二项式定理易错点及赋值法妙用-高考文科数学热点专题

专题30 二项式定理易错点及赋值法妙用
一．【学习目标】
1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
二．方法归纳
1.运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C r n，而后者是指字母外的部分.
2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T r＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出T r＋1.
3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.
4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.
5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项.
6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决.
三．【典例分析及训练】
（一）求常数项
例1．若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数的值为（）
A．10B．12C．13D．14
【答案】B
【解析】因为二项式展开式中的第5项是，
因为第5项是常数，所以，即.
故选B
练习1．若展开式的常数项为60，则值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，即，所以.
故选D
练习2．已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤8,则n=()
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
（二）求特殊项
例2.的展开式中的系数是
A．-5B．10C．-15D．25
【答案】A
【解析】，
的通项公式为，其中r=0,1,2,3
的通项公式为，其中r=0,1,2,3,4,5
∴展开式中的系数是,
故选：A
【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
练习1．的展开式中的系数是( )
A．90 B．C．15 D．
【解析】，而的二项式系数满足
因而的系数为，故选B。

（六）杨辉三角
例6．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为a n,则a3等于 ( )
A．26B．27 C．7D．8
【答案】D
【解析】第行和第行全是，已经出现了次，依题意，第行原来的数是，而为偶数，不合题意；第行原来的数是，即全为奇数，一共有个，全部转化为，这是第三次出现全为的情况.故选D.
（七）求系数之和
例7．(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式中各项系数和为( )
A．2n+1B．2n-1 C．2n+1-1D．2n+1-2
【答案】D
【解析】令，代入表达式化简得，故选D.
【点睛】本小题主要考查展开式各项系数和的求法，考查等比数列的前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.要求展开式中各项的系数和，主要采用的是赋值法，也即是令，由此求得的结果就是各项系数的和.要在表达式中识别出等比数列，并利用等比数列的前项和公式进行求和.
练习1．若，则（）A．B．C．D．
【解析】
令得，令得
，故选：C．
练习2．的值为（）A．0B．2C．－1D．1
【答案】D
【解析】令，则，
令，则，
因此
，选D.
点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.
（八）系数的绝对值
例8．设，则的值为（）
A．－7B．C．2D．7
【答案】D
练习1若，则（）
A．B．1C．0D．
【答案】D
【解析】已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.
故答案为：D.
（九）二项式定理综合
例9．在的展开式中，项的系数等于264，则等于
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】（a）12的展开式的通项为．
由，得r＝10．∴，解得a＝﹣2（舍）或a＝2．
∴（2x）dx（lnx+x2）ln2+4﹣ln1﹣1＝ln2+3．故选：B．
练习1．已知，则等于
A．63B．64C．31D．32
【答案】A
【解析】逆用二项式定理得，即3n＝36，所以n＝6，
所以.
故选A.
练习2．已知函数, 则（）
A．0B．C．1009D．2018
【答案】C
【解析】．
∵，，，…．
∴，，，…．
∴，故选C．
练习3．若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则等于( )
A．0B．1 C．D．12
【答案】A
【解析】由题意，得，则
，
即，
令，得，
令，则，则；故选A.
（十）计数原理与二项式
例10．的展开式中含的项的系数为（）
A．30B．60C．90D．120
【答案】B
【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
练习1．在的展开式中，记项的系数为，则＋＋＋＝( ) A．45B．60C．120D．210
【答案】C
【解析】（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；
含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；
含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故选：C．
练习2．在的展开式中，含项的系数为（）
A．45B．55C．120D．165
【答案】D
【解析】的展开式中含项的系数为
故选D.
练习3．的展开式中，的系数为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，
得含的项为，
中的项为
系数为
故选B.
练习4．（2015新课标全国卷I理科）的展开式中，的系数为
A．10B．20 C．30D．60
【答案】C
【解析】的展开式的通项为令的通项为令则，的展开式中，的系数为=30.故选C．【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项式展开式中某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.
练习5．二项式展开式的常数项为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为=,
所以，
因此常数项为展开式中常数项：，选B.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
（十一）整除问题
例11．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为()
A．0B．2C．7D．0或7
【答案】D
【解析】7
9,当为偶数时,余数为0,当为奇数时,余数为7，故选D.
练习1．可以整除（其中）的是（）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】
.
故能整除（其中）的是11.
故选C .
练习2．除以的余数是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】：
，
即除以100的余数为41，故选B.学-科网
（十二）数学文化
例12．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若
，，则的值可以是
A．2015B．2016C．2017D．2018
【答案】C
【解析】由题意可得：，结合二项式定理可得：
，计算的数值如下表所示：
底数指数幂值
515
5225
53125
54625
553125
5615625
5778125
58390625
591953125
5109765625
据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，
所给选项中，只有2017除以8的余数为1，
则的值可以是2017.
本题选择C选项.
（十三）导数与二项式
例13．展开式中，7x项的系数是（）A．50400B．15300C．30030D．150015
【答案】C。