【金识源】高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学案新人教A版必修4

例 3 已知 |a| ＝ 3， |b| ＝4，且 a 与 b 不共线， k 为何值时，向量 a＋ kb 与 a－ kb 互相垂直．
跟踪训练 3 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量， 夹角为锐角？
k 为何值时，向量 e1＋ ke2 与 ke1＋e2 的
三、巩固训练 1．已知 |a| ＝ 2， |b| ＝ 1，a 与 b 之间的夹角为
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
【学习要求】
1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
学习重点：面向量数量积的运算律及常用的公式
学习难点：利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 【学法指导】
引进向量的数量积以后， 考察一下这种运算的运算律是非常必要的． 向量 a、b 的数量积 a·ｂ 虽与代数中数 a、b 的乘积 ab 形式相似， 实质差别很大． 实数中的一些运算性质不能随意简 单地类比到向量的数量积上来． 例如， a·b＝ 0 不能推出 a＝ 0 或 b＝ 0；a·b＝b· c a＝ c； (a ·b) ·c＝a·(b ·c) 也未必成立 . 一．知识导学 1．向量的数量积 ( 内积 ) _______________ 叫 做 向 量 a 和 b 的 数 量 积 ( 或 内 积 ) ， 记 作 a·b. 即 a·ｂ＝ _______________ ．_________叫做向量 a 在 b 方向上的投影， _________叫做向量 b 在 a 方向 上的投影． 2．向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量． (1)a ·e＝e·a＝ _____________ ；(2)a ⊥ｂ? a·b＝ __且 a·b＝ __? a⊥b； (3)a ·a＝ ___或|a| ＝ ______； (4)cos 〈 a， b〉＝ ______；(5)|a ·b| _____|a||b|. 3．向量数量积的运算律 (1)a ·b＝ ______ ( 交换律 ) ； (2)( λ a) ·b＝ ______＝ ______( 结合律 ) ； (3)(a ＋b) ·c＝ _________( 分配律 ). 二．探究与发现 【探究点一】向量数量积运算律的提出 问题 1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判 断正误 ( 完成下表 ) ：
【典型例题】 例 1 给出下列结论：①若 a≠0，a·b＝ 0，则 b＝ 0；②若 a·b＝b·c，则 a＝ c；③ (a ·b)c
＝a(b ·c) ；④ a·[b(a ·c) －c(a ·b)] ＝ 0，其中正确结论的序号是 ________．
跟踪训练 1 设 a，b， c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a·c－b·c＝ (a －b) ·c；②(b ·c) ·a－(c ·a) ·ｂ 不与 c 垂直；③|a| － |b|<|a － b| ；④(3a ＋2b) ·(3a － 2b) ＝9|a| 2－ 4|b| 2.
()
60°，那么向量
a－ 4b 的模为
A． 2
B． 2 3
C． 6
D． 12
2．已知 |a| ＝1，|b| ＝ 2，且(a ＋b) 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是
A．60°
B．30°
C．135°
D．45°
()
3．设 |a| ＝ 3，|b| ＝ 2，|c| ＝5，向量 a 与 b 的夹角为 π ，向量 b 与 c 的夹角为 π ，则|(a ·b) ·c|
运算律
实数乘法
交换律
ab＝ ba
结合律
(ab)c＝ a(bc)
分配律 (a＋ b)c＝ ac＋ bc
消去律 ab＝ bc(b≠ 0) ? a＝ c
向量数量积
判断 正误
问题 2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明．
【探究点二】向量数量积的运算律 已知向量 a， b， c 和实数 λ ，向量的数量积满足下列运算律：
.
多项式乘法
(a
＋
b
2
)
＝
a
2＋
2
ab＋
b
2
(a
－
b
2
)
＝
a
2－
2
ab＋
b2ຫໍສະໝຸດ ( a＋ b)( a － b) ＝ a2－ b2
向量数量积
(a ＋ b＋ c)2 ＝ a2 ＋ b2＋ c2＋
2ab＋ 2bc＋ 2 ca
表中的结论可以用作公式使用： 例如，若向量 a、b、 c 满足 a＋ b＋ c＝0 且 |a| ＝3， |b| ＝ 1， |c| ＝ 4，则 a·b＋b·c＋c·a＝ ________.
2．数量积对结合律一般不成立，因为 (a ·b) ·c＝|a||b| ·cos〈 a，b〉·ｃ是一个与 c 共线的 向量，而 (a ·c) ·b＝|a| ·|c|cos 〈 a， c〉·ｂ是一个与 b 共线的向量，两者一般不同．
3．在实数中，若 ab＝ 0 则 a＝ 0 或 b＝ 0，但是在数量积中，即使 a·b＝ 0，也不能推出 a＝ 0 或 b＝0，因为其中 cos θ 有可能为 0.
6
3
＝ ________；|a ·(b ·c)| ＝ ________.
四、小结：
1 ． 两向量 a 与 b 的数 量积 是一 个实 数， 不是 一个 向量 ，其 值可 以为 正 ( 当 a≠0， b≠0,0 °≤ θ <90°时 ) ，也可以为负 ( 当 a≠0，b≠0,90 °＜θ ≤180°时 ) ，还可以为 0( 当 a ＝ 0 或 b＝ 0 或 θ ＝90°时 ) ．
其中正确的序号是 ________．
例 2 已知 |a| ＝ 6， |b| ＝4， a 与 b 的夹角为 60°，求 (a ＋2b) ·(a － 3b) ．
跟踪训练 2 已知向量 a 与 b 的夹角为120°，且|a| ＝4，|b| ＝2，求： (1)(2a －b) ·(a ＋ 3b) ； (2)|3a － 4b|.
①a·b＝b·a( 交换律 ) ； ②（λ a) ·b＝ λ(a ·b) ＝a·（λ b)( 数乘结合律 ) ； ③(a ＋b) ·c＝a·c＋b·c( 分配律 ) ． 【探究点三】平面向量数量积的运算性质
实数中， 某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请你根据下面多
项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质