高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念(含解析)4数学教案

1．参数方程的概念[对应学生用书P21]1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数的意义参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．参数方程表示的曲线上的点[例1] 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1，y ＝2t(t 为参数)．(1)判断点A (1,0)，B (5,4)，E (3,2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值．[解] (1)把点A (1,0)的坐标代入方程组，解得t ＝0，所以点A (1,0)在曲线上．把点B (5,4)的坐标代入方程组，解得t ＝2，所以点B (5,4)也在曲线上．把点E (3,2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝±2，t ＝1.故方程组无解，所以点E 不在曲线上．(2)因为点F (10，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧10＝t 2＋1，a ＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，a ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3，a ＝－6，所以a ＝±6.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．1．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2，解得t ＝1.答案：12．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .解：∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.求曲线的参数方程[例2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由于A ，B 的滑动而引起点P 的运动，故可以OB 的长为参数，或以角为参数，此时不妨取BP 与x 轴正向夹角为参数来求解．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt△QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )．∵|OA |＝a 2－t 2，∴|BQ |＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0＜t ＜a )．法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．(2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．3．设飞机以v ＝150 m/s 作水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝490 m 处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(g ＝9.8 m/s 2)解：如图，A 为投弹点，坐标为(0,490)，B 为目标．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0，设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝490－12gt 2(t为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150t ，y ＝490－4.9t 2(t 为参数)，这是炸弹飞行曲线的参数方程．一、选择题1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0解析：选D x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0. 2．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )A ．(2,3)B ．(1,5) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．(2,0)解析：选D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0，所以过点(2,0)．3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A ．(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1,0)解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C 满足条件．4．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝－t解析：选A 设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0，得(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t .二、填空题5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)，下列各点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B ，C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1,3)6．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝________.解析：将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a 代入曲线方程得cos θ＝12，a ＝2sin θ＝±21－14＝± 3.答案：±37．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1,1)，则点M 的参数方程为__________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9ty ＝1＋12t三、解答题8.如图，已知定点A (2,0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解：设点O 到AQ 的距离为d ，则12|AM | ·d ＝12|OA |·|OM |·sin ∠AOM ， 12|QM |·d ＝12|OQ |·|OM |·sin ∠QOM ， 又∠AOM ＝∠QOM ，所以|AM ||QM |＝|OA ||OQ |＝2，所以AM ―→＝23AQ ―→.设点Q (cos θ，sin θ)，M (x ，y )，则(x －2，y －0)＝23(cos θ－2，sin θ－0)，即x ＝23＋23cos θ，y ＝23sin θ，故点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23＋23cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)．9.某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示．(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，易知炸弹在飞行时作平抛运动，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20，所以飞机投弹t s 后炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中0≤t ≤20.(2)易知炸弹的水平方向运动和汽车的运动均为匀速直线运动．以汽车为参考系，水平方向上s相对＝v相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600 m.10．试确定过M (0,1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹方程．解：设过M (0,1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1， 其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)． 设中点P (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，y 1＋y 2＝8k 2＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹方程．。