《平面向量数量积》
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
《平面向量的数量积》
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、等腰直角
r r rr
rr
2、已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角是60o，则|a+b|=（ ）.
A、37B、13C、37D、13
r r rr
rr
3、设 | a | 3,| b | 5,| a b | 7, 求a与b的夹角.
平面向量的数量积
问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么 ？
向量的加法、减法及数乘运算
问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
物理模型----概念---性质---应用
本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算： 平面向量的数量积运算
则a,
b 中至少有一个为
0
rr ①记法“ agb ”中间的“ · ”可不可以省略？能不能用×代替？
②向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？
的范围 rr a gb 的符号
0°≤ <90°
+
=90°
0
90°< ≤180°
-
你得到了什么结论呢？
探究二：研究数量积的几何意义
1、向量投影的概念：
探究一：数量积的概念
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s， 那么力F所做的功：
F
W= _|_F__|_|_s__|__c_o__s__α
F（力）是__向__量，
α
S
s（位移）是_向___量， α是_F_与__s__的__夹__角
你能用文字语言表述 “功的计算公式”吗?
W（功）是__数__量，
数量积的定义：
①其中一个向量是零向量数量积是多少？ ②数量积是数量还是向量？ ③数量积的符号和大小受哪些因素的影响？
平面向量数量积精选全文完整版
4、向量的数量积（内积） 定义： a b cos a,b 叫做向量a和b的数量
积（或内积），记作：a ·b .
即 a ·b = a b cos a,b
说明:
1．数量积a b等于a的长度与b在a方向上正 投影的数量|b|cos的乘积.
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由 cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是 一个向量。
3．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位 向量.
(1). e a =a e =|a|cos;
(2). ab a b = 0;
(3). a a = |a|2或 | a | a a
ab (4). cos = | a || b |
；(5).|a b| ≤ |a|.|b| .
练习:判断正误，并简要说明理由: ①a ·0＝0；② 0 ·a＝０； ③0 － AB ＝ BA ； ④ |a·b|＝|a||b|； ⑤若a≠0，则对任一非零b有a ·b≠０； ⑥ a ·b＝０，则a与b中至少有一个为0； ⑦ a与b是两个单位向量，则a 2=b 2.
例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a ·b.
3
,且a,b的夹角为
6
,求|a+b|;
3.在△ABC中,AB=a,BC=b,且a·b>0,求△ABC
形状.
思考：
已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上 的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数 量。
〈a ，b〉=π时，a、b反向； 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b. （5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任 意向量垂直.
3、向量在轴上的正射影
（1）概念：
2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)
§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。
平面向量的数量积-
平面向量数量积的性质
设a , b 是两个非零向量， e 是单位向量，于是
有：① eaaeacos② abab0
③当a与 b同向时，ab a b ；
当a与 b反向时，ab a b，
特别地，aa
a2
2
a
。
(4)cos a b
a b
⑤ ab a b
平面向量数量积的运算律
①交换律成立：abba
②对实数的结合律成立：
a b a b a b R
③分配律成立：
a b c a c b ccab
特别注意：
（1）结合律不成立：a b ca bc；
当且仅当反方向时θ =1800，同时0 与其它任何
非零向量之间不谈夹角这一问题。
(2)a与 b垂直；如果 a , b 的夹角为900,则称垂直， 记作a b 。
(3)a与 b 的数量积：两个非零向量 a , b ，它们
的夹角为θ ，则 a b cos叫做称 a与 b 的
(4)数量积（或内积），记a作 b ，
（2）消去律不成立 abac不能得到 b c
（3）a b =0不能得到 a = 0 或 b = 0
④但是乘法公式成立：
2 2 2 2
a b a b a b a b；
a b 2 a 2 2 a b b 2a2
2
2abb
；
平面向量数量积的坐标表示:
2019届高考数学复习 强化双基系列课件
《平面向量的数量积》
1、知识精讲：
（1）平面向量的数量积的定义
①向量a , b 的夹角：已知两个非零向量 a , b ，
平面向量的数量积_图文_图文
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
《平面向量数量积的坐标表示》教案(1)
平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 和b 的坐标表示a ·b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝22又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ①又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有： ⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ). Ⅲ.课堂练习课本P 82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业课本P 83习题 6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）A.平行B.不平行不垂直C.a ⊥bD.以上均不对2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ）A.63B.83C.23D.573．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103 ，+∞）C.（－∞，103） D.（－∞，103 ］ 5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ） A.－1313 B. 1313 C.0 D.16．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， （1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32) 7．2 8．② 9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB →＝（1，1），AD →＝（－3，3）∴AB →·AD →＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴AB →⊥AD →.（2）解：∵A BC D 为矩形，设C （x ，y ），∴AB →＝DC →，（1，1）＝（x +1，y －4)∴x ＝0，y ＝5，∴C （0，5）.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？解：∵a －b ＝(3－k ，－2－k )∴t ＝|a －b |＝（3－k ）2＋（－2－k ）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522. 11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1 ① 3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2),又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9,将①代入化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝13 ②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12, 故|3a ＋b |＝2 3 .。
高中数学《平面向量》教案：向量的数量积和向量积
高中数学《平面向量》教案：向量的数量积和向量积一、教学目标本课程旨在让学生掌握向量的数量积和向量积的概念、性质和使用方法，特别是向量积在求解平面中的面积和三角形的重心、外心、垂心等几何中的应用。
二、教学内容1. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量的数量乘积，即A·B =|A||B|cosθ。
其中，cosθ是两个向量夹角的余弦值。
向量的数量积满足以下几个性质：(1) A·B = B·A，即数量积满足交换律；(2) A·(kB) = k(A·B) = (kB)·A，其中k是常数；(3) A·A = |A|^2即自己与自己的数量积等于向量的长度的平方。
2. 向量的向量积向量的向量积是指两个向量所形成的平行四边形的面积的大小，方向垂直于这两个向量构成的平面。
向量的向量积满足以下几个性质：(1) A×B = -B×A，即向量积满足反交换律；(2) A×(kB) = k(A×B) = (kB)×A，其中k是常数；(3) A×B = 0 当且仅当两个向量共线；(4) A×B的大小等于|A||B|sinθ，其中θ是两个向量所夹角的大小。
三、教学方法1. 以具体的例子讲解向量的数量积和向量积的含义和性质；2. 通过多个实例演示向量的数量积和向量积在几何中的应用；3. 帮助学生理解向量数量积和向量积的物理意义。
四、教学步骤1. 向量的数量积(1) 向量的数量积的概念和性质；(2) 数量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量数量积的应用在平面几何和物理中的场景。
2. 向量的向量积(1) 向量的向量积的概念和性质；(2) 向量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量的向量积的应用在平面几何和物理中的场景。
五、教学重点和难点1. 向量的数量积的概念、性质和应用；2. 向量的向量积的概念、性质和应用；3. 向量的数量积和向量积在几何中的应用。
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平面向量数量积的物理背景及其含义
【课型】：新授课
【课时】：第一课时
一、 教材分析
本节内容选自人教A版高中数学必修四第二章第二节2.4.1平面向量数量积
的物理背景及其含义。本节内容先通过物理中“功”的例子抽象出平面向量数量
积的概念，了解它的物理背景，再在此基础上探究学习数量积的几何含义、性质
与运算律。平面向量的数量积是继学习了向量的线性运算后的又一重要运算，在
数学、物理等学科中都有广泛的应用。它既是对平面向量的深入学习与拓展，也
为后续物理应用的学习、立体几何问题的解决等提供了新的思路，起着重要的承
上启下的衔接作用。在平面向量数量积概念中，既有长度又有角度，既有数又有
形，是代数、几何与三角的最佳结合点，也很好的体现了数形结合的数学思想方
法。
二、 学情分析
本节课的授课对象是高一学生，从知识起点看，在学习本节内容前，学生已
经学习了向量的概念及其线性运算，学习了功等简单的物理知识，并且初步体会
了研究向量运算的一般方法；从能力上看，学生具备了一定程度的分析问题与解
决问题的能力，也形成了一定的逻辑思维；从情感上看，高一的学生对未知有探
求的渴望，有学习新知的渴望。但在学习本节内容时，之前向量线性运算的知识
会造成学生对数量积这个概念的理解上的偏差，干扰学生对数量积概念的理解，
另外，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个不同性质的
向量经过数量积运算后，结果却不是向量，这给学生的学习带来了困难。
三、 重难点
重点： 平面向量数量积的概念；
难点： 平面向量数量积的定义与几何意义的理解。
四、 三维目标
（一）知识与技能
说出平面向量数量积的概念；
知道平面向量数量积的物理背景；
描述平面向量数量积与向量的投影的关系；
（二）过程与方法
通过把功这个式子推广到一般形式来学习数量积概念的过程，学习从特殊
到一半的数学学习方法；
通过进一步根据图式理解概念，巩固数形结合的数学思想方法。
（三）情感、态度与价值观
通过生活中的物理问题引出数量积的概念，体会数学与生活与其他学科密
切相关；
通过解答新的运算与线性运算之间的区别，感受探索的乐趣，体验到成功
解决疑问的快乐。
五、 教学过程
（一） 创设情境，导入新课
情景：某天老师的小车在路上抛锚了，看到前方有一修车厂，需要将车子推到修
车厂门口才可以修理，老师用力F拉动汽车产生的位移为s，假设F是恒力。
问题：老师做了多少功？
【学生活动】学生在物理知识的基础上，很容易得到:cosFsW。
【师生活动】教师引导学生从数学的角度看这个式子，W是数量，F和s都是向
量，而从物理的角度看这个式子，其中F和s是力向量和位移向量的大小，所以
可以将该式改成：cosWsF。
问题：功的计算是一种向量间的运算，那是向量的线性运算么？
【教师活动】教师带领学生回顾之前学习的向量的线性运算。
【学生活动】学生很容易得到功的计算不属于向量的线性运算。
问题：将向量的线性运算与功的计算进行比较，请学生找两者的区别。
结论：有两个不同点：
① 加、减法运算都是两个同性质的向量进行运算，数乘是实数与一个向量的运
算，而功的运算是两个不同性质的向量—力和位移的运算；
② 线性运算的结果还是同性质的向量，而功的运算结果却是数量。
进而导入本节课的内容——平面向量数量积。
【设计意图】教师通过生活中的亲身经历提出问题引入新课，有利于激发学生的
认同感与学习兴趣，体会数学与其他学科与生活之间的密切联系，后通过分析比
较之前学习的向量运算，创建学生的认知冲突，引出了平面向量数量积，点明本
节课的学习内容。
（二） 逐步探索，发现新知
1.剖析概念，知道物理背景
问题：你能用文字语言表述上面的“功的计算公式”—cosWsF吗？
【学生活动】学生容易得到答案：功是力与位移大小及其夹角余弦的乘积。
问题：如果将这个特殊的式子推广到一般的式子，又该如何描述？
【教师活动】教师通过一般的cosRab引导学生得出答案。
结论：数量R是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
【教师活动】给出向量数量积的定义。
定义（板书）
向量数量积：
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量cosab叫做
a
和b的数量积（或内积），记作.ab，即.cosabab
另外，我们规定零向量与任一向量的数量积为0。即00a。
【师生活动】教师结合图像让学生做进一步的理解。
a
b
【教师活动】学习了数量积的概念后，又回到功的式子，请学生将功的式子改成
数量积的形式。
【学生活动】：.cosssFF。
【教师活动】教师点明功的数学实质就是力F和位移s两个向量的数量积。
注意点：
①两个不同性质的向量经过数量积运算后得到的是一个数量；
②两个向量的夹角取值范围为[0,]；
③符号.ab不能写成ab或者ab。
2. 明确内涵，掌握几何意义
【教师活动】学习了数量积的概念，也明确了它的物理背景，那么从数学角度看
这个运算，它的几何意义又是什么呢？在发现它的几何意义之前，先学习另一个
新的概念：向量投影。
定义（板书）：
向量投影：
如下图所示，我们把cosb叫做向量b在a方向上的投影，记作
1
cosOOb
。
注意：投影也是数量。
【教师活动】请学生根据推车情景的简图回答s在F上的投影。
【学生活动】学生将容易的得到：
cos
b
a
b
O O
1
问题：学习了投影后，从新的角度看看数量积，能发现它的几何意义吗？
【师生活动】教师引导学生一起得到几何意义是：
数量积.ab等于a的长度a与b在a方向上的投影cosb的乘积。
【设计意图】新课程中，教学是师生积极交往互动、共同发展的，通过这一环节
调动师生间与学生间的合作交流，通过讨论合作突破难点，掌握重点，体会合作
与成功的乐趣。
（三） 自我尝试，巩固新知
例1.已知5,4ab，a与b的夹角120，求.ab。
【学生活动】该题请学生自主完成。
解：
0
.cos54cos1201=54(-)2=-10abab
例2.已知在⊿ABC中， ,,ABaACb当0ab或0ab时，试判断⊿ABC的
s
F
cos
s
形状。
【学生活动】该题请学生自主完成。
解：.cosabab，0ab
当0ab时，cos0，且0,， 是钝角，⊿ABC是钝角三角形；
当0ab时，cos0，且0, ，=90°，⊿ABC是直角三角形。
【设计意图】学生通过自主实践，亲身尝试解答问题，将知识内化、理解掌握。
（四） 小结升华，布置作业
【学生活动】最后请学生小结今天所学的知识，教师可以从几个问题引导学生进
行总结，再由教师进行补充。引导的问题是：
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量数量积的物理背景和数学几何意义是什么？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳？
4、学到了什么数学思想方法？
最后布置作业：
课本P119习题2.4A组2、5、6、9。
【设计意图】通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加
全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。