三视图和直观图
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为()
A. B.2 C. D. 4
题型2.直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
A. B. C. D.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是().
A. B. C. D.
例8.13一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为cm2.
分析由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心 “拔地而起”得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高 ,所以几何体的侧面积 .
故选C.
变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块B4块C.5块D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为().
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于()
A. 1 B. C. D.
投影,直观图和三视图
投影,直观图和三视图【知识概述】柱、锥、台、球的结构特征是基础，以长方体为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图及直观图属新增内容，在高考中频繁出现，大多为由三视图确定原几何体的表面积与体积，多以选择题、填空题出现，难度不大．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间几何体的结构特征、直观图和三视图的相关知识，并提高学生的空间想象能力、抽象概括能力以及几何直观能力.1.在三视图中，主视图反映物体的长与高的位置关系；俯视图反映物体的长与宽的位置关系；左视图反映物体的高与宽的位置关系.归纳口诀：长对正，高平齐，宽相等.2.斜二测画法的一般步骤：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使∠xOz ＝90°，且∠yOz ＝90°.②画直观图时，把它画成对应的轴O ＇x ＇、O ＇y ＇、O ＇z ＇，使∠ x ＇O ＇y ＇＝ 45°（或135°），∠ x ＇O ＇z ＇＝ 90°，x ＇O ＇y ＇所确定的平面表示水平平面.③已知图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ＇轴、y ＇轴、z ＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.【学前诊断】1. [难度] 易一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A.球B.三棱锥C.正方形D.圆柱2．[难度] 中一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .3．[难度] 中若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．【经典例题】例1．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么ABC ∆的平面直观图'''A B C ∆的面积为（ ）A. 2B. 2C.28a D. 216a例2．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（ ）例3．设如图所示，甲、乙、丙是三个空间几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.A.④③②B. ②①③C. ①②③D. ③②④例4．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）例 5．如右图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（ ）例 6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（ ）例 7．若几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A.3352cm 3B.3320cm 3C.3224cm 3D.3160cm 3例 8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.2B.1C.23D.13 例 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .例 10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 .【本课总结】1.要注意牢固把握各种几何体的结构特征，利用它们彼此之间的联系来加强理解.2.以长方体为载体，借助实物模型，加深对几何体结构特征的理解和掌握.3.理解直观图与三视图的关系，能根据三视图画出直观图并求几何体的表面积和体积【活学活用】1．[难度] 易某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ ） 2. [难度] 中某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A．12π B.45π C.57π D.81π3.[难度] 难一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________.。
空间几何体的三视图和直观图
直观图的画法与三视图的形成
1. 根据平行投影原理绘制的、用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
2. 将空间图形向三个互相垂直的平面作正投影，并按照一定的布局放在同一平面内构成的图形叫做空间图形的三视图.
画直观图的的规则、步骤
1.建系（画轴）：
在空间图形中建立直角坐标系；画直观图时，使x'轴与y'轴成450或1350角(这样的x'o'y'平面表示水平平面)，z'轴与x'轴垂直.
2.平行性不变：
在空间图形中互相平行的直线或线段，在直观图中仍然平行.
3.横竖长不变、纵向长减半：
在直观图中，与x'轴、z'轴平行的线段的长度与空间图形中保持不变；与y'轴平行的线段的长度缩短为原空间图形中的一半.
4.擦去辅助线(包括x'y'z'轴)
三视图的对应规律(1)主视图和俯视图
----长对正
(2)主视图和左视图
----高平齐
(3)俯视图和左视图
----宽相等
例1、画出下例几何体的三视图
例2、画出下例几何体的三视图
上部正六棱柱的底面边长为3cm,
高为1.2cm；下部圆柱的底面半径
为0.8cm，高为2cm。
练习3. 画出下面三视图所表示的几何体的直观图
练习4. 画出下面几何体的三视图。
空间几何体的直观图和三视图
直观图与三视图的转化：
例1.画出下面这个组合图形的三视图．
例2：已知几何体的三视图如下，请画出它的 直观图；单位：cm
z8 4
z y
y
x
4
x
x
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出 它的直观图
▪ 由三视图可知：
该几何体是怎么
的一个组合体？
·
O
·O
▪ 如何画出一个圆 柱的直观图？
·
O
·
O
正视图
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
y
A
O
CEG B
x
DFH
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD的直观图
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
Z
D
C y
A
D
BQ C
MO N x
AP B
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
xOz 90 .
Z
y
O
x
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD的直观图
2画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
三视图和直观图
斜二测画法问题举例 C
1.画平面图形水平放置直观图
A
B
C1 A1
B1
斜二测画法问题举例
• 2.画立体图形水平放置直观图 • 3综合问题 • （1）根据三视图画直观图 • （2）画某物体的直观图
六棱柱的直观图画法
⑴ 六棱柱的组成
由两个六边形底面和几个 矩形侧面组成。侧棱相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫
做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的 平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是 否发生变化？
正投影
斜投影
1. 斜投影
投 射 线 方 向
a c
90°
b
2.正投影
投 射 线 方 向
90°
思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投
影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
先画反映底面形状的视图。
作业: P15练习：1，2，3.
问题1:要很好地描绘这幢房子，需要从哪些方向去看？ 问题2:如果要建造房子，你是工程师，需要给施工员提 供哪几种图纸？
三视图
（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投 影图，叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投 影图，叫做几何体的侧视图； （3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投 影图，叫做几何体的俯视图；
思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明
物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变 化时，影子的大小会有什么不同？
思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明
物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变 化时，影子的大小会有变化吗？
空间几何体的三视图和直观图课件
C
A
B
y C
M
A
OBx
S
C
A
B
思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤 进行？
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
例3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画
出它的直观图.
正视图
侧视图
俯视图
分析：由几何体的三视 图知道，这个几何体是 一个简单组合体.它的 下部是一个圆柱，上部 是一个圆锥，并且圆锥 的底面与圆柱的上底面 重合.我们可以先画出 下部的圆柱，再画出上 部的圆锥.
（难点)
探究点1 中心投影与平行投影
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可 以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中， 我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫 做投影面．
观察下列投影图,并将它们进行比较.
B′
中心投影 我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心
投影．中心投影的投影线交于一点．
遮挡住的线用虚线表示.
例1 画出如图所示物体的正视图. 【解析】该物体可以看作是 从长方体中切掉一部分后， 再挖去一个三棱柱得到的组 合体.
正视图
【变式练习】 改一改：某同学画的下图物体的三视图，对吗？若 有错，请指出并改正.
俯视
侧视 正视
正视图 对 侧视图 错
俯视图 错
【提升总结】 三视图的作图步骤
斜二测画法
(二) 空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜 二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用 一个坐标确定底面外的点的位置？
y
o
x
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、 2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
空间几何体的三视图和直观图
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C
D
正投影
三角形一定相似吗？
一定是三角形吗？
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C
D
正投影
正面投影为正视图
水平面投影为俯视图 侧面投影为侧视图
长
高
宽 高
宽
长 三视图对应关系为： 正、俯视图长相等（简称长对正） 正、侧视图高相等（简称高平齐） 俯、侧视图宽相等且前后对应 (宽相等）
主视图
“三视图” 知多少
左视图
高
长 宽
画 一 个 物 体 的 三视图时,主视图 ,左视图,俯视图 所画的位置如图 所示,且要符合如 下原则: 长对正, 高平齐, 宽相等.
俯视图
三视图有关概念 1、光线从几何体的前面向后面正投影得到的投 影图称为几何体的“正视图” ； 2、光线从几何体的左面向右面正投影得到的投 影图称为“侧视图”； 3、光线从几何体的上面向下面正投影得到的投 影图称为 “俯视图”． 几何体的正视图、侧视图、俯视图、统称为几 何体的三视图．
正视图
侧视图
俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
正视图
左视图
圆台
俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
四棱锥
A
棱柱的三视图
棱锥的三视图
俯
侧
四棱锥
棱台的三视图
俯
左
圆台
正
简单组合体的三视图 例3：画出下面几何体的三视图。
三视图和直观图(含答案)
空间几何体的三视图和直观图一、探究 探究一：直观图1．如图，这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。
把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在 投影下把空间图形展现在平面上，用平面的图形表示空间几何体。
探究二：斜二测画法 1．斜二测画法的方法步骤：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，把x 轴、y 轴画成对应的x '轴和y '轴，两轴交于点O '，使 ，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x 轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴和y '轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段， . 2．空间几何体直观图的画法：立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，90xoz ∠=o 。
其直观图中对应于z 轴的是z '轴，''90x oz ∠=o，平行于z 轴的线段，在直观图中画成 于z '轴，长度 . 二、自我检测1．下列结论正确的有 ①相等的线段在直观图中仍然相等。
②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
③矩形的直观图是矩形。
④圆的直观图一定是圆。
⑤角的水平放置的直观图一定是角。
2．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。
3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ．οο90,90 B ．οο90,45 C ．οο90,135D ．ο45或οο90,1354．如图，A B C '''△是ABC △的直观图，那么ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 三、应用示例例1．用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三角形的直观图。
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如右图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 ( )
解析：将斜二测画法还原为直观图，如图所示
1．(2012年杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各 个截面都是圆，则这个几何体一定是 A．圆柱 C．球体 B．圆锥 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 ( )
解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆 面．
空间几何体
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ，上下底面是 全等 的 多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点 多面体 的三角形． (3)棱台可由 平行于底面 的平面截棱锥得到， 相似 其上下底面是 多边形．
(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边旋转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 旋转得到． (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰 或等腰梯形绕 旋转体 上下底中点连线 旋转得到，也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到.
直 观 图
1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原 2 平面图形的面积S之间的关系是S′＝ 4 S. 2．对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通 过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段， 再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．
用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观 图中的“三变、三不变”： 坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行线段的长度改变减半， 图形改变. 平行性不变， “三不变”与x轴平行的线段长度不变， 相对位置不变.
2.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何 体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而 成．有多面体与多面体征可知：棱柱有两个面互相 平行，其余各面都是平行四边形，反过来，成立吗？
提示：不一定成立．如图所示几何体有两个面平行，其 余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共 边互相平行”，故它不是棱柱．
4. 5．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是
( A．等腰三角形 B．直角三角形 解析：还原为原来的图形即： C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 )
问题探究2：空间几何体的三视图和直观图在观察角度上 有什么区别？ 提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观察几何体 而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.
3．三视图与直观图
空间几何体的三视图是用 正投影 得到的，这种投影下与 三视 投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大 图 俯视图 ． 侧视图 、 完全相同的，三视图包括正视图 、 小是 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，基本步骤是 ： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O， 画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交 于点O′，且使∠x′O′y′＝45° (或135°)，已知图形 保持不变 原来的一半 中平行于x轴的线段，在直观图中长度 ，平行于y 轴的线段，长度变为 ． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对 不变 应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于 z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度 .
答案：C
2．(2012年福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小 均相等，那么这个几何体不可以是 A．球 C．正方体 B．三棱锥 D．圆柱 ( )
解析：∵球的三视图均为圆；正方体的三视图均可以为 正方形，∴排除A、C.而三条侧棱两两垂直且相等的正三棱锥 的三视图可以为全等的直角三角形，排除B.∵圆柱的正视图 与侧视图均是矩形，俯视图为圆，故选D.
3．(2012年浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所 示，则该三棱锥的体积是 A．1 cm3 B．2 cm3 C．3 cm3 D．6 cm3 ( )
解析：由三视图可知，该三棱锥底面为两条直角边分别 为1 cm和2 cm的直角三角形，一条侧棱垂直于底面，垂足为 1 1 直角顶点，且高为3 cm，所以体积V＝ × ×1×2×3＝ 3 2 1(cm3)，故选A.