最新241平面向量数量积的物理背景及其含义22450
平面向量数量积的物理背景及几何意义
向量的数量积运算类似于多项式运算
例2.已知 | a | 6,| b | 4, a与b夹角为60 , 求： (1)(a 2b) (a 3b)
(2) a 2b | .
解：（1）. (a 2b) (a 3b) a a b 6b a a b cos 6 b 72
A D C
答案：2；2；-4;4;-2;0.
例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 a b | a || b | cos (1)e a a e | a | cos (2)a b a b 0 判断垂直的又一条 件 B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b
一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹 角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a b b a
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
( ×) ( a) b (a b) a (b) ( √ )
(a b) c a c b c
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
241平面向量数量积的物理背景及其含义(用)
复习回顾 注意 : 两向量的夹角定义,两向量必须
是同起点的,范围是0 .
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
(0 180)叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b
OaA
b
a
B
O
A
若 180，a 与b 反向
练习:
一.辨 析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0．
√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0．
×
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0.
×
4．若a ·b=0，则a,b中至少有一个为0．
×
５6..若对任a意向0量，aa有ab2 aa2 .(ac·,a则常b记作a2c)
r b
方向上
r
r
向量 b 在方向 a 上的投影是数量,不是向量,
什么时候为正，什么时候为负？ b cos
B
b
O
a B1A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
b cos b
3. 常用︱a︱＝ a a求向量的模.
常用 cos a b
ab
求向量的夹角.
一、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量
r a
和
r b
，它们的夹角为
rr
,
高一数学《241平面向量数量积的物理背景及含义》
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a ⋅b = 02、当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a |=12， |b |=9，254-=•b a ，求a 与b 的夹角。
平面向量平面向量数量积的背景及其含义
向量的数乘
一个数与一个向量相乘，可以得 到一个新的向量，其方向不变， 大小改变。
数量积的引入
数量积的定义
01
两个平面向量的数量积是一个标量，它等于两个向量的对应分
量之间的乘积之和。
数量积的性质
02
两个向量的数量积是一个实数，它具有一些性质，如交换律、
分配律等。
数量积的应用
03
平面向量的数量积在物理学、工程学和计算机科学等领域有着
运算规则
• 数量积的运算满足交换律和分配律，即对于任意向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$、$\overset{\longrightarrow}{b}$和 $\overset{\longrightarrow}{c}$，有$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{a} \cdot (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c}) = \overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{c}$。
广泛的应用，如计算向量的长度、角度、投影等。
02
平面向量数量积的定义与性质
定义
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。
2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。
【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。
2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。
4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。
【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。
2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。
教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。
【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。
2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。
241平面向量数量积的物理背景及其含义--高一数学必修425315
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
241平面向量数量积的物理背景及其含
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
平面向量的数量积的物理背景及其含义
平面向量的数量积的物理背景及其含义4.1一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法．实验法：多媒体、实物投影仪。
．学案导学：见后面的学案。
．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备．学生的学习准备：预习学案。
．教师的教学准备：多媒体制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念给出有关材料并提出问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：=|F||S|cosα。
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我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
物理模型 概念 性质 运算律 应用
教学过程设计
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生
位移S，
问题3的（设１计）意力图在F于所使做学生的了功解 W=
。
数我（量们２积研的究）物数请理量背积同景绝学，不们让仅学 仅分生 是析知 为这道了个，数 公式的特点：
3、运算律的证明
学生独立证明运算律(1)（2）
教学过程设计
证明反思：当λ<0时，向量
与a
、a与
b
b
的方 向的关系如何？此时，向量a与 、b 与a
b的夹角与向量 与a 的b夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课 时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。
教学过程设计 问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学 生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一 样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算 又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。 一：创问题设2的问设计题意图情在景于使，学生激在与发向量学加习法类兴比的趣基础上明 了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向 问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些
Hale Waihona Puke 学W自（身的功完）善是，而是量有其，客观背景
和研F现究（实这力意种）义新的运是，算从的而愿量产望，生 。了 同进 时一 ，步 也
F
为S抽（象位数移量积）的是概念做量好铺垫。
θ是
。
S
教学过程设计
二:探究数量积的含义
１、概念的抽象 问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结 果又该如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
教学过程设计
①、在水平面上位移为10米； S
G
W0
②、竖直下降10米；
S
G
S
③、竖直向上提升10米；
G
WGS
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
这样不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从 中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯 性，而且也节约了课时。
教学过程设计
数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习
4、研究数量积的物理意义 了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是 力与位移的数量积 。为此，我设计这些问题 一方面使 问题７:（学1生）尝功试计的算数数量学积，本另质一方是面什使学么生？理解数量积的 物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
教学过程设计
2、明晰数量积的性质
（1设）向a量⊥ b与a
都是b 非 零向量，则 =0a · b
（设计2）意图当是a为与体现同b教向师只时是，教学a 活=·动|b的||
|a
b
引领当者，与而a学反生才向b是时学，习活动=的a-主|·体b|，| a| b
（让到的养学成热了3）生功情学成的，生︱特为喜不由a别学悦仅特·地习，使殊b的激学到，a︱研发生一·究学获般≤a者生得的|=，参了思a︱不与知维|a断学识品|︱b地习，质2 或体活更。| 验动培︱a︱=
241平面向量数量积的物 理背景及其含义22450
说课提纲
一、教材内容分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
五、教学过程设计
一：创设问题情景，激发学习兴趣 二: 探究数量积的含义
三：探究数量积的运算性质 四：探究数量积的运算律 五: 应用与提高 六: 课堂小结与布置作业
a a
3、性质的证明
教学过程设计
四：探究数量积的运算律 猜测①的正确性是显而易见的。 关于猜测②的正确性，我提示学生思考 下面的问题：
1、运算律的发现猜测②的左右两边的结果各是什么？它
问题９: 我们学过们一了定学实相生数等通吗过乘？讨法论的不难那发些现，运猜算测律②是？不
正确的。
这些 运算律对向量是这否时在也肯适定猜用测？③的基础上明晰数量 学生可能的积回的答运:算律：
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
教学过程设计
2已、知 明向 晰量运算a,律和b实,c数λ，则：
(( 1) a 2 a b b ) b a a b a b
(3 a b )c a c b c
教学过程设计
2（、1明）晰定数义量：积a 的b 定义a b cos
（2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么 不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
夹a角b的 的范围正0负 90 90 90180
教学过程设计
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量 积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完 例1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形 式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还 不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归 纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向 量投影的概念，然后提出问题6。
教学过程设计
五:应用与提高
例 1 、已 a 6 ， b 知 4 ， a 与 b 的夹 6， 0 角 a 求 为 2b a 3b . 本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中
并 例 例 ((213 2)的和运提比由生在判、 、 )三运算出多学通继断思 aa道算过问项生过续两对 ，律程题式独类巩个已 b并的的：乘立比固向ba 考 对综规此法完这性量任 2例合范运的成一质的 a应 书 算 基 证 思 和 垂1知 3 和a意 ， 用写过础明维运直b 此 例2b，两程上，模算，3 教个类自一式律是增向 于 a24 学方似己方达的平加， ， aa时面于猜面到同面运 了量 2a b，加哪测这创时向题b与 哪 是 我强种提并新，量后b重示运出不的教数b 反算 b2不 点范算例困目给量思否 2从。？难的学积2。种 给对完目，。生的例出有 运成的另例如基1过 共 的是算计是一何本3两的数实 原算想 方利应以 k 个主量理后让面用用为 公要线 积程 的，学培数之式作下 的分进生养量一数 ，用性析一在了积，何 再是质， 结 和步类学来教类 ， 运 论 值 似 ： 算 时
W G S
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
W GSco1s8 ( 0 30 )
教学过程设计
三：探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，
你能得到哪些结论？
（2）比较 a b 与 的a 大小b ，你有什么
结
论？
教材中关于数量积的三条性质是以探
究的形式出现的，为了很好地完成这一探 究活动，在完成上述练习后，我不失时机 地提出问题8：