深圳市宝安区高一下学期期末考试数学试题含答案
深圳市高一下学期期末考试数学试卷含答案
A D CB E 深圳市高一年级第二学期期末考试数学题卷本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ（A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- 2．已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-= （A ）7210 （B ）7210- （C ）210 （D ）210- 3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出 的结果为56，则判断框中应填入的条件是 （A ）5i < （B ）6i < （C ）5i ≥ （D ）6i ≥ 4．已知3sin(),cos(2)25παπα-=-=则（A ）2425- （B ）2425（C ）725-（D ）7255．平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a b（A ）3（B ）23（C ）4（D ）126．如图，在△ABC 中,DC BD 21=,ED AE 3=，若a AB =,b AC =，则=BE（A ）b a 3131+ （B ）b a 4121+-（C ）b a 4121+ （D ）b a 3131+-7．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．某地对涉嫌酒后驾车的28800人进行血液检测，根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示．则这28800人中属于醉酒驾车的人数约为 A ．8640 （B ）5760 （C ）4320 （D ）28808．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为 （A ）31 （B ）41 （C ）51 （D ）61 10．下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则,x y 的值分别为 （A ）4，5（B ）5，4 （C ）4，4 （D ）5，511．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （A ）14 （B ）π8 （C ）12（D ）π4（第7题图）12．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （A ）关于点)0,6(π对称 （B ）关于6π=x 对称 （C ）关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 （D ）关于12x π=对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为__________. 14．若tan 13θ=，则cos 2θ=__________. 15．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=__________.16．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分． 17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 18. （本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 19.（本题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？21.（本题满分12分）已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2π(,1)3M -． （1）求()f x 的解析式；（2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域．某商场对A 商品近30 天的日销售量y （件）与时间t （天）的销售情况进行整理，得到如下数据：经统计分析，日销售量y （件）与时间t （天）之间具有线性相关关系.（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y 关于t 的线性回归方程ˆybt a =+； （2）已知A 商品近30 天内的销售价格Z （元）与时间t （天）的关系为：20,(020,N)100,(2030,N)t t t z t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩，，根据（1）中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大.（参考公式： 121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y b t =-⋅）第二学期期末考试 高一年级数学试题参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．13．45. 15．6．16．58． 三、解答题：17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 解：（1）∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 解得55cos ,552sin ==θθ. …… 5分 （2）∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴ 4cos()5θω-==. …… 7分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- ……9分=分18．（本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 11()1sin 12222x x +=++………（2分） sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（1） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分） （2）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分） 2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-………（12分）19．（本小题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（1）由题意得3sin cos 1m n A A =-=………2分2sin()16A π-= ， 1sin()62A π-= ………4分由A 为锐角 ， 得(,)663A πππ-∈-,,663A A πππ-== ………6分（2）由（1）可得1cos 2A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+ ………9分因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分 故所求函数()f x 的值域是3[3,]2-. ………12分20．（本小题满分12分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, ……………… 1分第3组的频率为300.300100=, ……………… 2分 频率分布直方图如下: ……………… 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人, ……… 6分第4组:206260⨯=人, ……… 7分第5组:106160⨯=人, ……… 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷
深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷一、选择题（共15题，每题2分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
）1. 设a不等于0，则关于x的一次方程ax+b=0（）。
A. 无解B. 有唯一解-x/bC. 有无数解D. 无法确定2. 如果root(5)x = root(20)，则x的值为（）A. 1/2B. 2C. 4D. 163. 下列关于集合的说法错误的是（）。
A. 空集也是集合B. 集合中元素的排列顺序可以更改C. 集合中不允许重复的元素D. 所有元素都是集合的子集4. 已知函数f(x)=log(1-x)，g(x)=x-1，则f[g(10)-g(3)]的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 25. 在△ABC中，∠B=90度，∠C=30度，BC=2，则AC的长为（）。
A. 1B. 3C. 2sqrt(3)D. sqrt(3)6. 当a+b=2时，下列哪组值可以是（）。
A. a=1,b=1B. a=-1,b=3C. a=0,b=2D. a=-2,b=47. 在下列选项中，属于等比数列的是（）。
A. k-5，k-3，kB. k，2k，3kC. k，k+1，k+2D. k，k^2，k^38. 关于词组“及以下”，哪项说法是错误的（）。
A. 包括本身B. 不包括本身C. 只限于本身D. 这要视题意而定9. 甲，乙，丙三个数相乘为30，已知甲+乙+丙=13，丙=1，则甲的值为（）。
A. -1B. 2C. 3D. 510. 式子x/sqrt(x^2+1)+1/sqrt(x^2+1)的值为（）。
A. 1+sqrt(x^2+1)B. 1+x^2C. 1+1/sqrt(x^2+1)D. 1/x11. 把4800元按月存入，每月存入的金额相等，月利率为1.5%，存8个月后，本息和为（）。
A. 元B. 元C. 元D. 元12. 如果正五边形的周长为20，求它的面积（）。
A. 20sqrt(5)-25B. 5sqrt(5)C. 25sqrt(5)D. 2513. 设函数f(x)=3x+2，g(x)=x^2-9，四个实数a,b,c,d满足a<b，c<d，且f(a)=f(b)，g(c)=g(d)，则（）。
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
广东省深圳市高一数学下学期期末考试试题(含解析)
广东省深圳市2020-2021学年高一数学下学期期末考试(qī mò kǎo shì)试题（含解析）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若集合A={-2，1，2，3}，B={x|x=2n，n∈N}，则A∩B=（）A. {-2}B. {2}C. {-2，2}D. ∅【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵∴故答案为：B【分析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出。
2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为：故答案为：C【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A. y=x3B.y=|x| C. y=sinx D. y=【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；由于函数是偶函数,但它在区间(0，+∞)上单调递增，故排除B；由于函数是奇函数,不是偶函数，故排除C；由于函数是偶函数,且满足在区间(0，+∞)上单调递减，故满足条件。
故答案为：D【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。
4.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A.B. 2πC. 3πD. 4π【答案(dá àn)】 C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为1，故半球的表面积为：故答案为：C【分析】以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得。
2020-2021深圳宝安区新城学校高一数学下期末模拟试卷(及答案)
2020-2021深圳宝安区新城学校高一数学下期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为33．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222± 5．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．要得到函数223cos sin 23y x x =+-的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 10．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称11．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)212．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.14．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________． 15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -…，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 16．若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.18．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．19．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．20．设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b +的最小值为_________．三、解答题21．已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程．22．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值； 23．已知x ，y ，()0,z ∈+∞，3x y z ++=． （1）求111x y z++的最小值 （2）证明：2223x y z ≤++．24．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =百米，60AED ∠=o . （1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．25．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<Q ，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r ，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．B解析：B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=Q 关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+Q11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数223sin 23y x x =+-. 【详解】依题意2ππ23sin 232sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.10．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.11．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，因为132BO C O ====，所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．二、填空题13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni 解析：18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．14．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果.【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=，解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：725【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -…所有可能情况，代入公式得到结果。
2020-2021深圳市宝安区实验学校高一数学下期末试题(带答案)
【详解】
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得： ，
，故 为锐角，可得 ，
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据正弦定理得到 ，化简得到 ，得到 ，得到答案.
【详解】
，则 ，
即 ，即 ，
，故 ， .
故选： .
【点睛】
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题
13．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式
9．C
解析：C
【解析】
x⩽1时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，
x>1时, 在(1,+∞)恒成立，
故a⩽x2在(1,+∞)恒成立，
故a⩽1，
而1+a+1⩾1，即a⩾−1，
综上,a∈[−1,1]，
本题选择C选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
二、填空题
13．设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 __________．
高中数学：2022-2023学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷(附参考答案)
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足iz ＝1+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．2C ．√22D ．√23．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．标准差5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．37．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√28．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +lg |x |，则不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集为（ ） A ．（0，2） B ．(0，12)∪(12，2)C ．（0，3）D ．(0，12)∪(12，3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C ．|A 1M |+|C 1M |的最小值为3+√5D ．当M 是BC 的中点时，过A 1，M ，C 1三点的平面截三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球所得的截面面积为269π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg 2+lg 5+π0＝ ．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D ．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E ﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2−x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m 分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12B．2C．√22D．√2【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1﹣i，∴|z|=√1+(−1)2=√2．故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45B．35C．−45D．−35【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数B．中位数C．极差D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B ．5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由平面与平面平行的性质，可得A 正确； 对于B ，由直线与平面平行的判定定理，可得B 正确；对于C ，m 与n 的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C 错误； 对于D ，由平面与平面垂直的性质，D 正确． 故选：C ．6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：∵AB →=2DC →，∴DC →=12AB →，∴AC →=AD →+DC →=AD →+12AB →，∴x =12，y ＝1，∴x +y =32．故选：A ．7．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√2【解答】解：对于A ：∵m ＞0，n ＞0，m +n ＝2，∴由基本不等式可得m +n ≥2√mn ， ∴mn ≤1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，lnm +lnn ＝lnmn ≤ln 1＝0，故A 错误； ∵2（m ²+n ²）＝（m ²+n ²）+（m ²+n ²）≥m ²+n ²+2mn ＝（m +n ）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2√nm⋅mn）＝2，当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；（√m+√n）2＝m+n+2√mn≤2（m+n）＝4，因为√m+√n＞0，故√m+√n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)【解答】解：因为f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝e x+e﹣x+lg|﹣x|＝e x+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝e x+e﹣x+lgx，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1 x ，∵y＝e x与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝e x﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴e x﹣e﹣x＞e0−1e0=0，即当x＞0时，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1x＞0恒成立，∴偶函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，f（−π12）＝cos（−π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(−π12，0)不对称，故B错误，f（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1 2，故根的和为32，故正确．故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+√5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26 9π【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，V C1−AMB1=V A−B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，|A1M|+|C1M|=√(2√2)2+t2+√22+(2−t)2，其几何意义是点(2√2，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，最小值为点(−2√2，0)到点（2，2）的距离，为√16+8√2，C选项错误；当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=2√2，C1M=√5，cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=2×3×2√2=√22，sin∠MA1C1=√22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2√2×3×√22=3，S△CC1M =12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为h C，由V C−A1MC1=V A1−CC1M，得3ℎc=2×1，ℎc=23，直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=√3，点O到平面MA1C1的距离为ℎO =12ℎC=13，则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为√(√3)2−(13)2=√263，截面面积为269π，D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为2√23π．【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=√9−1=2√2，∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2√23π．故答案为：2√23π．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 212 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．【解答】解：由∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，可得∠CBD ＝45°，又CD ＝100米， 由正弦定理可得CD sin∠CBD=BC sin∠BDC，即√22=√32，可得BC ＝50√6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，所以AB ＝BC •tan ∠ACB ＝50√6×√3=150√2≈150×1.414≈212米． 故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 2 ．【解答】解：以E 为圆心，12AB 为半径作圆，∵EF =1=12AB ，∴F 在圆上，∵PA →⋅PB →=0，∴P 在圆上，∴PC →⋅PD →=14[(PC →+PD →)2−(PC →−PD →)2]=14[(2PF →)2−DC →2]=PF →2−14×(2√2)2=PF →2−2， ∵F ，P 都在以E 为圆心，12AB 为半径的圆上，∴|PF →|max =2r =AB ＝2，∴(PC →⋅PD →)max =(PF →)2max −2=22−2=2． 故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f （x ）＝sin （2x +θ），得f （π6）＝sin （π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，所以θ=π6；（2）x ∈[0，π4]，（2x +π6）∈[π6，23π]，此时，f （x ）∈[12，1]．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ． 【解答】解：（1）因为b ＝2c ﹣2a cos B ， 由正弦定理可得2sin C ﹣2sin A cos B ＝sin B ， 而sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， 代入化简得2cos A sin B ＝sin B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ＞0， 所以cosA =12，因为A ∈（0，π）， 故A =π3；（2）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 由（1）可知A =π3，又a =3√3，c ＝2b ，代入上式可得，27＝b 2+4b 2﹣2b ×2b ×12，解得b ＝3，c ＝6，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×3×6×√32=9√32．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a ＜1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递减， 此时f （x ）max ＝f （1）＝0≠3，不满足题意； 当a ＞1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递增， 此时f （x ）max ＝f （8）＝log a 8＝3， 解得a ＝2； （2）令m ＝log 2x ，因为x ∈[1，8]，所以m ∈[0，3]， 所以2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ≥0⇔2﹣m﹣m +t ≥0⇔t ≥m ﹣2﹣m在m ∈[0，3]上恒成立，令g （m ）＝m ﹣2﹣m，m ∈[0，3]，易知g （m ）在[0，3]上为增函数， 所以g （m ）max ＝3﹣2﹣3=238， 所以实数t 的取值范围为[238，+∞）．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A ＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B ＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B 的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1 20，②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=620=310，③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，所以P3=3 20，所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=2√2，满足P A2+PC2＝AC2，所以P A⊥PC．因为平面P AC⊥平面PCB，平面P AC∩平面PCB＝PC，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以P A⊥BC．因为BC⊥AC，P A，AC⊂平面P AC，且P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，因为BC⊂平面ABC，所以平面P AC⊥平面ABC．（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．证明如下：因为P A＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面P AC，所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，PO1⊂平面P AC，EM⊄平面P AC，所以EM∥平面P AC．当EF∥平面P AC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面P AC．由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，所以FT过点O，由此可知FT＝5．因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=√30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，所以MN =23√6，EM =12PO 1=1，因此tan ∠EMM =EM MN =√64，所以二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角的正切值为√64． 22．（12分）已知函数f(x)=|14x 2−x|，g （x ）＝kx ，f （x ）与g （x ）的图象恰有三个交点．（1）求实数k 的取值范围；（2）用max {α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（1⩽x ⩽6），用M ，m 分别表示φ（x ）的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M ﹣m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f(x)={ 14x 2−x ，x ＜0−14x 2+x ，0≤x ≤414x 2−x ，x ＞4，显然f （x ）≥0，且（0，0）是函数f （x ）与g （x ）图象的一个交点， 当k ＜0时，g （x ）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f （x ）图象无交点； 在区间（﹣∞，0），g （x ）与f （x ） 图象至多有一个交点，不合题意．当k ＝0时，函数f （x ）与g （x ）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意． 当k ＞0时，若函数f （x ）与g （x ）图象有三个交点，则方程−14x 2+x =kx ，14x 2−x =kx 均有正根，分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），由{k ＞04(1−k)＞04(k +1)＞0，可得0＜k ＜1，所以实数k 的取值范围是（0，1）；（2）由（1）可知，当k ∈（0，1）时，f （x ）与g （x ）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ）， 当x ∈（x 1，x 2）时，f （x ）≤g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝g （x ）， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ），当34≤k ＜1时，x 1＜1，x 2＞6，φ（x ）＝g （x ）（1≤x ≤6），M ＝φ（6）＝6k ，m ＝φ（1）＝k ，M ﹣m ＝5k ∈[154，5）；当12≤k ＜34时，1＜x 1≤2，x 2≥6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤6，f （x ）在[1，x 1）上为增函数，且g （x ）为增函数， 故φ（x ）在[1，6]上为增函数，M ＝φ（6）＝6k ， m ＝f （1）=34，M ﹣m ＝6k −34∈[94，154），当14＜k ＜12时，2＜x 1＜3，5＜x 2＜6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）＞f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （1）=34，M ﹣m =94；当0＜k ≤14时，3≤x 1＜4，4＜x 2≤5，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）≤f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （x 1）＝f （4﹣4k ）＝﹣4k 2+4k ，M ﹣m ＝4k 2﹣4k +3∈[94，3）；综上，当34≤k ＜1时，M ＝6k ，m ＝k ；当12≤k ＜34时，M ＝6k ，m =34；当14＜k ＜12时，M ＝3，m =34；当0＜k ≤14时，M ＝3，m ＝﹣4k 2+4k ，所以M ﹣m 的取值范围为：[94，5）．。
广东省深圳市高一下学期期末数学试题(解析版)
高一年级调研考试数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，，则（ ）{}32A x x =-<<{}0,1,2,3B =A B = A. B.C.D.{}0,1{}0,2{}1,2{}2,3【答案】A 【解析】【分析】直接根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为，， {}32A x x =-<<{}0,1,2,3B =所以. A B = {}0,1故选：A.2. 设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） ()i 12i z =+i z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案. z 【详解】解：，()i i 12i 2z =+=-+所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.z ()2,1-故选：B .3. 已知向量，，且，则（ ）()1,2a =-r (),1b λ= a b ⊥λ=A. B. C.D. 22-12-12【答案】D 【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得； 0a b ⋅=【详解】解：因为，，且，()1,2a =-r (),1b λ= a b ⊥所以，解得；()1120a b λ⋅=⨯+⨯-=2λ=故选：D 4. 已知，，则的值为（ ） 3cos 5α=π02α<<()sin πα+A. B. C.D.45-35-3545【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；sin α【详解】解：因为，，所以， 3cos 5α=π02α<<4sin 5α==所以；()4sin πsin 5αα+=-=-故选：A5. 已知直线与平面，则能使的充分条件是（ ） ,m n ,,αβγαβ⊥A. ， B. ，， αγ⊥βγ⊥m n ⊥m αβ= n β⊂C. ， D. ，//m α//m β//m αm β⊥【答案】D 【解析】【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A 错误； αγ∴⊥βγαβ⊥⊥¿对于B ，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B m n ⊥m αβ= n β⊂,m n βαβ⊥错误；对于C ，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C 错误； //m α∴//m βαβ⊥¿对于D ，，存在直线，满足，又，，//m α ∴l ⊂α//m l m β⊥l β∴⊥，，D 正确.l α⊂ αβ∴⊥故选：D.6. 下列不等式恒成立的是（ ）A.B.2b aa b+≥22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C. D.a b +≥222a b ab +≥-【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值判断A 、C ，利用重要不等式判断B ，作差可判断D ； 【详解】解：对于A ：若、时，故A 错误； 1a =1b =-2b aa b+=-对于B ：因为，所以，所以，即，当且仅()20a b -≥222a b ab +≥2224a b ab ab ++≥22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭当时取等号，故B 错误；a b =对于C ：若、时，，故C 错误；1a =-1b =-22a b +=-<对于D ：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故()20a b +≥2220a b ab ++≥222a b ab +≥-a b =D 正确； 故选：D7. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）ABCD M AB AC DM O OM =A.B.1163OM AB AD =-1233OM AB AD =-C.D.1122OM AB AD =-1143OM AB AD =-【答案】A【解析】【分析】设，则，再根据三点共线可AO x AC =()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ ,,O D M 求得，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案. x 【详解】解：设，AO x AC =则，()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ 因为三点共线， ,,O D M 所以，解得， 21x x +=13x =则1133AO xAC AB AD ==+ 所以.1111133263OM OA AM AB AD AB AB AD =+=--+=-故选：A.8. 已知函数，则方程的解的个数是（ ）()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩()30xf x -=A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】令，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个||3x y =()30xf x -=()f x ||3x y =数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数． ()f x ||3x y =【详解】解：令，得，()30xf x -=||()3x f x =则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．()30xf x -=()f x ||3x y =作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2， ()f x ||3x y =故方程的解的个数为2个．()30xf x -=故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平.根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（）A. 近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势B. 历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高C. 根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人D. 根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人【答案】AC【解析】【分析】根据统计图提供的数据判断.【详解】近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B 不正确； 根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为，x ，则估计男性人口为72334万人，故C 正确，D 不正确.105.0772********xx =⇒≈故选：AC .10. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到()sin f x x =3π12函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ） ()g x ()g xA. 最小正周期为B. 在区间 π,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 图像的一个对称中心为 D. 图像的一条对称轴为直线,03π⎛-⎫⎪⎝⎭12x π=【答案】AD 【解析】【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质. ()g x 【详解】的图像向左平移个单位长度得函数， ()sin f x x =3πsin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数， 12()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其最小正周期为，A 选项正确； 22T ππ==由，得，则当，即时，取最大值为，B 选,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦232x ππ+=12x π=()g x 1项错误； 令，，得，，所以函数的对称中心为，23x k ππ+=Z k ∈+62k x ππ=-Z k ∈()g x +,062k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以不成立，C 选项错误； Z k ∈,03π⎛-⎫⎪⎝⎭令，，解得，，所以函数的对称轴为，232x k πππ+=+Z k ∈122k x ππ=+Z k ∈()g x 122kx ππ=+，当时，，D 选项正确；Z k ∈0k =12x π=故选：AD.11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）()f x R 0x ≥()22f x x x =-A. 的最小值为 B. 在上单调递减()f x 1-()f x ()2,0-C. 的解集为 D. 存在实数满足()0f x ≤[]22-,x ()()20f x f x ++-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，， ()f x R 0x …22()2(1)1f x x x x =-=--设，则，所以，因为是偶函数，所以， 0x <0x ->2()2-=+f x x x ()f x ()()f x f x -=所以，2()2f x x x =+所以，222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨+<⎩…函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小0x >()f x 1x =1-y ()f x R 值，故A 正确；1-在上单调递减，在上单调递增，故B 错误；()f x (,1)-∞-(1,0)-由或，解得或，综上可得的解集为，故2020x x x ≥⎧⎨-≤⎩2020x x x <⎧⎨+≤⎩02x ≤≤20x -≤<()0f x ≤[]22-,C 正确；由，，即存在实数满足，故D 正确； (0)0f =()()220f f -==x (2)()0f x f x ++-=故选：ACD ．12. 如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在ABCD 2AB =π3BAD ∠=ABD △BD A A 'A '底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）BCD M A C 'ABD △A. 四面体的体积的最大值为1 A BCD -'B. 存在某一位置，使得 BM CD ⊥C. 异面直线，所成的角为定值 BM A D 'D. 当二面角的余弦值为时，四面体A BD C '--13A BCD -'【答案】ABD 【解析】【分析】连接交于，连接，取的中点，连接，当平面平面AC BD O OA 'CD N ,MN BN A BD '⊥时，四面体的体积最大，从而可判断A ；易得，说明成立，再根BCD A BCD -'BN CD ⊥MN CD ⊥据线面垂直的判定定理及性质即可判断B ；证明异面直线，所成的角即为或其补角，再BM A D 'BMN ∠根据不为定值，即可判断C ；说明即为二面角的平面角，再根据二面角BM A OC '∠A BD C '--的余弦值可得，补全为正方体，从而可判断D .A BD C '--2A C '=【详解】解：连接交于，连接，取的中点，连接， AC BD O OA 'CD N ,MN BN 对于A ，当平面平面时，四面体的体积最大， A BD '⊥BCD A BCD -'点到平面的距离最大，此时 A 'BCD 在菱形中，，， ABCD 2AB =π3BAD ∠=则都是等边三角形， ,ABD BCD A A则OA OA OC '===此时四面体的体积为， A BCD -'112132⨯⨯=所以四面体的体积的最大值为1，故A 正确； A BCD -'对于B ，因为分别为的中点， ,M N ,A C CD '所以，BN CD ⊥且， MN A D '∥112MN A D '==由题意，则， 20,3A DC π⎛⎫'∠∈ ⎪⎝⎭20,3MNC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭当时，，2MNC π∠=MN CD ⊥因为， MN BN N ⋂=所以时，平面，2MNC π∠=CD ⊥BMN 又平面， BM ⊂BMN 所以，CD BM ⊥所以存在某一位置，使得，故B 正确； BM CD ⊥对于C ，因为，MN A D '∥所以异面直线，所成的角即为或其补角，BM A D 'BMN ∠， 2131cos 22BM BM BMN BM BM+-∠==-因为不为定值，所以不为定值， BM cos BMN ∠即异面直线，所成的角不为定值，故C 错误； BM A D '对于D ，因为，,OC BD OA BD '⊥⊥所以即为二面角的平面角，A OC '∠A BD C '--则，所以， 261cos 63A C A OC '-'∠===2A C '=所以四面体为正四面体， A BCD -'如图，补全正四面体为正方体， A BCD -'，， =即四面体D 正确. A BCD -'故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算的结果为______.1327ln 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】 2【解析】【分析】根据对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：； 11313322733131ln e ln e 2822222⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：214. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 【答案】13【解析】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、()2,3()2,4()2,5()3,4、共个结果；()3,5()4,56满足两个数相差为2的有、共个结果；()2,4()3,52所以两个数相差为2的概率； 2163P ==故答案为：1315. 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______． 1【答案】 2π【解析】【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：， 1212ππ⨯⨯=故答案为：.2π16. 已知若存在，使得，的取值范围是()2,01,2, 1.x x x f x x ⎧<<=⎨≥⎩210x x >>()()212f x f x =()12x f x ⋅______.【答案】[)4,⎛⋃+∞ ⎝【解析】【分析】分，，三种情况讨论，由题意，1201x x <<<1201x x <<≤121x x ≤<()()12112x f x x f x ⋅=⋅分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得出答案. 1x 【详解】解：当时， 1201x x <<<则， ()()()2120,1f x f x =∈所以，即，()110,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，1x ⎛∈ ⎝则，()()31211122x f x x f x x ⋅=⋅=因为函数在上递增，3y x =()0,1所以；()31212x f x x ⎛⋅=∈ ⎝当时，1201x x <<≤，()()()[)21120,1,22,x f x x f x =∈=∈+∞所以，()()212f x f x >所以不存在，使得； 1201x x <<≤()()212f x f x =当时，121x x ≤<则，()()12122,2xxf x f x ==因为， ()()212f x f x =所以， 21112222x x x +=⨯=所以，211x x =+则，()()112111222xx f x x f x x ⋅=⋅=⋅令，()[)22,1,xg x x x =⋅∈+∞则，()()112211122222222x x x x g x x x g x x x -⋅==⋅⋅因为，121x x ≤<所以， 11221,0x x x x <-<所以，所以， 1221x x -<121221x x x x -⋅<即，()()12g x g x <所以函数在上递增，()22xg x x =⋅[)1,+∞所以，即，()()14g x g ≥=()[)124,x f x ⋅∈+∞综上所述，的取值范围是.()12x f x ⋅[)4,⎛⋃+∞⎝故答案为：.[)4,⎛⋃+∞ ⎝四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数（）的最小正周期为. ()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭0ω>π（1）求的值； π6f ⎛⎫⎪⎝⎭（2）求函数的单调递减区间. ()f x【答案】（1（2）π7ππ,π,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可； 2ω=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）整体法求解函数单调递减区间. 【小问1详解】 由最小正周期公式得：，故，2ππω=2ω=所以，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】 令， ππ3π2π22π,232k x k k Z +≤+≤+∈解得：， π7πππ,1212k x k k Z +≤≤+∈故函数的单调递减区间.是()f x π7ππ,π,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦18. 已知的内角，，的对边分别为，，，. ABC A A B C a b c 2sin 3sin cos 0a C c A B -=（1）求的值；cos B （2）若，，求的值. 2BA BC ⋅=u u r u u u r1c =b 【答案】（1）23（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出；cos B （2）根据数量积的定义求出，即可求出，再由余弦定理计算可得； ac a 【小问1详解】解：因为，2sin 3sin cos 0a C c A B -=由正弦定理可得，因为，所以 23cos 0ac ac B -=0ac ≠2cos 3B =【小问2详解】解：因为，所以，所以，2BA BC ⋅=u u r u u u rcos 2ac B =3ac =因为，所以，1c =3a =由余弦定理， 22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=所以.b =19. 已知函数是定义在上的奇函数. ()22xx af x =-R （1）若，求的值； ()32f x =x （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.[]0,3x ∈()()220f t x f x -+≤t 【答案】（1）1x =（2） (],3-∞-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即()00f =a ()f x 可；（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可22t x x -≤-[]0,3x ∈得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解； 22t x x ≤-+[]0,3x ∈22x x -+【小问1详解】解：因为函数是定义在上的奇函数， ()22xxaf x =-R 所以，即，解得，所以， ()00f =00202a -=1a =()122xxf x =-即，则，符合题意，()22xx f x -=-()()22xx f x f x --=-=-又，即，即，即， ()32f x =13222xx -=243220x x ⋅-⋅-=()()221220x x ⋅+-=即，解得 220x -=1x =【小问2详解】解：因为， ()122xxf x =-所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数， ()f x ()f x R 所以在恒成立，()()220f t x f x-+≤[]0,3x ∈等价于在上恒成立，()()()222f t x f xf x -≤-=-[]0,3x ∈即在上恒成立，即，恒成立， 22t x x -≤-[]0,3x ∈22t x x ≤-+[]0,3x ∈令，，()()22211g x x x x =-+=---[]0,3x ∈所以在上单调递增，在上单调递减，、， ()g x []0,1(]1,3()00g =()33g =-所以，所以，即；()min 3g x =-3t £-(],3t ∈-∞-20. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公BMI 式是：.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；()()2kg BMI m2=体重单位:身高单位:BMI BMI 18.5<为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情18.5BMI 24≤<24BMI 28≤<28BMI ≤况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一BMI 组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体.分组频数 频率 [)14,18150.15[)18,2240 0.40[)22,2630 0.30[)26,3010 0.10[)30,34 5 0.05 合计1001.00（1）根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；BMI （2）已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学BMI 122.8μ=生的平均数. BMI 2μ【答案】（1）10%（2） 220.8μ=【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比； 28BMI<30≤（2）先根据频率分布直方图求出样本的的平均数，再根据样本的的平均数等于，BMI BMI 123255μμ+即可得解. 【小问1详解】解：由频率分布直方图可知的频率为， 28BMI<30≤10.02540.052⨯⨯=所以的频率为， 28BMI ≤0.050.050.1+=所以估计该校学生为肥胖的百分比为； 10%【小问2详解】解：样本的的平均数为， BMI 160.15200.4240.3280.1320.0522⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则， 2604022.822100100μ⨯+=解得，220.8μ=所以估计样本中40名女学生的平均数. BMI 220.8μ=21. 如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所P ABCD -ABCD 12BC AD =//BC AD PCD 在的平面垂直于底面，.ABCD BC PD ⊥（1）求证：平面；BC ⊥PCD（2）若直线与平面，求二面角的余弦值. PB ABCD P AB D --【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直；（2）分别过点与点作直线的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值. D P AB 【小问1详解】如图所示，取中点，连接，CD O PO 是正三角形，PCD QV PO CD ∴⊥又平面平面，且平面平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =平面，平面,， PO ∴⊥ABCD BC ⊂ABCD PO BC ∴⊥，且， BC PD ⊥ PO PD P = 平面；BC ∴⊥PCD 【小问2详解】如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点OB BD D P DM AB ⊥PN AB ⊥AB M N 作，交于点，连接，M //MQ NP AP Q DQ 设，，则，22AD BC ==20CD a a =>，OP =由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，OP ⊥ABCD OBP ∴∠PB ABCD 平面，，BC ⊥PCD BC CP ∴⊥则PB =sin OPOBP BP ∠===解得：， 1a=故，，解BD=AB ===得，BM=AM=DM =又，所以平面，，//BC ADAD ⊥PCD AD PD ⊥，解得，PA ===BN =，，AN=PN =所以点为线段的中点，故点也为线段中点，M AN Q AP 所以，，12QM PN ==DQ =所以即为二面角的平面角，DMQ ∠PAB D --222222cos 2DM QM DQ DMQ DM QM +-+-∠===⋅22. 已知二次函数的图象经过原点，且是偶函数，方程有两相等实()y f x =()1y f x =-()10f x +=根.（1）求的解析式； ()y f x =（2）讨论函数与的图象的公共点个数.()()e 1e x xf g x +=()22e 2xh x m m =-+【答案】（1）()22f x x x =+（2）见解析 【解析】【分析】（1）设，易得，根据是偶函数，可得的一个()()20f x ax bx c a =++≠0c =()1y f x =-,a b 关系式，再根据方程有两相等实根，可得根的判别式，从而可求得，即可得解； ()10f x +=Δ0=,a b （2）函数与的图象的公共点个数，即方程()()e 1e x xf g x +=()22e 2xh x m m =-+的实数根的个数，即方程的实数根的个()22e 2e 12e 2e x x xxm m ++=-+()()2221ee 10xx m m ---=数，令，故所求转化为方程在实根的个数，再分()e ,0,xt t =∈+∞()222110m t mt ---=()0,t ∈+∞，，三种情况讨论，从而可得出结论.2210m -=2210m ->2210m -<【小问1详解】解：设，()()20f x ax bx c a =++≠因为二次函数的图象经过原点， ()y f x =所以，0c =，()()()()221112y f x a x b x ax b a x a b =-=-+-=+-+-因为是偶函数， ()1y f x =-所以，()()11f x f x -=--即，()()2222ax b a x a b ax b a x a b +-+-=--+-所以，20b a -=又方程有两个相等的实数根，210ax bx ++=所以， 224440b a a a ∆=-=-=解得（舍去）， 1a =0a =所以；()22f x x x =+【小问2详解】 解：由（1）得，()()()2e 1e 2e 1eexx x xxf g x +++==令，()()g x h x =则，()22e 2e 12e 2ex x x xm m ++=-+即，()()222e 2e 12e e 2e xx x x x m m ++=-+即，()()2221ee 10x x m m ---=令，()e ,0,xt t =∈+∞则，()222110m t mt ---=故所求转化为方程在实根的个数，()222110m t mt ---=()0,t ∈+∞令，，()()222110t m t mt ϕ=---=()0,t ∈+∞①当，即2210m -=m =若，则，故，m=10-=0t =<所以时，方程无实根；m =若，故，m =10-=t =所以时，方程有1个实根；m =②当，即或时， 2210m ->m >m <因为，且，， 22284940m m m ∆=+-=->()01m =-21021m -<-所以当或时，方程有1个实根；m>m <③当，即时， 2210m -<m <<若时，方程有两个不相等的实根， 22Δ940042m m m m ⎧=->⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪-⎩23m <<-若时，方程无实根， 22Δ940042m m m m ⎧=->⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪-⎩23m <<若时，方程有1个实根，22Δ940042m m m m ⎧=-=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪-⎩23m =-若时，方程无实根，22Δ940042m m m m ⎧=-=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪-⎩23m =若时，方程无实根， 2Δ940m m ⎧=-<⎪⎨<<⎪⎩2233m -<<综上所述，当时，函数的图象没有公共点；23m ⎛∈- ⎝()(),g x h x当时，函数的图象有1个公共点； 2,3m ⎫⎛⎧⎫∈+∞⋃-∞⋃-⎪ ⎨⎬⎪ ⎩⎭⎭⎝()(),g x h x当时，函数的图象有2个公共点.23m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭()(),g x h x 【点睛】本题考查了根据待定系数法球二次函数的解析式，考查了偶函数的性质及一元二次方程的根的问题，考查了一元二次方程在某个区间上的实根的个数问题，考查了分类讨论思想，对数据分析的能力要求较高.。
广东省深圳市高一下学期期末数学试卷
广东省深圳市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是A . 1,2,3,4,5B . 5,15,25,35,45C . 2,4,6,8,10D . 4,13,22,31,402. （2分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A . 45，56B . 46，45C . 47，45D . 45，473. （2分） (2018高一下·安徽期末) 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A . 甲和乙B . 甲和丙C . 乙和丙D . 乙和丁4. （2分） (2017高二下·南昌期末) 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·池州模拟) 已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A .B . 1C .D . 46. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知△ABC中，sin2B+sin2C﹣sin2A=﹣sinBsinC，则A=（）A . 60°B . 90°C . 150°D . 120°7. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·南充期中) 已知 a＞ b，则下列不等式成立的是（）A . ln（a﹣b）＞0B .C . 3a﹣b＜1D . loga2＜logb29. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）已知数列，满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）将379化成四进位制数的末位是________．12. （2分）已知函数y＝|x－3|，如图所示程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．13. （1分） (2017高一下·宜昌期中) 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需________日相逢．14. （1分） (2016高一下·新乡期末) 已知集合M={x|0＜x≤6}，从集合M中任取一个数x，使得函数y=log2x 的值大于1的概率为________．15. （1分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）= 的定义域为A，不等式（x﹣1）2＜logax 在x∈A时恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分）今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四个等级，等级评定标准如下表所示：评估得分[60，70][70，80][80，90][90，100]评定等级D C B A（Ⅰ）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（Ⅱ）从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．17. （5分） (2018高一下·北京期中) 已知在锐角△ABC中，（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.18. （10分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如表：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）在空气污染指数分别为50﹣100和150﹣200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？19. （10分） (2017高二下·衡水期末) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求证：{ + }为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）• •an，求数列{bn}的前n项和Tn．20. （15分） (2019高一上·哈尔滨期末) 已知函数．（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；（3）若对于恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣AB﹣D的大小是（）A．B．C．D．3．（5分）如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣34．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，95．（5分）由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）得到的回归直线方程，那么，下面说法不正确的是（）A．直线必经过点；B．直线至少经过（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点；C．直线的斜率为；D．直线和各点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）的偏差是坐标平面上的所有直线与这些点的偏差中最小值6．（5分）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）7．（5分）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．19．（5分）已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为（）A．6.5h B．5.5h C．3.5h D．0.5h10．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．11．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m．其中真命题的序号为（）A．②③B．①C．③④D．①④③12．（5分）若直线l：x+y﹣2=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+2=0交于A、B两点，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．（5分）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．14．（5分）已知，α是第四象限角，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（1，﹣1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题：（1）79.5﹣89.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）18．（12分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l 所成的角为30°．求直线AB与平面β所成的角的正弦值．19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．20．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点．（1）求证：AC∥平面PMN；（2）求证：MN⊥BC．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0交于A，B两点．（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；（2）若OB=2OA，求直线l的方程；（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，设直线L的斜率k，令kt=1，设△ABD 面积为f（t），求f（t）2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣y﹣1=0得，y=x﹣1，∴斜率k=，则tan，∴直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为，故选：B．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣AB﹣D的大小是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，∴∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角，∵AD=DD1，AD⊥DD1，∴∠D1AD=．∴二面角D1﹣AB﹣D的大小是．故选：A．3．（5分）如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：执行一次循环，y=0，x=0；执行第二次循环，y=﹣1，x=﹣2；执行第三次循环，y=﹣2，满足条件，退出循环故选：C．4．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．5．（5分）由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）得到的回归直线方程，那么，下面说法不正确的是（）A．直线必经过点；B．直线至少经过（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点；C．直线的斜率为；D．直线和各点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）的偏差是坐标平面上的所有直线与这些点的偏差中最小值【解答】解：线性回归直线一定经过样本中心点，故A正确，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，这是最能体现这组数据的变化趋势的直线，但并不一定在直线上，故B不正确，根据最小二乘法知C正确，根据线性回归直线的意义知D正确，故选：B．6．（5分）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）【解答】解：设点M的坐标为（a，b），则∴a=﹣6，b=﹣8∴M（﹣6，﹣8），故选：D．7．（5分）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件．4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，所以概率P==，故选：C．8．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．1【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选：B．9．（5分）已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为（）A．6.5h B．5.5h C．3.5h D．0.5h【解答】解：某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为：y=0.01×600+0.5=6.5（h）．故选：A．10．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．故选：B．11．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m．其中真命题的序号为（）A．②③B．①C．③④D．①④③【解答】解：对于①，当α∥β时，若l⊥α，则l⊥β，理由是如果一条直线与两个平行平面中的一个垂直，那么它与另一个平面垂直，∴①正确；对于②，当l∥m，l⊂α，m⊂β时，α∥β或α与β相交，∴②错误；对于③，当m⊥α，l⊥m时，l∥α或l⊂α，∴③错误；对于④，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l⊥m或l与m不垂直，∴④错误．综上，正确的命题是①．故选：B．12．（5分）若直线l：x+y﹣2=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+2=0交于A、B两点，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：直线l：x+y﹣2=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+2=0交于A、B两点，则圆C的圆心为（1，3），半径为r=×=2，弦心距为d==，弦长AB=2=2×=2，=•AB•d=×2×=2．所以△ABC的面积为S△ABC故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．（5分）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，而满足条件的只有一种，∴概率为：．故答案为：14．（5分）已知，α是第四象限角，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为﹣3．【解答】解：∵已知，α是第四象限角，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==﹣2，再根据tan（α+β）===1，求得tanβ=﹣3，故答案为：﹣3．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C上一点．存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，∴存在一个定圆M，圆心与圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，的圆心重合，如图：|PC|=2，当R M=1时，∠APM=30°，∠MPB=30°；|PM|=2，|MB|=1此时∠APB=60°，圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．故答案为：（x﹣1）2+y2=1．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（1，﹣1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y﹣1=0．【解答】解：将圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0化为标准式得[x﹣（3﹣m）]2+（y﹣2m）2=9，∴圆心C（3﹣m，2m），半径r=3，令，消去m得2x+y﹣6=0，所以圆心在直线2x+y﹣6=0上，又∵直线l经过点（1，﹣1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，∴直线l与圆心所在直线平行，∴设l方程为2x+y+C=0，将（1，﹣1）代入得C=﹣1，∴直线l的方程为2x+y﹣1=0．故答案为：2x+y﹣1=0．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题：（1）79.5﹣89.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；79.5﹣89.5这一组的频率是0.025×10=0.25，频数是60×0.25=15；（2）根据频率分布直方图，得；60分及以上的频率为1﹣（0.01+0.015）×10=0.75，∴这次环保知识竞赛的及格率为0.75=75%．18．（12分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l 所成的角为30°．求直线AB与平面β所成的角的正弦值．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连结CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=．19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是可得，解得n=2．（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）=．②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）=1﹣．20．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，=[（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）所以甲的方差S2甲2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，=[（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+又乙的方差S2乙（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点．（1）求证：AC∥平面PMN；（2）求证：MN⊥BC．【解答】证明：（1）因为M、N分别为AB、BC的中点，所以MN∥AC…（3分）又因为MN⊂平面PMN，AC⊄平面PMN，所以AC∥平面PMN…（7分）（2）因为PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点，所以PM⊥AB，PN⊥BC，又因为平面PAB⊥平面ABC，PM⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABC=AB，所以PM⊥平面ABC…（10分）又BC⊂平面ABC，所以PM⊥BC，所以BC⊥平面PMN，因为MN⊂平面PMN，所以MN⊥BC…（14分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0交于A，B两点．（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；（2）若OB=2OA，求直线l的方程；（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，设直线L的斜率k，令kt=1，设△ABD 面积为f（t），求f（t）【解答】解：（1）由直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0相切，得圆心C（2，0）到直线的距离d=r=，即，化简得：a2+3a﹣4=0，解得a=1或a=﹣4，由于a＞0，故a=1；由直线m与圆解得切点B（1，2），得l：y=2x；（3分）（2）取AB的中点M，则AM=AB，又，所以，设：OM=x，圆心到直线l的距离为d，由勾股定理得：x2+d2=4，9x2+d2=5，解得，设所求直线的方程为y=kx，，解得，直线；（8分）（3）如图：设A，B两点的纵坐标分别为y1，y2，易知，，易知|y1|+|y2|=|y1﹣y2|，设AB的方程为x=ty，由，消元得（t2+1）y2﹣4ty﹣1=0，=，则．（12分）。
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2013－2014学年第二学期宝安区期末调研测试卷高一 数学2014.7命题：张松柏 审核：曹其员一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．若31)6sin(=-απ，则)3cos(απ+等于( ）A ．79-B ．13-C ．13D ．792．已知0,0,0><>c b a 则直线0=++c by ax 必不经过 （ ）A 。
第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3，右图是计算函数ln(),20,232,3x x x y x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是 （ ） A ．ln(),0,2xy x y y =-== B ．ln(),2,0xy x y y =-== C ．0,2,ln()xy y y x ===- D ．0,ln(),2xy y x y ==-=4．设某高中的女生体重y (单位:kg ）与身高x (单位:cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,iix y i n =⋅⋅⋅,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下列结论不正确．．．的是 （ )A ．y x 与具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该高中某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0。
85kgD ．若该高中某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5率为_____.A ．21 B ．52C ．51D ．316．1)cos (sin 2-+=x x y 是（ ）A.最小正周期为π2的偶函数 B 。
最小正周期为π2的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数7．已知点),(y x M 与两定点)0,3(),0,0(A O 的距离之比为21，那么满足条件的点),(y x M 所构成的曲线方程为( ） A ．圆2)1(22=++y xB ．圆2)1(22=+-y xC ．圆4)1(22=++y x D ．圆2)2(22=++y x8边长为2( ）A B。
C．D9．在10个学生中,男生有x个, 现从10人去参加某项活动:①至少有一个女生;②5个男生, 1个女生;③3个男生, 3个女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( ）A．5 B．6 C．3或4 D．5或610．当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是（）A．115B．116C．117D．118二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上11．为了了解“预防禽流感疫苗"的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查,根据下图提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为____ 万只。
俯视图12．某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 。
13．已知n m ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面，给出下列命题：①若βαβ//,⊂m ，则α//m ； ②若βαβ//,//m ，则α//m ； ③若n m m //,,αβα⊥⊥，则β//n ； ④若βαβα//,,⊥⊥n m ，则n m //。
其中正确的结论有 （请将所有正确结论的序号都填上）．14．直线05=+-y x 被圆044222=---+y x y x所截得的弦长等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
15．（本题12分）求点)2,1(-P 关于直线12:+=x y l 对称的点Q 的坐标.16．（本题12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[)50,40,[)60,50[]100,90后画出如下部分频率分布直方图。
观察图形的信息，回答下列问题: (1）求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;（2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；0.01频率组距17．(本题14分)盒中有6只晶体管，有2只次品，4只合格品,从中任取2次,每次一只；（1)若取后放回,求取到的2只晶体管中恰有一只合格品的概率是多少？（2)若取后不放回，求取到的2只晶体管中至少有一只合格概率是多少？（3）若取后不放回,求取到的2只晶体管中至多有一只合格概率是多少？18．(本题14分)三棱锥ABC S -中，,29,13,2,90====∠=∠=∠SB BC AC ACB SAC SAB（1）证明：BC SC ⊥;（2）求三棱锥的体积ABCS V-19．(本题14分)已知直线kx y l =:与圆1)1(:221=+-y x C相交于A 、B 两点，圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点），M （33，求（1）k 的值 （2）AB 的值 （3）圆2C 的方程20．（本题14分)已知直线1l的方程为10x -+=，其倾斜角为α.过点ASBC(2)P 的直线l 的倾斜角为β，且2βα=。
（1）求直线l 的一般式方程;(2)cos 21cos 2sin 2βββ+-的值.2013－2014学年第二学期宝安区期末调研测试卷高一 数学 参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分把答案填在题中横线上11． 90；12． 8； 13．①④； 14． 2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.15．（本题满分12分）解：设(,)Q x y ,则由题知PQ l ⊥,且线段PQ 的中点在l 上，…………4分 ∴1PQ l k k ⋅=-，即2211y x -⋅=-+ ① ……………6分212122y x +-=⋅+ ② …………………8分0.031000.0250.0150.010.005908070605040分数频率组距由①②解得7545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………10分故点)2,1(-P 关于直线12:+=x y l 对称的点Q 的坐标为74(,)55．……12分16．(本题满分12分）解：（Ⅰ)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：…………3分直方图如右所示 …………6分（Ⅱ)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以,抽样学生成绩的合格率是75% ……9分 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =71所以,估计这次考试的平均分是71分 …………12分17．(本题满分14分）解：记4只合格品为A 、B 、C 、D ，2只次品为a 、b ；(1）若取后放回,如表所示，共有36个基本事件，…………………………3分其中，“取到的2只晶体管中恰有一只合格品”包含16个基本事件，由于每只晶体管被取到的可能性是相等的，由古典概型计算公式得：………………5分P{取到的2只晶体管中恰有一只合格品}＝164; …………6分369（2）若取后不放回，基本事件总数为30，其中“取到的2只晶体管中至少有一只合格”包含28个基本事件，故P ｛取到的2只晶体管中至少有一只合格｝＝28143015=； (10)分（3)若取后不放回，基本事件总数为30,其中“取到的2只晶体管中至多有一只合格”包含18个基本事件,故P ｛取到的2只晶体管中至多有一只合格}＝1893015=． (14)分18．（本题满分14分) 解：（1)证明：90SAB SAC ∠=∠=︒∴,,SA AB SA AC AB AC A ⊥⊥=又SA ABC ∴⊥平面 …………4分所以SA BC ⊥ …………5分又90ACB ∠=，所以AC BC ⊥∴BC SAC ⊥平面 …………7分 ∴SC BC ⊥……………………………………8分（2）在ABC ∆中,,13,2,90===∠BC AC ACB所以17=AB , ……10分又 在SAB ∆中，29,17,==⊥SB AB AB SA ，所以32=SA ……12分又ABC ，SA 平面⊥所以339232)13221(31VABCS =⨯⨯⨯⨯=-………14分19．（本题满分14分）解:(1）由题意知,点M 在直线上所以33=k (2分）ASBC(2）圆心到直线有距离21)3(103122=-+⨯-=d ，于是3222=-=d r AB （4分） （3）高所求的圆心的坐标为),(2n m C，半径为R 。
由题意知1k ,2C 2-=⋅⊥l M k l M C 则即 343+-=m n ，从而322-===m M C R ，(8分）又圆1C 与圆2C 相切,则 R n m C C +=+-=1)1(2221即：321)4(3)3(22-+=-+-m m m（A ）当3≥m 时解得：2,0,4===R n m ，则圆2C 的方程为:4)4(22=+-y x（B ）当3,m 时解得：6,34,0===R n m ，则圆2C 的方程为：36)34(22=-+y x 所以所求圆的方程为：4)4(22=+-y x ，36)34(22=-+y x （14分）20．（本题满分14分） 解：(Ⅰ)由1l的方程得tan α=， ………………2分 又2βα=∴222tan tan 1tan (2αβα⋅===- ………………4分∴直线l的的斜率tan k β== ， 由点斜式得l的方程为：2y x -=+ ………………6分化为一般方程：60y -+= ………………7分(Ⅱ)cos 21cos 2sin 2βββ+- 222cos sin 2cos 2sin cos βββββ-=- ……………………9分(cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )βββββββ+-=- cos sin 2cos βββ+=1tan 2β+= ………………12分1222+= 122=+ …………………………14分。