶函数∴ 0b = ………………………………1分 又0x >时，()ln f x ax x x =+∴ '()1l n f x a x =++ '()3f e = ∴ 1a = …………3分 （2） 当1x >时，令()ln ()11f x x x xg x x x +==-- ∴ ()'22ln ()1x xg x x --=- 令()2ln h x x x =--∴ '11()10x h x x x-=-=> ∴ ()y h x =在(1,)+∞上是增函数………………6分 ∴ '''(1)10,(3)1ln30,(4)2ln 40h h h =-<=-<=-> ∴ 存在()03,4x ∈，使得'0()0h x =则()''01,,()0,()0,()x x h x g x y g x ∈<<=为减函数；()''0,,()0,()0,()x x h x g x y g x ∈+∞>>=为增函数 ………………8分∴ 000min 000ln ()()1x x x g x g x x x +===-∴ 0,k x <又()03,4x ∈ ，k Z ∈∴ max k =3 ………………10分（3） 要证 ()()mnn mmn nm >即证 ln ln ln ln m m nm n n n nm m +>+即证 ln ln 11n n m mn m >-- ………………12分令 ln ()1x xx x ϕ=- ， ()'21ln ()1x x x x ϕ--=-()1ln 1'()10,(1)()(1)0()1ln 0g x x xg x x xg x g g x x x =--=->>∴==-->令 ………………14分 所以 '()0x ϕ>∴ ()y x ϕ=是增函数，又 1n m >> ∴ ()()mnnm mn nm > ………………15分IB 模块：题1．设,,x y z ∈R ，且231x y z ++=．（Ⅰ）当1z =，|||1|2x y y +++>时，求x 的取值范围；（Ⅱ）当0,0,0x y z >>>时，求22223123x y z u x y z =+++++的最小值． 解：（Ⅰ）当1z =时，12xy =--，从而|2|||4x x -+>． ① 当0x ≤时，24x x -->，解得1x <-； ② 当02x <≤时，24x x -+>，无解； ③ 当2x >时，24x x -+>，解得3x >． 综上，x 的取值范围是{|1x x <-或3}x >．（Ⅱ）222222234912312439x y z x y z u x y z x y z =++=++++++++ ∵231x y z ++=，0,0,0x y z >>>，∴2224915()[(1)(24)(39)]12439x y z u x y z x y z =++++++++++2(23)x y z ≥++=1， ∴ 115u ≥．当2312439x y zx y z ==+++，即113,,14714x y z ===时， min 115u =．题2．在极坐标系中，极点为O ，已知曲线1C ：2ρ=与曲线2C ：sin()4πρθ-=交于不同的两点,A B ． （1）求AB 的值；（2）求过点(1,0)C 且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程． 解：（1）设[)1212(,),(,),,0,2A B ρθρθθθπ∈，则12sin())44ππθθ--， [)1212,0,2,2πθθπθθ∈∴-=，即2AOB π∠=，又2,OA OB AB ==∴=5分（2）设点(,)P ρθ为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成4π的角，则34PCO π∠=，在POC 中，3,1,,,44OP OC POC PCO OPC ππρθθ==∠=∠=∠=-，由正弦定理可知：1,sin()4sin()sin44ρπρθππθ=-=-即 即直线l的极坐标方程为：sin()4πρθ-．10分。