20-21版：一 第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程（步步高）
高中数学第二讲参数方程211参数方程的概念与圆的参数方程a44a高二44数学
12/13/2021
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息： ①炸弹作平抛运动； ②炸弹的水平位移与高度都是时刻t的函数． 解答本题可以建立直角坐标系，设出炸弹对应的点的坐标 的参数方程，然后利用运动学知识求解．
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探究3 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问 题得解．由于水平抛出的炸弹作平抛运动，可以分解为在水平 方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞 行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间．
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思考题3 如果本例条件不变，求： (1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度各是多少 米？ (2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20 m/s相向行驶的汽车，欲 使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？
设圆和x轴的正半轴交于A，OA为直径．
设M(x，y)，作MN⊥Ox于N，
在Rt△MCN中，|CM|＝r，∠ACM＝
θ，
∴x＝ON＝OC＋CN＝r＋rcosθ，y＝MN＝rsinθ.
∴动点M轨迹的参数方程是
x＝r（1＋cosθ）， y＝rsinθ
(θ为参
数)．
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(2)设点M的坐标为M(x，y)，OA＝2r， 则ON＝OAcosα·cosα＝2rcos2α， NM＝OAcosα·sinα＝2rsinα·cosα＝rsin2α. ∴点M的轨迹方程是xy＝＝2rsricno2sα2α，(α为参数)．
＝4，
圆心为(－1，2)，半径为2，故参数方程为
高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、圆的参数方程
＝4，
圆心坐标为(2,1)，圆的半径为 2，
由直线与圆相切，则有|2aa2＋＋11|＝2，解得 a＝34. 答案：34
12/8/2021
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题型三 圆的参数方程的应用 已知圆的极坐标方程为 ρ2－4 2ρcosθ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的 参数方程；
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题型二 圆的参数方程 点 M 在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O 为原点，x 轴的
正半轴绕原点旋转到 OM 形成的角为 φ，以 φ 为参数，求圆的参 数方程．
【思路探索】 画出示意图，找出圆上的点 M 与参数 φ 之间 的关系，然后写出参数方程．
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2．圆的参数方程
x＝rcos θ，
x2＋y2＝r2 的参数方程为__y_＝__r_s_in__θ___ (θ 为参数)．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的参数方程为yx＝＝__ba__＋＋____rr__sc__ion__s__θθ__， (θ 为参
数)．
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解：yx＝＝1＋3＋cossinθ，θ (θ 为参数)化为普通方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝1，它表示以 C(1， 3)为圆心，以 1 为半径的圆，设 P 为 圆上的任意一点，
θ， 2θ＝2cos2θ
(θ 为参数，
θ∈R)，消去参数 θ，得 x2＝4y，∴其焦点 F(0,1)，
∵A(1,0)，∴|AF|＝ 2.
答案： 2
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5．设方程yx＝＝1＋3＋cossinθ，θ (θ 为参数)表示的曲线为 C.求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最值．
【步步高】2021届高考数学总温习 第二讲 参数方程配套文档 理 新人教A版选修4-4(1)
第二讲 参数方程1．参数方程的概念一样地，在平面直角坐标系中，若是曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，而且关于t 的每一个许诺值，由方程组所确信的点M (x ，y )都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相关于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：通过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情形： 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .(t 为参数)．1．(讲义习题改编)假设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，那么直线的斜率为________．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．3．已知点P (3，m )在以点F 为核心的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，那么|PF |＝________.4．(讲义习题改编)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t co s 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．那么点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________.题型一 参数方程与一般方程的互化例1 已知两曲线参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．思维升华 (1)参数方程化为一般方程经常使用的消参技术有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．关于与角θ有关的参数方程，常经常使用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为一般方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的进程中必然要注意一般方程与参数方程的等价性．(2021·广东)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，那么l 的极坐标方程为________． 题型二 参数方程的应用例2 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 通过点P (2,2)，倾斜角α＝π3.(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程；(2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|PA |·|PB |的值．思维升华 依照直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下经常使用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数别离为t 1，t 2，那么弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，那么点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 2M |及中点坐标)．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程；(2)假设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N 别离为曲线C 、直线l 上的动点，那么|MN |的最小值为________．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一样方式是别离化为一般方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得加倍直观，它表现了化归思想的具体运用．(2021·湖北)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程别离为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .假设直线l 通过椭圆C 的核心，且与圆O 相切，那么椭圆C 的离心率为________． 参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t (t 为参数)，假设以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位成立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)假设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义致使错误． 标准解答解(1)直线的参数方程能够化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]依照直线参数方程的意义，直线l 通过点(0，22)，倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分]ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]因此圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64.因此|AB |＝102.[10分]温馨提示 关于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来讲，要注意t 是参数，而α那么是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有专门的几何意义，它表示离心角．方式与技术1．参数方程化一般方程经常使用的消参技术：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，常经常使用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题超级简捷方便，是咱们解决这种问题的好方式．3．通过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)．假设A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数别离为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，那么以下结论在解题中常经常使用到：①t 0＝t 1＋t 22；②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22；③|AB |＝|t 2－t 1|；④|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|. 失误与防范在将曲线的参数方程化为一般方程时，不单单要把其中的参数消去，还要注意其中的x ，y 的取值范围．也即在消去参数的进程中必然要注意一般方程与参数方程的等价性． A 组 专项基础训练1．假设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t(t 为参数)，那么直线的倾斜角为________．2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)化为一般方程为________________．3．(2021·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右极点，那么常数a 的值为________．4．(2021·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，那么圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______________．5．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )通过点(m ，12)，那么m ＝________.6．(2021·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB |＝________.7．(2021·天津)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，核心为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________.8．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b(t 为参数，b 为实数)，假设曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，那么b ＝________.9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝________. 10．假设直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝32，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，那么d 的最大值为________．B 组 专项能力提升1．已知抛物线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2y ＝8t (t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，假设斜率为1的直线通过抛物线C 1的核心，且与圆C 2相切，那么r ＝________.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －12(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的直角坐标为________．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，那么点P 到直线l 的距离的最大值为________．6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．7．(2021·辽宁改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)C 1与C 2交点的极坐标为________；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b2t 3＋1(t ∈R 为参数)，那么a ，b 的值别离为________．答案基础知识自主学习 要点梳理1．任意一点 这条曲线上 参数 一般方程2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ夯基释疑1．－32 2.215 3.4 4.50° 5.M 1题型分类深度剖析例1 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，255解析 将两曲线的参数方程化为一般方程别离为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，255. 跟踪训练1 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的一般方程为x 2＋y 2＝2.那么在点(1,1)处的切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. 例2 解 (1)由圆C 的参数方程可得其标准方程为x 2＋y 2＝16.因为直线l 过点P (2,2)，倾斜角α＝π3，因此直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入圆C ：x 2＋y 2＝16中，得(2＋12t )2＋(2＋32t )2＝16， t 2＋2(3＋1)t －8＝0，设A 、B 两点对应的参数别离为t 1、t 2，那么t 1t 2＝－8，即|PA |·|PB |＝8.跟踪训练2 解 (1)x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，并整理得t 2＋33t －9＝0.设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，那么t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.例3 12解析 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，因此曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为一般方程x －3y ＋3＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52，现在，直线与圆相离，因此|MN |的最小值为52－2＝12.跟踪训练363解析 椭圆C 的标准方程为x 2a2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|m |2＝ba 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63. 练出高分 A 组 1．150°解析 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，因此该直线的倾斜角为150°.2．x －3y －5＝0，x ∈[2,77]解析 化为一般方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 3．3解析 椭圆C 的右极点坐标为(3,0)，假设直线l 过(3,0)，那么0＝3－a ，∴a ＝3.4.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ0≤θ<π解析 由题意得圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，设圆与x 轴的另一交点为Q ，那么Q (1,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，那么OP ＝OQ cos θ＝cos θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝OP cos θ＝cos 2θ＝12＋12cos 2θ，y ＝OP sin θ＝cos θ·sin θ＝12sin 2θ0≤θ<π.5．±154 解析 将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为一般方程为x 2＋y 24＝1，将点(m ，12)代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，因此m ＝±154. 6．16 解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8. 因此A (4,8)，B (4，－8)．因此|AB |＝|8－(－8)|＝16.7．2解析 依照抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ， 因此y 2M ＝6p ，因此E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因此p 2＋3＝p 2＋6p ，因此p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．8．±2解析 将曲线C 和直线l 的参数方程别离化为一般方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，假设要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要知足圆心到直线的距离为1即可，取得|b |2＝1，解得b ＝± 2.9.32解析 将曲线C 1与C 2的方程化为一般方程求解． ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1. 方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32， 将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32. 10．32＋1解析 ρcos(θ－π4)＝32，∴ρcos θ＋ρsin θ＝6， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6.由圆C 的参数方程知圆C 的圆心为C (0,0)，半径r ＝1.圆心C (0,0)到直线l 的距离为62＝32.∴d min ＝32＋1.B 组1.2 解析 抛物线C 1的一般方程为y 2＝8x ，其核心坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y ＝x －2，即x －y－2＝0.圆ρ＝r 的圆心是极点、半径为r ，直线x －y －2＝0与该圆相切，那么r ＝|0－0－2|2＝ 2.2．2解析 将参数方程化为一般方程求解． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0； 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．3．(1,1)解析 化参数方程为一般方程然后解方程组求解． C 1的一般方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的一般方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 解析 化射线的极坐标方程为一般方程，代入曲线方程求t 值．射线θ＝π4的一般方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝t －12，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．因此AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 5.2105解析 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)， 故直线l 的一般方程为x ＋2y ＝0.因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22 ＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45.因此当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105. 6．(－1,1)和(1,1)解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋y －12＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1. ∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．7．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 (2)－1,2 解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 因此C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.。
参数方程的概念及圆的参数方程ppt课件
注意：由于选取的参数不同，圆有不同的 参数方程，一般地，同一条曲线，可以选 取不同的变数为参数，因此得到的参数方 程也可以有不同的形式，形式不同的参数 方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另
外，在建立曲线的参数参数时，要注明参 数及参数的取值范围。
例3:已知圆 x2 y 12 1上任意一点x, y都
(2)把x sinθ cosθ平方后减去y 1 sin2θ 得到x2 y,又x sinθ cosθ 2sin(θπ4 ), 所以x[ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y,x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y (1,-1)
y
o
x
2 o
2
x
参数方程化为普通方程的步骤
1、消掉参数（代入法、平方相加减等）
2,a
9,所以，a
9
x 例2、方程{
sinθ (θ为参数)表示的曲线上
y cos2θ
的一个点的坐标是（C）
A、(2,7)B、(1 ,1 )，C、(1 ,1 ),D(1,0)
32
22
2、圆的参数方程
y
点M从M0出发以 为角
M(x,y)
速度按逆时针方向运动
r
如果在时刻t，点M转过的角度是 o
x M 0
（2）{x sin cos y 1 sin 2
(2)把x sinθ cosθ平方后减去y 1 sin2θ 得到x2 y,又x sinθ cosθ 2sin(θπ4 ), 所以x[ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y,x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
（2）{x sin cos y 1 sin 2
炮弹的发射角为α，不y
圆的参数方程精选教学PPT课件
P
M
由线段中点坐标公式得点M的轨迹
的参数方程为xy
6 2c
2 sin
os
O
4B
10 A(12,0)
解法2(动点转移法或代入法) : 设点M的坐标是(x, y),点P的坐标为
(x1, y1).因为点P在圆x2 y2 16上,所以有x12 y12 16.1
由线段中点坐标公式得x
x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所 确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述 方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、 y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参 数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普 通方程。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
x a r cos y b r sin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
参数方程的概念与圆的参数方程课件
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参
圆的参数方程全面版
(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
例
解1 法 (参数 ):设 法点 M的坐标 (x,y)为 因 , 为 x2圆 y216
的参数方 xy 程 4 4csio为 n s
所以可P的 设坐 点标 (4co 为 s,4sin)
圆的参数方程
x arcos y brsin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
3．例题讲解
4．练习及小结
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
练习3
小结: 1、参数方程的概念 2、圆的参数方程 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴参数法⑵ 动点转移法（代入法）⑶定义法
作业：教材82页9、10、11题
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲 一 第一课时 参数方程的概念
判断是否是参数方程的依据是参数方程的概念，即：曲线上任一点的坐标 x， y 都是变数的函数．
1．下列为参数方程的是( )
x＝3t2， A.y＝2t－x
(t 为参数)
μ＝3－2x， B.v＝x2－2
(x 为参数)
C．z＝3xt－4yt(t 为参数)
D．y＝2x＋b(b 为参数)
解析：依据参数方程的概念，如果曲线上任一点的坐标 x，y 都是变数 t 的函 数，也就是说，xy＝＝yxtt， 为参数方程，因而选项 A、C、D 不合条件． 答案：B
探究一 参数方程的概念及应用
[例 1] 下列方程中可以看成为参数方程的是( )
A．x－y－t＝0
B．x2＋y2－2ax－9＝0
x2＝t2， C.y＝2t－1
x＝sin θ， D.y＝cos θ
[解析] 选项 A、B 中虽然含有参数，但它们分别表示直线系方程和圆系方 程，直接建立了 x 与 y 之间的联系，是普通方程．而 C 中 x2＝t2 不是横坐 标 x 关于参数 t 的函数，故不是参数方程．D 中的方程满足参数方程的定义， 参数是 θ，故选 D. [答案] D
在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是某个变数 t(θ，φ，…)的函数：
x＝ft， y＝gt，
①并且对于每一个 t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y) 都在这条曲线上 ，
那么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ，t 叫做 参数 ，相对于参数方程而言，直接给
出坐标间关系的方程叫 普通方程 ．
1．对于曲线 C 的参数方程xy＝＝gftt， (t 为参数)，若点 M(x1，y1)在曲线上，则
x1＝ft， y1＝gt
对应的参数 t 有解，否则参数 t 不存在．
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一 曲线的参数方程第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.知识点一 参数方程的概念 1.参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，① 并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程. 2.参数的意义参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化.知识点二 圆的参数方程圆心和半径 圆的普通方程 圆的参数方程圆心O (0,0)，半径rx 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 圆心C (a ，b )，半径r (x －a )2＋(y －b )2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＋a ，y ＝r sin θ＋b (θ为参数)一、参数方程及应用例1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1，y ＝2t (t 为参数).(1)判断点A (1,0)，B (5,4)，E (3,2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10, a )在曲线C 上，求实数a 的值. 解 (1)把点A (1,0)的坐标代入参数方程，解得t ＝0， 所以点A (1,0)在曲线上.把点B (5,4)的坐标代入参数方程，解得t ＝2， 所以点B (5,4)也在曲线上. 把点E (3,2)的坐标代入参数方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上. (2)令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.反思感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的.跟踪训练1 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(θ为参数).(1)求曲线C 上的点Q (－3，－3)对应的参数θ的值； (2)若点P (m ，－1)在曲线C 上，求m 的值. 解 (1)把点Q 的坐标(－3，－3)代入参数方程，得⎩⎨⎧－3＝2cos θ，－3＝－2＋2sin θ，即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝－12，解得θ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，故曲线上的点Q 对应的参数θ的值是7π6＋2k π(k ∈Z ).(2)把点P 的坐标(m ，－1)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，－1＝－2＋2sin θ， 解得sin θ＝12，故cos θ＝±32，即m ＝±3，即所求m 的值是± 3.二、求曲线的参数方程例2 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程.解 方法一 设点P (x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于点Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取|OB |＝t ，t 为参数(0<t <a ). ∵|OA |＝a 2－t 2， ∴|BQ |＝a 2－t 2. 又∵|PQ |＝|OB |＝t ，∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0<t <a ). 方法二 设点P (x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示.取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 则∠ABO ＝π2－θ，在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ(θ为参数，0<θ<π2).反思感悟 求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点①曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x ，y 的值可以由参数惟一确定.(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.跟踪训练2 长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，AB →＝3AP →，点P 的轨迹为曲线C .(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值. 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得 x ＝23|AB |cos(π－α)＝－2cos α， y ＝13|AB |sin(π－α)＝sin α. 所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α.(α为参数，π2<α<π)(2)由(1)得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2 ＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin α－232＋283. 当sin α＝23时，|PD |取得最大值2213.三、圆的参数方程及应用例3 如图，圆O 的半径为2，P 是圆O 上的动点，Q (4,0)在x 轴上.M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，(1)求点M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形； (2)若(x ，y )是M 轨迹上的点，求x ＋2y 的取值范围. 解 (1)设点M (x ，y )，令∠xOP ＝θ，则圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ).又Q (4,0)， ∴x ＝2cos θ＋42＝cos θ＋2，y ＝2sin θ＋02＝sin θ.∴点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋2，y ＝sin θ(θ为参数).由参数方程知，点M 的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆. (2)x ＋2y ＝cos θ＋2＋2sin θ＝5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12.∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－5＋2≤x ＋2y ≤5＋2.即x ＋2y 的取值范围是[－5＋2，5＋2].反思感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数.(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题. 跟踪训练3 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2. ∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2.1.下列方程中可以看作参数方程的是( ) A.x －y －t ＝0B.x 2＋y 2－2ax －9＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝t 2，y ＝2t －1(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos θ(θ为参数) 答案 D解析 对于A ，虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ，虽然含有参数a ，但它也是普通方程；对于C ，x 2＝t 2不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义.2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )A.πB.2πC.3πD.4π答案 D3.圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4cos θ，y ＝－2＋4sin θ(θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C 关于直线x －y ＝0对称的圆C ′的普通方程是___________________________.答案 (3，－2) (x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0) 解析 将参数方程化为标准方程，得 (x －3)2＋(y ＋2)2＝16， 故圆心坐标为(3，－2).点P (3，－2)关于直线y ＝x 的对称点为P ′(－2,3)， 则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆C ′的普通方程为 (x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0).4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________.答案 0或2 解析 ∵y ＝t 2＝1，∴t ＝±1.∴x ＝1＋1＝2或x ＝－1＋1＝0.5.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程为________. 答案 x －y －3＝0解析 圆心O ′(1,0)，∴k O ′P ＝－1，∴直线l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为x －y －3＝0.1.参数方程(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x ，y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用.(2)参数方程通过变数间接反映坐标变量x 与y 之间的联系. 2.求曲线参数方程的步骤第一步，建系，设M (x ，y )是轨迹上任意一点； 第二步，选参数，比如选参数t ；第三步，建立x ，y 与参数间的关系，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).。