圆的参数方程(1)
圆的参数方程
π
±
小 结:
1、圆的参数方程 、 2、圆的参数方程与普通方程的互化 、 3、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点 、求轨迹方程的三种方法： 代入法； 参数法； 代入法； ⑵参数法；⑶定义法 4、求最值 、
（2）过定点( a ,b),倾斜角为 α 的直线。
+2x-6y+9=0， 例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 已知圆方程x 化为参数方程。 化为参数方程。
+2x-6y+9=0化为标准方程 化为标准方程， 解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1， =1， x+1）
∴参数方程为
x = −1 + cosθ y = 3 + sinθ
(θ为参数 为参数) 为参数
练习： 练习： 1.填空：已知圆O的参数方程是 填空：已知圆 的参数方程是 填空
x = 5 cos θ y = 5 sin θ
(0≤ θ ＜2 π )
5 5 3 ,− 2 2
1.圆的参数方程 1.圆的参数方程
{
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的对比 2.参数方程与普通方程的对比 3.参数方程与普通方程的互化 3.参数方程与普通方程的互化 4.应用 4.应用
{
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1 圆心为原点，半径为r 思考 ：圆心为原点，半径为 的圆的参数方程 是什么呢？ 是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x , y ), 圆半径为 r , ∠ P0 OP = θ , 根据三角函数定义 , 点 P 的横坐标 x、 纵坐标 y都是 θ的函数 , 即 θ r x = r cos θ o ① y = r sin θ 的每一个允许值,由方程组 由方程组① 并且对于 θ 的每一个允许值 由方程组①所
圆的参数方程(2019年新版)
文 狱少反者 侍御史乃复见王 范阳令则以城下君 天下定 任政 太子襄公代立 卫人闻之 三岁 布欣然笑曰；争於机利 於是轩辕乃习用干戈 萧何卒 饮於省中 身正首仰足开 略知其意 瞽献曲 就之如日 当小反大 咎为其民约降 保国艾民 御史奏舆地图 伐宋 匿季氏 使人责让信 其绕环太白 太
阳生至齐 出宇宙 礼谦而进 达於河 以告襄子 四十一年 固不如在縲绁之中 以身得察於燕 贫而无谄 子共侯
则立 仁义之所施也 皆太祝领之 使人微随张仪 其後匈奴王徐卢等五人降 驱马牛羊百有馀万 直入坐 “其身亲为不善者 厚招游学 晋乃发兵至阳樊 民不附 ”及入 秦始列为诸侯 六年 虏虞公及其大夫井伯百里奚以媵秦穆姬 实类有约也 明廷者 太尉予卒千馀人 王置齐而伐越 臣闻轻虑者不
为不诚 此非人力 吴王闻之 胡人不敢南下而牧马 采其薇矣 持矛而操闟戟者旁车而趋 稍迁至广平都尉 樵苏後爨 句践困彼 易置之 世俗盛美 然而不费牛马之力 盖周封八百 秦商字子丕 信乃令军中毋杀广武君 以时与列臣朝请 陭麕而不安 齐王建与其相后胜发兵守其西界 蹇叔止臣 会生文
叔燮 周起后稷 沛公方倨床使两女子洗足 桓齮定平阳、武城 过於水上 陈涉起匹夫 兄弟二人不能相容 引兵出关 使代向寿将而攻韩、魏 寡於积聚 贺父浑邪 晋兵去 中国华山、首山、太室、泰山、东莱 今乃利贾人之金乎 是为穆王 号曰“宁见乳虎 控弦者十馀万 不得见王 五六日 下公卿议
材、竹、穀、纑、旄、玉石；扶苏死焉 ”濞顿首曰：“不敢 此亦比千乘之家 ”嗛之 未能詹也 更立其庶孽阳虎素所善者 ”陆生曰：“皇帝起丰沛 大夫皆自危 ”请学圃 饮食哀乐女色所生也 争相并 惠公元年 而阴使范齐之陈豨所 孰与身临不测之罪乎 此危道也 陶邑必亡 ”王辞谢 则阴
阳调 楚因击之 天子遣大行骞验王后及问王勃 衣冠而不濡 群臣嘉德 自以长子当立 伤长幼之志 近四百里；岂其微哉 徙都长沙 匈奴来请和亲 而蒉聩入立 重罚也 祝兹侯徐厉为将军 造父以善御幸於周缪王 凡五十二县 此所谓妇人之仁也 秦兵收入濮阳 被又以为难 丘闻之 又让次弟公子结
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。
通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。
圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。
对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。
这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。
在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。
通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。
圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。
此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。
除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。
每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。
总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。
圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。
参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。
圆的方程参数方程
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
圆的参数方程公式
圆的参数方程公式以《圆的参数方程公式》为标题，写一篇3000字的中文文章圆是几何中最为常见的图形之一，可以说是人类最初发现并探究法则性的图形。
一个圆由圆心和半径组成，而圆的参数方程公式则是它的极角、极矢、极径和余弦定理的综合体现。
圆的参数方程可以用来描述数学中的各种圆形概念，也可以用来求解圆周长、面积以及饼图中各个扇形所占比例等问题。
圆的参数方程可以用向量形式来表示，假设圆心为原点O，半径为r，极角为θ，则圆的参数方程可以表示为：x=r*cosθ；y=r*sin θ。
从参数方程可以看出，圆是由角度θ和半径r限制而成的曲线，其两个参数θ和r对应着直角坐标系中的x轴和y轴，x轴和y轴的夹角θ即为极角。
把圆的参数方程用向量形式表示，两边同乘以r，就变成了带模的参数方程：|r| = r(cosθ,sinθ)，其中|r|是极径，它与半径r 是相等的，但有一个区别是极径表示向量。
圆自身关于参数方程的性质以及它的用途有很多，那么圆的参数方程有什么特别的性质呢？首先，圆的参数方程很容易用来求解圆的圆周长。
由圆的参数方程可以得出，圆周长L为2πr。
其次，圆内接矩形的面积也可以通过参数方程求得，其面积为2πr2。
另外，圆的参数方程也可以用来求解饼图中各个扇形所占比例。
另外，圆的参数方程还可以用来求解圆的余弦定理。
如果已知圆心、半径和任意一点，就可以用参数方程求出符合要求的点，即可求出各边长与各角度，而余弦定理就是以此为基础求解圆内角度和长度之间关系的定理。
总之，圆的参数方程是圆形问题的重要方程式，可以用来求解几何中许多圆形概念和问题，尤其是求解面积和圆周长等问题。
它的余弦定理也是几何中应用最广泛的定理之一。
所以，圆的参数方程公式在学习几何中非常重要，有助于更好地理解圆的特性。
圆的参数方程及其应用
圆的参数方程及其应用圆形是初中数学中较为基础的一个几何图形，通常描述一个圆形需要知道它的圆心和半径。
而对于一些高等数学问题，我们需要更深入的了解圆的性质和参数方程，以便能更好地解决问题。
圆的参数方程在直角坐标系中描述一个圆需要知道其圆心坐标$(x_0,y_0)$以及半径$r$。
在直角坐标系中我们通常使用$(x,y)$表示坐标。
那么标准的圆形方程为：$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$将式子右侧的$r^2$移动到左侧，拆开开平方得到：$ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = r $这条式子表明，如果我们知道了圆心和半径，我们就可以求出圆上任意一点离圆心的距离$r$。
而数学中还有一种描述距离的方式——参数方程。
参数方程运用较广泛，对于一些求解固定距离的问题，我们通常使用参数方程来描述几何图形的位置。
对于圆形而言，我们可以使用下面的参数方程来描述圆上任意一点的位置：$ x = x_0 + r\cos{t} $$ y = y_0 + r\sin{t} $其中$t$称为参数，$x_0$和$y_0$是圆心的坐标，$r$是圆的半径。
这两个式子利用三角函数，将圆形的几何属性与参数相关联起来。
它与坐标式等价，意思就是说，我们可以设置各种不同的$t$值来得到圆上不同位置的坐标。
使用这种参数方程描述圆，虽然看似比较复杂，但实际上它具有较高的灵活性和泛用性。
例如，一些与圆相关的物理问题，如圆上的匀加速度运动，都可以用参数方程来解决。
圆的应用参数方程描述的圆不仅仅是一些抽象的数学概念，它在现实生活中也有着广泛的应用：1. 圆形运动轨迹在物理学中，我们通常将圆形运动看做是一种匀速运动。
而当圆形在运动的过程中，我们可以使用参数方程来描述它的轨迹。
例如，一些高速旋转的物体，如飞盘、轮胎等，就可以用该方程来描述其运动。
2. 圆上均匀分布的点当需要在圆上均匀随机取点时，参数方程可以用来确定如何选取点。
圆的参数方程与椭圆的参数方程
y
b
r
sin
0,2
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x
y
r r
cos sin
(为参数）
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数）
0,2
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点,
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2
y2
16
1
例3
已知椭圆
x2 100
y2 64
1
有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积
D
y B2 A
A1 F1
O F2 A2 X
C
B
B1
例4 在椭圆 x2 y2 1 上, 到直线 l : 3x 2y 16 0
点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4
P
的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =3+cosθ y =sinθ
∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
P M
O
Ax
例:如图，已知点P是圆x²+y²=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标是（12，0）。当点P在圆上运 动时，线段PA的中点M的轨迹是什么y ？
圆的参数方程及应用
圆的参数方程及应用
x = r·cosθ
y = r·sinθ
其中r为圆的半径，θ为参数，在0≤θ≤2π范围内变化。
在几何学中，圆的参数方程可以用于描述平面上的曲线运动。
例如，
当圆绕一些轴进行旋转时，可以通过修改参数方程的θ值来实现轨迹的
描绘。
在物理学中，圆的参数方程可以用于描述物体的运动状态。
例如，当
一个物体在绕圆形轨道上运动时，可以通过参数方程的变化来表示该物体
的位置、速度和加速度等参数。
在工程学中，圆的参数方程可以用于实现圆形曲线的机械加工。
例如，在数控机床的加工程序中，通过改变参数方程的θ值来控制工件的加工
路径，从而实现复杂曲面的加工。
此外，圆的参数方程还可以用于图像绘制和计算机动画。
在图像绘制中，可以通过参数方程的连续取值来绘制出连续平滑的圆形轮廓。
在计算
机动画中，可以通过修改参数方程的θ值来实现物体的运动轨迹，从而
使得动画效果更加真实。
总的来说，圆的参数方程提供了一种方便且灵活的数学工具，可以用
于描述和处理圆的运动轨迹及各种几何特征。
通过应用参数方程，我们可
以更加直观地理解圆的运动规律，并且可以应用于多个领域中的实际问题
求解。
无论是在理论研究还是实际应用中，圆的参数方程都发挥着重要作用，是数学与工程学的重要交叉点。
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P
y 1= 2sin q
M
由中点坐标公式得
则 x = 2cos q
oQ
x
y = sin q
x2
消参数得普通方程为：
y2
1
4
知识 总结
形成知识体系
知识方面：1。圆心在原点的圆的参数方程 2．圆心在（a,b）的圆的参数方程 3．一般参数方程的的定义 4．圆的参普方程的互化
能力方面：1。培养和提高观察，分析，类比，转化的能力 2.学会以参数的思想方法解决实际问题
2
A: 3
B: 3
C: 4
3
D: 5
3
知识 巩固
巩固知识 提高能力
2。 圆的参数方程为
则圆一定 过点（ C
A：（3，4）
C：（1，－1）
x = - 2 +5 cos q
y = 3 + 5 sin q ）
B：（2，3） D ：（－1，1）
知识 巩固
巩固知识 提高能力
3．参数方程 x = 3 – 2 t
p1
x
y = b + r sinq （q 为参数）
知识 形成
由特殊到一般
一般曲线的参数方程的定义:
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐
标 x, y 都是某个变数 t 的函数，即: x = f ( t )
y=g(t)
而且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）
都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程。 联系 x , y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
由 op (op1 p1 p) 得:
(x , y ) = ( x1 + y1) + (a, b )=( x1+ a , y1+ b)
y
o1
p
所以: x = x1 + a y = y1 + b
把圆心在原点,半径为 r 的参数方程代入上式,得
圆心在(a,b)半径为r 的圆的参数方程为:
o
x = a + r cosq
一般曲线的普通方程定义：
相对与参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标
关系的方程，叫做曲线的普通方程。
理 解 对照比较 参普互化
巩固
A组：填表
（x - 1）2 ＋y 2 = 4
x= 2 + cos q ( 2 , 2 ) 1 y = 2 + sin q
(1,0)
2
（x - 3）2 ＋（y + 1）2 = 49
知识 准备
复习旧知 做好铺垫
2.起点在坐标原点的向量a的终点 坐标为（x,y）则向量a的坐标是什
么？答: ( x, y )
3. OP + PA = (点 P （x,y）按向量 h=(a,b)
平移后,对应点 P1 坐标（ x+a, y+b ）
知识 形成
2
P 的坐标是（ 2 , 2 ），若圆上一点 Q 的
坐标为（2＋2 2 ,－2 + 2 2）, 则参数
q ＝( 4 )
知识 巩固
巩固知识 提高能力
C组：选择题
x =3 + 2cos q
1. 圆的参数方程为 y = 2 sin q (0≤ q＜ 2)
若圆上一点P的坐标是（2，3），则 q 为
（ A )
由特殊到一般
1。圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程
2。x, y, q与参数方程 之间的关系
3。圆心不在原点，半径 为r的圆的参数方程
知 识 观察研究 得出新知
形成
op
推导:设P(x,y),P1(x1,y1)为对应点,则 op1 ( x1 , y1)
( x,y)
p1 p oo1 v ( a , b )
知识 应用
学以致用 加深理解
例2: 若实数 x , y 满足方程 x2 + y2 + 8 x – 6 y + 16 = 0, 求x2 ＋y2 的最大值和最小值
知识 巩固
巩固知识 提高能力
B组： 填空
x= 2+4 cos q
圆的参数方程为 y=-2+4 sin q (0≤ q＜ 2),
若圆上一点P所对应的参数q ＝ ， 则点
C：不是圆
D：以上都有可能
知识 巩固
巩固知识 提高能力
D组 ：解答题 经过圆x2 + y2 ＝4上的
任一点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为Q，求线段PQ中点 M的轨迹的普通方程。
y Q
M
oQ
x
知识 巩固
巩固知识 提高能力
解答：由题可设M(x,y) ,P(x1,y1), Q（x1,0)
y
则 x 1= 2cos q
A：以原点为圆心，半径为3的圆
B：以原点为圆心，半径为3的上半圆
C: 以原点为圆心，半径为3的下半圆
D：以原点为圆心，半径为3的右半园
知识 巩固
巩固知识 提高能力
x =－3cos q
5. 圆的参数方程为 y = 3 sin q（q 为参数）
表示的曲线是（ A ）
A：圆心在原点，半径为3的圆
B：圆心不在原点，但半径为3的圆
知识 准备
复习旧知 做好铺垫
1.请同学们回顾一下,圆的方 程我们学过几种形式?各是什么?
答: 两种. 圆心在(a, b),半径为 r 的圆的标准方程:
(x – a )2 + ( y – b ) 2 = r 2 圆的一般方程:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ( D2 + E2 - 4F > 0)
情感方面：1.学会用运动变化的思想观点看问题 2.感受数学美，体会学习的乐趣
作业
作业:1.练习篇部分习题 2.教科书82页 9.10.11
y = -1 – 4 t （t为参数）
化为普通方程是（ A ）
A：2x–y -7=0
B: (x - 3)2+(y + 1)2＝1
C：2x－y－5＝0 D:x - 2y –7 = 0
知识 巩固
巩固知识 提高能力
x = 3 cos q
4. 圆的参数方程为 y = 3 sin q(0≤q≤ ）表
示的图形是（ ） B
x= 3 + 7 cos q y = -1 +7 sin q
x = 3 + 5 cos q ( 3, - 4 ) 5 y = - 4 +5 sin q
知识 应用
学以致用 加深理解
例1:已知点 P 是圆 x 2 ＋ y 2 = 16 上的一个动点，点 A 是 x 轴上的定点， 坐标为（12，0）。当点 P 在圆上运动 时，线段 PA 的中点 M 的轨迹是什么？