【高中数学题型归纳】8.2空间几何体的直观图与三视图
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为()
A. B.2 C. D. 4
题型2.直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
A. B. C. D.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是().
A. B. C. D.
例8.13一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为cm2.
分析由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心 “拔地而起”得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高 ,所以几何体的侧面积 .
故选C.
变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块B4块C.5块D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为().
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于()
A. 1 B. C. D.
专题28 空间几何体的直观图与三视图- (解析版)
备战2022年高考数学核心考点专题训练专题22 空间几何体的直观图与三视图一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.已知一个几何体的正视图和侧视图如图所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平(1)放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形如图所示，则此几何体的体((2))积为( )A. 1B. C. 2 D.222【答案】B【解析】解：根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和的直角三角2形，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3， 所以体积．V =13×(12×2×2)×3=2故选B ． 2.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图O′A′B′C′1 cm ()形的周长是()A.B. C. D.6 cm 8 cm (2+32)cm (2+23)cm 【答案】B【解析】解：如图，，在中， cm ， OA =1 cm Rt △OAB OB =22． ∴AB =OA 2+OB 2=3 cm 四边形OABC 的周长为． ∴8 cm 故选B ．3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.3π2+1+323π+12+323π+1+323π+1+32【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体上部为三棱锥，下部为半球， 三棱锥的底面和2个侧面均为等腰直角三角形，直角边为1， 另一个侧面为边长为的等边三角形， 2半球的直径，故．2r =2r =22． ∴S 表面积=12×1×1×2+34×(2)2+12×4π×(22)2+π×(22)2−12×1×1=12+32+3π2故选：C ．4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.3π+4+33π+5+352π+6+352π+4+3【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥的组合体 半圆柱的半径为1高2，所以该组合体的面积故选A ．5. 已知某几何体的一条棱长为l ，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图2020中的投影长为a 与b ，且，则l 的最小值为a +b =21011()A.B.C. D. 202120212404222021【答案】C【解析】解：如图所示：设长方体中，BD 为正投影，BE 为侧投影，AC 为俯视图的投影． AB =m 故：，，， BD =2020BE =a AC =b 设，，，AE =x CE =y BC =z 则：，，，， x 2+y 2+z 2=l 2x 2+y 2=b 2y 2+z 2=a 2x 2+z 2=2020所以， 2(x 2+y 2+z 2)=a 2+b 2+2020故：， 2l 2=a 2+b 2+2020因为，a 2+b 2≥(a +b)22=2022所以，则． 2l 2≥2022+2020l ≥2021故l 的最小值为． 2021故选C ．6. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.B.C.D.24π+7224π+41+24π+721+24π+4【答案】D【解析】解：几何体左边为四分之一圆锥，圆锥的半径为1，高为1，右边为三棱锥，三棱锥底面是直角边长为1和2的直角三角形，高为1， 所以几何体的表面积为：+12×(2+1)×1+12×2×(5)2−(22)2，故选D ．7. 某圆柱的正视图是如图所示的边长为2的正方形，圆柱表面上的点A ，B ，C ，D ，F 在正视图中分别对应点A ，B ，C ，E ，其中E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则异面直线AC F.与DF 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.13233363【答案】D【解析】解：如图所示，连结DE ，EF ，易知，所以异面直线AC 与DF 所成角为EF//AC ，∠DFE 由正视图可知，平面ABC ，所以．DE ⊥DE ⊥EF 由于，所以，又，所以， AB =BC =2EF =2DE =1DF =3在中，，RtΔEFM cos∠DFE =23=63故选D ．8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.22π328π334π340π3【答案】C【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体是由一个底面半径为2，高为3的半圆柱和一个半径为2的半球组成， 故：． V =12⋅π×22×3+12×43×π×23=34π3故选C ．9. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A.B. C. D.18π21π27π36π【答案】A【解析】解：该几何体是一个四分之一的圆和圆锥的组合体，如图：有题意知该圆的直径为6cm ，圆锥的高为3cm ，则该几何体的体积为13×π×32×3+14×43π×， 33=18π故选A ．10. 如图所是某一容器三视图，现容中匀速注水，容器中的度h 随时间变可能图象是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：三视图表示的容器倒的圆锥，下细，上面，刚开始度增加的相快些．曲越竖直”，后，高度增加来越慢，图越平稳． 故B ．11. 如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.403323163283【答案】A【解析】解：由三视图得到其直观图下图所示， ()则体积为：， 13×[12(1+4)×4]×4=403故选A ．12. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.64−82π364−42π364−8π364−4π3【答案】A【解析】解：这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥内部挖去了一个八分之一的球， 四棱锥的底面边长和高都等于4，八分之一球的半径为，22，故选A ．二、单空题（本大题共4小题，共20分）13. 某组合体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是图中粗线所表示的(1)(2)平面图形，其中四边形O A B C 为平行四边形，D 为C B 的中点，则图中平行四边′′′′′′′(2)形O A B C 的面积为___________．′′′′【答案】32【解析】解：由正视图和侧视图可得俯视图如下：，，， ∴|O′A′|=4|O′C′|=32∠A′O′C′=45°∴S ΔA ′O ′C ′=12|O′A′|·|O′C′|·sin∠A′O′C′， =12×4×32×22=322， ∴S ▱O ′A ′B ′C ′=2S △A ′O ′C ′=32故答案为．3214. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥①②③④⑤的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_____________写出符合求的一组答案(即可．)【答案】或②⑤③④【解析】解：由高度可知，侧视图只能为或，②③侧视图为，如图平面平面ABC ，， ②(1)PAC ⊥PA =PC =2，俯视图为； BA =BC =5,AC =2⑤侧视图为，如图，平面ABC ， ③(2)PA ⊥，俯视图为． PA =1,AC =AB =5,BC =2④故答案为或．②⑤③④15. 在棱长为1的正方体中，点M ，N 分别是棱，的中点，过A ，ABCD−A 1B 1C 1D 1B 1C 1C 1D 1M ，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积AD D 1A 1为 ．【答案】712【解析】解：直线MN 分别与直线，交于E ，F 两点，A 1D 1A 1B 1连接AE ，AF ，分别与棱，交于G ，H 两点，连接GN ，MH ， D D 1B B 1得到截面五边形AGNMH ，向平面作投影，得到五边形，AD D 1A 1A H 1M 1D 1G 由点M ，N 分别是棱，的中点，可得，B 1C 1C 1D 1D 1E =D 1N =12由∽，可得， △D 1EG △DAG DG =2D 1G =23同理，BH =2B 1H =23则，，A H 1=2A 1H 1=23A 1M 1=D 1M 1=12则， S AH 1M 1D 1G =1−S A 1H 1M 1−S ADG =1−12×12×13−12×1×23=712故答案为：．71216. 把平面图形上的所有点在另一个平面上的射影所构成的图形称为图形在这个平面αβα上的射影，如图所示，在三棱锥中，，，，，A−BCD BC ⊥DC AD ⊥DC BC ⊥AB BC =CD =4，则在平面ABC 上的射影的面积是________．AC =43△ADB【答案】82【解析】解：因为，，，，， BC ⊥DC AD ⊥DC BC ⊥AB BC =CD =4AC =43把三棱锥放入如图所示的棱长为4的正方体中， A−BCD 过点D 作CE 的垂线DF ，垂足为F ，连接AF ，BF ， 因为平面CE ，平面CE ， BC ⊥DF ⊂故BC⊥DF 又，BC ，平面ABC BC ∩CE =C CE ⊂则平面ABC ，DF ⊥故在平面ABC 上的射影为， △ADB △AFB 因为，AB =42+42=42所以的面积为， △AFB 12×4×42=82即在平面ABC 上的射影的面积为． △ADB 82故答案为．82三、解答题（本大题共2小题，共20分）13．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为)， cm（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；（2）求该几何体最长的棱长.【答案】（1）答案见解析；（2）4.cm 【解析】（1）（2）如下图，面，线段中点为SE ⊥ABC AC D，，，2,3,1,4,2,=1SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm ======BD AC ⊥3BD cm =在等腰中，ABC AB AC ===在中，Rt SEA △SA ===在中，Rt SEC △SC ===在中，Rt BDE △BE ==面，SE ⊥ ABC SE BE ∴⊥在中，Rt SEB△SB ===在三梭锥S-ABC 中，，SC AB AC SA SB AC <==<<所以最长的棱为AC ，长为4cm 14．设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，ABCD 剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．，AH PQ ⊥O（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范APQ x x S 围．【答案】（1），画图见解析；（2），.-161tan 2tan S x x=++()0,4【解析】（1）由题意，设正四棱锥的棱长为，则，a AH =2a AC a +===（2）设，则，由， PH b =tan AH bx =2tan 2a x a ⋅+=a =从而，其中， 22116tan 442tan 2(tan 1)APQ x S S PQ AH a x x ==⋅⋅⋅==+△(tan 1),x ∈+∞∴16(0,4)1tan 2tan S x x =∈++。
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体-2V棱锥侧2×2×2−2×．故选：A．【考点】三视图求解几何体的体积．2.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为.【考点】三视图，几何体的体积..3.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋14πB．82＋14πC．92＋24πD．82＋24π【答案】A【解析】由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2，高为5的圆柱的一半．长方体中EH＝4，HG＝4，GK＝5，所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4＋4×5)＋4×5＝92．半圆柱的两个底面积为π×22＝4π，半圆柱的侧面积为π×2×5＝10π，所以整个组合体的表面积为92＋4π＋10π＝92＋14π，选A．4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知左视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D．5.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为()【答案】C【解析】依题意可知该几何体的直观图如图所示，故其俯视图应为C．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．12B．18C．24D．30【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱的一部分，其直观图如上图所示，其中,侧面是矩形，其余两个侧面是直角梯形，由于,平面平面,所以平面,所以几何体的体积为：故选C.【考点】1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积.7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,则,故选B.【考点】三视图内切圆球三棱柱8. [2013·四川高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D【解析】由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A、B.故选D.9.[2013·宁波质检]如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为()A．2B．C．2D．4【答案】A【解析】由题意可知，该三棱柱的侧视图应为矩形，如图所示．在该矩形中，MM1＝CC1＝2，CM＝C1M1＝·AB＝.所以侧视图的面积为S＝2.10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .【答案】【解析】该几何体是类似墙角的三棱锥，假设一条直角的棱长为x，则三条直角棱长分别为.所以体积为.当且仅当时取等号.【考点】1.三视图.2.函数最值问题.3.空间想象能力.11.（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C12. (2014·咸宁模拟)某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π【答案】A【解析】由几何体的三视图知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为2,高为5的圆柱的一半.所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4+4×5)+4×5=92.半圆柱的两个底面积为π×22=4π,半圆柱的侧面积为π×2×5=10π,所以整个组合体的表面积为92+4π+10π=92+14π. 13.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为【答案】D【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为．【答案】２．【解析】由已知几何体的视图可知，几何体为四棱锥，其中SA垂直于平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，所以四棱锥的体积为【考点】三视图求几何体的体积.2.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成，其体积为，故选B.【考点】根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题.3.若某多面体的三视图（单位: cm）如图所示, 则此多面体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体相当于一个正方体切去一个三个侧棱长为1的三棱锥.所以该几何体的体积为.故选C.【考点】1.三视图.2.空间想象力.3.几何体的体积.4. (2014·孝感模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是( )A．16πB．14πC．12πD．8π【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是球挖去半球.其中两个半圆的面积为π×22=4π.个球的表面积为×4π×22=12π,所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π.5.如图，某几何体的三视图都是等腰直角三角形，则几何体的体积是（）A．8B．7C．9D．6【答案】C【解析】由三视图可知,几何体是底面为等腰直角三角形,有一侧棱与底面垂直(垂足在非直角处)的三棱锥,其底面面积为×6×3=9,三棱锥的高为3,所以三棱锥的体积=×9×3=9．6.已知某几何体的三视图(如图),正视图和侧视图均为两个相等的等边三角形,府视图为正方形,则几何体的体积为（）A．B．4C．9D．9【答案】C【解析】由三视图可知,几何体由两个同底之正四棱锥组成所以其体积为V=2××32×3×=9 7.一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图中x的值为( )A．5B．4C．3D．2【答案】C【解析】三视图，由正四棱锥和圆柱组成，故选C．8.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意，棱锥的高为，底面面积为，∴.【考点】三视图，体积．9.某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】这是由两个三棱锥拼成的几何体，其体积为.选C.【考点】三视图及几何体的体积.10.―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为．【答案】18+9【解析】由三视图可知，此几何体为两个相切的球上方放了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：V=3×6×1+2××=18+911.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.【答案】152【解析】几何体为一个三棱柱，底面为一个等腰三角形，底边长为6，底边上高为4，腰长为５.棱柱的高为8.因此表面积为【考点】三视图12.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为；表面积为．【答案】；．【解析】由三视图知几何体如下图，为一个三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，底面三角形的一条边长为，该边上的高为，∴几何体的体积．它的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．13.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_______.【答案】【解析】由题意可得该几何体是一个三棱锥，体积.【考点】1.三视图的知识.2.立几中的线面关系.3.三棱锥的体积公式.14.一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是【答案】【解析】由三视图，可知该几何体是三棱锥，并且侧棱，，，则该三棱锥的高是，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积＝＝．【考点】由三视图求几何体的体积．15.一个几何体的三视图如图所示,则该机合体的体积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】分析可得该几何体是底面为菱形的四棱锥,则高底面面积,所以.故选B【考点】三视图四棱锥体积16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【答案】【解析】通过三视图的观察可得，该几何体是一个四棱柱，底面是一个直角梯形，其上下底分别为2,3，梯形的高为2.四棱柱的高为2.所以几何体的体积为.【考点】1.三视图的知识.2.几何体的体积.3.空间想象力.17.某长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．4C．6D．8【答案】D【解析】割补可得其体积为2×2×2＝8.18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．【答案】16π－16【解析】由三视图知，该几何体是由一个底面半径为2，高为4的圆柱内挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，∴V＝(π×22－22)×4＝16π－16.19.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M为棱A1B1的中点，N为棱A1D1的中点．如图是该正方体被M，N，A所确定的平面和N，D，C1所确定的平面截去两个角后所得的几何体，则这个几何体的正视图为()．【答案】B【解析】对于选项A，由于只是截去了两个角，此切割不可能使得正视图成为梯形．故A不对；对于B，正视图是正方形符合题意，线段AM的影子是一个实线段，相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B正确；对于C，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结构，故不对；对于D，正视图是正方形，符合题意，其中的两条实线符合俯视图的特征，故D不对．20.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为3，所以正三角形边长为6，所以V＝×36×4＝36.故选B.【考点】1.三视图；2.柱体体积计算.21.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知道，该几何体体积是圆柱体积的，即.【考点】1、三视图；2、几何体体积.22.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是一个圆台，其两底直径分别为2和4，母线长为4，所以该几何体的侧面积是，选B..【考点】三视图，圆台的侧面积.23.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 .A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体，下面是一个半径为4，高为8的圆柱，，上面是一个三棱柱，故所求体积为.【考点】三视图，圆柱、三棱柱的体积公式.24.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________【答案】【解析】该几何体为圆柱中挖去半个球而得的组合体，其体积为.【考点】三视图.25.一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为，则该几何体的高为 .【答案】【解析】由如图所示的几何体的三视图知：这个几何体是一个半径为的球和一个直四棱柱的结合体，且这个直四棱柱的底面是对角线分别为和的棱形，这个直四棱柱的高为，∴这个几何体的体积：V=，解得h=.【考点】1.三视图；2.几何体的面积和体积26.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）【答案】D【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选D.【考点】1.三视图的应用.27.如图为一个几何体的三视图正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，这是一个由半个圆柱和一个三棱柱构成的组合体，这个组合体仍为一个柱体。
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
变式1 如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为 ，该几何体的俯视图可以是（ ）.
变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以为（ ）.
例8.8正三棱柱 如图8-12所示, 以面 为正前方画出的三视图正确的是().
分析先看俯视图, 垂点法, 把 投影到底面.
解析 由垂点法, 把 分别投影到底面, 如图8-13所示, 所以俯视图中间必有线段 .故选A.
变式1 如图8-14所示, 为正三角形, 平面 且 ,则多面体 的正视图(也称主视图)是().
例8.11一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为().
A. 48 B. C. D. 80
解析由三视图知该几何体的直观图如图8-27所示, 该几何体的下底面是边长为4的正方形, 上底面是长为4, 宽为2的矩形; 两个梯形侧面垂直于底面, 上低长为2, 下底长为4, 高为4;另外两个侧面是矩形, 宽为4, 长为 ,所以 .故选C.
其中真命题的个数是()
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
例8.10如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为().
A. B. C. D.
分析由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体为圆柱.
解析由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体是圆柱, 如图8-21所示, 再由口诀知数据, 所以几何体的表面积 .故选B.
故选C.
变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为 ,则 .
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的四分之一，其底半径为，高为，所以其体积为，故选.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.2.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，空间几体体的直观图如下图所示：所求几何体的体积故选C.【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积.3.如图，一个几何体的三视图（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为A．πB．2πC．3πD．4π【答案】C【解析】原几何体为有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且底面是边长为1的正方形，垂直于底面的侧棱长也为1，因此，该几何体可以补形为一个棱长为1的正方体，其外接球就是这个正方体的外接球，直径为正方体的对角线长，即2R＝，故R＝故外接球表面积为：4πR2＝3π.【考点】三视图，几何体的外接球及其表面积4.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位： cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为________cm2．【答案】29π【解析】从三棱锥的三视图可知，三棱锥有两侧面与底面垂直，把三棱锥补成长，宽，高分别为4,2,3的长方体，设外接球的半径为R，由42＋22＋32＝4R2得，S＝4πR2＝29π(cm2)．球5.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．2C．D．8【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2．HD＝3，BF ＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为×2×2×4＝8．6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知左视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D．7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，= .【答案】【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，底面是面积为的矩形，高为，所以，解得.【考点】三视图，空间几何体的体积.8.如图，水平放置的正三棱柱的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为．【答案】【解析】左视图为一个矩形，长宽分别为，因此面积为.【考点】三视图9.若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．10.图中的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为________．【答案】16【解析】从三视图可知，这是一个四棱锥，.【考点】三视图.11.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的体积为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】几何体是圆柱，.【考点】三视图，圆柱的体积.12.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )A．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B.13.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，正视图的最大面积为对角面的面积，最小面积为，而，故选C．【考点】三视图.14.已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体，，，∴.选B.【考点】三视图，体积.15.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】过B作BD⊥AC于点D，则BD=2，CD=2，所以BC=,因为SC⊥平面ABC，所以SC⊥BC，所以SB=,故选B.【考点】三视图、直线与平面垂直的性质.16.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.【考点】1.三视图；2.组合体的体积17.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】【解析】所求几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的四分之一的球的组合体，所以体积为【考点】三视图18.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.【答案】96【解析】几何体为一个三棱柱，底面为一个等腰三角形，底边长为6，底边上高为4，棱柱的高为8.因此所求体积为【考点】三视图19.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为．【答案】【解析】如图所示,做BD,AB的中点分别为点E,F.则有CE面ABD,由于EF为等腰直角三角形ABD的中位线,故EF AB,则为二面角 C－AB－D的代表角,所以,故填.【考点】二面角三视图20.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC 的面积为()A．a2B．a2C．a2D．a2【答案】D【解析】斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝ ( a)2，∴S＝a2.21.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【答案】D【解析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=3π-π=π(cm 3).22. 右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B-CEPD 的体积．【答案】(1)见解析 (2)2【解析】解：(1)该组合体的三视图如图所示．(2)∵PD ⊥平面ABCD ， PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2. 又∵平面PDCE∩平面ABCD ＝CD ， BC ⊂平面ABCD. ∴BC ⊥平面PDCE.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥DC.又∵EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，∴四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积： S 梯形PDCE ＝ (PD ＋EC)·DC ＝×3×2＝3， ∴四棱锥B-CEPD 的体积V B-CEPD ＝S 梯形PDCE ·BC ＝×3×2＝2.23. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】A【解析】将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.24.某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．【答案】【解析】由三视图还原几何体为半个圆锥，高为2，底面半圆的半径r＝1.∴体积V＝×(π×12×2)＝.25.如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4 ，BE＝2 ，AB＝4.∴VP-ABCD ＝PA·S四边形ABCD＝×4 ×4×4＝.(2)∵＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠BEA＝∠PBA.∴∠BEA＋∠BAE＝∠PBA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE.∵BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.∵PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.26.如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．【答案】9【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝×6×3＝9，∴V＝Sh＝×9×3＝9.27.某几何体的三视图如图所示，主视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形.则该几何体的表面积为( )A. B. C. D【答案】B【解析】此几何体直观图如图所示。
8.2三视图和直观图
授课主题：三视图和直观图教学目标1．了解中心投影和平行投影的特征．2．能画出简单空间图形如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型．3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图，了解空间图形的不同表示形式．4．掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．5．会用斜二测画法画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图．教学内容1．投影由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMF 'M 'l2．平行投影（1）定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．（2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．（3）正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．3．中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．4．三视图（1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）．（2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）．（3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图左视图主视图5．三视图的对应关系正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．6．直观图定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法．7．斜二测画法规则（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使90xOz∠=︒，90yOz∠=︒．（三维空间中）（2）画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O x O y O z''''''，，，使45x O y'''∠=︒或135︒，90x O z'''∠=︒，x O y'''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）（3）已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴，'y轴或z'的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．题型一投影的概念例1判断对错(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：(1)矩形的平行投影一定是矩形；()(2)梯形的平行投影一定是梯形；()(3)平行四边形的平行投影可能是正方形；()(4)正方形的平行投影一定是菱形；()(5)两条相交直线的平行投影可能平行；()(6)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．()解析：利用平行投影的概念和性质进行判断．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√点评：平面图形经过平行投影后一般要改变形状，平行直线的平行投影是平行或重合的直线．两条相交直线的平行投影不可能平行．巩固如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断中正确的是______．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．解析：①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．答案：①③题型二画空间几何体的三视图例2画出如图所示几何体的三视图解析：三视图如下图所示．点评：三视图的画法关键是分清楚观察者的方向，应从正面、侧面、上面三个方向去观察图形，然后画出三视图．巩固画出右面几何体的三视图．解析：三视图如下：题型三由三视图还原成实物图例3下图所示的是三个立体图形的三视图，请说出其立体图形的名称．解析：由图可知甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；丙的俯视图是圆(及圆心)，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥．点评：根据三视图还原几何体要具备一定的空间想象能力，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常先判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．巩固下图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．解析：还原为实物图易知．答案：5题型四画水平放置的平面图形的直观图例1用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图．解析：建立坐标系xOy后，B，E两点不在平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.(1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′，这就是正五边形ABCDE的平面直观图．点评：用斜二测画法画水平放置的平面图形一要注意坐标系的选取，二要注意平行于x轴的长度不变，平行于y 轴的长度变为原长度的一半．巩固(多解题)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解析：解法一：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA.连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．解法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．题型五画空间几何体的直观图例5下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解析：由几何体的三视图知，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥．(1)画轴．如图甲，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．选择椭圆模板中适当椭圆，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图乙．点评：利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．巩固根据下图所示的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．解析：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如图①所示．(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如图②所示．题型六 将直观图还原为平面图形例6 下图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC的面积．解析：设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D ＝22h .由题意知12C ′D (C ′B ′＋O ′A ′)＝S ，即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (CB ＋OA )＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S 2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .点评：将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其作法是运用斜二测画法，也就是使平行于x ′轴的线段的长度不变，而平行于y ′轴的线段长度变为原来的2倍．巩 固 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：画出其相应平面图易求，故选A.答案：A1．观察图中的投影过程，回答问题．(1)它们的投影过程有什么不同？(2)图②、③是平行投影，它们有什么不同？ (3)中心投影和平行投影有什么不同？解析：(1)图①的投影线交于一点．把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图②、③的投影线平行，把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影．(2)图③中的投影是正对着投影面．这种平行投影称为正投影；图②中的投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影．它们的不同在于投影线是否正对着投影面．(3)与投影面平行的平面图形在平行投影下留下的影子与原平面图形是全等的平面图形；而在中心投影下留下的影子与原平面图形是相似的平面图形．2．(1)：圆锥的正视图是等腰三角形，对吗？答案：错．要看如何放置，当底面正对你时是圆，底面水平时是等腰三角形．(2)：底面水平的圆柱的左视图是矩形，对吗？答案：对．(3)：水平放置的圆台的俯视图是一个与下底面大小相同的圆，对吗？答案：错．是两个同心圆．3．有一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体应是一个()A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对答案：A4．一个几何体的正视图如图，它一定不是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．长方体答案：B5．对几何体三视图，下列说法中正确的是()A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的长和宽D．正视图反映物体的高和长答案：D6．两条相交直线的平行投影是()A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线答案：D7．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是()答案：C8．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案：D9．四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为()答案：B10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台答案：D11．下面两个几何体的侧视图和俯视图一样吗？解析：侧视图一样，俯视图不同．12．根据如图所示俯视图，找出对应的物体(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．答案：D A E C B13.如图，点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填所有可能的序号)．答案：①②③1．在画三视图时，务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．2．若相邻两物体表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．3．确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同．1．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形答案：A2．如图，直观图表示的平面图形是( )A ．任意三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析： A ′B ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，∴相应的∠ABC ＝90°. 答案：C3．关于斜二测直观图的画法，以下说法不正确的是( )A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 答案：C4．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是( )A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确；平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半，故③，④不正确，从而选A.答案：A5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )解析：直观图的正方形的对角线在y ′轴上且长度为2，故原来图形的对角线在y 轴上且长度为2 2.故选A. 答案：A6．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的( )A ．2倍 B.22倍 C.24倍 D.12倍 解析：直观图的底面边长与实际三角形底面边长相同，而直观图的高为12×h ×sin 45°＝24h ，所以直观图的面积是实际三角形面积的24倍． 答案：C7．右图为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到O′x′轴的距离为()A.12 B.22C．1 D. 2解析：如图，为正方形ABCO在x′O′y′中的直观图，作B′D′⊥x′轴于D′，则在Rt△B′C′D′中，∠B′C′D′＝45°，|B′C′|＝1，∴B′D′＝|B′C′|·sin 45°＝1×22＝22.即B′到x′轴的距离为22.答案：B8．下图中长方体的长、宽、高分别为5,4,3，侧视图矩形的面积为________．解析：长方体的侧视图是长为4，宽为3的长方形，故面积为3×4＝12.答案：129．根据三视图想象物体原形，并画出物体直观图．解析：由几何体的三视图知道几何体是一个简单组合体，下部是个圆柱，上部是个圆台，且圆台下底与圆柱面重合．画法如图(1)所示，图(2)为三视图所表示的物体的直观图．10．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．解析：(1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，画出正六棱锥的顶点V ′，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示； (3)连接V ′A ′、V ′B ′、V ′C ′、V ′D ′、V ′E ′、V ′F ′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．11．如图，等腰直角△O ′A ′B ′是△OAB 的直观图，它的斜边长为O ′A ′＝a ，求△OAB 的面积．解析：∵A ′，B ′在轴上，∴∠AOB ＝90°. 又O ′B ′＝22a ，故OB ＝2a ， ∴S △OAB ＝12a ·2a ＝22a 2.12．已知几何体的三视图如下，画出它的直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．解析：直观图如下图所示，画法略．13．如图所示，AB 和CD 两根木杆竖在平面上，有一灯使AB 和CD 这两根木杆有影子，试根据实物和影子确定灯的位置．解析：要确定灯的位置，就要了解灯光是向四面发散的，这样，致使两根木杆的影子如图所示，所以，灯的位置应在木杆AB顶部A和它的影子的顶部E的连线的那条直线上，同样，这个灯也在木杆CD顶部C和它的影子的顶部F的连线上．如下图，点O就是灯所放的位置．。
【导学案】8.2空间几何体的三视图和直观图(2)(1)
18.2空间几何体的直观图一、复习：【问题】几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）(A) (B) (C) (D)二、斜二测画法1、水平放置的平面图形的画法【导引】 用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法．【问题】 把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图．比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？斜二测画法的步骤：（1）画轴:（2）画线:（3）取长度:三、举例运用【例1】(1)画水平放置的正三角形的直观图。
(2)若三角形的边长为a ，求三角形的实际面积和直观图中的面积y x A B CO例2、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图例3、画棱长为2cm的正方体的直观图。
例4、画水平放置的圆的直观图。
例5、已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图。
2例7、已知圆柱的底面半径为1cm,侧面母线长3cm，画出它的直观图。
例8、已知圆锥的底面半径为1cm,高为2cm，画出它的直观图.四、课堂练习1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。
（1）相等的线段在直观图中仍然相等（）（2）平行的线段在直观图中仍然平行（）（3）一个交的直观图扔是一个角（）（4）相等的角在直观图中仍然相等（）（5）三角形的直观图是三角形（）（6）平行四边形的直观图是平行四边形（）（7）正方形的直观图是正方形（）（8）菱形的直观图是菱形（）34 2、图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( )3、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．4、水平放置的△的直观图如图所示，已知''3A C =,''2B C =,则AB 边上的中线的实际长度为。
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第二节 空间几何体的直观图与三视图考纲解读1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2.能画出简单空间图形（长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合）的三视图， 能识别三视图, 能所表示的立体模型, 并会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影, 画出简单空间图形的三视图与直视图, 了解空间图形的不同表示形式.4. 会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求). 命题趋势探究高考中对本节内容的考查, 可以分为以下两类.(1)柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础, 以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是中点。
(2)三视图为新课标新增内容, 所以高考会加大对其考查的粒度.在高考中,主要考查三视图和直观图, 特别是通过三视图确定原几何体的相关量. 多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题, 侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力. 知识精讲一、空间几何体的直观图 1.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下: (1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,Ox Oy ,建立直角坐标系.(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于'','',O x O y 使'''45x O y ∠= (或135), 它们确定的平面表示水平平面.(3)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于'x 轴的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于'y 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”. (4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线.注: 4.2.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点. 二、空间几何体的三视图 1.三视图的概念将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.2.作、看三视图的三原则 (1)位置原则:度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚俯视图几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度口诀正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等三、常见几何体的直观图与三视图常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.题型归纳及思路提示题型斜二测画法与直观图思路提示注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同它们与实物图的对应关系例下列叙述中正确的个数是①相等的角在直观图中仍相等②长度相等的线段, 在直观图中长度仍相等;③若两条线段平行, 在直观图中对应的线段仍平行;④若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直.A. 0B.1C.2D. 3O A B是OAB水平放置的直观图, 则OAB的面积为( )(2)如图8-10所示,'''A.6B.3262 D. 12解析(1)①因为90xOy ∠= 的直观图为''45x Oy ∠= 或135 , 故①不正确;②因为y 方向的线段的直观图在'y 方向的长度减半, 故②不正确;③因为所有x 方向的线段的直观图方向不变, 所以y 方向的线段的直观图均在原有基础上旋转45 , 故方向统一, 故③正确.④由③中叙述知, ④不正确. 故选B. (2)'''1''''sin 452O A B SO A O B =① 1sin 902OABSOA OB =② ①÷②得'''2''''sin 451122sin 902114O A B OABO A O B S S OA OB ==⨯⨯=, 所以'''24O A B OAB S S =.而'''134sin 45322O A B S=⨯⨯= ,所以2324OAB S = , 即12OABS= .故选D.评注 (1)”斜”指的是在直观图中,','x y 轴的夹角为45 , “二测”指的是 “平行关系不变”, 以及 “长度纵变横不变”.(2)直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比. 直观图与原图的面积关系:2'4S S =. 变式 1 已知正ABC 的边长为a , 以它的一边为x 轴, 对应的高为y 轴, 画出它的水平放置的直观图'''A B C , 则'''A B C 的面积为( ).A.234a B. 238a C. 268a D. 2616a 变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为( )A.3B.2C. 22D. 4题型直视图⇒三视图 思路提示已知直观图描绘三视图的原则是:先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.例8.8 正三棱柱111ABC A B C - 如图8-12所示, 以面11BCC B 为正前方画出的三视图正确的是( ).分析 先看俯视图, 垂点法, 把1,C C 投影到底面.解析 由垂点法, 把1,C C 分别投影到底面, 如图8-13所示, 所以俯视图中间必有线段MN .故选A.变式 1 如图8-14所示,ABC 为正三角形, '''AA BB CC ⊥∥∥ 平面ABC 且33'''2AA BB CC AB === , 则多面体'''ABC A B C - 的正视图(也称主视图)是( ).变式 2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( ).变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )A. 1B. 2C. 212-D.212+题型直视图⇒直观图简单几何体的基本量的计算思路提示由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状, 由口诀“正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.例8.9若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )A. 13B.23C. 1D. 2分析三视图为2个矩形和1个三角形, 知该几何体是三棱柱.解析先看俯视图, 定底面, 再由正视图为矩形, 侧视图为三角形知该几何体为直三棱柱, 然后由口诀知数据, 如图8-17所示, 所以以侧面为底得体积112212V=⨯= .故选C.变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为33 , 则a= .变式2 如图8-19所示, 是长和宽分别相等的两个矩形, 给定下列三个命题:①存在三棱柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图8-19所示;③存在圆柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示.其中真命题的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0例8.10如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).A.2πB. 52πC. 4πD. 5π分析由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体为圆柱.解析由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体是圆柱, 如图8-21所示, 再由口诀知数据, 所以几何体的表面积2115222222Sπππ⎛⎫=+⨯⨯=⎪⎝⎭表. 故选B.变式1 某个几何体的三视图如图8-22所示, 则该几何体的体积是( ).A.323cm B.33cm C.333cm 4 D. 333cm 2变式2 若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示, 则其侧面积等于 .变式3 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为23 , 它的三视图中的俯视图如图8-24所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 .变式4 一个几何体的三视图如图8-25所示, 则该几何体的体积为 . 例8.11 一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为( ).A. 48B. 32817+4817+1 2 1 4 4正视图 侧视图俯视图图 8-261 2 1 4 24图 8-274解析 由三视图知该几何体的直观图如图8-27所示, 该几何体的下底面是边长为4的正方形, 上底面是长为4, 宽为2的矩形; 两个梯形侧面垂直于底面, 上低长为2, 下底长为4, 高为4; 另外两个侧面是矩形, 宽为4, 长为224117+= , 所以24217248817S =+⨯⨯=+表 . 故选C.变式1 如图8-28所示, 某几何体的正视图是平行四边形, 侧视图和俯视图都是矩形, 则该几何体的体积为( ).A. 63B. 93C. 123D. 183变式2 一个几何体的三视图如图8-29所示, 则该几何体的体积是 . 变式3 (2012辽宁理13)一个几何体的三视图如图8-30所示, 则该几何体的表面积为 .例8.12 如图8-31所示, 3个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图,则h = cm.解析 先看俯视图知底面为直角三角形, 再结合正视图和侧视图均为直角三角形,知其中一条侧棱垂直于底面, 如图8-32所示, 再根据口诀知数据, 所以体积11205632h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭, 即4(cm)h = .变式1 某四面体的三视图如图8-33所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( ).A. 8B. 62C. 10D. 82变式2 若几何体的三视图如图8-34所示, 其中正视图、侧视图为正方形， 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形， 则该几何体的体积是（ ）。
A.8382343D.23 变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是( ). A.13 B.12 C.23D.56例8.13 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,则该几何体的侧面积为 cm 2.正视图侧视图俯视图图 8-34111 俯视图图 8-35正视图 侧视图分析 由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.解析 先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心O “拔地而起” 得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高'5h = , 所以几何体的侧面积()2148580cm 2S =⨯⨯⨯=侧 .变式1 某四棱锥的三视图如图8-38所示, 该四棱锥的表面积是( ).A. 32B. 16162+C. 48D. 16322+变式2 一个棱锥的三视图如图8-39所示, 则这个棱锥的体积为 .变式 3 一个五面体的三视图, 其正视图与侧视图是等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形, 部分边长如图8-40所示, 则此五面体的体积为 .题型直视图⇒简单组合体的基本量的计算4 4 33 33正视图 侧视图俯视图图 8-39 2 1 正视图 侧视图1 12 2 2 2 俯视图 图 8-40思路提示先根据三视图想象出几何的构造部分, 一般考虑的是球、柱、锥、台体的组合体或其一部分.例8.14 如图8-41所示是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ). A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π 分析 先看俯视图定底面.解析 先看俯视图为圆, 再结合正视图和侧视图有上、下两部分, 可知该几何体下面是圆柱, 上面是球, 如图8-42所示, 所以2222222422422342612222S R R Rh ππππππππππ⎛⎫⎛⎫=++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表故选D.评注 求几何体的表面积, 通常将所给几何体分成基本的球、柱、锥、台, 再将它们的表面积求和或作差,求体积也是同样的道理.变式1 一个几何体的三视图如图8-43所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.变式2 一空间几何体的三视图如图8-44所示, 则该几何体的体积为( ).A.223π+B.423π+C.2323π+D.2343π+变式3 某几何体的三视图如图8-45所示, 则它的体积是( ).A.283π-B.83π-C.82π-D.23π 变式4 一个几何体的三视图如图8-46所示, 则该几何体的体积为 .例8.15 若某几何体的三视图(单位:cm)如图8-47所示,则此几何体的体积是 cm 3.分析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再看正视图和侧视图, 上面是矩形, 下面是等腰梯形, 属组合体.解析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再由正视图和俯视图知该几何体上半部分是正四棱柱, 下半部分是正四棱台, 如图8-49所示, 再结合 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”知数据, 所以几何体的体积为()22231424488332112144cm 3V =⨯+⨯+⨯+⨯=+= .变式1 一个几何体的三视图(单位:cm)如图8-49所示, 侧该几何体的表面积是( ). A.280 B.292 C.360 D.372变式2 某几何体的三视图(单位:cm)如图8-50所示, 侧此几何体的体积是 cm 3.变式3 一个几何体的三视图如图8-51所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m 3.例8.16 一个几何体的三视图及长度数据如图8-52所示，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）.A. 2 3 B 2 C . 232D . 232分析 先看俯视图定底面，再结合正视图和侧视图.44 3 2211 1 1 1 正视图侧视图俯视图图 8-5121 1 11 1 正视图 侧视图俯视图图 8-52解析 解法一：先看俯视图知底面为正方形，再结合正视图和侧视图知该集合体如图8-53（a ）所示，所以表面积221=1+1+2++12+21=7+22S ⨯⨯⨯⨯⨯表（12）1，把侧面作底知其体积12311.22V +=⨯⨯= 故选C .解法二：先把侧视图分割，如图8-53（b ）所示，则结合俯视图和正视图知几何体下半部分是正方体，上半部分是三棱柱（平放）如图8-53（c ）所示，所以21=51+1+2+272,2S ⨯⨯=+表221311.22V =+⨯=故选C .变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）. A .83π B .3π C . 103πD . 6π例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.俯视图侧视图2 正视图图 8-5442 42A.3块B4块C.5块D.6块分析先看俯视图，从下往上“拔地而起”.解析先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.变式1 用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如图8-57所示，则该几何体体积的最小值与最大值分别为（）.A.9与13B.7与10C.10与16D.10与15题型110 部分三视图 其余三视图思路提示有三视图还原几何体，画出直观图，再画其三视图.例8.18 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图如图8-58所示，则该集合体的俯视图为( ).解析因为该几何体是一个大长方体去掉一个小长方体，结合正视图及侧视图中线段均为实线，所以“缺口”就在前面的左上方，所以俯视图“缺口”必在左下方且为实线.故选D.，变式1 如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12该几何体的俯视图可以是（）.变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以为（）.变式3 （2012湖南理3）某几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示，则该几何体的俯视图不可能是（）.最有效训练题32（限时45分钟）1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图8-62所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）.2.如图8-63所示是一个正方体被过棱中点M ,N ，顶点1,,A D C 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）.3.如图8-64所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是( ).A.正方体B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形4.某几何体的三视图如图8-65所示，它的体积为( ).A.12πB.45πC.57πD. 81π5.某三棱锥的三视图如图8-66所示，该三棱锥的表面积是（）.A.28+65B.30+65C.56+125D.60+1256.一个四棱锥的底面为正方形，三视图如图8-67所示，这个四棱锥的体积是( ). A .1 B .2 C .3 D .47.若正三棱锥的主视图与俯视图如图8-68所示（单位:cm ）,则它的左视图的面积为 2.cm8.一多面体的三视图如图8-69所示，则其体积为 .3244正(主)视图 侧(左)视图俯视图图 8-661 主视图俯视图图 8-6839.已知某几何体的三视图如图8-70所示，则该几何体的体积为 .10.已知△ABC的平面直观图△'''A B C是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为 .11.某高速公路收费站入口处的安全标示墩如图8-71（a）所示.墩的上半部分是正三棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.图8-71（b）、图8-71（c）分别是该标示墩的正（主）视图和俯视图.（1）请画出该安全标示墩的侧（左）视图；（2）求安全标示墩的体积；（3）证明：直线BD⊥平面PEG.12.如图8-72所示是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图8-72所示.（1）求出该几何体的体积；（2）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；（3）求证：平面BDE⊥平面BCD.。