相似三角形的性质和应用讲义

学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师：课 题相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.考点及考试要求1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

教学内容 知识框架1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.考点一：计算线段的长或线段之间的比典型例题1典型例题1、 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AC =6，DB =5，求AD 的长．分析：由已知AC =6，DB =5，选用AB AD AC ⋅=2来解决，考虑△ACD ∽△ABC ．解：在△ACD 和△ABC 中，∵∠A =∠A ，∠ADC =∠ACB =90°， ∴△ACD ∽△ABC ． ∴ACAD AB AC =．∴AB AD AC ⋅=2． 设AD =x ，则AB =x +5，又AC =6，ABC DA B CDE∴)5(62+=x x ． 03652=-+x x 解得：x =4（舍去负值） ∴AD =4．针对性练习针对练习： 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，底边上的高AD=10cm ，腰AC 上的高BE=12cm ．（1）求证：35=BD AB ；2典型例题2 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD 〃AC ．思考：欲证 BC 2＝2CD 〃AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ，∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ．∴ △BCE ∽△ACB ．∴BC AC CE BC =， ∴BCACCD BC =2 ∴BC 2＝2CD 〃AC ．针对练习：证法二（构造2AC ）：证法三（构造BC 21）：知识概括、方法总结与易错点分析1、 相似三角形对应边成比例；2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用已知条件证明三角形相似。

A BCDE ABCD考点二：证明线段平行典型例题典型例题．如图，AD 为ABC ∆的角平分线，BE 垂直于AD 的延长线于E ，AD CF ⊥于F ，BF ，EC 的延长线交于点P ，求证：AP CF // 证明 AD CF ⊥，AD BE ⊥，∴︒=∠=∠90CFA BEA ，BE CF //.∴PECPBE CF = 又 CAF BAE ∠=∠， ∴ABE ∆∽ACF ∆ ∴AF AECF BE =， 即AE AFBE CF =. ∴AE AFPE CP = ∴AP CF //针对练习：如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的判断、性质和平行线的判定。

考点三：求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？解： 因为相似三角形的周长比等于对应比，所以相似三角形的对应边是4比5，则周长比也是4比5设小三角形周长为A ，大三角形周长为B A ：B=4：5A=360÷（4+5）×4=160 cm B=360÷（4+5）×5=200 cm所以这两个三角形的周长分别是160 cm 和200 cm考点四：计算多边形的面积典型例题1．如图，已知：在ABC ∆与CAD ∆中，BC DA //，CD 交AB 于E ，且2:1:=EB AE ，BC EF //交AC 于F ，1=∆ADE S 。

求BCE S ∆和AEF S ∆解答： BC DA //，∴ADE ∆∽BCE ∆∴22::BE AE S S BCE AD E =∆∆又 2:1:=BE AE ，∴4:1:=∆∆BCE ADE S S1=∆ADE S ，∴4=∆BCE SBC EF //，∴AEF ∆∽ABC ∆ ∴AB AE BC EF ::=2:1:=EB AE ，∴3:1::==AB AE BC EF又 ADE ∆∽BCE ∆，∴2:1:=BC AD ，AD BC 2=∴3:2:=AD EF EF AD //，∴ADE ∆与AEF ∆等高∴3:2::==∆∆AD EF S S ADE AEF ∴32=∆AEF S针对练习．如图，已知，在梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若COD ∆的面积为2a ，AOB ∆的面积为2b ，其中0>a ，0>b .求：梯形ABCD 的面积S针对练习：如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的周长比等于相似比 ABCDE FG典型例题2．已知等腰直角三角形的面积为2cm 36，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积解：如图，ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，内接矩形DEFG由等腰直角三角形和矩形的性质，得FC GF DE BE === 2:5:=DE EF ，∴2:5:2::=FC EF BE设AB 为x ，则36212==∆x S ABC由勾股定理得222x BC =∴1442=BC∴12=BC∴38129292=⨯==BC DE320129595=⨯==BC EF∴矩形DEFG 面积)cm (9717320382=⨯=漏解：如图所示的情况时，2:5:=EF DE ，同理可得2cm 10=D EFG S 矩形针对练习1：如图所示直角ABC ∆中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。

试比较这两种情况中正方形的大小。

针对练习2：AD 是ABC ∆的高，E 是BC 的中点，BC EF ⊥交AC 于F ，若15=BD ，27=DC ，45=AC ，求AF知识概括、方法总结与易错点分析⑴在相似形中，面积比等于相似比的平方；⑵同底（或等底）三角形面积之比等于对应高的比； ⑶同高（或等高）三角形面积之比等于对应底的比。

考点五：相似三角形的实际应用例1：某市经济开发区建有B C D ，，三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且900AB CD ==米，1700AD BC ==米，1500AE =米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN BC ，两厂之间的公路与自来水管道交于E 处，500EC =米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元．（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？分析：要使修建自来水管道的造价最低，则每个厂铺设的管道应最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于AN 的方向铺设．要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管道的长度． 解：（1）如图1，过B C D ，，分别作AN 的垂线段BH CF DG ，，，交AN 于H F ，，G BH CF DG ，，， 即为所求的造价最低的管道路线． （2）由ABE CFE △∽△，得CF CEAB AE=，所以 5009003001500CE AB CF AE ⨯=== （米）． 由BHE CFE △∽△，得CF CE BH BE =，所以1200300720500BE CF BH CE ⨯=== （米）， 由ABE DGA △∽△，得AB AE DG AD =，所以900170010201500DG ⨯==（米）． 所以B C D ，，三厂所建自来水管道的最低造价分别是720800576000⨯=（元），300800240000⨯=（元），1020800816000⨯=（元）．例2：如图2，在水平的桌面上两个“E ”，当点12P P O ，，在一直线上时，在点O 处用①号“E ”测得的视力与用②号“E ”测得的视力相同． （1）图中1212b b l l ，，，满足怎样的关系式？（2）若1 3.2cm b =，22cm b =，①号“E ”的测试距离18m l =，要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离2l 应为多少？分析：本题是一道以生活实际为素材的探索型试题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型．从已知图形可得1122PD P D ∥，由此可得1122PDO P D O △∽△，借助相似三角形的特征列出比例式可解决问题．解：（1）因为1122PD P D ∥，所以1122PDOP D O △∽△，所以111222PD D O P D D O =，即1122b l b l =． （2）因为1122b l b l =，且1213.2cm 2cm 8m b b l ===，，， 所以23.282l =（注：可不进行单位换算），25m l =． 即②号“E ”的测试距离是25m l =．巩固作业1.若△ABC ∽△DEF,△ABC 的面积为81cm 2,△DEF 的面积为36cm 2,且AB=12cm,则 DE= cm2.等腰三角形ABC 和DEF 相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）[来源:学#科#网][来源:学科网]A 、3：4B 、4：3C 、1：2D 、2：13.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ -） A.、0.36π米2 B 、0.81π米2 C 、2π米2 D 、3.24π米24.如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a . （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？[来源:Z 。