工程力学(黄河水利职业技术学院)10 组合变形
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组合变形(工程力学课件)
偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N
材料力学10组合变形
10 组合变形110 组合变形10.1 斜弯曲10.2 拉伸（压缩）与弯曲组合变形10.3 弯曲与扭转组合变形10.4 偏心拉伸与压缩10.5 截面核心23轴向拉压M eM e扭转○○○F平面弯曲一、基本变形回顾FF4轴向拉压AF N=σFFFF NFσ5扭转PI M T ρτ=Pm axW M T =τM eM eM eM TM Tτmaxτmaxρτ6平面弯曲z z I y M =σ中性层xyz主轴平面xyσ(M z )中性轴zzW M ±=m in m ax σσF Qy M z7zx yσ(M y )中性轴平面弯曲yy I z M =σyy W M ±=m in m axσσ中性层xyz主轴平面xzF Qz M yyxz8事实上，基本变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。
FF q ＜＜FFF当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。
二、组合变形结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。
F檩条斜弯曲：两平面弯曲的组合910压弯组合变形ABF AxF AyPF F xF y压弯组合变形1112偏心压缩拉弯组合变形1314q弯扭组合变形15弯扭组合变形F双向弯曲与扭转组合变形16组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。
1. 斜弯曲；2. 拉伸（压缩）与弯曲组合；3. 弯曲与扭转组合；4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般组合变形的计算原理和方法。
1718三、组合变形下的计算⑤用强度理论进行强度计算。
基本解法：①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形；②分别计算各基本变形下的内力及应力；④对危险点进行应力分析；分析方法：叠加法前提条件：小变形思考题1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？2.叠加原理的适用条件是什么？能否应用于大变形情况？1920平面弯曲斜弯曲：两个相互垂直平面内平面弯曲的组合一、斜弯曲的特征10.1 斜弯曲21受力特征：外力作用线通过截面的弯曲中心，但不与任一形心主轴重合或平行；变形特征：变形后的挠曲线不与外力作用面相重合或平行。
工程力学-组合变形
y1 y c
z0
z1
150
50
150
截面面积 A150m 00m 2
50
形心位置
zc
z0 75mm z1 12m 5 m
计算形心主惯性矩
Iyc 5.31107mm 4
（3）求内力
F 350
M
FN F
M F35 70 513 0
42 F 5 1 3 0 N.m
FN
分析构件的变形
工程实例
绞车轴的弯曲变形
绞车轴的扭转变形
工程实例
工程实例
工程实例
1、外力向轴线简化，判定基本变形 弯扭组合 且为单向弯；
2、作内力图，确定危险面
My 3FL
T
FD/2
3 危险面上的内力
4、危险面上应力的分布规律，确定危险点
5、提取危险点处原始单元体
M W
bPh22e6
横截面上不产生拉应力的条件 σtP1 AP2bP2 2he60
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
aa
aa
未开槽前 立柱为轴向压缩
P
P
1N AP A(2P a)24P a2
667 667
Fc160 16 0171N 300
934 934
许可F 压 4力 50 N 为 0405kN
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆的强 度。
项目十组合变形2.pptx
1、拉(压）---弯组合变形
2、斜弯曲
3、弯—扭组合变形
1.5m
工程力学
举例
A 2m
项目十 组合变形
RA
HA A
M
C
B
PN
1m
T
Ty
Tx C
B
P
_
12kN·m
_
24kN
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
课题10.2 斜弯曲
梁变形后的挠曲线将与外力不在同一纵向平面内，将这种弯曲称为斜弯曲。
为TC=QD/2 。轴的计算简图如图b所示
。
（2）内力分析
绞车轴的弯矩图和扭矩图如
图c、d所示。
工程力学
项目十 组合变形
由图可见危险截面在轴的中点C
处，此截面的弯矩和扭矩分别为：
M 1 Ql 1 Q 0.8 0.2QN m
4
4
T 1 QD 1 Q 0.36 0.18QN m
2
2
（1）外力分析：
取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z 、 P2y和径 向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮 中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。
工程力学
项目十 组合变形
TC
P1z
D1 2
;
TD
P2 y
D2 2
1 公式仅对圆轴复合弯 曲适用。
Py
2 公式可用于任何受力形 式的圆轴的复合弯曲部分。
3 平面弯曲可看成它的特 x 例。
P
Pz L
P
Pz
y
z
y Mz M=PL
2、斜弯曲
3、弯—扭组合变形
1.5m
工程力学
举例
A 2m
项目十 组合变形
RA
HA A
M
C
B
PN
1m
T
Ty
Tx C
B
P
_
12kN·m
_
24kN
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
课题10.2 斜弯曲
梁变形后的挠曲线将与外力不在同一纵向平面内，将这种弯曲称为斜弯曲。
为TC=QD/2 。轴的计算简图如图b所示
。
（2）内力分析
绞车轴的弯矩图和扭矩图如
图c、d所示。
工程力学
项目十 组合变形
由图可见危险截面在轴的中点C
处，此截面的弯矩和扭矩分别为：
M 1 Ql 1 Q 0.8 0.2QN m
4
4
T 1 QD 1 Q 0.36 0.18QN m
2
2
（1）外力分析：
取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z 、 P2y和径 向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮 中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。
工程力学
项目十 组合变形
TC
P1z
D1 2
;
TD
P2 y
D2 2
1 公式仅对圆轴复合弯 曲适用。
Py
2 公式可用于任何受力形 式的圆轴的复合弯曲部分。
3 平面弯曲可看成它的特 x 例。
P
Pz L
P
Pz
y
z
y Mz M=PL
工程力学-组合变形课程课件
离中性轴最远的点，这就是危险点。
令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，
即得中性轴方程
中性轴
z
1 ez z ey y 0
O
Iy
Iz
中性轴在 y , z 两轴上的截距为 D2
ay
D1
az y
ay
iz2 ey
az
iy2 ez
工程力学
第12章 组合变形
例12.6 螺旋夹紧装置如图所示，已知 F 2kN ，
800
D
C
A
2500
B
1500
F
工程力学
第12章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
800
D
C
A
2500
1500
FCD
FAx A
FCDx
FAy
FCDy
l 25002 8002 2620mm 2.62m
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
MA 0
F
FCD
2.5 2.5 2.62
F
(2.5 1.5)
中性轴与y 轴的夹角q 为
tanq z0 I y M z I y tan
y0 I z M y I z
式中， 为合弯矩与轴的夹角。
Iz Iy Iz Iy
q q
斜弯曲 平面弯曲
工程力学
中性轴将横截面分为两部分，一部分受 拉应力，一部分受压应力。作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边相 切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应 力和压应力为最大的点。将危险点的坐 标代入（12.1）式，即可求得横截面上的 最大拉应力和最大压应力。危险点的应 力状态为单向应力状态或近似当作单向 应力状态，故其强度条件为
材料力学第十章 组合变形
r 3 2 4 2
r3
2 M y M z2 T 2
W
M 2 T 2 W
r 4 3
2
2
2 M y M z2 0.75T 2
r4
W
M 2 0.75T 2 W
例3 图示空心圆杆，
内径d=24mm，外
径D=30mm， P1=600N， []=100MPa，试用 第三强度理论校核 A
Lmax D1
⑤变形计算
ymax D 2
f f
2 y 2 z
fz
f
tg
fy fz
f fy
当j = 时，即为平面弯曲。
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h Pz
x
Py
P z j z
D2 P 变形计算 Py y
P
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
M 5P 3 500Nm 10
P N M
20 20
y yC z
应力分析如图
100
N M z max max A I yc
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
P Mz y Myz x A Iz Iy
三、中性轴方程
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
对于偏心拉压问题 P Py y Pz z P yP y0 z P z0 P 0 P 0 (1 2 2 )0 y 2 2 A Aiz Aiy A iz iy y
1
建筑力学10组合变形
MPa
(1.875 1.875)MPa 3.75MPa
§10－3
弯曲与扭转的组合变形
作弯矩图和扭矩图， 可知危险截面为固定端 截面：
A
B
M Fl, T Fa
图
图
危险截面上的1点和2点有最大弯曲正 应力和最大扭转切应力：
Fl W
Fa WP
P
R
Ｍ
弯扭组合
P
斜弯曲组合
处理组合变形问题的方法： 1.将构件的组合变形分解为基本变形； 2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力； 3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合 变形情况下的应力。 叠加原理是解决组合变形计算的基本原理
二、组合变形的研究方法 ——
叠加原理
①、外力分析：外力向形心(或弯心)简化，确定各基本变形；
(10-1)
= ′+ 〞=
M( cos Iz
· y
sin + Iy
· ) (10-1) ′ z
a c b d e A K Pz y Py y y z K(z,y) z
P
z
二、正应力强度条件
max ≤ [ ]
· max + y M ymax Iy · max z
max = ′+ 〞max = max
P A
xM
y
Myz Iy
xM
z
Mz y Iz
P M y z Mz y x A Iy Iz
(10-6)
例 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱 内的绝对值最大正应力。 解：两柱均为压应力 e
100
1max
材料力学 第十章组合变形(123)PPT课件
MPa。
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
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第十章 组合变形
第一节 概述 第二节 斜弯曲 第三节 拉压与弯曲 第四节 偏心拉压 小结
四种基本变形计算：
变形 轴向拉压 外力 轴向力
剪切 扭转 横向力 外力偶
平面弯曲A 横向力或外力偶
内力 轴力(Ｎ)
应力 正应力
剪力(Q)
剪应力
扭矩(Ｍz)
剪力(Q) 弯矩(M)
剪应力 剪应力 正应力
分布 规律
| [ ]
3.
偏心拉压： max
min
P A
Pe Wz
[
];
三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的
范围，称为该截面的截面核心。
•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 12.2420 .12.24 Thursday , December 24, 2020
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 2:52:22 02:52:2 202:52 12/24/2 020 2:52:22 AM
z
z
z
M
计算 公式
N
A
Q
A
Mx
Ip
QS *
Izb
Mzy
Iz
第一节 概述
一、概念：
1. 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以
上的基本变形组合而成的。
2. 组合变形实例 ：
y
p
m
T
传动轴
x
m
檩条檩条
檩条
屋架
y
a
p
q G
牛腿柱 烟囱
雨篷
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩）
法与单向偏心拉（压）类似。
1、轴向力P的作用： N
N P
P A
x
P zmz
my o y
2、m z的作用：
mz
Mz Iz
y
mz Iz
y (b) d
c a
b3、m y的作用： Nhomakorabeamy
My Iy
Z
my Iy
Z
P mz y M y Z P Pey y Pez Z
A Iz
Iy
A Iz
Iy
强度条件：
N A
M max Wz
; 在C左截面下边缘；
max
M max Wz
|
max
|; 在C右截面上边缘。
（4）强度计算：
设计：Wz
M max
[ ]
120cm3;
查表选16号工字钢，Wz 141cm3, A 26,1cm2 ;
校核：
max
|
N A
M max Wz
| 100.4MPa
105 00 [
一、强度计算：
1.外力分解：
Py P cos
Pz P sin
m
o zK
my
L
2.内力计算：
M z Py x P cos x M cos;
M y Pz x P sin x M sin ;
Pz o x
z
Py
xP y
yy
y
z+z+
Z
+ mxmx
z
mx + +
+
++
+
--
-
m ym y
谢谢大家！
形。
二、计算：
以挡土墙为例
x截面任意点应力：
k
N (x) A
M (x) y ;
Iz
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
为危险截面，其最大和最小应力为：
(d)
q(x)(d)
max N max M max
min
A
Wz
强度条件：
q(x)((de)) q(x)(e)
M(x) ((ef)) N(x) (MC()x) (f)
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A
C
XA A
T
Ty
a
B
YA
TX
C
P
12kN .m
0.8 m
2.5 m
2.5 m P
40kN
解：（1）内力计算：
T 42kN
M max 12KN
m,
在C截面；
M max 12KN m, 在C截面； Nmax 40KN , 在AC梁段。
Nmax 40KN , 在AC梁段。
（3）应力计算：
max
z
y
D 8
h
例10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊车
梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截面
不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
解：1.求内力： M=P2 e=6KN.m
P1 e P2
N=P1+P2=100+30=130KN 2.求应力：
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 2:52:22 02:52:2 202:52 12/24/2 020 2:52:22 AM
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日复一日的努力只为成就美好的明天 。02:52:2202:5 2:2202:52Thur sday , December 24, 2020
•
安全放在第一位，防微杜渐。20.12.24 20.12.2 402:52:2202:5 2:22De cember 24, 2020
•
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年12 月24日 上午2时 52分20 .12.242 0.12.24
•
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。202 0年12 月24日 星期四 上午2时 52分22 秒02:5 2:2220. 12.24
三、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算
外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一个
形心主轴上，而且位于Z、Y轴的距离分别为 和e y 的e某z一
点K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双向偏心
拉伸：
x zp ey
ez y
x zP ey
ez y
在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算方
max
P M A Wz
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0;
h 276.9mm,取h 280mm.
b
max
PM A Wz
130 103 6 106 0.18 0.28 0.18 0.282
5.13MPa 6
h
ze o
y
h
小结
一、组合变形的计算方法：
1. 分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结 果，然后叠加。
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科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。上午2 时52分 22秒上 午2时5 2分02:52:2220 .12.24
料的E= 2 105 MPa，试求：梁的最大拉、压应力。
解：（1）固定端截面为危险截面。
A
M y max Pl 2 2 4KN m
M z max
1 2
ql 2
1 5 22 2
10KN
m
B
（2）由于截面对称，最大拉压应力相等。
max
M z max Wz
M y max Wy
10 106 4 106 108MPa; 401882 48283
q=5KN/m
Z
P=2KN
X
2m
y
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用
一、概念： 在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆
件将产生拉（压）弯组合变形。
如斜梁，将力P分解为Px 、
如重力坝，自重使坝底受压 力，水压力使坝体产生弯曲变
Py 。则垂直于梁轴的横向力PY 使梁产生弯曲变形，轴向力Px使 AB梁段产生轴向压缩变形。
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2. 将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分 解为几种基本变形。
综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面， 并建立相应的强度条件来进行强度计算。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1. 斜弯曲：
max
第一节 概述 第二节 斜弯曲 第三节 拉压与弯曲 第四节 偏心拉压 小结
四种基本变形计算：
变形 轴向拉压 外力 轴向力
剪切 扭转 横向力 外力偶
平面弯曲A 横向力或外力偶
内力 轴力(Ｎ)
应力 正应力
剪力(Q)
剪应力
扭矩(Ｍz)
剪力(Q) 弯矩(M)
剪应力 剪应力 正应力
分布 规律
| [ ]
3.
偏心拉压： max
min
P A
Pe Wz
[
];
三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的
范围，称为该截面的截面核心。
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z
z
z
M
计算 公式
N
A
Q
A
Mx
Ip
QS *
Izb
Mzy
Iz
第一节 概述
一、概念：
1. 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以
上的基本变形组合而成的。
2. 组合变形实例 ：
y
p
m
T
传动轴
x
m
檩条檩条
檩条
屋架
y
a
p
q G
牛腿柱 烟囱
雨篷
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩）
法与单向偏心拉（压）类似。
1、轴向力P的作用： N
N P
P A
x
P zmz
my o y
2、m z的作用：
mz
Mz Iz
y
mz Iz
y (b) d
c a
b3、m y的作用： Nhomakorabeamy
My Iy
Z
my Iy
Z
P mz y M y Z P Pey y Pez Z
A Iz
Iy
A Iz
Iy
强度条件：
N A
M max Wz
; 在C左截面下边缘；
max
M max Wz
|
max
|; 在C右截面上边缘。
（4）强度计算：
设计：Wz
M max
[ ]
120cm3;
查表选16号工字钢，Wz 141cm3, A 26,1cm2 ;
校核：
max
|
N A
M max Wz
| 100.4MPa
105 00 [
一、强度计算：
1.外力分解：
Py P cos
Pz P sin
m
o zK
my
L
2.内力计算：
M z Py x P cos x M cos;
M y Pz x P sin x M sin ;
Pz o x
z
Py
xP y
yy
y
z+z+
Z
+ mxmx
z
mx + +
+
++
+
--
-
m ym y
谢谢大家！
形。
二、计算：
以挡土墙为例
x截面任意点应力：
k
N (x) A
M (x) y ;
Iz
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
为危险截面，其最大和最小应力为：
(d)
q(x)(d)
max N max M max
min
A
Wz
强度条件：
q(x)((de)) q(x)(e)
M(x) ((ef)) N(x) (MC()x) (f)
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A
C
XA A
T
Ty
a
B
YA
TX
C
P
12kN .m
0.8 m
2.5 m
2.5 m P
40kN
解：（1）内力计算：
T 42kN
M max 12KN
m,
在C截面；
M max 12KN m, 在C截面； Nmax 40KN , 在AC梁段。
Nmax 40KN , 在AC梁段。
（3）应力计算：
max
z
y
D 8
h
例10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊车
梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截面
不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
解：1.求内力： M=P2 e=6KN.m
P1 e P2
N=P1+P2=100+30=130KN 2.求应力：
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三、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算
外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一个
形心主轴上，而且位于Z、Y轴的距离分别为 和e y 的e某z一
点K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双向偏心
拉伸：
x zp ey
ez y
x zP ey
ez y
在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算方
max
P M A Wz
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0;
h 276.9mm,取h 280mm.
b
max
PM A Wz
130 103 6 106 0.18 0.28 0.18 0.282
5.13MPa 6
h
ze o
y
h
小结
一、组合变形的计算方法：
1. 分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结 果，然后叠加。
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让自己更加强大，更加专业，这才能 让自己 更好。2 020年1 2月上 午2时52 分20.1 2.2402:52December 24, 2020
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料的E= 2 105 MPa，试求：梁的最大拉、压应力。
解：（1）固定端截面为危险截面。
A
M y max Pl 2 2 4KN m
M z max
1 2
ql 2
1 5 22 2
10KN
m
B
（2）由于截面对称，最大拉压应力相等。
max
M z max Wz
M y max Wy
10 106 4 106 108MPa; 401882 48283
q=5KN/m
Z
P=2KN
X
2m
y
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用
一、概念： 在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆
件将产生拉（压）弯组合变形。
如斜梁，将力P分解为Px 、
如重力坝，自重使坝底受压 力，水压力使坝体产生弯曲变
Py 。则垂直于梁轴的横向力PY 使梁产生弯曲变形，轴向力Px使 AB梁段产生轴向压缩变形。
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2. 将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分 解为几种基本变形。
综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面， 并建立相应的强度条件来进行强度计算。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1. 斜弯曲：
max