8.45、空间几何体的三视图直观图表面积与体积

【解析】设该几何体的外接球的 半径为 R.依题意知，该几何体是如图 所示的三棱锥 A－BCD， 其中 AB⊥平 面 BCD，AB＝2，BC＝CD＝ 2，BD ＝2，BC⊥DC，因此可将该三棱锥补 形为一个长方体，于是有(2R)2＝22＋ ( 2)2＋( 2)2＝8，即 4R2＝8，则该几 何体的外接球的表面积为 4 π R2 ＝ 8 π.
5．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位：cm)， 3 2 4 则它的侧视图的面积为_______cm .
【解析】由正视图和俯视图可知，侧视图的底边长 3 为俯视图的高即 2 ，侧视图的高为正视图的高 3，所以 1 3 3 2 侧视图的面积为 S＝2× 2 × 3＝4 cm .
【知识要点】 1．平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的， 中心投影的投影线相交于一点． 2．空间几何体的结构特征
4 1 2 2 3π h(r1 ＋r1·r2＋r2 ) 3 ____________________ ______ πR3
表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的 底面半径，r1、r2 分别表示圆台上、下底面半径，R 表示 球的半径．
一、几何体的三视图 例1(1)(2012 陕西)将正方形(如图 1 所示)截去两个三 棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为 ( B )
旋 转 体
3.空间几何体的三视图
(1)三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体， 画出的空间几何体的图形．包括： 前后 方向投影所得到的投影图； 正视图： 物体_______ 它 能反映物体的高度和长度； 左右 方向投影所得到的投影图；它 侧视图：物体______ 能反映物体的高度和宽度； 上下 方向投影所得到的投影图；它 俯视图：物体______ 能反映物体的长度和宽度． (2) 三 视 图 的 作 图 规 则 ： 正 视 图 和 俯 视 图 长对正 ； 高平齐 ___________ 正视图和侧视图__________ ； 俯视图和侧 宽相等 视图___________.
①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底 面是平行且全等的多边形． 多 ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是 公共顶点 ________的三角形． 面 有一个 平行 于棱锥底面的平面截 体 ③棱台可由______ 棱锥得到，其上下底面是平行且相似 的多边形． ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得 到． ②圆锥可以由直角三角形绕其_______ 直角边 旋转得到． ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等 腰梯形绕上下底中点连线旋转得到， 也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥 得到． ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.
【基础检测】 1 ． (2012 新课标 ) 如图，网格纸上小正方形的 边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图， 则此几何体的体积为 ( ) B
A．6
C．12
B．9
D．18
【解析】结合三视图知识求解三棱锥的体积． 由题意知，此几何体是三棱锥，其高 h＝3，相应底面面 1 1 1 积为 S＝2×6×3＝9，∴V＝3Sh＝3×9×3＝9.
1．正确地把握斜二测画法的要点 (如：所画出 的直观图中的虚实线、平行关系和长度比例等 )以及选择放置直观图的角度．
2 ．正视图反映物体的主要形状特征，主要体 现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图 和正视图共同反映物体的长要相等．侧视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难 得出该几何体的形状． 3 ．熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以 及它们的体积公式．同时也要学会运用等价转 化思想，会把组合体求体积问题转化为基本几 何体的求体积问题，会用等体积转化求解问题 ，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用 “割补法”求解问题．
【解析】①假设成立，推出矛盾． ②四面体 ABCD 每个面是全等三角形，面积相等． ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角 之和等于 180°. ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段 相互垂直平分． ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作 为一个三角形的三边长．
【解析】(2)易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长 为 1，这样的三棱锥可以放入一个正方体中，如下图所 2 示的正方体的棱长为 2 ，其面对角线的长度是 1，体对 6 角线的长度为 2 ，故三棱锥 P－DCE 的外接球半径为 63 6 4 6 ＝ 8 π，故选 C. 4 ，外接球的体积为3π× 4
二、几何体的表面积、体积 例2(1)(2012 湖北)已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为_________ ． 12π
【解析】(1)由三视图可知，该几何体是由左右 两个相同的圆柱(底面圆半径为2，高为1)与中 间一个圆柱(底面圆半径为1，高为4)组合而成 ，故该几何体的体积是V＝π×22×1×2＋ π×12×4＝12π.
【点评】对于复杂的空间几何体的组合体的 表面积或体积都可以分开来考虑，将组合体 分解成若干部分，分别计算其表面积、体积 然后根据组合体的结构，将整个的体积，表 面积转化为这些“部分体积”或“部分表面 积”的和与差．
三、等积变换
例3(1)(2012 山东)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1， E 为线段 B1C 上的一点， 则三棱锥 A－DED1
第八章
立体几何初步
第45讲
空间几何体的三视图与直 观图、表面积和体积
【学习目标】
1 ．了解空间图形的两种不同表示形式 ( 三视图和 直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立 体模型之间的内在联系． 2．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图 ，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测 画法画出它们的直观图． 3．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计 算公式(不要求记忆公式)．
(2)(2012北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱 锥的表面积是( B )
A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5
【解析】根据几何体的三视图画出其直观图，利用 直观图的图形特征求其表面积． 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
(2)画几何体的高：在已知图形中过O点作 z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′ 轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行 于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长 度相等．
5．多面体的面积和体积公式
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表 示高，h′表示斜高，l表示侧棱长．
6．旋转体的面积和体积公式
名 称 S侧 S全 V 圆柱 2π rl 圆锥 圆台 π (r 1 ＋ r 2 )l 球
πrl _______
2π r(l＋r) π r(l＋r) π (r ＋r )l＋π (r 2＋r 2) 4π R2 _________ ______ 1 2 1 2
π r h(即π r2l)
2
1 2 3π r了 三棱锥体积公式的应用．
2． 下图为某几何体的三视图， 则它的表面积为( C )
3π A. 2 ＋14 3π B. 2 ＋13 C．π ＋14 D．π ＋13
3．(2012 安徽)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相 ②④⑤ 写 等，即 AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________( 出所有正确结论的编号)． ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体 ABCD 每个面的面积相等； ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角 之和大于 90°而小于 180°； ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直 平分； ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作 为一个三角形的三边长．
4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步 骤是： (1)画几何体的底面： ①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中 取互相垂直的 x 轴，y 轴，两轴相交于点 O. ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出 45°(或135°) 对应的 O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝__________________ ， 它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形中平行于 x 轴的线段， 不变 在直观图中画成平行于 x′轴，且长度保持__________ ； 在已知图形中平行于 y 轴的线段，在直观图中画成平行 一半 于 y′轴，且长度变为原来的____________ ；
(1)(2012湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图 所示，则该几何体的俯视图不可能是( D )
【解析】本题是组合体的三视图问题 ，由几何体的正视图和侧视图均如图 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱 柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是 直角的三棱柱，A，B，C都可能是该 几何体的俯视图，D不可能是该几何 体的俯视图，因为它的正视图上面应 为长宽不等的矩形． 【点评】本题主要考查空间几何体 的三视图，考查空间想象能力，是 近年来热点题型．
4． 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角 为 45°，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图 2＋ 2 ． 形的面积是________
【解析】原图形在直角坐标系中是直角梯形，如图 所示． 2 下底边长 AB＝1＋2× 2 ＝1＋ 2， 上底边长 DC＝1，高 AD＝2. 1 1 ∴面积 S 梯形 ABCD＝2· (AB＋DC)· AD＝2(1＋ 2＋1)· 2 ＝2＋ 2.
1 的体积为_______ 6 ．
【解析】(1)以△ADD1 为底面，则易知三棱锥的高 1 1 1 为 1，故 V＝3·2·1·1·1＝6.
(2)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，
1 3 则该四面体体积的最大值为_______ ． 8a
【解析】(2)如图所示，在四面体 ABCD 中， 若 AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a， AD＝x， 取 AD 的中点 P，BC 的中点 E， 连接 BP，EP，CP， 易证 AD ⊥平面 BPC， 1 所以 VA－BCD＝3S△BPC·AD 1 1 x2 a2 ＝3×2×a a×a－ 4 － 4 ·x 1 ＝12a· （3a2－x2）x2 2 3a22 9a4 1 3 1 ＝12a· －x － 2 ＋ 4 ≤8a ， 3 2 6 2 当且仅当 x ＝2a ，即 x＝ 2 a 时取等号．