2017解三角形解答题专练(1)
新苏教版七年级数学下册《认识三角形》题及答案解析一(精品试卷).doc
苏教版2017-2018学年七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》7.4 认识三角形填空题1．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是三角形．2．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5= ．3．如图，AD是△ABC的中线，如果△ABC的面积是18cm2，则△ADC的面积是cm2．4．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是cm2．5．在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积△ACD 的面积．（填“＞”，“＜”或“=”）6．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影= cm2．7．已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为3个平方单位．则这样的点C共有个．8．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉根木条．9．在△ABC中，已知两条边a=3，b=4，则第三边c的取值范围是．10．两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是．11．以10cm，8cm为两边，第三边长为整数的三角形共有个．12．已知三角形的三边长为3，5，x，则第三边x的取值范围是．13．若三角形的三边长分别是5，a，7，则a的取值范围为＜a＜．14．一个三角形的两边长分别为2厘米和9厘米，若第三边的长为奇数，则第三边的长为厘米．15．甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为．16．三角形的两边的长分别为2cm和7cm，若第三边的长为奇数，则三角形的周长是cm．解答题17．如图，是一个食品包装盒的表面展开图．（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称；（2）请根据图中所标示的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积．（侧面积与两个底面积之和）18．如图①所示，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，D为直线m上的两点．（1）写出图中面积相等的各对三角形；（2）如果A，B，C为三个定点，点D在m上移动，那么无论D 点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等，理由是．解决以下问题：如图②所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中的折线CDE）还保留着．张大爷想过E点修一条直路，使直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦荒地面积一样多．请你用相关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）（3）写出设计方案，并在图③中画出相应的图形；（4）说明方案设计的理由．19．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD 的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．20．探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？21．探究规律：如图，已知直线m∥n，A，B为直线m 上的两点，C，P为直线n上两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：．（2）如果A，B，C为三个定点，点P在n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是：．答案：填空题1、钝角2、解：连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，则△A1B1B的面积是6a，同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，△A1B1C1的面积是19a，即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195=2476099．3、94、505、=6、解：∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD 的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．7、分析：首先在AB的两侧各找一个点，使得三角形的面积是3．再根据两条平行线间的距离相等，过两侧的点作AB的平行线，交了几个格点就有几个点．解：如图，符合条件的点有4个．8、解：再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉2 根木条．9、解：三角形两边的和＞第三边，两边的差＜第三边．则4-3＜c＜4+3，即1＜c＜7 ．10、3＜x＜17 11、1512、2＜x＜8 13、2＜a＜12 14、9 15、3≤d≤5 16、16解答题17、解：（1）根据图示可知形状为直六棱柱．（2）S 侧=6ab ，S 正六边形=3 3 2b ²， S 全=6ab+3 3 b ²． 18、分析：（1）利用三角形的面积公式=底乘高除2，可知△ABC 和△ABD ，△AOC 和△BOD ，△CDA 和△CDB 面积相等．（2）因为平行线间的距离处处相等，所以无论点D 在m 上移动到何位置，总有△ABD 与△ABC 同底等高，因此它们的面积相等．（3）可利用三角形的面积公式和平行线的性质进行设计．这里就要添加辅助线．连接EC ，过D 作DF ∥EC 交CM 于点F ，连接EF 然后证明即可．解：（1）△ABC 和△ABD ，△AOC 和△BOD ，△CDA 和△CDB ．（2）总有△ABD 与△ABC 的面积相等，理由是平行线间的距离处处相等；（3）如图所示，连接EC ，过D 作DF ∥EC 交CM 于点F ，连接EF ，则EF 即为所求直线．（4）设EF 交CD 于点H ，由（1），（2）知S △ECF =S △ECD ，所以S △ECF -S △ECH =S △ECD -S △ECH ，所以S △HCF =S △EDH ，所以S 五边形ABCDE =S 四边形ABFE ，S 五边形EDCMN =S 四边形EFMN ．错误!未找到引用源。
高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案
解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3， 解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12， 又因为△ABC 是锐角三角形， 所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明 由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3， 故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解 设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， 根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， 所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， 所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12， 所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。
解三角形专项练习(含解答题)
解三角形专练1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为2.在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A．B ．2 C．．43.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 1504.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B． C． D．5.在三角形ABC 中，若1tan tan tantan ++=B A B A ，则C cos 的值是B. 22C. 21D. 21-6.在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若22265b c a bc+-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.358.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形9.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，︒=45A ,则这样的三角形有（ ）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个10.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( )A. 2b c a +=B. 2b c a +<C. 2b c a +≤D. 2b c a +≥11.在ABC ∆中,已知30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是A ．34B ．38 C．34或38D ．312.在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4π C ．3πD ．23π13.若∆ABC 的三角A:B:C=1:2:3，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ）A.1:2:3B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30B ．60C 90 D.12015.在∆ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为2221()4Sa b c =+-，则角C 为( )A ．30B 45C ．60D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝2，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个17.设∆ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=( ) A ．3πB ．23πC ．34π D.56π18.若三角形ABC 中，sin(A ＋B)sin(A －B)＝sin 2C ，则此三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )A ．a B.2aD20.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形21.已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且120c b B ==︒,则ABC ∆的面积等于________.22.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． 则角B 的大小为_______；23.在△ABC 中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为________． 24.在ABC ∆中.若1b =，c =23C π∠=，则a=___________。
2017高考真题专题解三角形
10.【2012高考全国卷理17】三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求C.
11．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值;
(II)求c的值.
12．（2013年重庆数学（理））在 中,内角 的对边分别是 ,且 .
5.（2011山东理17）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，b=2， 的面积S。
6.【2012高考新课标理17】已知 分别为 三个内角 的对边，
（1）求
（2）若 ， 的面积为 ；求 .
7.【2012高考浙江理18】在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝ ，sinB＝ cosC．
18．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围
3.（2017全国Ⅲ文，15）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,，已知 ，则 ________
4.（2017山东文，17）△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3， ,S△ABC=3,求A和a。
5.（2017山东理，9）锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（）
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.
16．（2013年高考湖北卷（理））在 中,角 , , 对应的边分别是 , , .已知 .
专题练习2 解三角形的实际应用问题专练
解三角形的实际应用问题专练一、选择题1．从A处望B处的仰角为，从B处望A的俯角为，则与的关系为（）A ．＞B．=C．+=90°D．+=180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解.【详解】因为与为两平行线的内错角，所以=.故答案为：B【点睛】本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D． km【答案】B【解析】根据题意作图，设出相应参数，根据∠BAC=∠ABD﹣∠C，求得∠BAC=∠C，判断出三角形ABC 为等腰三角形，进而求得BC．【详解】如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，∵∠ABD=20°，∠C=10°，∴∠BAC=20°﹣10°=10°．∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km，故选：B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．3．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．n mile/h B．n mile/hC．n mile/h D．n mile/h【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m ，由此可得河宽为(精确到1 cm)()A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m 【答案】C【解析】在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45406sin60︒=︒.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽，所以h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406 ×sin 75°≈95(m)．故选C.【点睛】正弦定理对于任意三角形都成立，它指出三角形三条边与对应角的正弦之间的关系式，描述了任意三角形中边与角的数量关系，主要功能是实现三角形中边角的关系转化.本题的关键是根据正弦定理利用角大小来求出边长大小.5．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 北偏东300，B 在C 南偏东600，则A 、B 之间相距： A ．a km B ．3a km C ．2a km D ．2a km【答案】C【解析】如图，由题意可得90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中， 22222AB CA CB a a =+=+ 22a =，∴2AB a =。
高考数学大题专练—解三角形(周长问题)
cos (2)cos a B c b A=-解三角形（周长问题）1、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．2、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．3、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cA bB aC =+)cos cos (cos 2（1）求C（2）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长4、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC ∆的周长最大时，求它的面积．5、在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1BC -=，求ABC C ∆．6、已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin(664A A ππ-+=-．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．7、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为ABC ∆的面积，且20S AC +⋅=．（1）求A 的大小；（2）若a =1b =，D 为直线BC 上一点，且AD AB ⊥，求ABD ∆的周长．(3sin )sin (1cos cos )b c A C c A C -=-8、已知函数2()sin(sin()2cos 662x f x x x ππ=++--，x R ∈．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2a =且f （A ）0=，ABC ∆3ABC ∆的周长．9、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）在①934ABC S ∆=，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC ∆的周长．10、如图，在四边形ABCD 中，33CD =，7BC =7cos 14CBD ∠=-．（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD ∆周长的最大值．参考答案1、（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A =∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin 2A =，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-=①由正弦定理得sin sin a bB A =⋅，sin sin a cC A=⋅∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅=②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为32、解：（Ⅰ）∵cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===,得sin cos (2sin sin )cos A B c B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，又∵A B C π+=-，sin 2sin cos C C A∴=∵(0,)C π∈，∴1cos ,23A A π==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3A π=432sin 3a R A ==，22sin 2sin 2(sin sin )32(sin()sin )33a b cR A R BB C C C ππ++=++=++=+--+24sin()6C π=++250,3666C C ππππ<<∴<+< ∴当,623C C πππ+==时，ABC ∆周长最大最大值为2+4=6，即ABC ∆周长最大值是63、（1）由正弦定理得：∵，∴∴，∵∴（2）由余弦定理得：∴∴∴周长为4、解：（1）因为222sin sin sin sin sin B A C A C --=，所以222b a c ac --=，可得222a c b ac +-=-，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为(0,)B π∈，所以23B π=．（2）因为23B π=，3b =，所以由余弦定理知，2222222392cos ()()()()24a c b a c ac B a c ac a c a c +==+-=+-+-=+，当且仅当3a c ==所以23a c +ABC ∆的周长最大值为323+3ac =，所以ABC ∆的面积11333sin 322S ac B ==⨯⨯5、解：（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21393sin 22414ABC S bc A c ∆∴===；（2）2b c = ，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -= ，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sinC B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，2122cos 1()33C ∴=-=．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a = ，2b c =，229482c c c ∴=+-，得：23290c c -+=，解得：425c ±=当4253c +=时，82253b +=325ABC C ∆∴=+当4253c =时，82253b -=，3ABC C ∆∴=+．6、解：（1）因为51sin()sin()664A A ππ-+=-，所以111(cos )()22224A A A A --+=-，即22311cos sin cos 444A A A A --=-，3112(1cos 2)cos 2)884A A A ---+=-112cos 244A A +=，所以可得1sin(2)62A π+=，因为(0,)A π∈，可得2(66A ππ+∈，13)6π，所以5266A ππ+=，可得3A π=．（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，且1a =，3A π=，所以b B =，c C =；所以232321sin )1[sin sin(?)]12sin()3336a b c B C B B B ππ++=++=++=++．因为ABC ∆为锐角三角形，所以得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<．所以12sin((16B π++∈+，3]；即ABC ∆周长的取值范围是(1+3]．7、解：（1）20S AC ⋅= ，∴12sin cos 02b c A c A ⨯⋅⋅+⋅⋅=，又0b c ⋅>，∴sin 0A A +=，即tan A =，又(0,)A π∈，∴23A π=；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，又a =、1b =，23A π=，260c c ∴+-=，又0c >，2c ∴=，在ABC ∆中，由正弦定理得21sin 14B =，又a b >，B ∴为锐角，∴cos 14B =，在Rt ABD ∆中，cos AB B BD =，∴BD 21sin 14AD BD B =⋅==ABD ∴∆的周长为235710234725145+++=．8、解：（1）23131()sin cos 2cos 22222x f x x x x x =++--cos 12sin(16x x x π=--=--，∴当2sin()16x π-=-时，()f x 取得最小值3-，当2sin()16x π-=时，()f x 取得最大值1，即函数()f x 的值域是[3-，1]．（2）由f （A ）2sin()106A π=--=得1sin()62A π-=，0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，则66A ππ-=，得3A π=，ABC ∆ ，2a =，∴1sin 23bc π==4bc =，又22222cos()23a b c bc b c bc bc π=+-=+--，即24()12b c =+-，得2()16b c +=，即4b c +=，则周长426a b c ++=+=．9、解：（Ⅰ）因为sin )sin (1cos cos )c A C c A C -=-，sin cos()0C c A C c ++-=，即sin cos )sin C B B C -=，因为(0,)C π∈，sin 0C ≠，cos 2sin()16B B B π-=-=，即1sin(62B π-=，因为0B π<<，5666B πππ-<-<，所以66B ππ-=，可得3B π=．（Ⅱ）若选择条件①，因为1sin 23ABC S ac π∆=，所以9ac =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以2218a c +=，可得2()36a c +=，又0a c +>，解得6a c +=，因此ABC ∆的周长为9a b c ++=．若选择条件②4A π=，在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin sin sin 3a b c A B C π====所以4a π==，sin()34c ππ=+=所以ABC ∆的周长为32632366322a b c ++=+=．若选择条件③2a c =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以222492c c c +-=，即23c =，解得c =，a =，因此ABC ∆的周长为3a b c ++=+．10、解：（1）在BCD ∆中，cos CBD ∠=，所以321sin 14CBD ∠===，利用正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，所以321sin 114sin 2BC CBD BDC CD ⋅∠∠==，又因为CBD ∠为钝角，所以BDC ∠为锐角，故6BDC π∠=；（2）在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos214BC BD CD CBD BC BD +-∠===-⋅，解得4BD =或5BD =-（舍去），在ABD ∆中，3A π∠=，设AB x =，AD y =，由余弦定理得22222161cos 222AB AD BD x y A AB AD xy +-+-===⋅，即2216x y xy +-=，整理得2()163x y xy +-=，又0x >，0y >，利用基本不等式得223()()1634x y x y xy ++-=，即2()64x y +，当且仅当4x y ==时，等号成立，所以x y +的最大值为8，所以AB AD BD ++的最大值为8412+=，所以ABD ∆周长的最大值为12．。
高考数学解三角形练习和答案
解三角形基础篇基础篇一、正弦定理【练习1】在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sinA ：sinB ：sinC =6：5：4，则sinB =（ ）A. √74B. 34C. 5√716D. 916【练习2】已知△ABC 中，A ：B ：C =1：1：4，则a ：b ：c 等于（ ）A. 1：1：√3B. 2：2：√3C. 1：1：2D. 1：1：4【练习3】在△ABC 中，若a =1，∠A =π4，则√2bsinC+cosC= ______ ．【练习4】 在△ABC 中，∠A =2π3，a =√3c ，则bc =______．【练习5】（2019年新课标二文15）△ABC 内角ABC 的对边分别为a ，b ，c ，已知bsinA+acosB=0,则B=二、余弦定理【练习1】在△ABC 中，若AB =√13，BC =3，∠C =120∘，则AC =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【练习2】在△ABC 中，已知a =3，b =4，c =√13，则角C 为（ ）A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘三、三角形面积公式【练习1】 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，ο30=∠B ，ABC ∆的面积为23，则=∠C ( ) A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο75【练习2】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2=(a −b)2+6，C =π3，则△ABC 的面积是（ ）A. 3√32B. 9√32C. √3D. 3√3【练习3】已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为√32，则这个三角形的面积为______ ．【练习4】若△ABC的周长为20，面积为10√3，A=60∘，则a的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【练习5】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cosA,sinB)平行．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．【练习6】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．(1)求角A的值；(2)若b+c=√10 , a=2，求△ABC的面积S．解三角形拔高篇拔高篇一、略新颖的给角的方法【例1.1】二、已知角被拆的解三角形问题【例2.1】三、图形中的解三角形问题【例3.1】四、巧用常数【例4.1】·······2014新课标一理16【例4.2】（汕头二模）五、给一边及高的比值，求另两边比值+比值倒数的最值【例5.1】在△ABC中，角ABC的对应边分别为a、b、c，BC边上的高为a2,则b2c+c2b的最大值是【例5.2】六、解三角形与均值不等式【例6.1】········七、解三角形中正切的性质【例7.1】八、给角分线长度和角，求邻边线性组合的最值【例8.1】（云南统考）九、三角形中sincos比大小总结【例9.1】在△ABC中，给出下列命题1）若A>B，则sinA>sinB 的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题2）A>B是cosA>cosB的充要条件3）若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB4）cosA+cosB>0则正确的命题个数为十、类三角恋问题【例10.1】在三角形ABC中，角ABC所对应的边分别是abc，且acosC,bcosB,ccosA成等差数列，若b=√3，则a+c的最大值为十一、线段分角的知二求一【例11.1】解三角形进阶篇进阶篇一、 一条边和所对角已知,求面积的最大值 【练习1.1】已知a,b,c 分别为△ ABC 的三个角A,B,C 的对边，b=2，B=120°，则△ ABC 面积的最大值为_______二、 一边及对角已知，另两条边的线性组合或乘积的最值问题 【练习2.1】 （石家庄一模）【练习2.2】（东北三省三校二模）已知△ABC 三个内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 若（a －c ）（sinA ＋sinC ）＝b （sinA-sinB ） （1）求角C（2）若△ABC 外接圆半径为2，求△ABC 周长最大值。
2017中考数学真题汇编-----用相似三角形解决问题(解)
点 C 的对应点为 C′，连接 BB′；
（ 2）在（ 1）所画图形中，∠ AB′B=
．
【问题解决】
如图②，在等边三角形 ABC中，AC=7，点 P 在△ ABC内，且∠ APC=9°0，∠ BPC=12°0，
求△ APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△ APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，得到△ AP′，Ｂ连接 PP′，寻找
请你参考上面的思路，证明 DF=EF（只用一种方法证明即可） ． （ 2）类比探究：在（ 1）的条件下（如图 1），过点 D 作 DM⊥AC 于点 M ，试探 究线段 AM， MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论． （ 3）延伸拓展：如图 2，在△ ABC中，若 AB=AC，∠ABC=2∠BAC， =m，请你
AB 于点 D，E，F，若 = ， = ，求 的值．
6．已知，在△ ABC中，点 D 在 AB 上，点 E 是 BC延长线上一点，且 AD=CE，连 接 DE 交 AC于点 F． （ 1）猜想证明：如图 1，在△ ABC中，若 AB=BC，学生们发现： DF=EF．下面是 两位学生的证明思路： 思路 1：过点 D 作 DG∥BC，交 AC于点 G，可证△ DFG≌△ EFC得出结论； 思路 2：过点 E 作 EH∥ AB，交 AC 的延长线于点 H，可证△ ADF≌△ HEF得出结 论； …
△ ABC平移的时间为 t （s）．
（ 1）等边△ ABC的边长为
；
（ 2）在运动过程中，当 t=
时， MN 垂直平分 AB；
（ 3）若在△ ABC开始平移的同时．点 P 从△ ABC的顶点 B 出发．以每秒 2 个单
位长度的速度沿折线 BA﹣AC运动．当点 P 运动到 C 时即停止运动．△ ABC也随
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1．已知函数 的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）在△ 中，角 的对边分别是 ，若 ，求 的取值范围．
2．在 中， 所对的边分别为 函数 在 处取得最大值．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）若 且 ,求 的面积．
3．设函数 ，其中 ， ，若 且图象的两条对称轴间的最近距离是 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若 是△ 的三个内角，且 ，求 的取值范围．
4．如图，在 中，点 在 边上， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
5．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，
且 ．
（1）求角 的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
6．如图, 是直角 斜边 上一点, ．
（2）已知 三个内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，求 面积的最大值．
1、试题解析：解：（1） ，所以 ，
令 ，得
的单调递增区间是
（2） ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ．
在 中由余弦定理有，
可知 （当且仅当 时取等号），
∴ ，即 面积的最大值为 ．
考点：1．三角恒等变换；2．余弦定理；3．三角函数的性质．
，从而 ．
由 ，
，
，即 ．
考点：三角函数的图象、三角恒等关系式的化简与求值、解三角形．
4．如图，在 中，点 在 边上， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
试题解析：（1）因为 ，所以 .
又因为 ，所以 .
所以 .
（2）在 中，由 ，
得 .
所以 .
5．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，
且 ．
试题解析：（Ⅰ）由已知可得
，
由正三角形ABC的高为 ，可得 ，
所以函数 的最小正周期 ，即 ，
得 ，
故 ，
所以函数 的值域为 ．
（Ⅱ）因为 ，
由（Ⅰ）有 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，
故
．
考点：1、三角函数的图像与性质；2、向量数量积公式；3、两角和的正弦公式.
8．已知 满足 ．
（1）将 表示为 的函数 ，并求 的单调递增区间；
所以 ，又因为 ， ，所以
则面积 ．
3．设函数 ，其中 ， ，若 且图象的两条对称轴间的最近距离是 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若 是△ 的三个内角，且 ，求 的取值范围．
3、试题解析：（1）由条件，
，
又图象的两条对称轴间的最近距离是 ，所以周期为 ， ，
．
（2）由 ，知 ，
是 的内角， ， ，
（1）求角 的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
5、试题解析：(1) 利用平面向量数量积计算公式 利用正弦定理化简得 ，由余弦定理得 ；(2) 为锐角三角形，可得 ， 由正弦定理可得 ， ，于是
，再由 可得 ．
试题题解析：（1）由 得
，
即 ，故 ，
所以 ，由 ．
（2）由（1）得 ，即 ，
，所以 .
（Ⅱ）由 得 ，所以 ，因为 ，所以 ， ， ， ， .
2．在 中， 所对的边分别为 函数 在 处取得最大值．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）若 且 ,求 的面积．
2、试题解析：（1）
因为函数在 处取得最大值，所以 ，得
所以
因为 ，所以 ，则函数值域为
(2）因为
所以 ，则
所以
由余弦定理得
6、试题解析：（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有 .
因为 ,所以 .
又
所以 .
于是 ,所以 .
（Ⅱ）设 ,则 , , .
于是 , ,
在 中,由余弦定理,得 ,
即 ,得 .
故
考点：正弦，设函数 的部分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且 为等边三角形，其高为 .
又 为锐角三角形，故 ，从而 ，
由 ，所以 ，
故 ，
所以
．
由 ，所以 ，
所以 ，即 ．
考点：1、正弦、余弦定理；2、向量的数量积公式；3、两角和与差的正弦公式．
6．如图, 是直角 斜边 上一点, ．
（I）若 ,求角 的大小；
（II）若 ,且 ,求 的长．
【来源】【百强校】2016届安徽省安庆市高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷（带解析）
（I）若 ,求角 的大小；
（II）若 ,且 ,求 的长．
7．已知向量 ， ， ，设函数 的部分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且 为等边三角形，其高为 .
（1）求 的值及函数 的值域；
（2）若 ，且 ，求 的值.
8．已知 满足 ．
（1）将 表示为 的函数 ，并求 的单调递增区间；
（2）已知 三个内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，求 面积的最大值．
三角函数、解三角形（解答题）答案
1．已知函数 的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）在△ 中，角 的对边分别是 ，若 ，求 的取值范围．
试题分析：（Ⅰ）观察图像可知函数 的一条对称轴为 ，进而求出其最小正周期，于是运用公式
可求出 的值，再将点 代入 的解析式即可求出 ，即可求出函数 的解析式；
（Ⅱ）运用正弦定理并结合已知 ，可得 ，再由三角形的内角和为 可得出角 的值，进而得出 的大小，即可得出 的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）由 的一条对称轴为 ，从而 的最小正周期 ，故 .将点 代入 的解析式得 ，又 ，故 ，将点 代入 的解析式得
（1）求 的值及函数 的值域；
（2）若 ，且 ，求 的值.
【来源】【百强校】2016届云南师范大学附属中学高三月考四理科数学试卷（带解析）
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）首先利用平面向量数量积公式（坐标运算），表示出 ，进而得 ，再由正 的高求出 ，从而得周期 ，可求出 ；（2）由 可得到 的值，再用公式 求得 的值，最后利用两角和得正弦公式求出 的值.