最新10组合变形汇总
材料力学 组合变形完整版汇总
|FN|最大处 |T|最大处
|M|最大处
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型
拉压
内力
轴力FN
正应力
FN/A 无
切应力 无 Tρ/Ip 无
忽略不计
扭转
纯弯曲
扭矩T
弯矩M
My/Iz
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs My/Iz
材料力学
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
C L A D
30º
1.3m
F
材料力学
1.3m
B
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：பைடு நூலகம்
选AB为研究对象， 求A、B处的约束反力
C L A D
30º
根据受力分析判断AB杆 的变形组合类型 压缩和弯曲的组合
1.3m F
1.3m
B
分解成基本变形
做出压缩的轴力图和弯曲的弯矩图，确定危险截面 将D截面压缩的压应力与弯曲的最大压应力叠加， 进行强度校核
组合变形/拉压与弯曲的组合
巩固练习
练习一：图示的压力机框架为实心圆截面，直径d=100mm，最 大加工压力为F=12KN，已知材料许用应力为100Mpa，试校核 框架立柱的强度。
200
F
F
材料力学
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的
变形组合类型
200
F
拉伸和弯曲的组合
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
2FL
FL
求中点处的最大正应力：
FL FL Wz Wy 0 2FL Wz Wy
求固定端的最大正应力：
第10章 组合变形
10.1 组合变形的概念 工程中大多数的杆件在荷载作用下，往往同时发生两种或两种以上的变形。
在小变形的前提下，一般采用叠加原理计算组合变形的强度问题。即当杆件 承受复杂荷载作用而同时产生几种变形时，只要将荷载进行适当地分解，使 杆在各分荷载的作用下发生基本变形，再分别计算各基本变形所引起的应力， 然后将计算结果叠加，就可得到总的应力。实践证明：在线弹性、小变形的 情况下，用叠加原理所得到的结果与实际情况是相当符合的。
第10章 组合变形
【本章教学要点】 知识模块 组合变形的概念 叠加原理 掌握程度 掌握 掌握 掌握 理解 斜弯曲构件 重点掌握 偏心受压（受拉）构 件 截面核心的概念 理解 重点掌握 了解 知识要点 基本变形、组合变形 适用条件：小变形、线弹性 叠加法求解组合变形的步骤 斜弯曲概念 危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件 偏心受压（受拉）概念
危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件
截面核心
【本章技能要点】
技能要点
掌握程度
应用方向
斜弯曲构件计算
偏心受压（受拉）构件 计算 截面核心
掌握
掌握 了解
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定 截面核心的确定
【导入案例】 工程结构的变形：单一或多样？
例10-5 试求图10.16所示偏心受拉杆的最大正应力。
7.5 I I 50
K z y I-I 截面 （b） 图 10.16
P 2kN
20
10 40 15 （a）
10.4 截面核心 10.4.1 截面核心的概念 人为地将偏心压力的作用点限制在截面形心周围的一个区域，则杆件整 个横截面上就只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称 为截面核心。 10.4.2 截面核心的确定
材料力学10组合变形
材料力学10组合变形组合变形是指当结构受到外力作用时，由于各个零件的不同材料及尺寸性质的差异，导致各个零件产生不同的变形现象，从而使整个结构发生整体的变形。
组合变形是结构力学的重要内容，对于工程结构的设计、安全性评估和结构稳定性分析都至关重要。
本文将介绍组合变形的概念、分析方法和影响因素。
组合变形的概念：组合变形是指由于结构中不同零件的尺寸和材料性质的不一致，而导致结构在受力时产生的整体变形。
组合变形分为两类：一是刚体体变形，即结构在受力作用下整体平移、旋转或缩放；二是构件本身变形，即结构中各零件由于尺寸和材料的不一致而产生的内部变形。
组合变形的分析方法：组合变形的分析方法主要有两种：力法和位移法。
力法是指根据梁的变形方程和杨氏模量的定义，通过计算各零件在各个截面上的张力或弯矩，从而得到整体的变形情况。
位移法是指根据构件的位移和应变关系，通过求解位移方程组，从而得到整体的变形情况。
力法和位移法都是基于弹性理论，适用于较小变形和线性弹性材料的情况。
组合变形的影响因素：组合变形的大小与结构的几何形状、零件尺寸和材料性质有关。
影响组合变形的因素主要有以下几个方面：1.结构的几何形状：结构的几何形状对组合变形有重要影响。
例如，在长梁的弯曲变形中，梁的长度和曲率半径都会影响变形的大小。
2.零件的尺寸：零件的尺寸对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的截面积和转动惯量会影响变形的大小。
3.零件的材料性质：零件的材料性质对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的弹性模量和截面剪切模量会影响变形的大小。
4.外力的作用方式：外力的作用方式对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，集中力和均布力对变形的影响是不同的。
除了以上几个因素外，结构的边界条件和连接方式也会影响组合变形的大小。
此外，在实际工程中，结构中可能存在的缝隙、温度变化、材料老化等因素也会对组合变形产生影响。
对于设计工程结构来说，合理控制组合变形是非常重要的。
组合变形PPT课件
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
组合变形
MT WT
在杆的根部a处取一单元体分析
y 0, x B , x T
计算主应力
1 B B 2 2 ( ) T 2 3 2
2 0
第三、第四强度理论
r 3 4
2 B 2 T
2 2 r4 B 3 T
即最大安全载荷为 790N。
r3
M 2 T2 W
(0.2Q ) 2 (0.18Q ) 2 6 80 10 0.033 32 Q 790N
例8-5 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm， D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
C max
N M max c A Wz
例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。
（1）外力计算
取横梁AB为研究对象，受力如 图b所示。
梁 上载荷为 P =Q1+Q2 = 24kN， 斜杆的拉力S 可分解为XB和YB
f
f f
2 y
2 z
如悬臂梁自由端挠度等于P的分量 平面内挠度的几何叠加。
py , pz
在各自弯曲
pl 3 fy cos 3 EI z 3 EI z pz l 3 pl 3 fz sin 3 EI y 3 EI y
pyl 3
故自由端的总挠度：
f
f f
2 y
2 z
总挠度 f 的方向线与y轴之间的夹角 可由下式求得
如图b所示。
（2）作内力图
材料力学 第十章 组合变形(4,5,6)
[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。 分析：这是偏心拉伸问题
最大拉应力发生在AB线 上各点，最大压应力发 生在CD线上各点。
CL11TU24
解：(1)应力分析
Ph Pb N P, M y , M z 2 2 t N M y Mz c A Wy Wz
3.算例 [例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。 b （1）作中性轴Ⅰ，z , a y a 解：
（2）求载荷点① ， 2 iy b2 2 b zF ② az 2 6 b 3 z iz ③ yF 0 ① ay ④ （3）作中性轴Ⅱ ， h a z , a y 2 b y b （4）求载荷点② ， 2 2 2 Ⅰ 2 2 iy iz h h h z F 0, yF ay 6 2 3 az
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标； （3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。 定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
z F , az ; zF , az
2.作截面核心的方法
zF 0, az ; zF , az 0
解:(1)简化外力：
组合变形
1 b
断裂破坏仅与最大正应力有关。适用于脆性材料的二向或
2最大正应变理论（第二强度理论） ：
由于
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 b
当最大正应变等于强度极限对应的正应变时，断裂破坏。
b
b
E
1 ( 2 3 ) b
m
x
m m
Pz
z Py y
m
z
P
P
y
Py P sin Pz P cos
矩形截面梁，作用集中力P与Z轴成角，确定m—m截面的应力
m
m
Mz
z
Mz My
m
z
My
m
M
y
y
Py P sin Pz P cos M yz Iy
Mzy Iz
M y Pz x Px cos M cos M z Py x Px sin M sin
z y cos sin 0 Iy Iz
过形心的斜直线
最大、最小正应力，a、b两点。
斜弯曲时中性轴斜率与弯矩作用面的关系
z y cos sin 0 中性轴方程 Iy Iz z Iy tan tan y Iz
z
y
中性轴
当 I y I z 时， 说明载荷作用面与中性层不垂直 当 Iy Iz 时
1 3 2
对应第四强度理论
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2
复杂应力状态危险点单元体的强度条件：
ri [ ]
ri
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10组合变形图10.4 斜弯曲分析参考图10 组合变形10.1 组合变形的概念和实例分析组合变形问题时，通常是先把作用在杆件上的载荷向杆件的轴线简化，即把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。
工程中，常见的组合变形主要有斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合。
下面讨论这三种组合变形的强度计算问题。
10.2 斜弯曲10.2.1 斜弯曲时横截面上的应力外力简化 ϕϕsin ,cos z y P P P P == 内力：ϕϕcos )(cos )(y z M x l P x l P M =-=-=ϕϕsin )(sin )(z y M x l P x l P M =-=-=式中)(x l P M -=是集中力P 在横截面m-n 上所引起的弯矩，在计算中可取绝对值。
应力: 任意截面m-n 上任意点C （y ，z ）处的应力可采用叠加法计算。
在xy 平面内的平面弯曲（由于z M 的作用）产生的正应力为y I M I y M zz z cos ϕσ=='由于在xz 平面内的平面弯曲（由于yM 的作用）产生的正应力为图10.1起重机构ACB 梁受力分析 图10.2传动轴受力分析z I M I z M yyy sin ϕ==σ''C 点处的正应力，即 y y z z I z M I y M +=''+'=σσσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=z I y I M y zsin cos ϕϕ（10.1）10.2.2 斜弯曲时的强度计算强度条件为max 11z y cos sin M y z I I ϕϕσ⎛⎫=+≤⎪ ⎪⎝⎭[]σ （10.2） 对于有棱角的矩形截面，根据图10.4所示的应力分布，公式（10.2）还可写成 ≤+=z zmaxy y maxmax W M W M σ[]σ （10.3）若材料的抗拉强度和抗压强度不同，则应分别对1D 点和2D 点都进行强度计算。
0sin cos 0y0z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z I y I M ϕϕσ因为0≠M ，所以有 0sin cos 0y 0z =+z I y I ϕϕ （10.4）此即斜弯曲时的中性轴方程。
设中性轴与z 轴的夹角为α，根据公式（10.4）有ϕαtg tan yz 00I Iz y -== （10.5）由式（10.5）可得出以下两点结论：(1) 对于zy I I ≠的截面，则ϕα≠。
这表明此种梁在发生斜弯曲时，其中性轴与外力P 所在的纵向平面不垂直（图10.5b ）。
(2) 对于圆形、正方形及其他正多边形截面，由于zy I I =，故可由式（10.5）得：ϕα-=，这说明中性轴总是与载荷所在的纵向面垂直，即此类截面的梁不会产生斜弯曲。
10.2.3 斜弯曲的变形计算33y y z z cos 33P l P l f EI EI ϕ==－－33zz y y cos 33Pl P l f EI EI ϕ==－－2z 2y f f f +=（10.6）设总挠度f 与y 轴的夹角为β（图10.6b ），则有 ϕβtg tan yz y z I If f == （10.7）关于挠度、中性轴及外力P 的位置之间的关系，现作进一步讨论：图10.6斜弯图(1) 由式（10.7）知，若梁的横截面zy I I ≠，则ϕβ≠，这说明梁在变形后的挠曲线与外力P 所在的纵向面不共面，因此，称为斜截面。
(2) 对于zy I I =的横截面（如圆形、正方形），则ϕβ=，即挠曲线与外力在同一纵向平面内。
这种情况仍是平面弯曲。
实际上，对于zy I I =的横截面，过截面形心的任何一个轴都是形心主惯性轴。
因此，外力作用将总能满足平面弯曲的条件。
(3) 由式（10.5）及式（10.7）知：中性轴与z 轴的夹角α等于挠度与y 轴的夹角β。
即和平面弯曲一样，斜弯曲时，中性轴仍垂直于挠度f 所在的平面。
【例题10.1】例10.1图所示结构的梁为16号工字钢，材料为Q 235--A 钢，〔σ〕=160MPa ，E =200GPa ，载荷P 与y 轴的夹角︒=20ϕ，P =7kN 梁的跨度l =4m 。
试校核梁的强度及计算梁中点的挠度。
解：①外力分析 将P 沿y 轴和z 轴分解，得kN 39.220sin 7sin kN 58.620cos 7cos z y =︒===︒==ϕϕP P P Py P 和zP 将分别使梁在xy 和xz 平面内产生平面弯曲。
②内力计算 任一横截面上，由y P和z P 作用产生的弯矩分别为z M 和y M ，其内力图见图（b ）和（c ）。
显然，在梁中点C 处，z M 和y M同时取得最大值，故为危险截面。
kN39.24439.24kN58.64458.64z y max y zmax =⨯===⨯==l P M l P M③强度计算 在作用下，截面C 的下边缘拉应力最大，上边缘压应力最大。
在y M作用下，前侧边缘产生最大拉应力，后侧边缘产生最大压应力。
应力叠加后，两边缘的交点1D 和2D 点分别产生最大拉应力和最大压应力（图d ）。
查型钢表，对于16号工字钢，,cm 141,cm 1.93,cm 11303z 4y 4z ===W I I 3y cm 2.21=W 。
由公式（10.3）6363y ymax z zmax max 102.211039.2101411058.6--⨯⨯+⨯⨯=+=W M W M σ<=⨯=159.4MPa Pa 104.1596[]σ故满足强度条件。
例10.1图 工字钢结构梁若载荷不偏离y 轴（0=ϕ），C 截面弯矩最大 mkN 74474max ⋅=⨯==Pl M 故最大正应力为MPa 6.49Pa 106.4910141107663z max max =⨯=⨯⨯==-W M σ④ 挠度计算 在y P和z P 作用下， C 截面形心沿y 方向和z 方向的挠度分别为mm 1.17m 101.17101.93102004841039.248mm 88.3m 1088.3101130102004841058.64838933y 3z z 38933z 3y y =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==----EI l P f EI l P f所以，总挠度为2z 2y f f f +==mm 5.171.1788.322=+挠度f 与y 轴的夹角β（图d ）为 4.488.31.17tan y z ===f f β10.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形10.3.1 拉（压）与弯曲组合时的强度计算图10.7（a ）所示为一等直杆，两端铰支，载荷2P 为作用在梁跨度中点C 截面上的横向力，而1P 为作用于杆两端的轴向拉力。
我们以此为例，说明杆在拉（压）与弯曲组合时的强度计算问题。
①外力分析 ②内力分析③应力分析 在C 截面上，与轴力N 对应的正应力σ'在横截面上均匀分布（图10.7c ）其值为： A N ='σ 而与m ax M 对应的弯曲正应力σ''在横截面上沿截面高度线性分布（图10.7d ），其值为z M y I σ⋅''=图10.7 拉（压）与弯曲组合变形分析例10.2图 悬臂式吊车架 最大弯曲正应力在C 截面的上、下边缘，其值为 max 2W4z z M P l W W σ==④强度计算 强度条件可表示为≤+=z maxmax W M A N σ[]σ （10.8） 【例题10.2】例10.2图所示为一悬臂式吊车架，在横梁AB 的中点D 作用一集中载荷P =25kN ，已知材料的许用应力[]σ=100Mpa ，若横梁AB 为工字型梁，试选工字钢型号。
解：①横梁AB 受力分析 取横梁AB 为研究对象，如图（b ）所示，由静力平衡条件解得 kN 5.12,kN 6.21,kN 25A A ===V H T将T 沿梁的轴线及梁轴线垂直的方向分解，分别为1T 和2T ，则有kN5.12212530sin kN 6.21232530cos 21=⨯=︒==⨯=︒=T T T T可见，在1T 和A H 作用下，梁承受轴向压缩；在P 、2T 和A V 作用下，梁发生弯曲变形。
因此，横梁AB 承受的是压缩与弯曲的的组合。
③内力分析 横梁AB 的轴力图及弯矩图如图（c ）和（d ）所示。
显然，危险截面是D 截面。
其轴力和弯矩值分别为kN 6.211-=-=T NkN25.166.2254141max =⨯⨯==Pl M④截面设计 对于工字形梁，抗拉强度与抗压强度相同。
在D 截面的上边缘。
叠加后的正应力绝对值（压应力）达到最大值，故为危险点，所以强度条件为≤+=z maxmax W M A N σ[]σ 上式中，有两个未知量，即横截面积A 和抗弯截面模量W 。
所以，仅由上式无法确定工字钢型号。
工程中一般采用试算法。
即先不考虑轴力N 的影响，只根据弯曲强度条件初选工字钢型号，然后再根据拉（压）弯组合的强度条件进行强度校核。
由弯曲正应力强度条件≤=W Mmax max σ[]σ []3633max16.2510162.510m 162.5cm 100M W σ-⨯≥==⨯=查型钢表，选取18号工字钢，23cm6.30,cm185==AW。
⑤强度校核将以上数据及已求得的N和m axM值代入拉（压）与弯曲组合的强度条件6343zmaxmax101851025.16106.30106.21--⨯⨯-⨯⨯-=+=WMANσ=94.9MPa〈[]σ故选取18号工字钢满足强度条件。
试算中，若初选出的工字钢型号，拉（压）弯组合的危险应力大于许用应力[]σ，则应重新选取工字钢。
10.3.2 偏心压缩（拉伸）现通过例题说明此类问题的强度计算。
【例题10.3】小型压力机的铸铁框架如例10.3图（a）所示。
已知材料的许用拉应力[]tσ=30MPa，许用压应力[]60c=σMPa，载荷P=42kN，立柱的截面尺寸如图（b）所示。
试校核立柱的强度。
例10.3图压力机铸铁框架解：①截面几何性质计算3241510m,7.5cm,5312.5cmyA z I-=⨯==②外力分析kN42=P23e10)5.735(1042-⨯+⨯⨯=M mN1085.173⋅⨯=③内力分析kN42==PN mkN85.17ey⋅==MM④强度计算MPa8.2Pa108.210151042633=⨯=⨯⨯=='-ANσ与弯矩yM对应的正应力沿z轴线性分布，并由公式yyIzM=''σ计算。
最大弯曲拉应力和压应力分别是32y06tmax8y17.85107.51025.210Pa25.2MPa5312.510M zIσ--⨯⨯⨯''===⨯=⨯32y 16cmax 8y 17.8510(207.5)1042.010Pa 42MPa 5312.510M z I σ--⨯⨯-⨯''===⨯=⨯从图（d ）看出，叠加以上两种应力后，在截面的内侧边缘上发生最大拉应力，且<=+=''+'=MPa 282.258.2tmaxtmax σσσ[]σ 在截面的外侧边缘上，发生最大压应力，且<=-=σ'-σ''=σMPa 2.398.242tmax []σ故立柱满足强度条件。