中点常见的辅助线八年级

变式三：△ABC中，∠CAＢ=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰△ABD和等腰△ＡCE,M为BＤ的中点,Ｎ为ＣE的中点,P为BC的中点，求证：PM=PN
２．如图,点P为△ABC的边BC的中点,分别以AB,AC为斜边作Rt△AＢD和Ｒt△ＡCE,且∠BAＤ=∠CAＥ,求证:ＰD=PE.
２．如图，点O为△ＡBC内的一点，OD⊥ＡB,ＯE⊥AＣ,∠1=∠２,Ｆ为BC的中点，链接FD、FE，求证:FD=FE．
（１）利用中点构建全等形：倍长中线至二倍,构建全等三角形
(２)有中点联想直角三角形的斜边上的中线
（３）由中点联想到等腰三角形的“三线合一”
１、在△AＢC中,AD是ＢＣ边上的中线,若ＡB＝2,AＣ=4，则ＡＤ的取值范围是＿______＿．
2、已知：如图,△ＡBＣ（AＢ≠ＡC）中，D、Ｅ在BC上，且DE=ＥＣ， 过D作DF∥ＢA交ＡＥ于点Ｆ,DF=ＡC.求证：AＥ平分∠BAＣ．
（3）在任意△ＡＢＣ中,分别以AB、AC为斜边，向△AＢC的外侧作等腰直角三角形,如图3所示，M是ＢC的中点，连结MＤ和MＥ，则MD与ME有怎样的数量关系？
6、△ＡＢＣ中,∠CＡB=120°,分别以AＢ、AC为边分别向外做正△ABD和△AＣE，M为AD的中点，Ｎ为ＡE的中点，P为BC的中点,
（１）求证:PM=PN
３、正方形AＢＣD中,E为ＣD的中点,BF⊥AＥ于F ,连接CF,求证;ＣＦ=ＣＢ
4．如图,四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCＤ=90°，M为ＢD中点,Ｎ为AC中点，求证:ＭN⊥AC.
5．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是ＢC上一点，AD=5,且AD⊥AB，点Ｅ是BD的中点，AC＝６.5，则AB的长度为____＿____.
(一)直接连接中点构建中位线：
1.已知:在四边形AＢCD中,E、F、Ｇ、Ｈ分别是ＢＣ、AD、ＢD、AＣ的中点．
①求证：EＦ与GＨ互相平分;
②当四边形ＡBCD的边满足______＿_＿条件时,EF⊥GH.
(二)取三角形一边的中点,构建中位线:
２、如图，在四边形ABＣＤ中，对角线AC、BD交于点O，Ｅ、F分别是ＡB、ＣD的中点,且AC＝ＢＤ．
6、已知梯形ＡＢCD中,AD∥ＢC,且AD+ＢＣ=AB，E为CD的中点,连接AＥ、ＢＥ
求证;（１)ＡE平分∠BAD
(2)ＢE平分∠ＡBC
(３)AＥ⊥BE
练习:
１、已知正方形ABCD中,E为CD的中点，AE平分∠BAF.求证：AF=BC+CF
６、在△ＡBC（AＢ≠AC)中，在∠A的内部任做一条射线,过B、C两点做此射线的垂线BE和CF,交此射线于Ｅ、Ｆ，Ｍ为BC的中点,求证:MD=ＭE.
求证:∠DEN=∠F．
五、条件中无中点时,完善图形得中位线:
如图，△ABC边长分别为AＢ=14，BＣ=1６,AC=26，P为∠Ａ的平分线AD上一点，且BP⊥AＤ,M为BC的中点,则PＭ的值是_＿__＿_＿．
1１.如图，自△ABC顶点Ａ向∠C与∠Ｂ的角平分线CE、BD作垂线AM、AN,垂足分别是M、Ｎ，已知△ABC三边长为a、b、c,则MN=______＿.
(２)试求∠MPＮ的度数
变式一:△ＡBC中,∠CAＢ=1２0°，分别以AＢ、AＣ为边分别向外做等腰直角△ＡBＤ和等腰直角△ACE,M为AD的中点,N为AＥ的中点,P为ＢC的中点，求证：PM=PＮ
变式二：△AＢC中，∠ＣAB=120°，分别以AＢ、AC为边分别向外做等腰△ABＤ和等腰△ＡＣE，M为AD的中点,N为AＥ的中点,Ｐ为ＢC的中点,求证:PM=PN
(１)如图1所示在等腰△ABC中,AB=AC，分别以AＢ、AＣ为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AＣ于点G，Ｍ是BC的中点，连结MD和ＭE,求证:
①ＡF=AＧ= AB;
②ＭＤ=MＥ.
(２）在任意△ABC中,仍分别以AB，M是ＢC的中点,连结MD和ME，试判断△MＤE的形状．（直接写答案,不需要写证明过程).
中点常见的辅助线(八年级)
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中点常见的辅助线
中点经常所在的三角形:
全等三角形
等腰三角形:三线合一
直角三角形：斜边上的中线、
三角形的中位线:
一、一个中点常见的辅助线
求证：ＯM=ＯN.
(三)添加三角形的第三边，构建中位线:
如图，已知E、F分别为△AＢC的边ＡB、BC的中点,G、H为AC边上的两个三等分点,连ＥG、FH，且延长后交于点D,
求证：四边形ＡBＣD是平行四边形
四、添加三角形的另一边并取中点,构建中位线：
在四边形AＢＣＤ中，E、F、M分别是AＢ、CD、BＤ的中点，ＡD=BC.
求证：∠EFM=∠FEM.
如图，在四边形ABCD中,一组对边AＢ=ＣD，另一组对边AＤ≠ＢC,分别取AD、BC的中点M、N,连接MN.则AB与MN的关系是(）
A.AＢ=ＭNB．AB＞MＮC.AB＜ＭND.上述三种情况均可能出现
已知：如图，在四边形ＡBCD中,AD＝ＢC，M、Ｎ分别是ＡB、CD的中点,AＤ、ＢＣ的延长线交MN于E、F．
在△ABＣ中,∠B=2∠A,CD⊥AB于D,Ｅ为AB的中点，求证：DＥ= BC
多个中点
中点经常所在的三角形:
等腰三角形:三线合一
直角三角形:斜边上的中线、
三角形的中位线：
已知如图:在△ABＣ中，AＢ、ＢC、ＣA的中点分别是E、F、G,ＡD是高.求证:∠EDG=∠EFG.
（２015•广东模拟)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
等腰直角△ＡBC和等腰直角△DCＥ如图所示放置，Ｍ为ＡE的中点，连接ＤM、BM，（1）求证：ＢM∥CＥ
(2)若ＡB=a，DＥ=２ａ，求DM、ＢM的长。
二、两个或多个中点常见的辅助线:
当图中有多个中点时,我们要细致分析图形特点,是否有直角三角形，等腰三角形，等边三角形,有时,要利用中点的性质分析,同时还要考虑中位线,