平面向量数量积运算专题(附答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.

(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( ) A.－4＋2 B.－3＋2 C.－4＋22 D.－3＋22 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )

A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－112 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________.

题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于( ) A.2 B.4 C.25 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________.

变式训练3 (2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2

＝1，则|b|＝________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→等于( ) A.－32a2 B.－34a2 C.34a2 D.32a2 2.(2014·浙江)记max{x，y}＝ x，x≥y，y，xA.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

3.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设OA→＝a，OB→＝b，OP→＝p，则p·(b－a)等于( )

A.－12 B.12 C.－32 D.32 5.在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是( ) A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM→＝3MA→，则CM→·CB→等于( )

A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( )

A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________.

9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2

＝32，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________.

10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB→，AC→〉＝60°，则|OA→|＝________.

11.已知向量a＝(sin x，34)，b＝(cos x，－1).当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；

12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝511DB→. (1)求|AB→－AC→|； (2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值. 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.

(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( ) A.－4＋2 B.－3＋2 C.－4＋22 D.－3＋22 答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，

AE→·AF→＝(AB→＋BE→)·(AD→＋DF→)＝(AB→＋13BC→)·(AD→＋1λDC→)＝AB→·AD→＋1λAB→·DC→＋13BC→·AD→＋13λ

BC→·DC→

＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23， 又∵AE→·AF→＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|PA→|＝|PB→|＝x，∠APB＝θ， 则tan θ2＝1x，

从而cos θ＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝x2－1x2＋1. PA→·PB→＝|PA→|·|PB→|·cos θ ＝x2·x2－1x2＋1＝x4－x2x2＋1 ＝x2＋12－3x2＋1＋2x2＋1 ＝x2＋1＋2x2＋1－3≥22－3， 当且仅当x2＋1＝2， 即x2＝2－1时取等号，故PA→·PB→的最小值为22－3. 方法二 设∠APB＝θ，0则|PA→|＝|PB→|＝1tan θ2.

PA→·PB→＝|PA→||PB→|cos θ ＝(1tan θ2)2cos θ ＝cos2θ2sin2θ2·(1－2sin2θ2) ＝1－sin2θ21－2sin2θ2sin2θ2. 令x＝sin2θ2，0则PA→·PB→＝1－x1－2xx ＝2x＋1x－3≥22－3， 当且仅当2x＝1x，即x＝22时取等号. 故PA→·PB→的最小值为22－3. 方法三 以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy， 则圆O的方程为x2＋y2＝1， 设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)，

则PA→·PB→＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝x21－2x1x0＋x20－y21. 由OA⊥PA⇒OA→·PA→＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0 ⇒x21－x1x0＋y21＝0， 又x21＋y21＝1， 所以x1x0＝1.

从而PA→·PB→＝x21－2x1x0＋x20－y21 ＝x21－2＋x20－(1－x21) ＝2x21＋x20－3≥22－3. 故PA→·PB→的最小值为22－3. 点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.

(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.

变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________. 答案 9 解析 因为OA→⊥AB→，所以OA→·AB→＝0.所以OA→·OB→＝OA→·(OA→＋AB→)＝OA→2＋OA→·AB→＝|OA→|2＋0＝32＝9.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )

A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于( )

A.126 B.－126 C.112 D.－112 答案 (1)A (2)B 解析 (1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a，b〉＝θ，

即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0， ∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)记向量2a－b与a＋2b的夹角为θ， 又(2a－b)2 ＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13， (a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52， (2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b ＝8－18＋9＝－1， 故cos θ＝2a－b·a＋2b|2a－b|·|a＋2b|＝－126， 即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是－126. 点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.

变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________. 答案 90° 解析 ∵AO→＝12(AB→＋AC→)，